माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

27उपग्रह और ग्रहों की गति

बालकनी पर लगी तश्तरी कसकर जड़ी है, फिर भी वह दिन भर आसमान के एक ही नियत बिंदु को ताकती रहती है, $36\,000\,\mathrm{km}$ ऊपर; अंतरिक्ष स्थानक शाम के आसमान को कुछ मिनटों में पार कर जाता है; और उड़ती घड़ियों का एक मंडल आपके फ़ोन को बता देता है कि आप कहाँ खड़े हैं। इनमें से किसी मशीन का इंजन चालू नहीं है: वे सब बस गिर रही हैं। यह अध्याय हिसाब लगाता है कि हर एक को कितनी तेज़ और कितनी ऊँचाई पर गिरना चाहिए — और फिर उसी नियम से ग्रह भी तौल देता है।

27.1 पृथ्वी के चारों ओर गिरना

सब कुछ पहले नापे गए उस नियम पर टिका है (अध्याय 4): द्रव्यमान $M$ की पृथ्वी उस द्रव्यमान $m$ के उपग्रह को, जिसका केंद्र उसके अपने केंद्र से दूरी $r$ पर हो, पृथ्वी के केंद्र की ओर बल से खींचती है, जिसका परिमाण है

F = G\,\frac{m M}{r^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.

ध्यान रखिए कि $r$ है क्या: केंद्रों के बीच की दूरी। ऊँचाई $h$ पर बैठे उपग्रह के लिए $r = R + h$ होता है, जहाँ $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ पृथ्वी की त्रिज्या है — और $R$ भूल जाना इस अध्याय की जानी-मानी चूक है।

टिप्पणी 27.1 (न्यूटन की तोप, फिर से)

क्षैतिज दिशा में दागा गया गोला गिर जाता है; और तेज़ दागिए तो और दूर गिरता है; और ठीक चाल पर ज़मीन उतनी ही तेज़ी से मुड़ जाती है जितनी तेज़ी से गोला गिरता है, और उसका पतन ख़ुद पर बंद हो जाता है: यही कक्षा है। उपग्रह को किसी इंजन की ज़रूरत नहीं — केवल ठीक बग़ली चाल की।

न्यूटन की तोप: जितना तेज़ दागिए, गोला उतना दूर गिरता है (नारंगी); लगभग 7.9\, km/ s पर उसका पतन पृथ्वी की वक्रता से मेल खा जाता है और वह कक्षा पकड़ लेता है (नीला); और उससे भी तेज़ पर वह भाग निकलता है (लाल)। — न्यूटन की तोप: जितना तेज़ दागिए, गोला उतना दूर गिरता है (नारंगी); लगभग $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर उसका पतन पृथ्वी की वक्रता से मेल खा जाता है और वह कक्षा पकड़ लेता है (नीला); और उससे भी तेज़ पर वह भाग निकलता है (लाल)।

27.2 वृत्तीय कक्षा: एक चाल, एक आवर्तकाल

प्रमेय 27.2 (कक्षीय चाल)

द्रव्यमान $M$ के किसी पिंड के चारों ओर त्रिज्या $r$ की एकसमान वृत्तीय कक्षा में घूमता उपग्रह इस चाल से चलता है:

v = \sqrt{\frac{G M}{r}},

जो उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती।

उपपत्ति. गुरुत्व ही एकमात्र बल है, इसलिए न्यूटन का दूसरा नियम (प्रमेय 25.5) कहता है $m\vect a = \vect F$ ; उसे फ्रेने आधार (परिभाषा 24.13) पर प्रक्षेपित कीजिए। बल केंद्र की ओर ताका है: उसका स्पर्शरेखीय घटक शून्य है, इसलिए चाल अचर रहती है; और उसका अभिलंब घटक पूरा $GmM/r^2$ है, जबकि वृत्तीय गति में $a_n = v^2/r$ होता है (प्रमेय 24.12)। इसलिए $m v^2/r = GmM/r^2$ , और — $m$ कट जाने पर — $v^2 = GM/r$ । ∎

कक्षा की पूरी कारीगरी: वेग स्पर्शी, बल केंद्र की ओर — गुरुत्व उपग्रह को कभी धीमा नहीं करता, वह बस उसका पथ मोड़ता रहता है, सदा के लिए।

प्रतिज्ञप्ति 27.3 (कक्षीय आवर्तकाल)

उपग्रह अपनी कक्षा आवर्तकाल में पूरी करता है:

T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}.

