Physics · किताब 2 · Grades 10–12

माध्यमिक भौतिकी

माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

29कार्य और यांत्रिक ऊर्जा

सलाद के कटोरे में एक कंचा उड़ेल दीजिए: वह गोता लगाता है, तल पार कर जाता है, अपनी शुरुआती ऊँचाई तक चढ़ता है, ठिठकता है, और लौट पड़ता है — और हर पलटाव एक वक्र (कटोरे की काट) और एक क्षैतिज रेखा (कंचे की ऊर्जा) से पहले ही बताया जा सकता है, बिना कोई गति-समीकरण हल किए। पिछले वर्ष सीधी रेखाओं पर बलों का दाम लगा था (अध्याय 17) और गतिज तथा स्थितिज ऊर्जा का तराज़ू बना था (अध्याय 18); इस वर्ष वही बहीखाता हर जगह पहुँच जाता है: मुड़े हुए पथ, स्प्रिंगें, और एक नज़र में पूरे भू-दृश्य।

29.1 किसी भी पथ पर कार्य

परिभाषा 29.1 (पथ पर कार्य)

मान लीजिए AA से BB तक किसी भी पथ पर चलते पिंड पर बल F→\vect F लगता है: पथ को इतने छोटे विस्थापनों  ⁣dℓ→\vect{\dd\ell} में काट दीजिए कि हर एक सीधा हो और उस पर F→\vect F मुश्किल से बदले। हर क़दम छोटा-सा कार्य F→⋅ ⁣dℓ→=F  ⁣dℓcos⁡θ\scal{F}{\dd\ell} = F\,\dd\ell\cos\theta कमाता है (अध्याय 17), और उनका योग ही पथ पर कार्य है, WAB(F→)=∑F→⋅ ⁣dℓ→W_{AB}(\vect F) = \sum \scal{F}{\dd\ell} — जो अचर बल वाले सीधे पथ पर सिमटकर पिछले वर्ष का F×AB×cos⁡θF \times AB \times \cos\theta बन जाता है।

मुड़ा हुआ पथ कई छोटे क़दमों की टूटी रेखा है: हर F\, कमाता है; और कार्य उनका योग है।
मुड़ा हुआ पथ कई छोटे क़दमों की टूटी रेखा है: हर  ⁣dℓ→\vect{\dd\ell} F  ⁣dℓcos⁡θF\,\dd\ell\cos\theta कमाता है; और कार्य उनका योग है।

प्रतिज्ञप्ति 29.2 (भार का कार्य, किसी भी पथ पर)

AA (ऊँचाई zAz_A) से BB (ऊँचाई zBz_B) तक किसी भी पथ पर द्रव्यमान mm का भार कार्य WAB(P→)=mg (zA−zB)W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B) करता है: हिसाब में गिरावट आती है, रास्ता कभी नहीं।

उपपत्ति. हर छोटा क़दम mg×(छोटी गिरावट)mg \times (\text{छोटी गिरावट}) का योगदान देता है (पिछले वर्ष की सीधे-खंड वाली गणना); और गिरावटें दूरबीन की तरह सिकुड़कर zA−zBz_A - z_B बन जाती हैं। उस समय मान ली गई वक्र वाली स्थिति यहाँ चुका दी गई। ∎

परिभाषा 29.3 (संरक्षी और असंरक्षी बल)

कोई बल संरक्षी है यदि दो बिंदुओं के बीच उसका कार्य हर पथ पर एक ही हो (और हर आने-जाने के चक्कर में शून्य), वरना वह असंरक्षी है। भार और स्प्रिंग का बल (अगला अनुभाग): संरक्षी। सरकन घर्षण नहीं: गति के विपरीत होने के कारण वह लंबाई LL के पथ पर W=−fLW = -fL करता है — यानी हर मीटर की चुंगी, जो कभी नहीं लौटती।

उदाहरण 29.4 (कुटिया तक दो पगडंडियाँ)

75 kg75\,\mathrm{kg} का पदयात्री 300 m300\,\mathrm{m} चढ़ता है, या तो 800 m800\,\mathrm{m} की खड़ी पगडंडी से या 2.4 km2.4\,\mathrm{km} के घुमावदार मोड़ों से। भार दोनों पर −75×9.81×300≈−2.2×105 J-75 \times 9.81 \times 300 \approx -2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{J} वसूलता है; और 30 N30\,\mathrm{N} का घर्षण-बल एक पर −2.4×104 J-2.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}, दूसरे पर −7.2×104 J-7.2 \times 10^{4}\,\mathrm{J}। उतरते समय भार लौटा देता है; पर घर्षण का बिल दोनों बार ऊष्मा बनकर चला जाता है।

29.2 स्थितिज ऊर्जा

परिभाषा 29.5 (स्थितिज ऊर्जा)

हर संरक्षी बल के साथ एक स्थितिज ऊर्जा EpE_p जोड़ दी जाती है, यानी केवल स्थिति पर निर्भर एक संख्या, जिसकी परिभाषा WAB=Ep(A)−Ep(B)W_{AB} = E_p(A) - E_p(B) है: दिया गया कार्य ही ख़र्च हुई स्थितिज ऊर्जा है। किसी चुने हुए संदर्भ बिंदु पर Ep=0E_p = 0 तय कर देने से वह हर जगह तय हो जाती है; और यह चुनाव सारे मानों को एक अचर जितना खिसका देता है, जो हर अंतर में से कट जाता है। भार के लिए इससे पिछले वर्ष वाला Ep=mgzE_p = mgz फिर मिल जाता है, अब हर पथ पर लागू। घर्षण का कोई EpE_p हो ही नहीं सकता: पथ पर निर्भर बिल दो सिरों की संख्याओं का अंतर नहीं होता — संचित और वापस पाने लायक़ केवल संरक्षी बल रखते हैं, और नाम भी वही बात संरक्षित रखता है।

