माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

32रेडियोसक्रिय क्षय

किसी संग्रहालय के तहख़ाने में गीगर गणित्र फ़िरौन के ताबूत से निकली लकड़ी की एक फाँक पर खटकता रहता है। हर खटका बेक़ायदा है: न किसी ने उसकी घोषणा की, न कोई अगले का पूर्वानुमान लगा सकता है। फिर भी शुक्रवार तक प्रयोगशाला सदी भर की परिशुद्धता वाली तारीख़ छाप देगी। यह अध्याय इसी विरोधाभास को सुलझाता है — कि एक-एक करके बिलकुल यादृच्छिक घटनाएँ खरबों में जुड़कर हमारी सबसे स्थिर घड़ियाँ कैसे बन जाती हैं।

32.1 एक-एक करके बेक़ायदा, मोल भर में घड़ी की चाल

पिछले वर्ष (अध्याय 19) हम अस्थिर नाभिकों से मिले थे, उनके $\alpha$ और $\beta$ समीकरण संतुलित किए थे, और देखा था कि हर अर्धायु $T_{1/2}$ में किसी भी बड़े प्रतिदर्श का आधा ग़ायब हो जाता है। जो हम नहीं कह सके वह यह था कि सीढ़ियों के बीच कब — और यह कि कोई यादृच्छिक प्रक्रिया समय-सारणी रखती ही क्यों है। दोनों प्रश्नों का उत्तर एक ही है।

परिभाषा 32.1 (क्षय नियतांक)

हर अस्थिर न्यूक्लाइड के लिए एक अचर $\lambda$ होता है, उसका क्षय नियतांक (मात्रक $\mathrm{s}^{-1}$ ), जिसके कारण किसी भी छोटे अंतराल $\dd t$ में हर नाभिक के क्षय करने की प्रायिकता $p = \lambda\,\dd t$ रहती है — और वह उस जाति के हर नाभिक के लिए एक ही है, उसकी उम्र चाहे जो हो, और ताप, दाब या रसायन से अछूती।

टिप्पणी 32.2 (अकेले में बेक़ायदा, भीड़ में ठीक-ठीक)

जो नाभिक दस हज़ार वर्ष प्रतीक्षा कर चुका है, उसके इसी सेकंड क्षय करने की संभावना ठीक उतनी ही है जितनी आज सुबह बने नाभिक की: न घिसाव, न कोई चेतावनी — अगला कौन जाएगा, यह सचमुच अपूर्वानुमेय है। भीड़ का मामला दूसरा है। $100$ सिक्के उछालिए: $50$ चित की उम्मीद कीजिए, पर $43$ पर भी चौंकिए मत — उतार-चढ़ाव $\sqrt n$ की कोटि के होते हैं, यहाँ $10\%$ । अब $10^{20}$ उछालिए: सापेक्ष उतार-चढ़ाव $1/\sqrt n$ केवल $10^{-10}$ है, और परिणाम दस दशमलव स्थानों तक पक्का। और एक ग्राम पदार्थ में कोई $10^{22}$ नाभिक होते हैं: बेक़ायदगी औसत होकर घड़ी की चाल बन जाती है, यानी समय $t$ पर अब भी साबुत बचे नाभिकों की संख्या $N(t)$ के लिए एक ठीक-ठीक नियम।

20 नाभिकों के दो असली प्रतिदर्श अपेक्षित वक्र के आसपास अपूर्वानुमेय ढंग से लड़खड़ाते उतरते हैं; और एक मोल भर नाभिक उसी वक्र से दस दशमलव स्थानों तक चिपके रहते। — $20$ नाभिकों के दो असली प्रतिदर्श अपेक्षित वक्र के आसपास अपूर्वानुमेय ढंग से लड़खड़ाते उतरते हैं; और एक मोल भर नाभिक उसी वक्र से दस दशमलव स्थानों तक चिपके रहते।

32.2 क्षय का नियम

प्रतिज्ञप्ति 32.3 (विकास-समीकरण)

$N$ नाभिकों के बड़े प्रतिदर्श में $\dd t$ के दौरान उनकी संख्या इतनी बदलती है:

\dd N = -\lambda N\,\dd t, \qquad\text{अर्थात्}\qquad \frac{\dd N}{\dd t} = -\lambda N :

यानी आबादी अपने ही समानुपाती दर से सिकुड़ती है।

उपपत्ति. $N$ नाभिकों में से हर एक $\dd t$ के दौरान प्रायिकता $\lambda\,\dd t$ से क्षय करता है: इसलिए अपेक्षित क्षय $N\lambda\,\dd t$ , और बड़े $N$ के लिए असली गिनती अपेक्षित गिनती से चिपकी रहती है (टिप्पणी 32.2); और हर क्षय एक नाभिक हटा देता है। ∎

प्रमेय 32.4 (रेडियोसक्रिय क्षय का नियम)

जिस प्रतिदर्श में $t = 0$ पर $N_0$ नाभिक हों, उसमें समय $t$ पर इतने रह जाते हैं:

N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}.