उपपत्ति. एक चक्कर अचर चाल पर परिधि $2\pi r$ है; उसमें $v = \sqrt{GM/r}$ रख दीजिए: $T = 2\pi r\sqrt{r/(GM)} = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ । ∎

न $v$ में $m$ है न $T$ में: अंतरिक्ष स्थानक से ढीला होकर छूटा एक पेच भी ठीक उसी के बग़ल में कक्षा में घूमता रहता है। और दोनों $r$ के साथ गिरते हैं: कक्षा जितनी ऊँची, उपग्रह उतना धीमा, चाल में भी ( $v \propto 1/\sqrt r$ ) और कोण में भी ( $T \propto r^{3/2}$ )।

उदाहरण 27.4 (अंतरिक्ष स्थानक)

अंतरराष्ट्रीय अंतरिक्ष स्थानक $h \approx 400\,\mathrm{km}$ की ऊँचाई पर उड़ता है, इसलिए $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ; और $GM = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} = 3.98 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ के साथ $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.7 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ तथा $T = 2\pi r/v \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$ : यानी हर डेढ़ घंटे में ग्रह का एक चक्कर, और अंतरिक्ष यात्रियों के लिए दिन में लगभग सोलह सूर्योदय।

उदाहरण 27.5 (चंद्रमा भी सेब की तरह गिरता है)

$r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ पर बैठा चंद्रमा $T = 27.3\,\mathrm{d} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ में परिक्रमा पूरी करता है, इसलिए $v = 2\pi r/T \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $a = v^2/r \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — और ठीक $g/60^2$ , जबकि चंद्रमा $60$ पृथ्वी-त्रिज्या दूर है: यानी वही खिंचाव जो सेब गिराता है, व्युत्क्रम वर्ग से पतला पड़कर चंद्रमा को मोड़ता है। हर सेकंड चंद्रमा हमारी ओर लगभग $1.4\,\mathrm{mm}$ “गिरता” है, और उसका बग़ली किलोमीटर उसे चारों ओर ले जाता है — यही वह जाँच है जो न्यूटन ने 1666 में की थी।

27.3 केप्लर के नियम

न्यूटन ने व्युत्क्रम वर्ग का अंदाज़ा नहीं लगाया था: उन्होंने उसे उन तीन नियमितताओं से खींचा जिन्हें योहानेस केप्लर ने 1609 और 1619 के बीच टीको ब्राहे के बीस साल के नंगी आँख से लिए गए ग्रह-स्थान-प्रेक्षणों से निचोड़ा था — दूरदर्शी से पहले की दुनिया के सबसे अच्छे आँकड़े।

परिभाषा 27.6 (दीर्घवृत्त)

दीर्घवृत्त उन बिंदुओं का समुच्चय है जिनकी दो नियत बिंदुओं, यानी नाभियों, से दूरियों का योग अचर हो; उसके सबसे लंबे व्यास का आधा अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ कहलाता है, और वृत्त वही स्थिति है जहाँ दोनों नाभियाँ मिल जाती हैं। किसी ग्रह की कक्षा के सूर्य से निकटतम और दूरतम बिंदु उसके उपसौर और अपसौर हैं।

प्रमेय 27.7 (केप्लर के नियम)

सूर्य (द्रव्यमान $M$ ) की परिक्रमा करते ग्रहों के लिए:

हर कक्षा ऐसा दीर्घवृत्त है जिसकी एक नाभि पर सूर्य है;
सूर्य–ग्रह रेखाखंड बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल बुहारता है;
आवर्तकाल के वर्ग और अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन का अनुपात सभी ग्रहों के लिए एक ही रहता है: $T^2/a^3 = 4\pi^2/(G M)$ ।

वही नियम किसी भी केंद्रीय पिंड के चारों ओर उपग्रहों के हर कुल पर लागू होते हैं, जहाँ $M$ केंद्रीय द्रव्यमान है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 27.8 (इस वर्ष हम क्या सिद्ध कर सकते हैं)