प्रतिज्ञप्ति 29.6 (प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा)

दृढ़ता kk (N/m\mathrm{N}/\mathrm{m}) की स्प्रिंग xx जितनी खिंचने या दबने पर बल F=kxF = kx से वापस खींचती है (अध्याय 28); और विराम पर लौटते समय वह जो कार्य देती है — यानी उसकी प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा — Ep=12 kx2E_p = \tfrac12\, k x^2 है।

उपपत्ति. प्रत्यानयन बल गति के अनुदिश लगता है, इसलिए ∑F  ⁣dℓ\sum F\,\dd\ell FF–xx आलेख के नीचे का क्षेत्रफल है: आधार xx और ऊँचाई kxkx का त्रिभुज, क्षेत्रफल 12x×kx\tfrac12 x \times kx। और हर खिंचाव पर बल जाते समय भी वही है और लौटते समय भी: यानी कार्य सिरों से तय, स्प्रिंग का बल संरक्षी, और EpE_p ठीक-ठीक परिभाषित। ∎

स्प्रिंग का बल खिंचाव के साथ बढ़ता है; और संचित ऊर्जा रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है: एक त्रिभुज, 1/2 × x × kx।
स्प्रिंग का बल खिंचाव के साथ बढ़ता है; और संचित ऊर्जा रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है: एक त्रिभुज, 12×x×kx\tfrac12 \times x \times kx।

29.3 ऊर्जा की दो प्रमेय

प्रमेय 29.7 (गतिज-ऊर्जा प्रमेय)

द्रव्यमान mm के पिंड की AA से BB तक की किसी भी गति के लिए — मुड़ी हुई, फंदेदार, त्रिविमीय —

ΔEk=Ek(B)−Ek(A)=∑WAB(F→),\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),

जहाँ योग पिंड पर लगते सभी बलों पर है।

उपपत्ति. चूँकि v2=v→⋅v→v^2 = \scal{v}{v}, इस वर्ष के गणित का गुणनफल-नियम v2v^2 का अवकलज 2 a→⋅v→2\,\scal{a}{v} दे देता है, इसलिए न्यूटन के दूसरे नियम (अध्याय 25) से  ⁣dEk/ ⁣dt=m a→⋅v→=Fकुल→⋅v→\dd E_k/\dd t = m\,\scal{a}{v} = \scal{F_{\text{कुल}}}{v}। छोटे  ⁣dt\dd t में पिंड  ⁣dℓ→=v→  ⁣dt\vect{\dd\ell} = \vect v\,\dd t चलता है: EkE_k परिभाषा 29.1 का छोटा कार्य कमा लेता है; और क़दम जोड़ने से कार्य जुड़ जाते हैं — यानी पिछले वर्ष मान लिया गया कथन, पूरा-पूरा कमाया हुआ। ∎

प्रतिज्ञप्ति 29.8 (तात्क्षणिक शक्ति)

हर क्षण वेग v→\vect v वाले पिंड पर लगता बल F→\vect F शक्ति P=F→⋅v→=Fvcos⁡θP = \scal{F}{v} = Fv\cos\theta देता है, और  ⁣dEk/ ⁣dt\dd E_k/\dd t सभी बलों की शक्तियों का योग है: यानी पिछले वर्ष का अचर-वेग वाला सूत्र, किसी भी गति के हर क्षण पर ठीक-ठीक।

उपपत्ति. पिछली उपपत्ति से पढ़ लीजिए: हर बल  ⁣dt\dd t के दौरान EkE_k में F→⋅ ⁣dℓ→=F→⋅v→  ⁣dt\scal{F}{\dd\ell} = \scal{F}{v}\,\dd t डालता है। ∎

प्रमेय 29.9 (यांत्रिक-ऊर्जा प्रमेय)

मान लीजिए Em=Ek+EpE_m = E_k + E_p, जहाँ EpE_p कार्य कर रहे सभी संरक्षी बलों की स्थितिज ऊर्जाएँ समेट लेता है। तब, किसी भी पथ पर,

ΔEm=WAB(असंरक्षी बल),\Delta E_m = W_{AB}(\text{असंरक्षी बल}),

और जब भी असंरक्षी बल कोई कार्य न करें, EmE_m संरक्षित रहता है।

उपपत्ति. गतिज-ऊर्जा प्रमेय को बाँट दीजिए: ΔEk=Wसंरक्षी+Wअसंरक्षी=−ΔEp+Wअसंरक्षी\Delta E_k = W_{\text{संरक्षी}} + W_{\text{असंरक्षी}} = -\Delta E_p + W_{\text{असंरक्षी}}; और ΔEp\Delta E_p को दूसरी ओर ले जाइए। ∎

उदाहरण 29.10 (लोलक, इस बार ईमानदारी से)