उपपत्ति. प्रतिस्थापन से जाँचिए: $\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)\,e^{-\lambda t} = -\lambda N(t)$ , और $N(0) = N_0 e^0 = N_0$ : समीकरण भी सही और शुरुआत भी। (और यह कि कोई दूसरा फलन इस पर नहीं बैठता, यह समाकलों के साथ विश्वविद्यालय के खंड में सिद्ध किया गया है।) ∎

परिभाषा 32.5 (चरघातांकी क्षय)

जो राशि $N_0\,e^{-\lambda t}$ मानती है वह चरघातांकी क्षय से गुज़रती है: बराबर समयों में बराबर अंश खोए जाते हैं। यह ठीक अध्याय 30 वाला विसर्जित होता संधारित्र है, जहाँ $\lambda$ $1/(RC)$ की भूमिका निभाता है: एक ही अवकल समीकरण, एक बार सीखा हुआ, परिपथ भी चलाता है और नाभिक भी।

प्रतिज्ञप्ति 32.6 (अर्धायु)

किसी न्यूक्लाइड की अर्धायु (परिभाषा 19.14) उसका क्षय नियतांक तय कर देता है: $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ , और $n$ अर्धायुओं के बाद $N = N_0/2^{\,n}$ , चाहे $n$ पूरा हो या नहीं।

उपपत्ति. $N(T_{1/2}) = N_0/2$ के लिए $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac12$ चाहिए, यानी $\lambda T_{1/2} = \ln 2$ ; और किसी भी $n$ के लिए $N(n\,T_{1/2}) = N_0\,e^{-n\ln 2} = N_0/2^{\,n}$ : चरघातांक सीढ़ी में धागा पिरो देता है और सीढ़ियों के बीच की जगह भर देता है। ∎

N(t) = N_0\,e- t सीढ़ी के हर पायदान से होकर गुज़रता है — और अब यह भी बता देता है कि बीच में क्या होता है। — $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ सीढ़ी के हर पायदान से होकर गुज़रता है — और अब यह भी बता देता है कि बीच में क्या होता है।

उदाहरण 32.7 (दस की बीस घातें)

$= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ के साथ $1$ वर्ष:

न्यूक्लाइड	$T_{1/2}$	$\lambda$ ( $\mathrm{s}^{-1}$ )
पोलोनियम-214	$1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$	$4.2 \times 10^{3}$	यूरेनियम शृंखला की कड़ी
टेक्नीशियम-99m	$6.0$ घंटे	$3.2 \times 10^{-5}$	चिकित्सा चित्रण
आयोडीन-131	$8.0$ दिन	$1.0 \times 10^{-6}$	थायरॉइड की दवा
सीज़ियम-137	$30$ वर्ष	$7.3 \times 10^{-10}$	रिएक्टर का बिखराव
कार्बन-14	$5730$ वर्ष	$3.8 \times 10^{-12}$	पुरातत्त्व
पोटैशियम-40	$1.25 \times 10^{9}$ वर्ष	$1.8 \times 10^{-17}$	चट्टानों की तिथि
यूरेनियम-238	$4.5 \times 10^{9}$ वर्ष	$4.9 \times 10^{-18}$	पृथ्वी की भीतरी ऊष्मा

एक ही नियम, और $\lambda$ की दस की बीस घातें।

32.3 सक्रियता: खटके गिनना

प्रतिज्ञप्ति 32.8 (सक्रियता)

किसी प्रतिदर्श की सक्रियता — यानी उसके प्रति सेकंड क्षय, बेक्रेल (परिभाषा 19.18) में — है

\mathcal A = \lambda N, \qquad\text{इसलिए}\qquad \mathcal A(t) = \mathcal A_0 \, e^{-\lambda t}:

जो बचे हुए नाभिकों के समानुपाती है, और उतनी ही चरघातांकी।

उपपत्ति. $N$ नाभिक, हर एक की प्रति सेकंड प्रायिकता $\lambda$ : यानी प्रति सेकंड $\lambda N$ क्षय; और प्रमेय 32.4 को $\lambda$ से गुणा करने पर $\mathcal A(t) = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ मिल जाता है। ∎

उदाहरण 32.9 (विशाल $N$ , नन्हा $\lambda$ )

