माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

17बल का कार्य

अलमारी को कमरे के उस पार धकेलिए तो आपने कार्य किया; पर दीवार को दोपहर भर धकेलते रहिए और आपकी माँसपेशियाँ चाहे जो कहें, भौतिकी शून्य गिनेगी। कार्य वह है जो कोई बल गति के अनुदिश पहुँचाता है — यानी रास्ते में चलती ऊर्जा (अध्याय 9), जिसका भुगतान जूल में होता है। यह अध्याय अध्याय 16 के बलों का दाम लगाता है — तिरछे खिंचाव, भार, घर्षण — और भुगतान की दर भी नापता है: शक्ति।

17.1 अचर बल का कार्य

परिभाषा 17.1 (अचर बल का कार्य)

$A$ से $B$ तक सरल रेखाखंड पर चलती किसी वस्तु पर लगता अचर बल $\vect F$ इतना कार्य करता है:

W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta ,

जहाँ $F$ बल का परिमाण है ( $\mathrm{N}$ में), $AB$ विस्थापन की लंबाई ( $\mathrm{m}$ में) और $\theta$ $\vect F$ तथा $\vect{AB}$ के बीच का कोण। कार्य जूल ( $\mathrm{J}$ ) में मापा जाता है: एक जूल वह कार्य है जो एक न्यूटन का बल अपनी ही दिशा में एक मीटर पर करता है।

टिप्पणी 17.2

$F \times AB \times \cos\theta$ ठीक वही अदिश गुणनफल $\vect F \cdot \vect{AB}$ है जो इसी वर्ष के गणित के खंड में आया। कमाई केवल गति के अनुदिश पड़ते घटक $F\cos\theta$ की होती है।

केवल विस्थापन पर बल का प्रक्षेप F ही कार्य करता है: W_AB( F) = F × AB ×। — केवल विस्थापन पर बल का प्रक्षेप $F\cos\theta$ ही कार्य करता है: $W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta$ ।

उदाहरण 17.3 (पट्टे पर सूटकेस)

कोई यात्री सूटकेस को टर्मिनल में $300\,\mathrm{m}$ घसीटता है, और पट्टे को फ़र्श से $\theta = 50{}^{\circ}$ पर $F = 40\,\mathrm{N}$ से खींचता है: $W = 40 \times 300 \times \cos50{}^{\circ} \approx 7.7\,\mathrm{kJ}$ । चपटा खींचने पर ( $\theta = 0$ ) वही बल $12\,\mathrm{kJ}$ पहुँचाता: खिंचाव का तिहाई हिस्सा कुछ नहीं उठाता।

परिभाषा 17.4 (प्रेरक, प्रतिरोधी और शून्य कार्य)

$\cos\theta$ का चिह्न हर बल को तीन ढर्रों में बाँट देता है:

$\theta < 90{}^{\circ}$ : $W > 0$ , कार्य प्रेरक है — बल गति में ऊर्जा डालता है;
$\theta = 90{}^{\circ}$ : $W = 0$ , बल चाहे जितना बड़ा हो, कार्य बिलकुल नहीं करता;
$\theta > 90{}^{\circ}$ : $W < 0$ , कार्य प्रतिरोधी है — बल ऊर्जा खींच लेता है। शुद्ध उदाहरण $180{}^{\circ}$ पर लगा ब्रेक है: $45\,\mathrm{m}$ पर $800\,\mathrm{N}$ कार से $800 \times 45 \times (-1) = -36\,\mathrm{kJ}$ निकालकर गरम चक्रिकाओं में डाल देता है।

तीनों ढर्रे — प्रेरक, शून्य, प्रतिरोधी — बल और विस्थापन (लाल तीर) के बीच के कोण से।

17.2 भार का कार्य

प्रतिज्ञप्ति 17.5 (भार का कार्य)

जब द्रव्यमान $m$ की कोई वस्तु सरल रेखाखंडों से बने किसी भी पथ पर $A$ (ऊँचाई $z_A$ ) से $B$ (ऊँचाई $z_B$ ) तक जाती है, तो उसका भार $\vect P$ यह कार्य करता है:

W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B) = \pm\, mgh ,

जहाँ $h = \abs{z_A - z_B}$ ऊँचाई की गिरावट है: नीचे जाने पर $+mgh$ , ऊपर जाने पर $-mgh$ — यानी केवल गिरावट मायने रखती है, रास्ता नहीं।