लंबाई L=2.5 mL = 2.5\,\mathrm{m} के तार पर लटका लोलक का गोलक ऊर्ध्वाधर से 45∘45{}^{\circ} पर विराम में छोड़ा जाता है। गति के लंबवत होने के कारण तनाव शक्तिहीन है; और भार संरक्षी है: इसलिए EmE_m मुड़े हुए चाप पर संरक्षित रहता है, जो पिछले वर्ष केवल जाँचा जा सकता था। गोलक h=L(1−cos⁡45∘)=0.73 mh = L(1 - \cos45{}^{\circ}) = 0.73\,\mathrm{m} ऊपर से चलता है, इसलिए तल पर v=2gh≈3.8 m/sv = \sqrt{2gh} \approx 3.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}।

विधि 29.11 (किसी भी गति का ऊर्जा-लेखा)

  1. निकाय चुनिए और उस पर लगते बल गिनाइए।
  2. छाँटिए: गति के लंबवत →\to कोई कार्य नहीं; संरक्षी →\to EmE_m में एक EpE_p; और बाक़ी →\to Wअसंरक्षीW_{\text{असंरक्षी}} (सरकन घर्षण: −fL-fL, LL = पथ-लंबाई)।
  3. आँकड़े वाले बिंदु और प्रश्न वाले बिंदु के बीच ΔEm=Wअसंरक्षी\Delta E_m = W_{\text{असंरक्षी}} लिखिए; और हल कीजिए। ऊर्जा “कितनी तेज़, कितनी ऊँची” का उत्तर देती है; केवल समय और त्वरण के लिए न्यूटन के नियम चाहिए।

29.4 ऊर्जा आरेख

परिभाषा 29.12 (ऊर्जा आरेख, पलटाव बिंदु)

जिस गति में एक ही अक्ष xx हो और EmE_m संरक्षित रहे, उसके लिए ऊर्जा आरेख वक्र Ep(x)E_p(x) और क्षैतिज रेखा EmE_m को आलेखित करता है। चूँकि Ek=Em−Ep≥0E_k = E_m - E_p \geq 0, गति केवल वहीं तक सीमित रहती है जहाँ वक्र रेखा से नीचे हो; और दोनों के बीच का अंतर सीधे EkE_k पढ़ लिया जाता है। जहाँ वक्र रेखा से मिल जाए, यानी पलटाव बिंदु पर, v=0v = 0 होता है और गति उलट जाती है।

एक ऊर्जा आरेख, बिना कुछ हल किए पढ़ा हुआ: ऊर्जा E_m के साथ पिंड x_1 और x_2 के बीच दोलन करता है, और वहाँ सबसे तेज़ जहाँ अंतर सबसे बड़ा हो; और E_m' के साथ वह पहाड़ी को रेंगकर पार कर जाता है और भाग निकलता है।
एक ऊर्जा आरेख, बिना कुछ हल किए पढ़ा हुआ: ऊर्जा EmE_m के साथ पिंड x1x_1 और x2x_2 के बीच दोलन करता है, और वहाँ सबसे तेज़ जहाँ अंतर सबसे बड़ा हो; और Em′E_m' के साथ वह पहाड़ी को रेंगकर पार कर जाता है और भाग निकलता है।

प्रतिज्ञप्ति 29.13 (भू-दृश्य से बल; साम्यावस्थाएँ)

xx के अनुदिश संरक्षी बल EpE_p की ढाल का ऋणात्मक है: F=−  ⁣dEp/ ⁣dxF = -\,\dd E_p/\dd x — यानी वह आरेख पर नीचे की ओर संकेत करता है और वहाँ लुप्त हो जाता है जहाँ स्पर्शी क्षैतिज हो: यानी साम्यावस्था पर। EpE_p का निम्निष्ठ स्थायी है — हटाया गया पिंड वापस धकेल दिया जाता है, जैसे घाटी में गेंद; और उच्चिष्ठ अस्थायी — वह दूर धकेल दिया जाता है, जैसे पहाड़ी की चोटी पर गेंद।

उपपत्ति. छोटे क़दम  ⁣dx\dd x पर बल F  ⁣dx=Ep(x)−Ep(x+ ⁣dx)=− ⁣dEpF\,\dd x = E_p(x) - E_p(x + \dd x) = -\dd E_p करता है;  ⁣dx\dd x से भाग दे दीजिए। घाटी के दोनों ओर नीचे की दिशा भीतर की ओर संकेत करती है; और पहाड़ी की चोटी के चारों ओर बाहर की ओर। ∎

टिप्पणी 29.14 (दोलन और पलायन)

अध्याय 28 के छोटे दोलन EpE_p की घाटियों के तलों में रहते हैं। और पृथ्वी से दूर गुरुत्व कमज़ोर पड़ता जाता है: Ep(r)E_p(r) का वक्र लगातार धीमे-धीमे एक परिमित छत की ओर चढ़ता है (सिकुड़ते बल-आलेख के नीचे का क्षेत्रफल परिमित है)। जिस राकेट का EmE_m उस छत तक पहुँच जाए उसे कोई पलटाव बिंदु मिलता ही नहीं: वह भाग निकलता है — ज़मीन से लगभग 11.2 km/s11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s} पर (अभ्यास 29.13); और उससे नीचे वह बँधा रहता है। छत ख़ुद वर्ष 1 के खंड में निकाली गई है।

उदाहरण 29.15 (फंदे वाला चक्कर)