केला लगभग $15\,\mathrm{Bq}$ पर खटकता है, मनुष्य का शरीर लगभग $8000\,\mathrm{Bq}$ पर, और ग्रेनाइट का एक घन मीटर कोई $10^{6}\,\mathrm{Bq}$ पर (अध्याय 19)। इन मामूली खटकों के पीछे खगोलीय आबादियाँ बैठी हैं: शरीर का पोटैशियम-40 $\lambda = 1.8 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$ के साथ $\mathcal A \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ देता है: यानी $N = \mathcal A/\lambda \approx 2.5 \times 10^{20}$ नाभिक, जिनमें से मुश्किल से कुछ हज़ार हर सेकंड चलते हैं।

विधि 32.10 (अर्धायु नापना)

गीगर गणित्र से क्रमागत बराबर अंतरालों पर क्षय गिनिए: इससे क्रमागत समयों पर $\mathcal A$ का प्रतिचयन हो जाता है।
$t$ के सामने $\ln \mathcal A$ आलेखित कीजिए: चूँकि $\ln \mathcal A = \ln \mathcal A_0 - \lambda t$ , इसलिए चरघातांकी क्षय एक सीधी रेखा बनकर दिखता है — और टेढ़े आँकड़े किसी और नियम, या न्यूक्लाइडों के मिश्रण का संकेत हैं।
ढाल के ऋणात्मक के रूप में $\lambda$ पढ़ लीजिए; $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ ।

अल्पजीवी न्यूक्लाइड की गीगर-गिनतियाँ: अर्ध-लघुगणकीय अक्षों पर चरघातांक सीधी रेखा बन जाता है; यहाँ ढाल 9.6 × 10-3\, s-1 देती है, इसलिए T_1/2 72\, s। — अल्पजीवी न्यूक्लाइड की गीगर-गिनतियाँ: अर्ध-लघुगणकीय अक्षों पर चरघातांक सीधी रेखा बन जाता है; यहाँ ढाल $\lambda \approx 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ देती है, इसलिए $T_{1/2} \approx 72\,\mathrm{s}$ ।

टिप्पणी 32.11 (बेक्रेल हानि नहीं हैं)

बेक्रेल क्षय गिनता है, नुक़सान नहीं। नुक़सान का हिसाब सीवर्ट (अध्याय 19) में नापी जाती मात्रा रखती है, जो ऊतक के प्रति किलोग्राम जमा हुई ऊर्जा को हर विकिरण की विनाशकता से तौलती है: $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$ का टेक्नीशियम-स्कैन रोज़मर्रा की बात है, पर साँस में गए $\alpha$ उत्सर्जक के उससे कहीं कम बेक्रेल भी नहीं; और $\mathrm{Bq}$ को $\mathrm{Sv}$ में बदलना विश्वविद्यालय की सामग्री है।

32.4 तिथि-निर्धारण: अनुपात से समय पढ़ना

क्षय का नियम उलटा चलाइए और वह घड़ी बन जाता है: बचा हुआ अंश नापिए, और चरघातांक बीता हुआ समय बता देता है।

विधि 32.12 (रेडियो-कार्बन तिथि-निर्धारण)

जीवित: जीवित ऊतक वायुमंडल से कार्बन का लेन-देन करता रहता है और उसका कार्बन-14 अनुपात ढोता है — $10^{12}$ में एक परमाणु, यानी प्रति ग्राम कार्बन प्रति मिनट $\mathcal A_0 = 13.6$ क्षय।
मृत्यु घड़ी चालू कर देती है: आवक रुक जाती है, और अनुपात $T_{1/2} = 5730$ वर्ष के साथ क्षय होने लगता है।
प्रतिदर्श की सक्रियता $\mathcal A$ प्रति ग्राम कार्बन नापिए; $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ उलटकर $t = \frac{1}{\lambda}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A) = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ बन जाता है।

उदाहरण 32.13 (गुफ़ा में एक चूल्हा)

किसी दबे हुए चूल्हे का कोयला प्रति ग्राम प्रति मिनट $5.0$ क्षय देता है: $\mathcal A_0/\mathcal A = 13.6/5.0 = 2.72$ , इसलिए $t = 5730 \times \ln(2.72)/\ln 2 \approx 8.3 \times 10^{3}$ वर्ष। वह आग आठ हज़ार वर्ष पहले बुझी थी — और लकड़ी ही उसका अभिलेख है।

तिथि-वक्र: नापे गए अनुपात पर घुसिए और नीचे उतरकर उम्र पढ़ लीजिए। बिंदु वाला चूल्हा है: अनुपात 0.37, उम्र 8.3 × 103 वर्ष। — तिथि-वक्र: नापे गए अनुपात पर घुसिए और नीचे उतरकर उम्र पढ़ लीजिए। बिंदु उदाहरण 32.13 वाला चूल्हा है: अनुपात $0.37$ , उम्र $8.3 \times 10^{3}$ वर्ष।

उदाहरण 32.14 (चट्टानों की घड़ियाँ)

