4सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण और भार

हल — अभ्यास 4.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{60 \times 60}{0.80^2} = \dfrac{2.40 \times 10^{-7}}{0.64} \approx 3.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$।

2. मच्छर का भार $P = 2.5 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ है — यानी नर्तकों के पारस्परिक आकर्षण से लगभग $65$ गुना बड़ा। लोगों के बीच का गुरुत्व एक मच्छर के भार से भी कमज़ोर है।

हल — अभ्यास 4.2.

1. $P = mg = 55 \times 9.81 \approx 5.4 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$।

2. उसका द्रव्यमान अपरिवर्तित रहता है: $55\,\mathrm{kg}$ (पदार्थ की वही मात्रा)। उसका भार $P = 55 \times 1.62 \approx 89\,\mathrm{N}$ हो जाता है — यानी छह गुना कम।

हल — अभ्यास 4.3.

1. $g_{\text{मंगल}} = \dfrac{G M}{R^2} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23}}{(3.39 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.28 \times 10^{13}}{1.15 \times 10^{13}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$।

2. मंगल पर: $P = 900 \times 3.73 \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$। पृथ्वी पर: $P = 900 \times 9.81 \approx 8.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — द्रव्यमान वही रहते हुए रोवर मंगल पर लगभग $2.6$ गुना कम भारी है।

हल — अभ्यास 4.4.

चंद्रमा पृथ्वी पर उतने ही परिमाण का, यानी $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ का बल विपरीत दिशा में लगाता है: गुरुत्वाकर्षण परस्पर होता है।

हल — अभ्यास 4.5.

1. दूरी दुगुनी: $d^2$ $4$ से गुणा हो जाता है, इसलिए $F = F_0/4$।

2. दूरी आधी: $F = 4F_0$।

3. दोनों द्रव्यमान दुगुने: $m_1 m_2$ $4$ से गुणा हो जाता है, इसलिए $F = 4F_0$।

4. अंश $\times 3$, हर $\times 9$: $F = F_0/3$।

हल — अभ्यास 4.6.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{(5.0 \times 10^{8})^2}{100^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2.5 \times 10^{17}}{1.0 \times 10^{4}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$।

2. $m = F/g = 1667/9.81 \approx 1.7 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}$: दोनों जहाज़ एक-दूसरे को एक बड़ी मोटरसाइकिल के भार जितने बल से खींचते हैं।

3. $a = F/m = 1.7 \times 10^{3}/5.0 \times 10^{8} \approx 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$। कोई विरोध न हो तब भी जहाज़ों को पैदल चलने की चाल पकड़ने में लगभग पाँच दिन लगेंगे; व्यवहार में पानी का प्रतिरोध और लंगर इस आकर्षण को पूरी तरह दबा देते हैं।

हल — अभ्यास 4.7.

1. दंड तुला दोनों लोकों पर $3.0\,\mathrm{kg}$ बताती है: थैली और मानक द्रव्यमान, दोनों के भार उसी गुणक से भाग हो जाते हैं, इसलिए तुलना जस की तस रहती है। कमानीदार तराज़ू भार पढ़ता है: पृथ्वी पर $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ और चंद्रमा पर $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$।

2. तुला: वह द्रव्यमान नापती है, और ग्राहक वही ख़रीद रहा है। पृथ्वी पर “किलोग्राम” में अंशांकित कमानीदार तराज़ू उसी थैली के लिए चंद्रमा पर $4.9/9.81 \approx 0.50\,\mathrm{kg}$ पढ़ेगा — और दुकानदार एक की क़ीमत में छह थैलियाँ दे बैठेगा।

हल — अभ्यास 4.8.

1. केंद्र से दूरी: $d = R + h = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$। तब $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.77 \times 10^{6})^2} = \dfrac{3.98 \times 10^{14}}{4.58 \times 10^{13}} \approx 8.69\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$।

2. सतह वाले मान का $8.69/9.81 \approx 89\%$।

3. वहाँ ऊपर गुरुत्व लगभग पूरी ताक़त पर है: अंतरिक्ष यात्री इसलिए तैरते हैं कि स्टेशन और उसमें रखा सब कुछ पृथ्वी के चारों ओर साथ-साथ गिर रहे हैं (मुक्त गिरावट), इसलिए नहीं कि गुरुत्व मिट गया है।

हल — अभ्यास 4.9.

$g = GM/R^2$ से,

यानी पृथ्वी के द्रव्यमान का लगभग $0.8$ गुना — शुक्र आकार और द्रव्यमान में लगभग पृथ्वी का जुड़वाँ है।

हल — अभ्यास 4.10.

1. सूर्य: $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30}}{(1.496 \times 10^{11})^2} \approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$। चंद्रमा: $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \approx 3.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$।

2. सूर्य लगभग $5.9 \times 10^{-3}/3.3 \times 10^{-5} \approx 180$ गुना अधिक ज़ोर से खींचता है।

3. पृथ्वी का व्यास पृथ्वी–चंद्रमा दूरी का कहीं बड़ा अंश ($\approx 3\%$) है, जबकि पृथ्वी–सूर्य दूरी का बहुत छोटा ($\approx 0.01\%$), इसलिए चंद्रमा का खिंचाव गोले के पास वाले पहलू से दूर वाले पहलू तक कहीं अधिक बदलता है। ज्वार इसी अंतर पर पलते हैं — और वहाँ चंद्रमा जीत जाता है।

हल — अभ्यास 4.11.