ऊँचाई HH से छोड़ा गया कंचा त्रिज्या RR के ऊर्ध्वाधर फंदे में लुढ़क जाता है। वृत्तीय गतिकी (अध्याय 25) माँगती है कि शिखर पर vशिखर2≥gRv_{\text{शिखर}}^2 \geq gR — यानी वही आँकड़ा जो पिछले वर्ष की रोलर-कोस्टर समस्या ने उधार लिया था, अब हमारा अपना। HH पर विराम से शिखर (ऊँचाई 2R2R) तक संरक्षण vशिखर2=2g(H−2R)v_{\text{शिखर}}^2 = 2g(H - 2R) देता है, इसलिए H≥52RH \geq \tfrac52 R: यानी फंदे के शिखर से आधी त्रिज्या ऊपर, द्रव्यमान चाहे जो हो — और असली, रगड़ती दुनिया में उससे थोड़ा और ऊपर।

फंदे वाला चक्कर: छोड़ने का बिंदु शिखर से आधी त्रिज्या ऊपर बैठता है, इसलिए बची हुई E_k कंचे को दबा हुआ बनाए रखती है (v_ शिखर2 = gR)।
फंदे वाला चक्कर: छोड़ने का बिंदु शिखर से आधी त्रिज्या ऊपर बैठता है, इसलिए बची हुई EkE_k कंचे को दबा हुआ बनाए रखती है (vशिखर2=gRv_{\text{शिखर}}^2 = gR)।

29.5 अभ्यास

अभ्यास 29.1 ★

k=200 N/mk = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m} की दृढ़ता वाली स्प्रिंग 5.0 cm5.0\,\mathrm{cm} जितनी खींची जाती है। संचित ऊर्जा निकालिए; खिंचाव दुगुना करने पर वह क्या हो जाती है? और दूसरे 5.0 cm5.0\,\mathrm{cm} का दाम कितना पड़ता है?

हल

हल — अभ्यास 29.1.

Ep=12×200×0.0502=0.25 JE_p = \tfrac12 \times 200 \times 0.050^2 = 0.25\,\mathrm{J}। खिंचाव दुगुना: ×4\times 4, यानी 1.0 J1.0\,\mathrm{J}। और अकेले दूसरे 5.0 cm5.0\,\mathrm{cm} का दाम 1.0−0.25=0.75 J1.0 - 0.25 = 0.75\,\mathrm{J} पड़ता है — वहाँ बल बड़ा जो है।

अभ्यास 29.2 ★

0.90 kg0.90\,\mathrm{kg} का ड्रोन z=12 mz = 12\,\mathrm{m} पर बनी छत से z=30 mz = 30\,\mathrm{m} पर बनी बालकनी तक घूमता-फिरता रास्ता उड़ता है। उसके भार का कार्य? सीधे चढ़ाव पर? आने-जाने के चक्कर पर?

हल

हल — अभ्यास 29.2.

रास्ता चाहे जो हो, W=mg(zA−zB)=0.90×9.81×(12−30)≈−1.6×102 JW = mg(z_A - z_B) = 0.90 \times 9.81 \times (12 - 30) \approx -1.6 \times 10^{2}\,\mathrm{J} — सीधी चढ़ाई पर भी वही। आने-जाने के चक्कर पर: 0 J0\,\mathrm{J} (संरक्षी बल)।

अभ्यास 29.3 ★

संरक्षी, असंरक्षी, या कार्यहीन? पथों के आधार पर कारण दीजिए: (क) भार; (ख) स्प्रिंग का बल; (ग) सरकन घर्षण; (घ) सरकते डिब्बे पर अभिलंब बल; (ङ) वायु-कर्षण।

हल

हल — अभ्यास 29.3.

(क), (ख) संरक्षी: कार्य सिरों से तय (ऊँचाई की गिरावट; खिंचाव)। (ग), (ङ) असंरक्षी: −fL-fL और कर्षण तय की गई हर मीटर पर वसूलते हैं। (घ) कार्यहीन: वह सदा गति के लंबवत रहता है।

अभ्यास 29.4 ★

लंबाई 2.0 m2.0\,\mathrm{m} का लोलक ऊर्ध्वाधर से 60∘60{}^{\circ} पर विराम में छोड़ा जाता है। सबसे निचले बिंदु पर उसकी चाल निकालिए। तार का तनाव इस तराज़ू में कभी क्यों नहीं आता?

हल

हल — अभ्यास 29.4.

h=L(1−cos⁡60∘)=1.0 mh = L(1 - \cos60{}^{\circ}) = 1.0\,\mathrm{m}; v=2×9.81×1.0≈4.4 m/sv = \sqrt{2 \times 9.81 \times 1.0} \approx 4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}। तनाव हर क्षण गति के लंबवत है: शून्य शक्ति, शून्य कार्य।

अभ्यास 29.5 ★

कोई साइकिल-सवार समतल पर 9.0 m/s9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} से चलती है और 250 W250\,\mathrm{W} देती है: वह कुल कितने प्रतिरोधी बल से लड़ रही है? उसी शक्ति के साथ 5.0 m/s5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} चढ़ते समय: वह किस बल पर विजय पाती है?

हल

हल — अभ्यास 29.5.

