माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

26मुक्त पतन और प्रक्षेप्य गति

बग़ीचे की नली की हर धार हवा में वही वक्र खींचती है। वही वक्र टोकरी की ओर उठती बास्केटबॉल खींचती है, लंबी कूद लगाता खिलाड़ी खींचता है, तोप का गोला खींचता है — यानी हर वह पिंड जो अपने भार के भरोसे छोड़ दिया जाए। यह अध्याय उस वक्र को — एक परवलय — न्यूटन के दूसरे नियम से कलन की दो पंक्तियों में कमा लेता है, उसके समीकरण से शिखर, उड़ान-काल और परास पढ़ लेता है, और फिर हवा को भीतर आने देकर देखता है कि वह क्या बिगाड़ती है।

26.1 मुक्त पतन

परिभाषा 26.1 (मुक्त पतन)

कोई पिंड मुक्त पतन में तब है जब उस पर लगता एकमात्र बल उसका भार $\vect P = m\vect g$ हो: न कोई आधार, न कोई डोरी, और वायु-प्रतिरोध नगण्य। छोड़ा हुआ पत्थर या हाथ से निकल चुकी गेंद अच्छी परिशुद्धता तक मुक्त पतन में है — और “पतन” में ऊपर उठना भी शामिल है।

प्रमेय 26.2 (गैलीलियो का मुक्त पतन का नियम)

मुक्त पतन में सभी पिंडों का त्वरण एक ही होता है, उनका द्रव्यमान चाहे जो हो:

\vect a = \vect g, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},

और वह सीधे नीचे की ओर होता है: यानी अध्याय 4 की क्षेत्र-प्रबलता $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ अपनी दूसरी पोशाक में, $\mathrm{N}/\mathrm{kg} = \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ।

उपपत्ति. न्यूटन का दूसरा नियम (अध्याय 25) एकमात्र बल के रूप में भार के साथ: $m\vect a = m\vect g$ , और द्रव्यमान कट जाता है। हथौड़ा और पंख केवल हवा के कारण अलग-अलग गिरते हैं। ∎

प्रतिज्ञप्ति 26.3 (विराम से ऊर्ध्वाधर पतन)

विराम से छोड़े जाने पर, जब गिरी हुई गहराई $h$ छोड़ने के बिंदु से नीचे की ओर गिनी जाए, तो मुक्त पतन में कोई पिंड यह मानता है:

a = g, \qquad v = g t, \qquad h = \tfrac12\, g t^2 .

उपपत्ति. $v(t)$ अचर $a = g$ का वह प्रतिअवकलज है जो $t = 0$ पर लुप्त हो जाता है (अध्याय 24); और $h(t)$ $v = gt$ का वह प्रतिअवकलज है जो $t = 0$ पर लुप्त होता है। ∎

उदाहरण 26.4 (परिमाण की कोटियाँ)

मुक्त पतन के $1$ , $2$ , $3$ सेकंड बाद: $v = 9.8$ , $19.6$ , $29.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $35$ , $71$ , $106\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) और $h = 4.9$ , $19.6$ , $44.1\,\mathrm{m}$ । $30\,\mathrm{m}$ ऊँची छत से: $t = \sqrt{2h/g} \approx 2.5\,\mathrm{s}$ , और पहुँचते समय $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ $\approx 87\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ । समय $\sqrt h$ की तरह बढ़ते हैं — और कुछ सेकंड बाद हवा नगण्य बने रहने से इनकार कर देती है (अंतिम अनुभाग)।

उदाहरण 26.5 (ऊर्ध्वाधर उछाल)