वृत्तीय कक्षा के लिए तीसरा नियम हमारा अपना है: प्रतिज्ञप्ति 27.3 का वर्ग करने पर $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ मिल जाता है — यानी एक ही केंद्र के हर उपग्रह के लिए एक ही अचर। पर दीर्घवृत्त, बराबर क्षेत्रफल और सामान्य $a$ व्युत्क्रम वर्ग से कैसे निकलते हैं, यह और कलन के साथ वर्ष 1 के खंड में दिखाया गया है। तब तक दूसरा नियम पढ़ा जा सकता है: ग्रह उपसौर पर सबसे तेज़ चलता है, जहाँ छोटे बुहारे गए खंड को जल्दी करनी पड़ती है।

केप्लर का दूसरा नियम: उपसौर P के पास एक महीने में ग्रह छोटा और मोटा त्रिज्यखंड बुहारता है; अपसौर A के पास लंबा और पतला — क्षेत्रफल बराबर: पास होने पर वह जल्दी करता है, दूर होने पर सुस्ताता है। — केप्लर का दूसरा नियम: उपसौर $P$ के पास एक महीने में ग्रह छोटा और मोटा त्रिज्यखंड बुहारता है; अपसौर $A$ के पास लंबा और पतला — क्षेत्रफल बराबर: पास होने पर वह जल्दी करता है, दूर होने पर सुस्ताता है।

लघुगणकीय–लघुगणकीय अक्षों पर आठों ग्रह: ढाल 3/2 की एक सीधी रेखा, यानी T2 a3 — केप्लर का तीसरा नियम, जो इन मात्रकों (खगोलीय मात्रक, वर्ष) में केवल T2 = a3 पढ़ा जाता है। — लघुगणकीय–लघुगणकीय अक्षों पर आठों ग्रह: ढाल $3/2$ की एक सीधी रेखा, यानी $T^2 \propto a^3$ — केप्लर का तीसरा नियम, जो इन मात्रकों (खगोलीय मात्रक, वर्ष) में केवल $T^2 = a^3$ पढ़ा जाता है।

27.4 काम पर लगी कक्षाएँ

परिभाषा 27.9 (भूस्थिर कक्षा)

कोई उपग्रह भूस्थिर तब है जब वह ज़मीन के एक नियत बिंदु के ऊपर टँगा रहे। उसकी कक्षा वृत्तीय, भूमध्यरेखीय और आवर्तकाल में एक नाक्षत्र दिवस $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ ( $23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4\,\mathrm{s}$ ) की होनी चाहिए: यानी वह समय जो पृथ्वी तारों के सापेक्ष एक चक्कर लेने में लेती है। ( $24\,\mathrm{h}$ वाला दिन सूर्य के सापेक्ष है, और पृथ्वी उसकी ओर भी रोज़ एक डिग्री आगे बढ़ जाती है।)

उदाहरण 27.10 (भूस्थिर ऊँचाई)

केप्लर का तीसरा नियम उलटा पढ़ने पर त्रिज्या तय कर देता है: $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} = \left(3.98 \times 10^{14} \times (86\,164)^2/4\pi^2\right)^{1/3} \approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — यानी ऊँचाई $h = r - R \approx 3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$ , और चाल $v = 2\pi r/T \approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । हर वह प्रसारक जो “ठहरा हुआ लटकता” है, भूमध्य रेखा के ऊपर इसी एक वृत्त पर बैठा है — और कोई दूसरा है ही नहीं।

उदाहरण 27.11 (दिशा-निर्देशन का मंडल)

उपग्रह-दिशानिर्देशन की व्यवस्थाएँ कोई तीस उपग्रह $r \approx 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ पर उड़ाती हैं (ऊँचाई $\approx 20\,200\,\mathrm{km}$ ), जहाँ प्रतिज्ञप्ति 27.3 $T \approx 4.32 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ देता है: यानी आधा नाक्षत्र दिवस, इसलिए हर उपग्रह रोज़ अपनी ज़मीनी लीक फिर से खींच देता है। आपका ग्राही उनके घड़ी-संकेतों के पहुँचने के समयों की तुलना मीटरों तक ज्ञात कक्षाओं से करता है।

विधि 27.12 (किसी संसार को उसके उपग्रह से तौलना)

किसी ग्रह या तारे का द्रव्यमान नापने के लिए: उसका कोई भी उपग्रह खोजिए (कोई चंद्रमा, कोई यान, कोई ग्रह), उसकी कक्षा की त्रिज्या $r$ और आवर्तकाल $T$ नापिए, और तीसरा नियम उलट दीजिए:

M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}.