कार्बन-14 कोई $50\,000$ वर्ष से आगे चुप हो जाता है; और भूविज्ञान उससे धीमी घड़ियाँ रखता है। पोटैशियम–आर्गन: पोटैशियम-40 ( $T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ वर्ष) आर्गन में क्षय होता है, जो पिघले लावा से निकल भागती गैस है पर चट्टान के जमते ही फँस जाती है — यानी जमना घड़ी को शून्य कर देता है। यूरेनियम–सीसा: यूरेनियम-238 उस शृंखला का सिरा है जो स्थिर सीसा-206 (अध्याय 19) पर ख़त्म होती है, और किसी क्रिस्टल में सीसे-और-यूरेनियम का अनुपात उसकी तिथि दे देता है। दोनों घड़ियाँ सबसे पुराने खनिजों ( $\approx 4.4 \times 10^{9}$ वर्ष) पर सहमत हैं, और उल्कापिंडों के रास्ते सौर-मंडल की उम्र पर भी।

टिप्पणी 32.15 (शृंखलाएँ, और तहख़ाने की गैस)

यूरेनियम और सीसे के बीच शृंखला रेडियम से होकर गुज़रती है, फिर रेडॉन-222 से, जो एक रेडियोसक्रिय गैस है ( $T_{1/2} = 3.8$ दिन)। ग्रेनाइट और मिट्टी में जन्मी वह तहख़ानों में रिसकर जमा होती जाती है; और उसकी $\alpha$ -उत्सर्जक पुत्रियाँ फेफड़ों के भीतर क्षय करती हैं — यानी अधिकांश लोगों की सबसे बड़ी प्राकृतिक मात्रा, और घटाने में सबसे सस्ती भी: तहख़ाने की खिड़की खोल दीजिए।

32.5 अभ्यास

अभ्यास 32.1 ★

आयोडीन-131 का $\lambda = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ है। उसकी अर्धायु सेकंडों में, फिर दिनों में निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 32.1.

$T_{1/2} = \ln 2/\lambda = 0.693/1.0 \times 10^{-6} = 6.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} \approx 8.0$ दिन — यानी आयोडीन-131 की घड़ी।

अभ्यास 32.2 ★

रेडॉन-222 का $T_{1/2} = 3.8$ दिन है। $\mathrm{s}^{-1}$ में $\lambda$ निकालिए, फिर $1.0 \times 10^{10}$ नाभिकों के प्रतिदर्श की सक्रियता।

हल

हल — अभ्यास 32.2.

$T_{1/2} = 3.8 \times 86\,400 = 3.28 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ ; $\lambda = 0.693/3.28 \times 10^{5} = 2.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\mathcal A = \lambda N = 2.1 \times 10^{-6} \times 1.0 \times 10^{10} \approx 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$ ।

अभ्यास 32.3 ★

प्रतिस्थापन से जाँचिए कि $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ $\dd N/\dd t = -\lambda N$ और $N(0) = N_0$ को संतुष्ट करता है; फिर $N(T_{1/2})/N_0$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 32.3.

$\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)e^{-\lambda t} = -\lambda N$ — यानी समीकरण सही उतरता है; $N(0) = N_0 e^0 = N_0$ ; $N(T_{1/2})/N_0 = e^{-\lambda \ln 2/\lambda} = e^{-\ln 2} = \tfrac12$ ।

अभ्यास 32.4 ★

सीज़ियम-137 के स्रोत ( $T_{1/2} = 30$ वर्ष) की सक्रियता आज $4.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Bq}$ है। $90$ वर्ष बाद, फिर $300$ वर्ष बाद उसकी सक्रियता निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 32.4.

$90$ वर्ष $= 3\,T_{1/2}$ : $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/2^3 = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$ । $300$ वर्ष $= 10\,T_{1/2}$ : $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/1024 \approx 3.9 \times 10^{2}\,\mathrm{Bq}$ ।

अभ्यास 32.5 ★

किसी टेक्नीशियम-प्रतिदर्श के लिए $t$ के सामने $\ln \mathcal A$ का अर्ध-लघुगणकीय आलेख $(0, 20.00)$ और $(10\,\mathrm{hours}, 18.85)$ से होकर जाती सीधी रेखा है। $\lambda$ ( $\mathrm{h}^{-1}$ और $\mathrm{s}^{-1}$ में) तथा $T_{1/2}$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 32.5.

ढाल $= (18.85 - 20.00)/10 = -0.115$ , इसलिए $\lambda = 0.115\,\mathrm{h}^{-1} = 0.115/3600 = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $T_{1/2} = 0.693/0.115 = 6.0$ घंटे — यानी टेक्नीशियम-99m।

अभ्यास 32.6 ★★

एक ग्राम रेडियम-226 ( $T_{1/2} = 1600$ वर्ष; मोलर द्रव्यमान $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ): नाभिकों की संख्या निकालिए, फिर $\lambda$ , फिर सक्रियता — यानी इतिहास का पहला सक्रियता-मात्रक, क्यूरी।

हल

हल — अभ्यास 32.6.