उपपत्ति. एक सरल रेखाखंड $AB$ पर भार (परिमाण $mg$ , सीधा नीचे) $\vect{AB}$ के साथ $\theta$ का कोण बनाता है, और $AB\cos\theta$ ठीक विस्थापन का नीचे की ओर की ऊर्ध्वाधर पर प्रक्षेप है: $z_A - z_B$ । इसलिए $W = mg \times AB\cos\theta = mg\,(z_A - z_B)$ । रेखाखंडों की शृंखला पर कार्य जुड़ते जाते हैं और गिरावटें दूरबीन की तरह सिकुड़ जाती हैं: $mg(z_A - z_C) + mg(z_C - z_B) = mg(z_A - z_B)$ । ∎

प्रतिज्ञप्ति 17.6 (कोई भी पथ)

वही सूत्र $A$ से $B$ तक के किसी भी वक्र पथ पर लागू होता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 17.7

बात मानने लायक़ है — कोई भी वक्र कई छोटे रेखाखंडों की टूटी रेखा के जितना पास चाहें उतना पास है — पर “जितना पास चाहें” को ईमानदारी से कहने के लिए कलन चाहिए, जो अध्याय 29 में किया गया है।

सीधा (नीला) हो या घुमावदार (हरा), A से B तक का हर पथ वही h गिरता है: दोनों पर भार +mgh करता है। — सीधा (नीला) हो या घुमावदार (हरा), $A$ से $B$ तक का हर पथ वही $h$ गिरता है: दोनों पर भार $+mgh$ करता है।

उदाहरण 17.8 (पदयात्री)

$78\,\mathrm{kg}$ का पदयात्री (पिट्ठू समेत) किसी भी पगडंडी से $450\,\mathrm{m}$ चढ़ता है: $W(\vect P) = -78 \times 9.81 \times 450 \approx -344\,\mathrm{kJ}$ , और उतरते समय ठीक $+344\,\mathrm{kJ}$ , चाहे रास्ते में कितने ही चक्कर काटे हों।

17.3 घर्षण का कार्य

प्रतिज्ञप्ति 17.9 (सरकन-घर्षण का कार्य)

अचर परिमाण $f$ का घर्षण-बल, जो हर क्षण गति के विपरीत रहता है, कुल लंबाई $L$ के पथ पर $W = -fL$ कार्य करता है: सदा प्रतिरोधी, और तय की गई पथ-लंबाई के समानुपाती — विस्थापन के नहीं।

उपपत्ति. हर छोटे सीधे टुकड़े पर बल गति से $180{}^{\circ}$ पर है और $-f \times (\text{इसकी लंबाई})$ का योगदान देता है; टुकड़े जुड़कर $-fL$ बनाते हैं। वक्र पथ को भी इसी तरह छोटे टुकड़ों में काटा जाता है, और सीमा भार की तरह मान ली जाती है (टिप्पणी 17.7)। ∎

टिप्पणी 17.10 (घर्षण बनाम भार: बड़ी दरार)

भार का कार्य पथ भूल जाता है; घर्षण का हर मीटर पर चुंगी है। आने-जाने के चक्कर में भार का शुद्ध हिसाब शून्य रहता है — चढ़ाई पर जो लेता है, उतार पर लौटा देता है — जबकि घर्षण हर टुकड़े पर $-fL$ वसूलता है और कुछ नहीं लौटाता: भार का कार्य संचित करके वापस पाया जा सकता है (स्थितिज ऊर्जा, अध्याय 18), घर्षण का ऊष्मा बनकर खो जाता है।

उदाहरण 17.11 (जाना और लौटना)

एक संदूक फ़र्श पर $5.0\,\mathrm{m}$ सरकता है और $5.0\,\mathrm{m}$ लौट आता है, $f = 60\,\mathrm{N}$ के विरुद्ध: संदूक वहीं ख़त्म होता है जहाँ से चला था, फिर भी घर्षण $-60 \times 10 = -600\,\mathrm{J}$ करता है। भार और अभिलंब बल गति के लंबवत हैं: पूरे सफ़र में शून्य।

टिप्पणी 17.12 (और स्प्रिंग का क्या?)