F=P/v=250/9.0≈28 NF = P/v = 250/9.0 \approx 28\,\mathrm{N}। 5.0 m/s5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} पर: F=250/5.0=50 NF = 250/5.0 = 50\,\mathrm{N} (ज़्यादातर ढलान का गुरुत्व-घटक)।

अभ्यास 29.6 ★★

किसी खिलौना-प्रक्षेपक की स्प्रिंग (k=450 N/mk = 450\,\mathrm{N}/\mathrm{m}) 20 g20\,\mathrm{g} के तीर के पीछे 8.0 cm8.0\,\mathrm{cm} जितनी दबाई जाती है। संचित ऊर्जा, छोड़ने की चाल, और सीधे ऊपर दागने पर पहुँची ऊँचाई निकालिए (हवा नहीं)।

हल

हल — अभ्यास 29.6.

Ep=12×450×0.0802=1.44 JE_p = \tfrac12 \times 450 \times 0.080^2 = 1.44\,\mathrm{J}; v=2×1.44/0.020=12 m/sv = \sqrt{2 \times 1.44/0.020} = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; h=Ep/mg=1.44/(0.020×9.81)≈7.3 mh = E_p/mg = 1.44/(0.020 \times 9.81) \approx 7.3\,\mathrm{m}।

अभ्यास 29.7 ★★

रबर बैंड खींचते हुए कोई विद्यार्थी x=0x = 0, 2.02.0, 4.04.0, 6.06.0, 8.0 cm8.0\,\mathrm{cm} पर F=0F = 0, 3.03.0, 7.07.0, 12.012.0, 18.0 N18.0\,\mathrm{N} नापता है। समलंब-क्षेत्रफलों से संचित ऊर्जा का अनुमान लगाइए; अंत में k=F/xk = F/x लेकर उसकी तुलना 12kx2\tfrac12 kx^2 से कीजिए। दोनों अलग क्यों हैं?

हल

हल — अभ्यास 29.7.

समलंब (2.0 cm2.0\,\mathrm{cm} के क़दम): (0.03+0.10+0.19+0.30)=0.62 J(0.03 + 0.10 + 0.19 + 0.30) = 0.62\,\mathrm{J}। सीधी-रेखा वाला प्रतिरूप: k=18.0/0.080=225 N/mk = 18.0/0.080 = 225\,\mathrm{N}/\mathrm{m}, 12kx2=0.72 J\tfrac12 kx^2 = 0.72\,\mathrm{J}। नापा गया वक्र छोटे xx पर सीधी रेखा से नीचे झुक जाता है, इसलिए सच्चा क्षेत्रफल कम है।

अभ्यास 29.8 ★★

55 kg55\,\mathrm{kg} की स्लेज विराम से चलकर 25 m25\,\mathrm{m} लंबे मुड़े हुए रास्ते पर 8.0 m8.0\,\mathrm{m} गिरती है और 9.0 m/s9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} पर पहुँचती है। कितनी यांत्रिक ऊर्जा गँवाई गई? औसत घर्षण-बल? रास्ते का ठीक आकार बेमतलब क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 29.8.

ΔEm=12×55×9.02−55×9.81×8.0=2228−4316≈−2.1×103 J\Delta E_m = \tfrac12 \times 55 \times 9.0^2 - 55 \times 9.81 \times 8.0 = 2228 - 4316 \approx -2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{J}; f=2089/25≈84 Nf = 2089/25 \approx 84\,\mathrm{N}। भार संरक्षी है और अभिलंब बल कार्यहीन: इसलिए हिसाब में केवल गिरावट और पथ की लंबाई आती है, आकार नहीं।

अभ्यास 29.9 ★★

कंचे की पटरी में त्रिज्या 20 cm20\,\mathrm{cm} का फंदा है। न्यूनतम छोड़-ऊँचाई निकालिए (विराम से, कोई घर्षण नहीं)। 60 cm60\,\mathrm{cm} से छोड़ने पर: फंदे के शिखर पर चाल, और अनुपात vशिखर2/(gR)v_{\text{शिखर}}^2/(gR)? असली पटरी को उससे भी ऊँचाई से क्यों चलाना पड़ता है?

हल

हल — अभ्यास 29.9.

Hmin⁡=52R=0.50 mH_{\min} = \tfrac52 R = 0.50\,\mathrm{m}। 60 cm60\,\mathrm{cm} से: vशिखर=2×9.81×(0.60−0.40)≈2.0 m/sv_{\text{शिखर}} = \sqrt{2 \times 9.81 \times (0.60 - 0.40)} \approx 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, और vशिखर2/(gR)=2.0v_{\text{शिखर}}^2/(gR) = 2.0 — यानी न्यूनतम का दुगुना। घर्षण रास्ते भर ऊर्जा छीलता जाता है, इसलिए असली पटरियों को अतिरिक्त ऊँचाई चाहिए।

अभ्यास 29.10 ★★

100 g100\,\mathrm{g} का मनका बिना घर्षण किसी अक्ष पर सरकता है, जहाँ Ep(x)=8.0 x2E_p(x) = 8.0\,x^2 (जूल, xx मीटर में) और Em=2.0 JE_m = 2.0\,\mathrm{J}। पलटाव बिंदु? अधिकतम चाल? यह किस तरह की गति है?

हल

हल — अभ्यास 29.10.

पलटाव बिंदु: 8.0 x2=2.08.0\,x^2 = 2.0, x=±0.50 mx = \pm0.50\,\mathrm{m}। अधिकतम चाल x=0x = 0 पर: v=2×2.0/0.100≈6.3 m/sv = \sqrt{2 \times 2.0/0.100} \approx 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}। यह किसी परवलयिक कुएँ में आगे-पीछे होता दोलन है — द्रव्यमान-स्प्रिंग दोलित्र का EpE_p ठीक इसी रूप का है।

अभ्यास 29.11 ★★

2.0 m/s2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} पर चलती 1200 kg1200\,\mathrm{kg} की कार दृढ़ता k=6.0×105 N/mk = 6.0 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m} वाली बंपर-स्प्रिंग से रोकी जाती है। अधिकतम संपीडन निकालिए। 4.0 m/s4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} पर: ऊर्जा चौगुनी होने पर भी वह चार गुना क्यों नहीं है?