$v_0$ से सीधे ऊपर फेंकिए, और अक्ष $Oy$ हाथ से ऊपर की ओर लीजिए: वही दो प्रतिअवकलज $v = v_0 - gt$ और $y = v_0 t - \tfrac12 gt^2$ दे देते हैं। शिखर, जहाँ $v = 0$ , $t = v_0/g$ पर आता है, और ऊँचाई $h = v_0^2/2g$ — यानी अध्याय 18 का ऊर्जा वाला उत्तर $v_0 = \sqrt{2gh}$ उलटी दिशा में चलाया हुआ; और नीचे फेंकने पर $v_0$ का चिह्न पलट जाता है। $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के लिए: शिखर $1.53\,\mathrm{s}$ पर $11.5\,\mathrm{m}$ , और वापस $3.06\,\mathrm{s}$ पर, $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से।

26.2 प्रक्षेप्य: एक नियम, दो प्रतिअवकलज

परिभाषा 26.6 (प्रक्षेप्य)

प्रक्षेप्य वह पिंड है जिसे वेग $\vect v_0$ से छोड़ दिया जाए और फिर मुक्त पतन पर छोड़ दिया जाए। छोड़ने के बिंदु पर अक्ष: $Ox$ $\vect v_0$ के ऊर्ध्वाधर तल में क्षैतिज, $Oy$ ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर; और क्षैतिज से $\vect v_0$ का प्रक्षेप कोण $\alpha$ उसके निर्देशांक $(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha)$ तय कर देता है।

प्रमेय 26.7 (गति के समीकरण)

मूल बिंदु से चाल $v_0$ और कोण $\alpha$ पर छोड़े गए प्रक्षेप्य का हर क्षण $\vect a = (0,\,-g)$ होता है, इसलिए

\vect v(t) = \bigl(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha - g t\bigr), \qquad \begin{cases} x(t) = v_0\cos\alpha\; t,\\[2pt] y(t) = v_0\sin\alpha\; t - \tfrac12\, g t^2 . \end{cases}

उपपत्ति. न्यूटन का दूसरा नियम $\vect a = \vect g = (0,-g)$ देता है। अक्ष-दर-अक्ष प्रतिअवकलज: आरंभिक मान $(v_0\cos\alpha,\, v_0\sin\alpha)$ के साथ $\vect a$ से $\vect v(t)$ , फिर $\vect v$ से और $(0,0)$ से स्थिति। ∎

प्रतिज्ञप्ति 26.8 (दोनों गतियों की स्वतंत्रता)

क्षैतिज गति एकसमान है — $v_x$ कभी बदलता ही नहीं — और ऊर्ध्वाधर गति ठीक पिछले अनुभाग का ऊर्ध्वाधर उछाल है: किसी भी समीकरण में दूसरे का निर्देशांक आता ही नहीं। विशेष रूप से, एक ही ऊँचाई से एक ही क्षण क्षैतिज दिशा में दागी गई गेंद और छोड़ी गई गेंद हर समय एक-दूसरे के बराबर ऊँचाई पर रहती हैं — और साथ-साथ गिरती हैं।

उपपत्ति. प्रमेय 26.7 में $x(t)$ केवल $v_0\cos\alpha$ को शामिल करता है और $y(t)$ केवल $v_0\sin\alpha$ तथा $g$ को; और दोनों गेंदों का $v_y(0) = 0$ है, इसलिए दोनों $h = \tfrac12 gt^2$ मानती हैं। ∎

एक गेंद छोड़ी गई, दूसरी उसी क्षण क्षैतिज दिशा में दागी गई: हर समय t_1, t_2, t_3 दोनों की ऊँचाई एक ही — चाल किसी को नहीं रोकती। — एक गेंद छोड़ी गई, दूसरी उसी क्षण क्षैतिज दिशा में दागी गई: हर समय $t_1$ , $t_2$ , $t_3$ दोनों की ऊँचाई एक ही — चाल किसी को नहीं रोकती।

टिप्पणी 26.9 (गिरता बंदर)