स्प्रिंग जितनी अधिक खिंचती है उतना ही ज़ोर से खींचती है: उसका बल अचर नहीं है और परिभाषा 17.1 लागू नहीं होता। उसका कार्य निकालने के लिए खिंचाव को अत्यंत सूक्ष्म क़दमों में काटकर जोड़ना पड़ता है — यानी कलन, जो अध्याय 29 में दिया गया है।

17.4 शक्ति

परिभाषा 17.13 (शक्ति)

किसी बल की शक्ति वह दर है जिससे वह कार्य करता है, $P = W/\Delta t$ , और उसे वाट ( $\mathrm{W} = \mathrm{J}/\mathrm{s}$ ) में मापते हैं — वही वाट जो अध्याय 12 में था। इंजनों की तख़्तियों पर SI से पहले का एक मात्रक आज भी टिका है: अश्वशक्ति, $1\,\mathrm{hp} = 736\,\mathrm{W}$ ।

प्रतिज्ञप्ति 17.14 (अचर वेग पर शक्ति)

यदि वस्तु अचर चाल $v$ से चले, तो गति से $\theta$ कोण पर लगता अचर बल $\vect F$ शक्ति $P = F v \cos\theta$ पहुँचाता है — और गति के अनुदिश लगते बल के लिए विशेष रूप से $P = Fv$ ।

उपपत्ति. समय $\Delta t$ में वस्तु $d = v\,\Delta t$ तय करती है, इसलिए $W = F \times v\,\Delta t \times \cos\theta$ ; $\Delta t$ से भाग दीजिए। ∎

उदाहरण 17.15 (क्रेन)

कोई क्रेन $600\,\mathrm{kg}$ का फट्टा स्थिर $0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से ऊपर उठाती है: तार का बल भार के बराबर है, $mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ , इसलिए $P = Fv = 5890 \times 0.90 \approx 5.3\,\mathrm{kW} \approx 7.2\,\mathrm{hp}$ — यानी इस्पात के डिब्बे में सात घोड़ों की जोड़ी।

विधि 17.16 (कम बल से चढ़ना: घुमावदार रास्ता)

किसी बोझ को सीमित बल से $h$ ऊँचाई तक उठाने के लिए:

बिल तय है: प्रतिज्ञप्ति 17.5 के अनुसार ऊपर तक का हर रास्ता $mgh$ कार्य माँगता है।
पथ खींच दीजिए: लंबाई $L$ की ढलान पर ज़रूरी बल (अचर चाल, घर्षण छोड़कर) $F = mgh/L$ है — लंबाई दुगुनी, बल आधा।
अधिभार चुकाइए: घर्षण मीटर के हिसाब से वसूलता है (प्रतिज्ञप्ति 17.9), और $fL$ जोड़ देता है।

पहाड़ी सड़कें क़दम 2 के लिए घुमावदार होती हैं: वही ऊँचाई, कम बल, वही कार्य।

h = 300\, m तक 1200\, kg ढोना: गुणनफल F × L = mgh = 3.53\, MJ तय है, इसलिए सड़क लंबाई देकर बल ख़रीद लेती है (देखिए )। — $h = 300\,\mathrm{m}$ तक $1200\,\mathrm{kg}$ ढोना: गुणनफल $F \times L = mgh = 3.53\,\mathrm{MJ}$ तय है, इसलिए सड़क लंबाई देकर बल ख़रीद लेती है (देखिए अभ्यास 17.12)।

17.5 अभ्यास

अभ्यास 17.1 ★

अचर बल $F = 40\,\mathrm{N}$ सीधे $50\,\mathrm{m}$ विस्थापन पर लगता है: $\theta = 0{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ और $120{}^{\circ}$ के लिए उसका कार्य निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 17.1.

$W = 40 \times 50 \times \cos\theta$ : $+2000\,\mathrm{J}$ ; $+1000\,\mathrm{J}$ ; $0$ ; $-1000\,\mathrm{J}$ ।

अभ्यास 17.2 ★

$12\,\mathrm{kg}$ के औज़ार-बक्से को वैन से $2.5\,\mathrm{m}$ नीचे उतारा जाता है, और बाद में फिर ऊपर चढ़ाया जाता है। दोनों बार उसके भार का कार्य?

हल

हल — अभ्यास 17.2.

$mgh = 12 \times 9.81 \times 2.5 = 294\,\mathrm{J}$ : नीचे उतारने पर $+294\,\mathrm{J}$ (भार गिरावट के अनुदिश); ऊपर चढ़ाने पर $-294\,\mathrm{J}$ ।

अभ्यास 17.3 ★

प्रेरक, प्रतिरोधी या शून्य? (क) गिरते सेब का भार; (ख) ऊपर जाती गेंद का भार; (ग) सरकते डिब्बे पर अभिलंब बल; (घ) ब्रेक लगाती साइकिल पर घर्षण; (ङ) झूलते लोलक के गोलक पर डोरी का तनाव।

हल

हल — अभ्यास 17.3.