यह केवल केंद्रीय पिंड तौलता है — उपग्रह का द्रव्यमान तो प्रमेय 27.2 में ही कट गया था। आँकड़ा-पत्र का हर द्रव्यमान इसी रास्ते आया है: पृथ्वी चंद्रमा से, और सूर्य पृथ्वी की अपनी कक्षा से।

टिप्पणी 27.13 (ऊँचा यानी धीमा — पर महँगा भी)

चूँकि $v = \sqrt{GM/r}$ , चंद्रमा $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से रेंगता है जबकि स्थानक $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से दौड़ता है। फिर भी ऊँची कक्षा अधिक महँगी है: गुरुत्व के विरुद्ध चढ़ना स्थितिज ऊर्जा संचित कर देता है (हिसाब अध्याय 29 में चुकाया गया है), और $E_p$ में मिला लाभ $E_k$ में हुई हानि से बड़ा पड़ता है। इसीलिए राकेट ऊँची, धीमी कक्षा तक पहुँचने के लिए आगे की ओर जलाता है — और पतली हवा से ब्रेक खाता उपग्रह सर्पिल में नीचे उतरता जाता है और तेज़ होता जाता है।

टिप्पणी 27.14 (आँकड़ा-पत्र)

जब तक कुछ और न कहा जाए: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ; पृथ्वी: $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , नाक्षत्र दिवस $86\,164\,\mathrm{s}$ ; चंद्रमा की कक्षा: $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $T = 27.3\,\mathrm{d}$ ; सूर्य: $M = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ; पृथ्वी–सूर्य दूरी $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ; एक वर्ष $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ ; मंगल: $M = 6.42 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ , $R = 3.39 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ।

27.5 अभ्यास

अभ्यास 27.1 ★

$1000\,\mathrm{kg}$ का उपग्रह पहले प्रक्षेपण-मंच पर रखा है, फिर ऊँचाई $400\,\mathrm{km}$ पर उड़ता है। दोनों जगह पृथ्वी का खिंचाव निकालिए: ऊपर कितने प्रतिशत बचा रहता है — और फिर भी उसमें बैठे लोग तैरते क्यों हैं?

हल

हल — अभ्यास 27.1.

मंच पर: $F = GMm/R^2 = 3.98 \times 10^{17}/4.06 \times 10^{13} \approx 9.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ । $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ पर: $F \approx 8.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — यानी ज़मीन वाले मान का अब भी $89\%$ । उसमें बैठे लोग इसलिए तैरते हैं कि वे स्थानक के साथ-साथ गिर रहे हैं, इसलिए नहीं कि गुरुत्व चला गया है।

अभ्यास 27.2 ★

पृथ्वी की सतह को छूते हुए चलते (सैद्धांतिक) उपग्रह ( $r = R$ ) के लिए कक्षीय चाल और आवर्तकाल निकालिए। न्यूटन के तोप के गोले (टिप्पणी 27.1) से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 27.2.

$v = \sqrt{GM/R} = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.37 \times 10^{6}} \approx 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi R/v \approx 5.1 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 84\,\mathrm{min}$ । ठीक तोप के गोले वाली $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : सतह छूती कक्षा तो न्यूटन का वही शॉट है।

अभ्यास 27.3 ★

किसी उपग्रह को त्रिज्या $r$ की वृत्तीय कक्षा से त्रिज्या $2r$ की कक्षा में ले जाया जाता है। उसकी चाल और आवर्तकाल कितने गुना बदल जाते हैं? क्या उत्तर उसके द्रव्यमान पर निर्भर करते हैं?

हल

हल — अभ्यास 27.3.

$v \propto 1/\sqrt{r}$ : $\sqrt 2 \approx 1.41$ से बँटा। $T \propto r^{3/2}$ : $2^{3/2} \approx 2.8$ से गुणा। इनमें से किसी में $m$ नहीं है: इसलिए नहीं।

अभ्यास 27.4 ★

स्थानक की संख्याएँ फिर से निकालिए: $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ से $v$ , $T$ , और $24\,\mathrm{h}$ में पूरी की गई कक्षाओं की संख्या।

हल

हल — अभ्यास 27.4.

$v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$ ; प्रतिदिन $86\,400/5546 \approx 15.6$ कक्षाएँ।

अभ्यास 27.5 ★

केप्लर के तीनों नियम बताइए। कोई धूमकेतु अपने बहुत खिंचे हुए दीर्घवृत्त पर कहाँ सबसे तेज़ होता है, और कौन-सा नियम यह कहता है? क्या किसी उपग्रह का आवर्तकाल उसके अपने द्रव्यमान पर निर्भर करता है?