हल

हल — अभ्यास 29.11.

12kx2=12mv2\tfrac12 kx^2 = \tfrac12 mv^2: x=vm/k=2.01200/6.0×105≈8.9 cmx = v\sqrt{m/k} = 2.0\sqrt{1200/6.0 \times 10^{5}} \approx 8.9\,\mathrm{cm}। 4.0 m/s4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} पर: 18 cm18\,\mathrm{cm} — यानी दुगुना, चौगुना नहीं: ऊर्जा तो चौगुनी होती है, पर EpE_p x2x^2 की तरह बढ़ता है, इसलिए xx केवल दुगुना होता है।

अभ्यास 29.12 ★★★

0.50 kg0.50\,\mathrm{kg} की ठेली ऐसी पटरी पर लुढ़कती है जिसके Ep(x)E_p(x) में 6.0 J6.0\,\mathrm{J} की पहाड़ी (x=0x = 0) और 2.0 J2.0\,\mathrm{J} की घाटी (x=1.5 mx = 1.5\,\mathrm{m}) है। (क) बाईं ओर से Em=5.0 JE_m = 5.0\,\mathrm{J} के साथ आती है: क्या वह पार कर जाती है? नहीं तो क्या होता है? (ख) Em=7.0 JE_m = 7.0\,\mathrm{J} के साथ: पहाड़ी और घाटी पर चालें? (ग) साम्यावस्थाएँ?

हल

हल — अभ्यास 29.12.

(क) Em=5.0 J<6.0 JE_m = 5.0\,\mathrm{J} < 6.0\,\mathrm{J}: वह पार नहीं कर सकती; वह ढलान पर वहीं रुक जाती है जहाँ Ep=5.0 JE_p = 5.0\,\mathrm{J}, और लुढ़ककर वापस आ जाती है। (ख) पहाड़ी पर: Ek=1.0 JE_k = 1.0\,\mathrm{J}, v=2×1.0/0.50=2.0 m/sv = \sqrt{2 \times 1.0/0.50} = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; घाटी में: Ek=5.0 JE_k = 5.0\,\mathrm{J}, v≈4.5 m/sv \approx 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}। (ग) x=0x = 0: अस्थायी (उच्चिष्ठ); x=1.5 mx = 1.5\,\mathrm{m}: स्थायी (निम्निष्ठ)।

अभ्यास 29.13 ★★★

यह मानते हुए कि द्रव्यमान mm को ज़मीन से मनमाने ढंग से दूर तक ढोने में mgREmgR_E, RE=6.37×106 mR_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m} लगता है (यानी कमज़ोर पड़ते गुरुत्व-आलेख के नीचे का परिमित क्षेत्रफल), पृथ्वी से पलायन चाल निकालिए। वह यान और कंकड़, दोनों के लिए एक ही क्यों है? और उससे ज़रा नीचे के प्रक्षेपण का क्या होगा?

हल

हल — अभ्यास 29.13.

12mv2=mgRE\tfrac12 mv^2 = mgR_E: v=2×9.81×6.37×106≈1.12×104 m/s=11.2 km/sv = \sqrt{2 \times 9.81 \times 6.37 \times 10^{6}} \approx 1.12 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}। हर पद mm के समानुपाती है: इसलिए यान और कंकड़, दोनों के लिए वही। और उससे ज़रा नीचे प्रक्षेपित करने पर वह अब भी बेहिसाब दूर चढ़ता है, एक पलटाव बिंदु से मिलता है, और लौट आता है: यानी बँधा हुआ।

अभ्यास 29.14 ★★★

250 g250\,\mathrm{g} का फिसलक स्प्रिंग (k=40 N/mk = 40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}) पर 6.0 cm6.0\,\mathrm{cm} (अध्याय 28) के आयाम से दोलन करता है। कुल ऊर्जा? अधिकतम चाल? वे स्थितियाँ जहाँ Ek=EpE_k = E_p?

हल

हल — अभ्यास 29.14.

Em=12kA2=12×40×0.0602=7.2×10−2 JE_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.060^2 = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}; vmax⁡=2Em/m=2×0.072/0.250≈0.76 m/sv_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{2 \times 0.072/0.250} \approx 0.76\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; और Ek=EpE_k = E_p वहाँ जहाँ 12kx2=Em/2\tfrac12 kx^2 = E_m/2: x=±A/2≈±4.2 cmx = \pm A/\sqrt 2 \approx \pm4.2\,\mathrm{cm}।

अभ्यास 29.15 ★★★

कोई बाँस-कूद खिलाड़ी 9.5 m/s9.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} से दौड़ता है। यदि बाँस उसकी पूरी गतिज ऊर्जा बदल दे तो उसका द्रव्यमान केंद्र कितनी ऊँचाई कमाएगा, और छड़ कितनी पार होगी (द्रव्यमान केंद्र 1.0 m1.0\,\mathrm{m} ऊपर से शुरू होकर), इसका अनुमान लगाइए। रिकॉर्ड लगभग 6.3 m6.3\,\mathrm{m} है: यह अनुमान क्या पकड़ लेता है, और क्या छोड़ देता है?