(क) प्रेरक; (ख) प्रतिरोधी; (ग) शून्य (लंबवत); (घ) प्रतिरोधी; (ङ) शून्य — डोरी का तनाव गोलक की गति के लंबवत ही बना रहता है।

अभ्यास 17.4 ★

कोई क्रेन $600\,\mathrm{kg}$ को अचर चाल से $25\,\mathrm{m}$ ऊपर उठाती है। उठाने वाले बल का और भार का कार्य? उनका योग क्या है, और क्यों?

हल

हल — अभ्यास 17.4.

अचर चाल: उठाने वाला बल $= mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ , इसलिए $W_{\text{उठाव}} = 5886 \times 25 \approx +147\,\mathrm{kJ}$ और $W(\vect P) = -147\,\mathrm{kJ}$ । योग शून्य: अचर वेग पर बल संतुलित रहते हैं (अध्याय 16), इसलिए उनके कार्य भी कट जाते हैं।

अभ्यास 17.5 ★

एस्केलेटर की मोटर हर मिनट $90\,\mathrm{kJ}$ कार्य करती है। वाट में उसकी शक्ति? अश्वशक्ति में?

हल

हल — अभ्यास 17.5.

$P = 9.0 \times 10^{4}/60 = 1.5\,\mathrm{kW}$ ; $1500/736 \approx 2.0\,\mathrm{hp}$ ।

अभ्यास 17.6 ★★

एक स्लेज को बर्फ़ से $30{}^{\circ}$ ऊपर $120\,\mathrm{N}$ तनाव वाली रस्सी से $200\,\mathrm{m}$ खींचा जाता है; घर्षण $45\,\mathrm{N}$ है। चारों बलों (रस्सी, घर्षण, भार, अभिलंब) में से हर एक का कार्य और कुल?

हल

हल — अभ्यास 17.6.

रस्सी: $120 \times 200 \times \cos30{}^{\circ} \approx +20.8\,\mathrm{kJ}$ ; घर्षण: $-45 \times 200 = -9.0\,\mathrm{kJ}$ ; भार और अभिलंब बल, दोनों लंबवत: $0$ । कुल $+11.8\,\mathrm{kJ}$ : स्लेज की चाल बढ़ती है।

अभ्यास 17.7 ★★

कोई साइकिल-सवार $18\,\mathrm{N}$ के कुल कर्षण के विरुद्ध अचर $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलता है। दी गई शक्ति? एक घंटे में किया गया कार्य?

हल

हल — अभ्यास 17.7.

$v = 25/3.6 = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $P = Fv = 18 \times 6.94 \approx 125\,\mathrm{W}$ । एक घंटे में $W = P\,\Delta t = 125 \times 3600 = 450\,\mathrm{kJ}$ (या यों कहिए, $18 \times 25\,000\,\mathrm{m}$ )।

अभ्यास 17.8 ★★

$65\,\mathrm{kg}$ का स्कीबाज़ $120\,\mathrm{m}$ ऊँचाई उतरता है, या तो $800\,\mathrm{m}$ की खड़ी ढलान से या $1500\,\mathrm{m}$ के हलके रास्ते से; दोनों पर स्कियों पर घर्षण $30\,\mathrm{N}$ है। दोनों रास्तों पर भार का और घर्षण का कार्य? कौन-सा कार्य रास्ते की परवाह करता है?

हल

हल — अभ्यास 17.8.

भार, दोनों रास्तों पर: $+65 \times 9.81 \times 120 \approx +76.5\,\mathrm{kJ}$ (केवल गिरावट)। घर्षण: ढलान पर $-30 \times 800 = -24\,\mathrm{kJ}$ , रास्ते पर $-30 \times 1500 = -45\,\mathrm{kJ}$ । रास्ते की परवाह केवल घर्षण करता है।

अभ्यास 17.9 ★★

$20\,\mathrm{kg}$ का डिब्बा $25{}^{\circ}$ की ढलान पर घर्षण के $30\,\mathrm{N}$ के विरुद्ध अचर चाल से $4.0\,\mathrm{m}$ ऊपर धकेला जाता है। भार और घर्षण के कार्य निकालिए, फिर (अचर चाल से) ढलान के समांतर लगते धक्के का कार्य और परिमाण।

हल

हल — अभ्यास 17.9.