$N = (1.0/226) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.7 \times 10^{21}$ ; $T_{1/2} = 1600 \times 3.156 \times 10^{7} = 5.05 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$ , इसलिए $\lambda = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\mathcal A = \lambda N \approx 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ — यानी एक क्यूरी, मारी क्यूरी के एक ग्राम रेडियम की सक्रियता।

अभ्यास 32.7 ★★

दो विद्यार्थी एक ही न्यूक्लाइड के $20$ और $2.0 \times 10^{20}$ नाभिकों के प्रतिदर्श बंद कर देते हैं। एक अर्धायु बाद हर एक क्या अपेक्षा करता है? किसका पूर्वानुमान भरोसे लायक़ है? (दोनों के लिए सापेक्ष उतार-चढ़ाव $1/\sqrt n$ का अनुमान लगाइए।)

हल

हल — अभ्यास 32.7.

दोनों आधे बचने की अपेक्षा करते हैं: $10$ , और $1.0 \times 10^{20}$ । उतार-चढ़ाव गिनती के $\sim 1/\sqrt{n}$ होते हैं: $10$ क्षयों पर लगभग $30\%$ — इसलिए $7$ या $13$ पर चौंकना नहीं चाहिए; और $1.0 \times 10^{20}$ पर लगभग $10^{-10}$ । नापने लायक़ परिशुद्धता तक नियम केवल बड़ा प्रतिदर्श ही मानता है।

अभ्यास 32.8 ★★

किसी शरीर में लगभग $140\,\mathrm{g}$ पोटैशियम होता है, जिसका $0.012\%$ पोटैशियम-40 ( $T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ वर्ष, मोलर द्रव्यमान $40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) है। पोटैशियम-40 नाभिकों की संख्या निकालिए, फिर उनकी सक्रियता; और शरीर के कुल $8000\,\mathrm{Bq}$ से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 32.8.

$m = 140 \times 1.2 \times 10^{-4} = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{g}$ ; $N = (0.0168/40) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.5 \times 10^{20}$ । $\lambda = 0.693/(1.25 \times 10^{9} \times 3.156 \times 10^{7}) = 1.76 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\mathcal A = \lambda N \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ — यानी शरीर के कुल का लगभग आधा (बाक़ी अधिकतर कार्बन-14 है)।

अभ्यास 32.9 ★★

किसी रोगी को टेक्नीशियम-99m ( $T_{1/2} = 6.0$ घंटे) का $500\,\mathrm{MBq}$ दिया जाता है। $15$ घंटे बाद सक्रियता निकालिए, फिर उसके $1\,\mathrm{MBq}$ से नीचे गिरने का समय।

हल

हल — अभ्यास 32.9.

$\lambda = 0.693/6.0 = 0.116\,\mathrm{h}^{-1}$ । $15$ घंटे पर: $\mathcal A = 500\,e^{-0.116 \times 15} = 500 \times 0.177 \approx 88\,\mathrm{MBq}$ । $1\,\mathrm{MBq}$ से नीचे: $t = \ln(500)/0.116 \approx 54\,\mathrm{hours}$ — यानी लगभग $9$ अर्धायु।

अभ्यास 32.10 ★★

एक गड्ढे का कोयला प्रति ग्राम कार्बन प्रति मिनट $3.4$ क्षय दिखाता है; और दूसरे की हड्डी जीवित दर का $30\%$ (प्रति ग्राम प्रति मिनट $\mathcal A_0 = 13.6$ , $T_{1/2} = 5730$ वर्ष)। दोनों प्रतिदर्शों की तिथि निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 32.10.

कोयला: $3.4/13.6 = \tfrac14$ , ठीक $2$ अर्धायु: $t = 1.15 \times 10^{4}$ वर्ष। हड्डी: $t = 5730 \times \ln(1/0.30)/\ln 2 = 5730 \times 1.74 \approx 1.0 \times 10^{4}$ वर्ष।

अभ्यास 32.11 ★★

किसी तहख़ाने को रेडॉन-222 की एक खेप भीतर रखकर बंद कर दिया जाता है ( $T_{1/2} = 3.8$ दिन)। कितने समय बाद उस खेप की सक्रियता गिरकर $1\%$ रह जाती है? असली तहख़ाने दशकों तक रेडियोसक्रिय बने रहते हैं: ताज़ी रेडॉन कहाँ से आती है, और हवादारी एक बार की नहीं, स्थायी क्यों होनी चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 32.11.