1. $g' = \dfrac{G (2M)}{(2R)^2} = \dfrac{2}{4}\,\dfrac{GM}{R^2} = \dfrac{g}{2} \approx 4.9\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$: दुगुनी त्रिज्या दुगुने द्रव्यमान पर भारी पड़ती है।

2. हमें $\dfrac{GM}{R'^2} = 2\,\dfrac{GM}{R^2}$ चाहिए, इसलिए $R'^2 = R^2/2$ और $R' = R/\sqrt{2} \approx 4.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — यानी लगभग $4500\,\mathrm{km}$।

हल — अभ्यास 4.12.

1. प्रति किलोग्राम खिंचाव बराबर: $\dfrac{G M_{\text{पृथ्वी}}}{x^2} = \dfrac{G M_{\text{चंद्रमा}}}{(D-x)^2}$। तिरछा गुणा करके और $G$ से भाग देकर: $\left(\dfrac{x}{D-x}\right)^2 = \dfrac{M_{\text{पृथ्वी}}}{M_{\text{चंद्रमा}}}$।

2. $\dfrac{x}{D-x} = \sqrt{\dfrac{5.97 \times 10^{24}}{7.35 \times 10^{22}}} = \sqrt{81.2} \approx 9.0$, इसलिए $x = 9.0\,(D - x)$, यानी $x = \dfrac{9.0}{10.0}\,D \approx 0.90 \times 3.84 \times 10^{8} \approx 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$। संतुलन-बिंदु चंद्रमा तक की यात्रा के $90\%$ पर बैठता है: लगभग पूरी यात्रा पर पृथ्वी का ही खिंचाव हावी रहता है।

हल — अभ्यास 4.13.

1. फैलाने पर: $R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + x^2$; चूँकि $h$ $R$ की तुलना में नन्हा है, $h^2$ छोड़ दीजिए: $2Rh \approx x^2$, इसलिए $h \approx \dfrac{x^2}{2R} = \dfrac{(8.0 \times 10^{3})^2}{2 \times 6.37 \times 10^{6}} = \dfrac{6.4 \times 10^{7}}{1.27 \times 10^{7}} \approx 5.0\,\mathrm{m}$।

2. एक सेकंड में प्रक्षेप्य $4.9\,\mathrm{m}$ गिरता है — लगभग ठीक उतना $5.0\,\mathrm{m}$, जितना ज़मीन $8.0\,\mathrm{km}$ पर नीचे हट जाती है। इसलिए $v \approx 8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर गिरावट ज़मीन को कभी पकड़ नहीं पाती: प्रक्षेप्य कक्षा में आ जाता है।

3. $T = \dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2\pi \times 6.37 \times 10^{6}}{8.0 \times 10^{3}} \approx 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{min}$ — जो असली निचली कक्षा वाले उपग्रहों के लगभग $90\,\mathrm{min}$ के पास है, और वे कुछ ऊँचे उड़ते हैं।

हल — अभ्यास 4.14.

1. $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.8 \times 10^{30}} {(1.2 \times 10^{4})^2} = \dfrac{1.87 \times 10^{20}}{1.44 \times 10^{8}} \approx 1.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.$

2. $P = 70 \times 1.3 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{13}\,\mathrm{N}$, जबकि पृथ्वी पर $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$: यानी लगभग $1.3 \times 10^{11}$ गुना अधिक। परमाणुओं से बनी कोई संरचना वहाँ खड़ी नहीं रह सकती।

3. $P = 1.0 \times 10^{-6} \times 1.3 \times 10^{12} \approx 1.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$। पृथ्वी पर यह $m = 1.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ का भार है — यानी रेत का एक कण, और भार सौ टन के रेल इंजन जितना।

हल — अभ्यास 4.15.

1. दूरी $60$ गुना बड़ी है, इसलिए प्रति किलोग्राम खिंचाव $60^2 = 3600$ गुना कमज़ोर है।

2. एक सेकंड की गिरावट भी उसी तरह बदलती है: $4.9/3600 \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ — यानी लगभग $1.4\,\mathrm{mm}$।

3. $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, इसलिए $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, और एक सेकंड में $x = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$। गिरावट $h \approx \dfrac{x^2}{2d} = \dfrac{(1.02 \times 10^{3})^2}{2 \times 3.84 \times 10^{8}} \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ है।

4. दोनों संख्याएँ मेल खाती हैं: चंद्रमा हर सेकंड पृथ्वी की ओर ठीक उतना ही गिरता है जितना गिरते सेब पर अंशांकित व्युत्क्रम-वर्ग गुरुत्व बताता है। न्यूटन ने निष्कर्ष निकाला कि जो बल चंद्रमा को थामे है वही बल सेब को गिराता है — गुरुत्व सार्वत्रिक है।