चढ़ाई $h = 4.0\sin25{}^{\circ} = 1.69\,\mathrm{m}$ : $W(\vect P) = -20 \times 9.81 \times 1.69 \approx -332\,\mathrm{J}$ ; $W_f = -30 \times 4.0 = -120\,\mathrm{J}$ । अचर चाल: कुल कार्य शून्य, इसलिए $W_{\text{धक्का}} = +452\,\mathrm{J}$ और $F = 452/4.0 \approx 113\,\mathrm{N}$ ।

अभ्यास 17.10 ★★

कोई कार $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलती है और उसका इंजन पहियों तक $50\,\mathrm{kW}$ पहुँचाता है। वह कुल कितने प्रतिरोधी बल से लड़ रही है?

हल

हल — अभ्यास 17.10.

$v = 130/3.6 = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; अचर चाल है, इसलिए $F = P/v = 5.0 \times 10^{4}/36.1 \approx 1.4\,\mathrm{kN}$ ।

अभ्यास 17.11 ★★

नहर का एक घोड़ा नाव को $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से खींचता है, और $800\,\mathrm{N}$ तनाव वाली रस्सी पगडंडी से $20{}^{\circ}$ का कोण बनाती है। घोड़े की शक्ति वाट में और अश्वशक्ति में निकालिए। टिप्पणी कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.11.

$P = Fv\cos\theta = 800 \times 1.0 \times \cos20{}^{\circ} \approx 752\,\mathrm{W}$ ; अश्वशक्ति में $752/736 \approx 1.02$ — लगभग ठीक उतना ही जितना कोई मज़बूत घोड़ा लगातार दे सकता है, यानी वही तुलना जिस पर वाट ने अपना मात्रक गढ़ा था।

अभ्यास 17.12 ★★★

$1200\,\mathrm{kg}$ की कार दर्रे तक $h = 300\,\mathrm{m}$ चढ़ती है, या तो $20\%$ ढाल वाले सीधे रास्ते से या $6\%$ ढाल वाली घुमावदार सड़क से (ढाल $= \sin\alpha$ )। घर्षण छोड़कर, अचर चाल पर, हर रास्ते के लिए लंबाई, ढलान के अनुदिश ज़रूरी बल और उसका कार्य निकालिए। एक वाक्य में निष्कर्ष लिखिए।

हल

हल — अभ्यास 17.12.

लंबाइयाँ $L = h/\text{ढाल}$ : $1500\,\mathrm{m}$ और $5000\,\mathrm{m}$ । बल $F = mg \times \text{ढाल}$ : $1200 \times 9.81 \times 0.20 \approx 2.35\,\mathrm{kN}$ और $0.71\,\mathrm{kN}$ । कार्य $FL$ : $2354 \times 1500 \approx 3.53\,\mathrm{MJ}$ और $706 \times 5000 \approx 3.53\,\mathrm{MJ}$ — दोनों $mgh$ के बराबर: सड़क बल के बदले लंबाई देती है, कार्य के बदले कभी नहीं।

अभ्यास 17.13 ★★★

एक चरखी $250\,\mathrm{kg}$ खपरैल को मचान पर स्थिर $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से $15\,\mathrm{m}$ ऊपर उठाती है। तार के बल का कार्य, लगा समय, यांत्रिक शक्ति (दो बार: $W/\Delta t$ और $Fv$ ) और $70\%$ मोटर-दक्षता पर खींची जाती विद्युत शक्ति निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 17.13.

$F = mg = 2.45 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ ; $W = 2453 \times 15 \approx 36.8\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta t = 15/0.40 = 37.5\,\mathrm{s}$ ; $P = 36800/37.5 \approx 981\,\mathrm{W} = 2453 \times 0.40$ ( $Fv$ से मेल खाता है); विद्युत: $981/0.70 \approx 1.4\,\mathrm{kW}$ ।

अभ्यास 17.14 ★★★

एक अलमारी को घर्षण के $f = 140\,\mathrm{N}$ के विरुद्ध कमरे के एक कोने से सामने वाले कोने तक सरकाया जाता है: या तो सीधे $6.0\,\mathrm{m}$ के विकर्ण पर, या दीवारों के सहारे $3.6\,\mathrm{m}$ और फिर $4.8\,\mathrm{m}$ । हर रास्ते पर घर्षण का कार्य, और फिर विकर्ण पर आने-जाने के चक्कर में? उस चक्कर में भार क्या करता है, और इससे दोनों बलों के बीच का कौन-सा गहरा अंतर उजागर होता है?