$\lambda = 0.693/3.8 = 0.182\,\mathrm{d}^{-1}$ ; $t = \ln(100)/\lambda = 4.61/0.182 \approx 25$ दिन (लगभग $6.6$ अर्धायु)। पर चारों ओर के ग्रेनाइट और मिट्टी की यूरेनियम-शृंखला लगातार रेडॉन पैदा करती रहती है: एक बार की हवादारी कुछ हफ़्तों में मिट जाती है, इसलिए हवादारी स्थायी होनी चाहिए।

अभ्यास 32.12 ★★★

$N = N_0 e^{-\lambda t}$ से दिखाइए कि $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$ । किसी हड्डी में उसके जीवित कार्बन-14 का $5.0\%$ बचा है: उसकी तिथि निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 32.12.

$N/N_0 = e^{-\lambda t}$ से $\lambda t = \ln(N_0/N)$ मिलता है, और $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ से $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$ । यहाँ $t = 5730 \times \ln(20)/\ln 2 = 5730 \times 4.32 \approx 2.5 \times 10^{4}$ वर्ष।

अभ्यास 32.13 ★★★

जिस क्रिस्टल ने जमते समय कोई आर्गन नहीं फँसाया था, उसमें हर क्षय हुआ पोटैशियम-40 नाभिक अपनी जगह एक आर्गन परमाणु छोड़ जाता है। दिखाइए कि $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ ; किसी चट्टान में अनुपात $3.0$ मिलता है: उसकी उम्र निकालिए ( $T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ वर्ष)।

हल

हल — अभ्यास 32.13.

$N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ और $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$ , इसलिए $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ । अनुपात $3.0$ : $e^{\lambda t} = 4$ , इसलिए $\lambda t = 2\ln 2$ और $t = 2\,T_{1/2} = 2.5 \times 10^{9}$ वर्ष।

अभ्यास 32.14 ★★★

गीगर गणित्र $t = 0$ , $60$ , $120$ , $180$ , $240$ सेकंड पर प्रति सेकंड $400$ , $225$ , $127$ , $71$ , $40$ गिनतियाँ देता है। हर समय पर $\ln \mathcal A$ निकालिए, रेखा में बैठना जाँचिए, और $\lambda$ तथा $T_{1/2}$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 32.14.

$\ln \mathcal A = 5.99$ , $5.42$ , $4.84$ , $4.26$ , $3.69$ : यानी प्रति $60\,\mathrm{s}$ $0.57$ – $0.58$ की गिरावट — रेखा में। ढाल: $\lambda = 2.30/240 = 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $T_{1/2} = 0.693/9.6 \times 10^{-3} \approx 72\,\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 32.15 ★★★

किसी एक नाभिक के $n$ अर्धायु तक बचे रहने की प्रायिकता $1/2^{\,n}$ है। ये प्रायिकताएँ निकालिए: (क) कोई एक दिया हुआ नाभिक $10$ अर्धायु तक बचा रहे; (ख) देखे जा रहे सभी $8$ नाभिक एक अर्धायु तक बचे रहें। (ग) $1000$ नाभिकों में से $3$ अर्धायु बाद कितने अपेक्षित हैं — और क्या नियम बता सकता है कि कौन-से? नियम क्या बताता है, इस पर निष्कर्ष लिखिए।

हल

हल — अभ्यास 32.15.

(क) $2^{-10} \approx 1 \times 10^{-3}$ । (ख) $(1/2)^8 = 1/256 \approx 0.4\%$ । (ग) $1000/8 = 125$ अपेक्षित — पर नियम इस बारे में चुप है कि कौन-से: वह आबादियों का ठीक-ठीक पूर्वानुमान लगाता है और व्यक्तियों का बिलकुल नहीं।

32.6 समस्या: चीज़ों की उम्र

समस्या 32.1

सप्ताहांत समस्या — चीज़ों की उम्र: संग्रहालय की प्रयोगशाला कार्बन-घड़ी अंशांकित करती है, एक मूर्ति और एक पपाइरस की तिथि निकालती है, सीखती है कि कोई घड़ी अपने डायल से आगे क्यों नहीं पढ़ती, और एक ज्वालामुखीय चट्टान को एक अरब वर्ष पीछे धकेल देती है

संग्रहालय की तिथि-प्रयोगशाला में एक सप्ताह। आँकड़े: जीवित ऊतक प्रति ग्राम कार्बन प्रति मिनट $\mathcal A_0 = 13.6$ कार्बन-14 क्षय दिखाता है; $T_{1/2} = 5730$ वर्ष (कार्बन-14), $1.25 \times 10^{9}$ वर्ष (पोटैशियम-40); $1$ वर्ष $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ; कार्बन का मोलर द्रव्यमान $12\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; और गणित्र प्रति ग्राम प्रति मिनट लगभग $0.2$ क्षय तक ही सुलझा पाते हैं।