हल

हल — अभ्यास 27.5.

सूर्य को एक नाभि पर रखते दीर्घवृत्त; बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल; और सभी ग्रहों के लिए एक ही $T^2/a^3$ । सबसे तेज़ उपसौर पर, दूसरे नियम से (छोटे बुहारे गए खंड को तेज़ बुहारना पड़ता है)। नहीं: उपग्रह का द्रव्यमान कट जाता है — हिसाब में केवल केंद्रीय द्रव्यमान आता है।

अभ्यास 27.6 ★★

पृथ्वी को तौलिए: चंद्रमा की कक्षा की त्रिज्या और आवर्तकाल (आँकड़ा-पत्र) से पृथ्वी का द्रव्यमान निकालिए और पत्र के मान से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 27.6.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 2.24 \times 10^{27}/371 \approx 6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ — यानी $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ के $1\%$ के भीतर।

अभ्यास 27.7 ★★

कोई कंपनी पेरिस (उत्तरी अक्षांश $49^\circ$ ) के ऊपर स्थायी रूप से टँगे रहते उपग्रह का प्रस्ताव रखती है। गुरुत्व की दिशा से समझाइए कि हर वृत्तीय कक्षा पृथ्वी के केंद्र पर ही केंद्रित क्यों होती है; और निष्कर्ष निकालिए कि यह प्रस्ताव असंभव है। तो उपग्रह टँगा रह सकता कहाँ है?

हल

हल — अभ्यास 27.7.

गुरुत्व पृथ्वी के केंद्र की ओर ताका है, और वृत्तीय गति में परिणामी बल वृत्त के केंद्र की ओर: इसलिए दोनों केंद्र एक ही हैं। पेरिस के अक्षांश-वृत्त के ऊपर टँगा वृत्त धुरी पर केंद्रित होता, पृथ्वी के केंद्र पर नहीं — यानी असंभव। टँगे रहना केवल वहीं काम करता है जहाँ अक्षांश-वृत्त केंद्र पर केंद्रित महावृत्त हो: यानी भूमध्य रेखा के ऊपर।

अभ्यास 27.8 ★★

फ़ोबोस मंगल के चारों ओर $r = 9.38 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ पर $T = 7\,\mathrm{h} 39\,\mathrm{min}$ में चक्कर लगाता है। मंगल का द्रव्यमान निकालिए; आँकड़ा-पत्र से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 27.8.

$T = 2.754 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 3.26 \times 10^{22}/5.06 \times 10^{-2} \approx 6.4 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ — यानी आँकड़ा-पत्र वाला मंगल।

अभ्यास 27.9 ★★

मंगल सूर्य की परिक्रमा $a = 2.279 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ पर $687\,\mathrm{d}$ में करता है। मंगल और पृथ्वी (आँकड़ा-पत्र), दोनों के लिए $T^2/a^3$ निकालिए, केप्लर का तीसरा नियम जाँचिए, और सूर्य का द्रव्यमान निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 27.9.

पृथ्वी: $T^2/a^3 = 9.96 \times 10^{14}/3.35 \times 10^{33} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ । मंगल: $T = 5.94 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , $3.52 \times 10^{15}/1.18 \times 10^{34} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ — बराबर, जैसा तीसरा नियम माँगता है। फिर $M = 4\pi^2/(G \times 2.98 \times 10^{-19}) \approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ।

अभ्यास 27.10 ★★

न्यूटन की चंद्रमा-जाँच: आँकड़ा-पत्र से चंद्रमा की चाल और उसका अभिकेंद्र त्वरण $a = v^2/r$ निकालिए। दिखाइए कि वह $g/60^2$ के बराबर है, और बताइए कि इसी से न्यूटन को यह विश्वास क्यों हुआ कि सेब और चंद्रमा पर एक ही नियम राज करता है।

हल

हल — अभ्यास 27.10.