हल

हल — अभ्यास 17.14.

विकर्ण: $-140 \times 6.0 = -840\,\mathrm{J}$ ; दीवारें: $-140 \times 8.4 \approx -1.18\,\mathrm{kJ}$ ; आने-जाने का चक्कर: $-140 \times 12 = -1.68\,\mathrm{kJ}$ । चक्कर में भार शून्य करता है (कुल गिरावट कोई नहीं)। घर्षण का कार्य पथ पर निर्भर करता है और कभी लौटाता नहीं; भार का केवल सिरों पर निर्भर करता है (टिप्पणी 17.10)।

अभ्यास 17.15 ★★★

एक साइकिल-सवार (साइकिल समेत $80\,\mathrm{kg}$ ) दर्रा चढ़ता है: $12\,\mathrm{km}$ सड़क पर $600\,\mathrm{m}$ ऊँचाई, अचर $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर, कर्षण और लोटनी प्रतिरोध के $14\,\mathrm{N}$ के विरुद्ध। गुरुत्व के विरुद्ध, घर्षण के विरुद्ध और कुल दिया गया कार्य निकालिए; चढ़ाई की अवधि; और औसत शक्ति, वाट तथा अश्वशक्ति में।

हल

हल — अभ्यास 17.15.

गुरुत्व: $80 \times 9.81 \times 600 \approx 471\,\mathrm{kJ}$ ; घर्षण: $14 \times 12000 = 168\,\mathrm{kJ}$ ; कुल $639\,\mathrm{kJ}$ । $v = 4.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , इसलिए $\Delta t = 12000/4.17 = 2880\,\mathrm{s} = 48\,\mathrm{min}$ और $P = 6.39 \times 10^{5}/2880 \approx 222\,\mathrm{W} \approx 0.30\,\mathrm{hp}$ — यानी एक मज़बूत शौक़िया सवार, घोड़े का तिहाई।

17.6 समस्या: सामान ढोने वालों का दिन

समस्या 17.1

सप्ताहांत समस्या — भौतिकी जूल के हिसाब से भुगतान करती है: सरकाने, ऊपर चढ़ाने और हेयरपिन मोड़ों से भरा एक दिन, और अंत में यह विनम्र करती खोज कि ईमानदार मेहनत के बारे में एक केतली क्या सोचती है

सामान ढोने वालों की एक टोली गोदाम ख़ाली करती है, बोझ को तीसरी मंज़िल के फ़्लैट तक चढ़ाती है, और फिर वैन को पहाड़ी की चोटी के गाँव तक ले जाती है। हर काम का दाम जूल में लगेगा; और रसोई की केतली दिन भर का हिसाब जाँचेगी। डिब्बे: $30\,\mathrm{kg}$ ।

भाग I — गोदाम के फ़र्श पर। एक डिब्बे को क्षैतिज बल $F = 110\,\mathrm{N}$ से $d = 8.0\,\mathrm{m}$ धकेला जाता है; सरकन घर्षण $f = 95\,\mathrm{N}$ है।

धक्के का कार्य निकालिए।
घर्षण, भार और अभिलंब बल का कार्य निकालिए (शून्यों का कारण दीजिए)।
डिब्बे पर कुल कार्य और उसके चिह्न का अर्थ क्या है (डिब्बा विराम से चला था)? किस धक्के पर चाल अचर बनी रहेगी (अध्याय 16)?
दूर वाले कोने तक $10.0\,\mathrm{m}$ के विकर्ण से पहुँचा जा सकता है, या दो दीवारों के सहारे ( $6.0\,\mathrm{m}$ और फिर $8.0\,\mathrm{m}$ )। हर रास्ते पर घर्षण का कार्य?
विकर्ण पर आने-जाने के चक्कर में घर्षण का कार्य और भार का कार्य निकालिए। कौन-सा बल लौटाता है?