भाग I — सोमवार: घड़ी का अंशांकन।

जीवित ऊतक में कार्बन-14 का अनुपात अचर क्यों रहता है, और मृत्यु पर बदलता क्या है?
कार्बन-14 के लिए $\mathrm{s}^{-1}$ में $\lambda$ निकालिए।
प्रतिस्थापन से जाँचिए कि $N_0 e^{-\lambda t}$ $\dd N/\dd t = -\lambda N$ को हल कर देता है।
$\mathcal A_0$ से जीवित ऊतक में प्रति ग्राम कार्बन कार्बन-14 के परमाणुओं की संख्या निकालिए।
एक ग्राम में कार्बन के कितने परमाणु होते हैं? इससे कार्बन-14 का अनुपात निकालिए — और उसकी तुलना “ $10^{12}$ में एक” से कीजिए।
दिखाइए कि नापी गई सक्रियता $\mathcal A$ किसी प्रतिदर्श की तिथि $t = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ बता देती है।

भाग II — मंगलवार: मूर्ति और पपाइरस।

लकड़ी की एक मूर्ति प्रति ग्राम प्रति मिनट $9.1$ क्षय देती है। लकड़ी की तिथि निकालिए।
वह तिथि ठीक-ठीक किस घटना पर निशान लगाती है — तराशे जाने पर, या किसी और बात पर? इससे कौन-सी सावधानी निकलती है?
मिस्र का एक पपाइरस प्रति ग्राम प्रति मिनट $10.4$ क्षय देता है। उसकी तिथि निकालिए। क्या बाईस सदी पहले का कोई लेखक इसमें बैठता है?
सक्रियता प्रति मिनट $\pm 0.2$ क्षय तक नापी जाती है। $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda \mathcal A)$ का उपयोग करके पपाइरस की उम्र की अनिश्चितता का अनुमान लगाइए।
किसी व्यापारी का “प्राचीन” चर्म-पत्र प्रति ग्राम प्रति मिनट $13.4$ क्षय देता है। फ़ैसला?

भाग III — गुरुवार: घड़ी की सीमाएँ।

कितनी अर्धायुओं के बाद किसी प्रतिदर्श की सक्रियता गणित्रों की प्रति मिनट प्रति ग्राम $0.2$ क्षय वाली सीमा से नीचे गिर जाती है? वह कितनी उम्र है?
सबसे अच्छी प्रयोगशालाएँ लगभग दस अर्धायु तक पहुँचती हैं। रेडियो-कार्बन तिथि-निर्धारण का व्यावहारिक क्षितिज वर्षों में क्या है?
डायनासोर की हड्डी लगभग $6.6 \times 10^{7}$ वर्ष पुरानी है: यह कार्बन-14 की कितनी अर्धायु है? प्रश्न 4 का उपयोग करते हुए बताइए कि कितनी अर्धायुओं के बाद उस ग्राम भर कार्बन-14 का एक परमाणु भी नहीं बचता। “डायनासोर की कार्बन-तिथि” पर निष्कर्ष लिखिए।
इसके बजाय डायनासोर की चट्टान की तिथि कौन-सा न्यूक्लाइड दे सकता है?

भाग IV — शुक्रवार: ज्वालामुखीय चट्टान।

आर्गन गैस है और पोटैशियम ठोस का वफ़ादार निवासी: समझाइए कि लावा के जमने से पोटैशियम–आर्गन घड़ी शून्य क्यों हो जाती है।
यह मानते हुए कि हर क्षय हुआ पोटैशियम-40 नाभिक एक फँसा हुआ आर्गन परमाणु छोड़ जाता है, दिखाइए कि $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ ।
संग्रहालय के जीवाश्म के नीचे की चट्टान $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = 0.60$ दिखाती है। चट्टान की तिथि निकालिए।
क्या कार्बन-14 इस चट्टान की, या पोटैशियम–आर्गन उस मूर्ति की तिथि दे सकता था? हर घड़ी की काम की खिड़की अर्धायुओं में बताइए।
शुक्रवार की रिपोर्ट, एक वाक्य में: इस सप्ताह मिली तीनों उम्रें, और वह एक नियम जिसने उन सबको पढ़ लिया।

हल

हल — समस्या 32.1.

1. वायुमंडल से लेन-देन (खाना, साँस) अनुपात को वायुमंडलीय मान पर भरा रखता है; और मृत्यु आवक रोक देती है, जिसके बाद कमान क्षय के हाथ आ जाती है।

2. $T_{1/2} = 5730 \times 3.156 \times 10^{7} = 1.81 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$ , इसलिए $\lambda = 0.693/1.81 \times 10^{11} = 3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$ ।

3. $\dd N/\dd t = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N$ , और $N(0) = N_0$ ।

4. प्रति ग्राम $\mathcal A_0 = 13.6/60 = 0.227\,\mathrm{Bq}$ ; $N = \mathcal A_0/\lambda = 0.227/3.8 \times 10^{-12} \approx 5.9 \times 10^{10}$ परमाणु प्रति ग्राम।