$v = 2\pi r/T = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/r = 2.72 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $g/60^2 = 9.81/3600 = 2.73 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । चंद्रमा $60$ पृथ्वी-त्रिज्या दूर बैठा है, और उसका पतन सेब वाले से $60^2$ गुना कमज़ोर है: यानी ठीक व्युत्क्रम वर्ग — दोनों के लिए एक ही नियम।

अभ्यास 27.11 ★★

सूर्य के मात्रकों (खगोलीय मात्रक, वर्ष) में केप्लर का तीसरा नियम $T^2 = a^3$ पढ़ा जाता है: यानी पाठ के लघुगणकीय आलेख की वही सीधी रेखा। उस पर क्षुद्रग्रह सीरीस, $a = 2.77\,\mathrm{au}$ , और हैली का धूमकेतु, $a = 17.8\,\mathrm{au}$ , रखिए: दोनों के आवर्तकाल निकालिए। हैली आख़िरी बार 1986 में उपसौर से गुज़रा था — उसकी अगली बारी कब है?

हल

हल — अभ्यास 27.11.

सीरीस: $T = 2.77^{3/2} = \sqrt{21.3} \approx 4.6\,\mathrm{yr}$ । हैली: $T = 17.8^{3/2} \approx 75\,\mathrm{yr}$ , इसलिए अगला उपसौर लगभग $1986 + 75 \approx 2061$ में।

अभ्यास 27.12 ★★★

पतली हवा स्थानक को छूती रहती है, फिर भी ऊँचाई खोते-खोते उसकी चाल बढ़ती जाती है। ऊँचाइयों $400\,\mathrm{km}$ और $350\,\mathrm{km}$ पर $v$ निकालिए, फिर विरोधाभास सुलझाइए: घर्षण तो चीज़ों को धीमा करता है — यह अतिरिक्त चाल कहाँ से आती है?

हल

हल — अभ्यास 27.12.

$400\,\mathrm{km}$ पर: $v \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $350\,\mathrm{km}$ ( $r = 6.72 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) पर: $v \approx 7.70 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । घर्षण सचमुच यांत्रिक ऊर्जा खींच लेता है — कक्षा सिकुड़ जाती है; पर नीचे उतरते समय गुरुत्व का कार्य कर्षण से हुई चाल की हानि से कहीं अधिक चुका देता है: $E_m$ गिरता है जबकि $E_k$ चढ़ता है।

अभ्यास 27.13 ★★★

कोई दूरदर्शी ऐसा बहिर्ग्रह खोजता है जो अपने तारे की $r = 7.48 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ पर हर $3.50\,\mathrm{d}$ में परिक्रमा करता है। तारे को किलोग्राम में और सूर्यों में तौलिए। इस तरीक़े से कौन-सा द्रव्यमान — तारे का या ग्रह का — नहीं मिल सकता, और क्यों?

हल

हल — अभ्यास 27.13.

$T = 3.024 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : यानी $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 1.65 \times 10^{31}/6.10 \approx 2.7 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} \approx 1.4$ सूर्य। ग्रह का द्रव्यमान पहुँच से बाहर है: वह कक्षा के समीकरणों में से कट गया था।

अभ्यास 27.14 ★★★

मंगल पर बसे लोग अपने अड्डे के ऊपर एक “मंगलस्थिर” प्रसारक चाहते हैं। मंगल तारों के सापेक्ष $24\,\mathrm{h}$ $37\,\mathrm{min}$ में घूम जाता है: उसकी कक्षा की त्रिज्या और मंगल की सतह से ऊँचाई निकालिए (आँकड़ा-पत्र)।

हल

हल — अभ्यास 27.14.

$T = 8.862 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , $GM = 4.28 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ : $r^3 = GMT^2/(4\pi^2) = 8.52 \times 10^{21}$ , इसलिए $r \approx 2.04 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ और मंगल की ज़मीन से $h = r - R \approx 1.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 17\,000\,\mathrm{km}$ ऊपर।

अभ्यास 27.15 ★★★

हैली का धूमकेतु उपसौर से $r_p = 8.77 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ पर $54.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ की चाल से गुज़रता है; अपसौर $r_a = 5.25 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ पर है। दोनों छोरों पर वेग सूर्य–धूमकेतु रेखाखंड के लंबवत होता है, और तब केप्लर का दूसरा नियम $r_p v_p = r_a v_a$ को बाध्य कर देता है ( $\tfrac12 r v\,\Delta t$ क्षेत्रफल वाले बराबर बुहारे गए त्रिभुज)। अपसौर की चाल निकालिए और अनुपात पर टिप्पणी कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 27.15.