भाग II — तीसरी मंज़िल तक ( $h = 9.0\,\mathrm{m}$ )।

फ़्लैट तक उठाए गए डिब्बे पर भार का कार्य निकालिए। टोली को कम से कम कितना कार्य देना ही होगा?
$70\,\mathrm{kg}$ का मज़दूर उसे सीढ़ियों से ऊपर ले जाता है और गुरुत्व मज़दूर और डिब्बा, दोनों का दाम वसूलता है: गुरुत्व के विरुद्ध कुल कार्य, और उसका कितना अंश सचमुच डिब्बे पर ख़र्च हुआ?
उसी $9.0\,\mathrm{m}$ चढ़ाई के लिए ठेली की ढलान $30\,\mathrm{m}$ लंबी है, और उस पर लोटनी घर्षण $40\,\mathrm{N}$ है। अचर चाल पर ढलान के अनुदिश ज़रूरी धक्का और उसका कार्य निकालिए।
ढलान की तुलना सीधे ऊर्ध्वाधर उठाव से कीजिए: ज़रूरी बल, किया गया कार्य। ढलान से क्या मिलता है, और किस क़ीमत पर?
रस्सी-घिरनी वाला उठाव डिब्बे को $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से उठाता है। अवधि और यांत्रिक शक्ति?
उस शक्ति को $P = Fv$ में भी लिखिए। उठाव की मोटर $60\%$ दक्ष है: खींची गई विद्युत शक्ति?

भाग III — घुमावदार सड़क। लदी वैन ( $3500\,\mathrm{kg}$ ) को घाटी से $240\,\mathrm{m}$ ऊपर बसे गाँव तक पहुँचना है: या तो सीधी पगडंडी, $24\%$ ढाल पर $1.0\,\mathrm{km}$ , या पक्की सड़क, $3.0\%$ ढाल पर $8.0\,\mathrm{km}$ (ढाल $= \sin\alpha$ )।

जाँचिए कि दोनों रास्ते वही $240\,\mathrm{m}$ चढ़ते हैं।
अचर चाल पर और घर्षण छोड़कर, हर रास्ते पर ज़रूरी चालक बल निकालिए।
हर रास्ते पर चालक बल का कार्य? $mgh$ से तुलना कीजिए।
दोनों पर लोटनी प्रतिरोध $400\,\mathrm{N}$ है: हर रास्ते पर अतिरिक्त कार्य निकालिए। घुमावदार रास्ते का आराम किस दाम पर मिलता है?
$36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर हर रास्ते के लिए ज़रूरी इंजन-शक्ति निकालिए ( $\mathrm{kW}$ और $\mathrm{hp}$ में)। सड़कें घुमावदार क्यों होती हैं?

भाग IV — दिन भर का बहीखाता।

टोली $60$ डिब्बे फ़र्श पर सरकाती है (प्रश्न 1 वाला धक्का) और सभी $60$ को $9.0\,\mathrm{m}$ ऊपर चढ़ाती है (प्रश्न 6)। डिब्बों को दिया गया कुल यांत्रिक कार्य?
सीढ़ी चढ़ने वाले का अपना शरीर भी जोड़िए: $70\,\mathrm{kg}$ पर $20$ चढ़ाइयाँ (उतरने पर लौटी ऊर्जा गरम घुटनों में जाती है, बहीखाते में नहीं)। दिन का कुल?
टोली ने $8.0$ घंटे काम किया: औसत यांत्रिक शक्ति? उतनी ही ऊर्जा ख़र्च करने में $2.0\,\mathrm{kW}$ की केतली को कितना समय लगेगा?
समापन: दो वाक्यों में लिखिए कि जूल किसका दाम चुकाता है — और किसका नहीं (दोपहर भर धकेली गई दीवार, निश्चल थामा गया डिब्बा) — और सामान ढोने वाले बड़ी माँसपेशियों के बजाय चरखियाँ, ढलानें और घुमावदार सड़कें क्यों रखते हैं।

हल

हल — समस्या 17.1.

1. $W = 110 \times 8.0 = +880\,\mathrm{J}$ ।

2. घर्षण: $-95 \times 8.0 = -760\,\mathrm{J}$ । भार और अभिलंब बल गति के लंबवत हैं: दोनों शून्य।

3. कुल $+120\,\mathrm{J}$ : शुद्ध प्रेरक कार्य, इसलिए डिब्बे की चाल बढ़ती है। $95\,\mathrm{N}$ का धक्का घर्षण को काट देता है — परिणामी बल शून्य, चाल अचर, कुल कार्य शून्य।

4. विकर्ण: $-95 \times 10.0 = -950\,\mathrm{J}$ ; दीवारें: $-95 \times 14.0 = -1.33\,\mathrm{kJ}$ : घर्षण मीटर के हिसाब से वसूलता है।

5. घर्षण: $-95 \times 20.0 = -1.9\,\mathrm{kJ}$ ; भार: $0$ (कुल गिरावट कोई नहीं)। लौटाता केवल भार है।