5. $(1/12) \times 6.02 \times 10^{23} = 5.0 \times 10^{22}$ कार्बन-परमाणु; अनुपात $5.9 \times 10^{10}/5.0 \times 10^{22} \approx 1.2 \times 10^{-12}$ — यानी $10^{12}$ में एक, जैसा वादा था।

6. $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ से $\lambda t = \ln(\mathcal A_0/\mathcal A)$ मिलता है, और $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ उसे $t = T_{1/2}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ बना देता है।

7. $t = 5730 \times \ln(13.6/9.1)/\ln 2 = 5730 \times 0.580 \approx 3.3 \times 10^{3}$ वर्ष।

8. लकड़ी की मृत्यु पर — यानी पेड़ के काटे जाने पर, तराशे जाने पर नहीं; और पुरानी लकड़ी से तराशी गई मूर्ति (या प्राचीन लकड़ी पर बनी जालसाज़ी) अपने पदार्थ की तिथि से पहले या बाद की होती है।

9. $t = 5730 \times \ln(13.6/10.4)/\ln 2 = 5730 \times 0.387 \approx 2.2 \times 10^{3}$ वर्ष — यानी बाईस सदी पहले के किसी लेखक से पूरी तरह संगत।

10. प्रति वर्ष $\lambda = \ln 2/5730 = 1.21 \times 10^{-4}$ के साथ $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda\mathcal A)$ : $\Delta t = (0.2/10.4)/1.21 \times 10^{-4} \approx 1.6 \times 10^{2}$ वर्ष — यानी सदी-दो-सदी तक भरोसे लायक़ तिथि।

11. $t = 5730 \times \ln(13.6/13.4)/\ln 2 \approx 120$ वर्ष — यानी $\pm 160$ वर्ष की अनिश्चितता के भीतर आधुनिक से अलग नहीं: वह चर्म-पत्र हाल का है, और वह “पुरातन” जालसाज़ी।

12. $13.6/2^n < 0.2$ के लिए $2^n > 68$ चाहिए: यानी $n = 7$ अर्धायु (क्योंकि $2^7 = 128$ ), लगभग $4.0 \times 10^{4}$ वर्ष।

13. दस अर्धायु: लगभग $5.7 \times 10^{4}$ वर्ष — यानी व्यावहारिक क्षितिज, कोई साठ हज़ार वर्ष।

14. $6.6 \times 10^{7}/5730 \approx 11\,500$ अर्धायु। एक ग्राम के $5.9 \times 10^{10}$ परमाणु $2^n > 5.9 \times 10^{10}$ के बाद चुक जाते हैं, यानी $n \approx 36$ अर्धायु ( $\approx 2 \times 10^{5}$ वर्ष): इसलिए डायनासोरों की उम्र से बहुत पहले ही कार्बन-14 का एक परमाणु भी नहीं बचता — गिनने को कुछ है ही नहीं।

15. कोई कहीं धीमी घड़ी: पोटैशियम-40 या यूरेनियम-238, जिनकी अर्धायुएँ अरबों वर्ष की हैं।

16. पिघला लावा आर्गन को बुलबुलों में उड़ जाने देता है, इसलिए ताज़ा जमे क्रिस्टल में पोटैशियम तो होता है पर आर्गन शून्य: यानी जमने के क्षण अनुपात $0$ से शुरू होता है — घड़ी शून्य कर दी गई।

17. जैसा अभ्यास में: $N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ , $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$ , इसलिए $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ ।

18. $e^{\lambda t} = 1.60$ : $t = 1.25 \times 10^{9} \times \ln(1.60)/\ln 2 = 1.25 \times 10^{9} \times 0.678 \approx 8.5 \times 10^{8}$ वर्ष।

19. नहीं, और दोनों बार नहीं: $8.5 \times 10^{8}$ वर्ष पर कार्बन-14 $10^5$ अर्धायु चला चुका है — यानी सन्नाटा; और $3.3 \times 10^{3}$ वर्ष पर पोटैशियम-40 अपनी अर्धायु का $2.6 \times 10^{-6}$ ही चला है — और आर्गन-अनुपात $\approx \lambda t \sim 2 \times 10^{-6}$ नापने लायक़ नहीं रह जाता। हर घड़ी लगभग दसवें हिस्से भर अर्धायु से लेकर लगभग दस अर्धायु तक ही पढ़ती है।

20. मूर्ति $\approx 3.3 \times 10^{3}$ वर्ष, पपाइरस $\approx 2.2 \times 10^{3}$ वर्ष, चट्टान $\approx 8.5 \times 10^{8}$ वर्ष — तीन घड़ियाँ, और नियम एक ही: $N = N_0\,e^{-\lambda t}$ , उलटा पढ़ा हुआ।

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