हल

हल — अभ्यास 29.15.

h=v2/2g=9.52/19.62≈4.6 mh = v^2/2g = 9.5^2/19.62 \approx 4.6\,\mathrm{m}; छड़ ≈4.6+1.0=5.6 m\approx 4.6 + 1.0 = 5.6\,\mathrm{m}। रिकॉर्ड इससे ऊँचा है: कूदने वाले झुकते बाँस पर बाँहों और टाँगों से कार्य और जोड़ देते हैं। पर ऊर्जा का यह अनुमान पैमाना तय कर देता है — किसी धावक की कूद 10 m10\,\mathrm{m} तक नहीं पहुँचेगी।

29.6 समस्या: स्की-कूद

समस्या 29.1

सप्ताहांत समस्या — स्की-कूद: चाल-मापी बंदूक़ से जाँची गई ढलान, मुक्त पतन की उड़ान, खड़ी लैंडिंग की कोमल ज्यामिति, और वह मीनार जो घर्षण का बिल आने पर डिज़ाइनर को ख़रीदनी पड़ती है

कोई ओलंपिक स्की-कूद खिलाड़ी (स्कियों समेत m=70 kgm = 70\,\mathrm{kg}) उछाल-मेज़ से H=45 mH = 45\,\mathrm{m} ऊपर बने फाटक से विराम में चलता है, L=90 mL = 90\,\mathrm{m} की मुड़ी हुई ढलान पर सरकता है, और मेज़ से क्षैतिज दिशा में निकल जाता है; वहाँ लगी चाल-मापी बंदूक़ v0=26 m/sv_0 = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s} पढ़ती है। उतरने का बिंदु h=40 mh = 40\,\mathrm{m} नीचे, 35∘35{}^{\circ} की ढलान पर है। भाग II और III में वायु-प्रतिरोध छोड़ दिया गया है।

भाग I — ढलान।

  1. घर्षणहीन उछाल-चाल का पूर्वानुमान लगाइए; ढलान का वक्र बेमतलब क्यों है?
  2. संदर्भ मेज़ पर रखकर फाटक पर और उछाल पर EmE_m निकालिए।
  3. ΔEm\Delta E_m निकालिए; कौन-सी प्रमेय दोषी बताती है, और दोषी कौन है?
  4. पूरी ढलान पर औसत प्रतिरोधी बल (बर्फ़ और हवा) निकालिए।
  5. EmE_m का कितना अंश खो जाता है? स्कियों पर मोम क्यों लगाया जाता है और खिलाड़ी क्यों दुबक जाता है?

भाग II — उड़ान।

  1. उड़ान में केवल भार लगता है: यह अध्याय 26 की कौन-सी गति है? उतरते समय वेग के घटक?
  2. उतरने की चाल दो बार निकालिए: घटकों से, और EmE_m के संरक्षण से। km/h\mathrm{km}/\mathrm{h} में?
  3. उड़ान का समय और उड़ी गई क्षैतिज दूरी निकालिए।
  4. असली खिलाड़ी हवा पर पंख की तरह सवार होकर कहीं दूर तक उड़ते हैं: क्या हवा उतरने की चाल बढ़ा सकती है? यांत्रिक-ऊर्जा प्रमेय से तर्क दीजिए।

भाग III — उतरना।

  1. उतरते वेग का क्षैतिज से नीचे का कोण निकालिए।
  2. उसे ढलान के समांतर और लंबवत घटकों में बाँटिए।
  3. टाँगें केवल लंबवत हिस्सा सोखती हैं: उस गतिज ऊर्जा को निकालिए; कुल से तुलना कीजिए।
  4. समतल ज़मीन पूरी की पूरी सोख लेती: हर लैंडिंग किस ऊर्ध्वाधर गिरावट के तुल्य है (hतुल्य=v⊥2/2gh_{\text{तुल्य}} = v_\perp^2/2g, और v2/2gv^2/2g)?
  5. एक वाक्य में: उतरने की पहाड़ियाँ खड़ी और मुड़ी हुई क्यों होती हैं?

भाग IV — डिज़ाइनर की मीनार। किसी छोटी पहाड़ी को उछाल पर केवल v0′=24 m/sv_0' = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s} चाहिए; उसकी सीधी ढलान 35∘35{}^{\circ} पर उतरती है, इसलिए फाटक-ऊँचाई H′H' का अर्थ पटरी-लंबाई H′/sin⁡35∘H'/\sin35{}^{\circ} है; और कर्षण वही 80 N80\,\mathrm{N}।

  1. कोई घर्षणहीन डिज़ाइनर जितनी फाटक-ऊँचाई बनाता, वह निकालिए।
  2. H′H' के लिए फाटक से मेज़ तक यांत्रिक-ऊर्जा प्रमेय लिखिए।
  3. H′H' के लिए हल कीजिए।
  4. घर्षण ने मीनार कितने प्रतिशत ऊँची कर दी?
  5. अब द्रव्यमान कटता नहीं: 60 kg60\,\mathrm{kg} के खिलाड़ी के लिए H′H' फिर से निकालिए। ऊँची मीनार किसे चाहिए, और क्यों?
  6. अंतिम चोट: घोषित की गई मीनार, और उसमें घर्षण का हिस्सा।
हल

हल — समस्या 29.1.