$v_a = r_p v_p / r_a = 8.77 \times 10^{10} \times 5.45 \times 10^{4} / 5.25 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । चूँकि $r_a/r_p \approx 60$ , धूमकेतु $60$ गुना दूर और $60$ गुना धीमा है: वह दशकों तक अँधेरे में सुस्ताता है और कुछ हफ़्तों में सूर्य के पास से सरपट निकल जाता है।

27.6 समस्या: भूमध्य रेखा के ऊपर एक कुर्सी

समस्या 27.1

सप्ताहांत समस्या — भूमध्य रेखा के ऊपर उपग्रह बिठाना: आसमान में खड़े होने की एकमात्र जगह $35\,800\,\mathrm{km}$ ऊपर का एक वृत्त ही क्यों है, नीचे दौड़ते स्थानक से उसकी तुलना, और उसी नियम से रास्ते में बृहस्पति का तौल

कोई दूरसंचार कंपनी ऐसा प्रसारक चाहती है जिसके पीछे एक बार जड़ दी गई ज़मीनी तश्तरियों को कभी भागना न पड़े: यानी भूस्थिर उपग्रह। अभियान के विश्लेषक आप हैं; आँकड़ा-पत्र काम में लीजिए। भाग IV के लिए: बृहस्पति का चंद्रमा आयो $r = 4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ पर $T = 1.77\,\mathrm{d}$ में परिक्रमा करता है, और बृहस्पति तारों के सापेक्ष $9\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ में घूम जाता है।

भाग I — ठहरे रहने के नियम।

उपग्रह को ज़मीन के एक नियत बिंदु के ऊपर बने रहना है। उसका आवर्तकाल क्या होना चाहिए — और $24\,\mathrm{h}$ के बजाय नाक्षत्र दिवस $86\,164\,\mathrm{s}$ ही क्यों?
वृत्तीय गति में परिणामी बल वृत्त के केंद्र की ओर ताका होता है; और यहाँ एकमात्र बल गुरुत्व है। इससे निकालिए कि हर वृत्तीय कक्षा का केंद्र पृथ्वी का केंद्र ही है।
पेरिस के अक्षांश के ऊपर टँगा वृत्त पृथ्वी की धुरी पर, केंद्र से उत्तर की ओर, केंद्रित होता। निष्कर्ष लिखिए: भूस्थिर कक्षा किस तल में होनी चाहिए?
त्रिज्या $r$ की वृत्तीय कक्षा के लिए फ्रेने आधार में न्यूटन का दूसरा नियम लिखिए और $v = \sqrt{GM/r}$ निकालिए।
$T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ निकालिए और उसे केप्लर के तीसरे नियम $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ के रूप में फिर से लिखिए।

भाग II — वह एक वृत्त जो काम करता है।

तीसरे नियम को $r$ के लिए हल कीजिए और भूस्थिर त्रिज्या निकालिए।
ज़मीन से ऊँचाई निकालिए।
$v = 2\pi r/T$ से कक्षीय चाल निकालिए।
उसे $v = \sqrt{GM/r}$ से जाँच लीजिए।
कंपनी के उपग्रह का द्रव्यमान $4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ है; प्रतिद्वंद्वी का उससे दुगुना। उनकी भूस्थिर त्रिज्याओं की तुलना कीजिए, और बताइए कि अतिरिक्त द्रव्यमान प्रक्षेपण पर क्या बदल देता है।

भाग III — नीचे दौड़ता स्थानक।

अंतरिक्ष स्थानक $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ पर उड़ता है: उसकी चाल निकालिए।
उसका आवर्तकाल सेकंडों और मिनटों में निकालिए।
वह $24\,\mathrm{h}$ में कितनी कक्षाएँ पूरी करता है — और अंतरिक्ष यात्री दिन में लगभग कितने सूर्योदय देखते हैं?
त्रिज्याओं का अनुपात $r_{\text{भूस्थिर}}/r_{\text{ISS}}$ निकालिए, और जाँचिए कि आवर्तकालों का अनुपात उसी संख्या की $3/2$ घात है, जैसा केप्लर का तीसरा नियम माँगता है।
कौन-सा उपग्रह तेज़ चलता है, और किसे बिठाने में प्रति किलोग्राम अधिक ऊर्जा लगी? एक वाक्य में दोनों का मेल बिठाइए।