6. $W(\vect P) = -30 \times 9.81 \times 9.0 = -2.65\,\mathrm{kJ}$ ; टोली को कम से कम $+2.65\,\mathrm{kJ}$ देना ही होगा।

7. $(70 + 30) \times 9.81 \times 9.0 = 8.83\,\mathrm{kJ}$ ; डिब्बे का हिस्सा $2.65/8.83 \approx 30\%$ है — यानी ढोना असल में ज़्यादातर अपने आप को ढोना है।

8. $\sin\alpha = 9.0/30 = 0.30$ : $F = mg\sin\alpha + f = 88.3 + 40 = 128\,\mathrm{N}$ ; $W = 128 \times 30 = 3.85\,\mathrm{kJ}$ ( $= 2.65 + 1.2$ )।

9. ऊर्ध्वाधर उठाव: $F = mg = 294\,\mathrm{N}$ , $W = 2.65\,\mathrm{kJ}$ । ढलान छोटा बल ख़रीद देती है ( $294\,\mathrm{N}$ के मुक़ाबले $128$ ), पर उसका दाम अधिक कार्य है: घर्षण की $1.2\,\mathrm{kJ}$ चुंगी।

10. $\Delta t = 9.0/0.50 = 18\,\mathrm{s}$ ; $P = 2649/18 \approx 147\,\mathrm{W}$ ।

11. $P = Fv = 294 \times 0.50 = 147\,\mathrm{W}$ — वही। विद्युत: $147/0.60 \approx 245\,\mathrm{W}$ ।

12. $1000 \times 0.24 = 240\,\mathrm{m}$ और $8000 \times 0.030 = 240\,\mathrm{m}$ : वही चोटी।

13. $F = mg \times \text{ढाल}$ : पगडंडी $3500 \times 9.81 \times 0.24 \approx 8.2\,\mathrm{kN}$ ; सड़क $\approx 1.0\,\mathrm{kN}$ ।

14. $8240 \times 1000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ}$ और $1030 \times 8000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ}$ — दोनों $= mgh = 3500 \times 9.81 \times 240$ ।

15. लोटनी प्रतिरोध: $400 \times 8000 = 3.2\,\mathrm{MJ}$ के मुक़ाबले $400 \times 1000 = 0.40\,\mathrm{MJ}$ : हलकी सड़क का आराम घर्षण के $2.8\,\mathrm{MJ}$ अतिरिक्त के दाम पर मिलता है।

16. $v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । सड़क: $(1030 + 400) \times 10 = 14.3\,\mathrm{kW} \approx 19\,\mathrm{hp}$ ; पगडंडी: $(8240 + 400) \times 10 = 86.4\,\mathrm{kW} \approx 117\,\mathrm{hp}$ — यानी लदी वैन के बस से बाहर। सड़कें इसलिए घुमावदार होती हैं कि मामूली इंजन (और टायर) चढ़ सकें: वही कार्य, बस पतला फैलाकर।

17. प्रति डिब्बा: $880 + 2649 = 3.53\,\mathrm{kJ}$ ; $60$ डिब्बों के लिए $60 \times 3529 \approx 212\,\mathrm{kJ}$ ।

18. सीढ़ियाँ: $20 \times 70 \times 9.81 \times 9.0 \approx 124\,\mathrm{kJ}$ । दिन का कुल $\approx 336\,\mathrm{kJ} = 0.34\,\mathrm{MJ}$ ।

19. $P = 3.36 \times 10^{5}/28800 \approx 12\,\mathrm{W}$ । केतली: $3.36 \times 10^{5}/2000 = 168\,\mathrm{s}$ — यानी पूरे दिन की मेहनत के बराबर तीन मिनट से भी कम।

20. जूल उसी बल का दाम चुकाता है जो गति के अनुदिश लगे — धकेली गई दीवार या थामे रखे डिब्बे का कुछ नहीं, चाहे वह कितना ही थकाऊ हो (माँसपेशियाँ शून्य यांत्रिक कार्य करते हुए भी रासायनिक ऊर्जा जलाती रहती हैं)। और चूँकि मनुष्य की शक्ति कुछ दर्जन वाट भर है, इसलिए ढोने वाले बल को नए साँचे में ढालने का काम मशीनों को सौंप देते हैं — चरखी, ढलान, घुमावदार सड़क — जबकि बिल $mgh$ कभी नहीं बदलता।