1. v=2gH=2×9.81×45≈29.7 m/sv = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 45} \approx 29.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: भार संरक्षी है और अभिलंब बल कार्यहीन — इसलिए ढलान की काट हिसाब से बाहर हो जाती है।

2. फाटक: Em=mgH=70×9.81×45≈3.09×104 JE_m = mgH = 70 \times 9.81 \times 45 \approx 3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{J}। उछाल: Em=12×70×262≈2.37×104 JE_m = \tfrac12 \times 70 \times 26^2 \approx 2.37 \times 10^{4}\,\mathrm{J}।

3. ΔEm≈−7.2×103 J\Delta E_m \approx -7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}; यांत्रिक-ऊर्जा प्रमेय इसका बिल असंरक्षी बलों के नाम काट देती है: बर्फ़ का घर्षण और वायु-कर्षण।

4. f=7.2×103/90≈80 Nf = 7.2 \times 10^{3}/90 \approx 80\,\mathrm{N}।

5. 7.2×103/3.09×104≈23%7.2 \times 10^{3}/3.09 \times 10^{4} \approx 23\%। मोम ff घटाता है और दुबकना कर्षण: दोनों fLfL को सिकोड़ देते हैं, जो अकेला मोल-भाव लायक़ पद है।

6. क्षैतिज आरंभिक वेग वाला मुक्त पतन — यानी प्रक्षेप्य गति। vx=26 m/sv_x = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; vy=2×9.81×40≈28.0 m/sv_y = \sqrt{2 \times 9.81 \times 40} \approx 28.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}।

7. v=262+28.02=1461≈38.2 m/sv = \sqrt{26^2 + 28.0^2} = \sqrt{1461} \approx 38.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; ऊर्जा से: v=v02+2gh=676+785v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{676 + 785} — बिलकुल वही। लगभग 138 km/h138\,\mathrm{km}/\mathrm{h}।

8. t=vy/g=28.0/9.81≈2.9 st = v_y/g = 28.0/9.81 \approx 2.9\,\mathrm{s}; d=v0t≈74 md = v_0 t \approx 74\,\mathrm{m}।

9. नहीं। उत्थापन वेग के लंबवत है (कार्यहीन) और कर्षण उसका विरोध करता है (ऋणात्मक कार्य): ΔEm≤0\Delta E_m \leq 0, इसलिए असली उतार-चाल केवल कम ही हो सकती है — हवा उड़ान लंबी करती है, उसमें ऊर्जा भरती नहीं।

10. क्षैतिज से α=arctan⁡(28.0/26)≈47∘\alpha = \arctan(28.0/26) \approx 47{}^{\circ} नीचे।

11. ढलान से कोण: 47−35=12∘47 - 35 = 12{}^{\circ}। v∥=38.2cos⁡12∘≈37.4 m/sv_\parallel = 38.2\cos12{}^{\circ} \approx 37.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; v⊥=38.2sin⁡12∘≈7.9 m/sv_\perp = 38.2\sin12{}^{\circ} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}।

12. सोखा गया: 12×70×7.92≈2.2×103 J\tfrac12 \times 70 \times 7.9^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}, जबकि कुल 12×70×38.22≈5.1×104 J\tfrac12 \times 70 \times 38.2^2 \approx 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}: यानी लगभग 4%4\%।

13. hतुल्य=7.92/19.62≈3.2 mh_{\text{तुल्य}} = 7.9^2/19.62 \approx 3.2\,\mathrm{m} — यानी दीवार से एक हिम्मती छलाँग। और समतल पर: 38.22/19.62≈74 m38.2^2/19.62 \approx 74\,\mathrm{m} — जिससे बचना मुश्किल है।

14. उड़ान-पथ के समांतर ढलान v⊥v_\perp को छोटा बनाए रखती है, इसलिए टाँगें कुछ मीटर सोखती हैं, गतिज ऊर्जा का पूरा पहाड़ नहीं।

15. H0′=v0′2/2g=576/19.62≈29.4 mH'_0 = v_0'^2/2g = 576/19.62 \approx 29.4\,\mathrm{m}।

16. mgH′−f H′sin⁡35∘=12mv0′2mgH' - f\,\dfrac{H'}{\sin35{}^{\circ}} = \tfrac12 m v_0'^2।

17. H′=12×70×576686.7−80/0.574=20 160547≈37 mH' = \dfrac{\tfrac12 \times 70 \times 576} {686.7 - 80/0.574} = \dfrac{20\,160}{547} \approx 37\,\mathrm{m}।

18. 36.8/29.4≈1.2536.8/29.4 \approx 1.25: यानी 25%25\% का अधिभार।

19. 60 kg60\,\mathrm{kg} के लिए: H′=17 280/(588.6−139.5)≈38.5 mH' = 17\,280/(588.6 - 139.5) \approx 38.5\,\mathrm{m}। ऊँची मीनार हलके खिलाड़ी को चाहिए: घर्षण का बिल fLfL वही रहता है, पर उसका ऊर्जा-बजट mgH′mgH' छोटा है।

20. 24 m/s24\,\mathrm{m}/\mathrm{s} की उछाल-चाल के लिए 37 m37\,\mathrm{m} की मीनार की घोषणा कीजिए — और यह भी क़बूल कीजिए कि उसका चौथाई हिस्सा, यानी कोई 7 m7\,\mathrm{m} कंक्रीट, घर्षणहीन सपने पर घर्षण का लगाया गया अधिभार है।