भाग IV — साथ-साथ बृहस्पति का तौल।

आयो पर लगाए गए केप्लर के तीसरे नियम से बृहस्पति का द्रव्यमान $M_J$ $G$ , $r$ और $T$ के पदों में लिखिए।
$M_J$ निकालिए।
यह कितनी पृथ्वियों के बराबर है? मोटे तौर पर सूर्य के द्रव्यमान का कितना अंश?
कोई “बृहस्पतिस्थिर” प्रसारक बृहस्पति के बादलों के एक बिंदु के ऊपर टँगा रहना चाहिए: उसकी कक्षा की त्रिज्या निकालिए; आयो से तुलना कीजिए।
मंडल को रिपोर्ट, दो वाक्यों में: कंपनी को अपना प्रसारक किस ऊँचाई पर खड़ा करना है, और उसी एक नियम ने बृहस्पति का कौन-सा द्रव्यमान मुफ़्त में सौंप दिया।

हल

हल — समस्या 27.1.

1. $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ : ज़मीन पृथ्वी के साथ तारों के सापेक्ष हर नाक्षत्र दिवस में एक चक्कर घूमती है; और $24\,\mathrm{h}$ वाला दिन उसमें वह एक डिग्री प्रतिदिन जोड़ देता है जितना पृथ्वी सूर्य के चारों ओर आगे बढ़ जाती है।

2. वृत्तीय गति का परिणामी बल वृत्त के केंद्र की ओर ताका होता है; और एकमात्र बल, गुरुत्व, पृथ्वी के केंद्र की ओर: इसलिए दोनों केंद्र एक ही बिंदु हैं।

3. पेरिस के ऊपर टँगा वृत्त धुरी पर, केंद्र से उत्तर की ओर केंद्रित होता — जिसे 2 ख़ारिज कर देता है। इसलिए कक्षा भूमध्यरेखीय तल में ही होनी चाहिए।

4. न्यूटन के दूसरे नियम का अभिलंब घटक: $m v^2/r = GmM/r^2$ , इसलिए $v = \sqrt{GM/r}$ ( $m$ कट जाता है)।

5. $T = 2\pi r/v = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ ; वर्ग करने पर $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ ।

6. $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} = (7.49 \times 10^{22})^{1/3} \approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ।

7. $h = r - R = 4.22 \times 10^{7} - 6.37 \times 10^{6} \approx 3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$ ।

8. $v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

9. $\sqrt{3.98 \times 10^{14}/4.22 \times 10^{7}} \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — संगत।

10. त्रिज्याएँ एक ही: द्रव्यमान 4 में ही कट गया था। भारी उपग्रह केवल प्रक्षेपण का बिल बदलता है — उसी कक्षा के लिए अधिक ईंधन।

11. $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

12. $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92.4\,\mathrm{min}$ ।

13. $86\,400/5546 \approx 15.6$ कक्षाएँ: यानी दिन में लगभग $16$ सूर्योदय।

14. $r_{\text{भूस्थिर}}/r_{\text{ISS}} = 4.22 \times 10^{7}/6.77 \times 10^{6} = 6.23$ ; $6.23^{3/2} \approx 15.5 = 86\,164/5546$ — केप्लर का तीसरा नियम, वहीं का वहीं सत्यापित।

15. स्थानक तेज़ है ( $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ के मुक़ाबले $7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), फिर भी भूस्थिर वाले पर प्रति किलोग्राम अधिक ऊर्जा लगी: स्थितिज ऊर्जा में हुई चढ़ाई चाल की हानि से भारी पड़ती है।

16. $M_J = 4\pi^2 r^3/(G T^2)$ ।

17. $T = 1.529 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $M_J = 2.97 \times 10^{27}/1.56 \approx 1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ ।

18. $1.90 \times 10^{27}/5.97 \times 10^{24} \approx 318$ पृथ्वियाँ — और सूर्य का लगभग $1/1000$ ।

19. $T_J = 3.576 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : $r^3 = GM_J T_J^2/(4\pi^2) = 4.11 \times 10^{24}$ , $r \approx 1.60 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ — और $4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ पर बैठा आयो $2.6$ गुना ऊँचा उड़ता है और बृहस्पति के आसमान में सरकता दिखता है।

20. प्रसारक को ऊँचाई $35\,800\,\mathrm{km}$ वाले भूमध्यरेखीय वृत्त पर खड़ा कीजिए, जहाँ वह $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से सवार रहता है और तश्तरी के निशाने से कभी नहीं हटता; और उसी नियम ने, आयो का महीना खाकर, बृहस्पति को $1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ — यानी $318$ पृथ्वियाँ — मुफ़्त में तौल दिया।

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