कोई चिड़ियाघर-रक्षक तीर सीधे बंदर पर ताककर चलाता है, और बंदर गोली छूटते ही डाल छोड़ देता है। बुरी चाल: तीर और बंदर, दोनों अपनी गुरुत्व-रहित स्थितियों — यानी ताक की रेखा और डाल — से $\tfrac12 gt^2$ नीचे गिरते हैं, इसलिए वे ठीक मिल जाते हैं, तीर की चाल चाहे जो हो (अभ्यास 26.15)।

26.3 परवलय, पूरा पढ़ा हुआ

प्रमेय 26.10 (गतिपथ)

$x(t)$ और $y(t)$ के बीच से $t$ हटा दीजिए: प्रक्षेप्य ( $0 \leq \alpha < 90{}^{\circ}$ ) का गतिपथ नीचे की ओर खुलता वह परवलय है

y = x\tan\alpha \;-\; \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}\, x^2 .

उपपत्ति. $t = x/(v_0\cos\alpha)$ को प्रमेय 26.7 के $y(t)$ में रख दीजिए। ∎

उड़ान भर वेग: v_x कभी नहीं बदलता; v_y सिकुड़ता है, शिखर पर लुप्त हो जाता है, फिर पलट जाता है — तीर झुकता जाता है, और परवलय उसके पीछे चलता है। — उड़ान भर वेग: $\vect v_x$ कभी नहीं बदलता; $\vect v_y$ सिकुड़ता है, शिखर पर लुप्त हो जाता है, फिर पलट जाता है — तीर झुकता जाता है, और परवलय उसके पीछे चलता है।

परिभाषा 26.11 (परास)

समतल ज़मीन पर किसी प्रक्षेप्य का परास $R$ वह क्षैतिज दूरी है जो वह अपनी छोड़ने वाली ऊँचाई पर लौटने तक तय करता है; और उड़ान-काल $t_f$ उसी सफ़र की अवधि।

प्रतिज्ञप्ति 26.12 (शिखर, उड़ान-काल, परास)

समतल ज़मीन पर, $0 < \alpha < 90{}^{\circ}$ के साथ:

t_f = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}, \qquad h_{\text{शीर्ष}} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g} \ \ \text{जो } t_f/2 \text{ पर मिलता है}, \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}.

परास $\alpha = 45{}^{\circ}$ पर सबसे बड़ा होता है, जहाँ $R = v_0^2/g$ ; और पूरक कोण $\alpha$ तथा $90{}^{\circ} - \alpha$ वही परास देते हैं।

उपपत्ति. $y = 0$ से $t\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 gt) = 0$ मिलता है: यानी छोड़ना, और $t_f$ । शिखर, $v_y = 0$ , $t = v_0\sin\alpha/g = t_f/2$ पर बैठता है; उसे $y(t)$ में रख दीजिए। फिर $R = x(t_f) = 2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha/g = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ । ज्या $2\alpha = 90{}^{\circ}$ पर चरम पर होती है, और $\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ} - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$ । ∎

वही छोड़ने की चाल v_0 = 10\, m/ s, पाँच कोण: 45 सबसे दूर फेंकता है; और युग्म (15,75) तथा (30,60) साथ-साथ गिरते हैं — एक चपटा और तेज़, दूसरा ऊँचा और धीमा। — वही छोड़ने की चाल $v_0 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , पाँच कोण: $45{}^{\circ}$ सबसे दूर फेंकता है; और युग्म ( $15{}^{\circ}$ , $75{}^{\circ}$ ) तथा ( $30{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ ) साथ-साथ गिरते हैं — एक चपटा और तेज़, दूसरा ऊँचा और धीमा।

उदाहरण 26.13 (गोल-किक)

गोलरक्षक $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 45{}^{\circ}$ पर मारता है: $R = 25^2/9.81 \approx 64\,\mathrm{m}$ ; असली किक $55\,\mathrm{m}$ के आसपास गिरती हैं — यानी हवा की कटौती।

विधि 26.14 (प्रक्षेप्य का बहीखाता)

छोड़ने के बिंदु पर अक्ष, $Ox$ क्षैतिज और $Oy$ ऊपर; और $\vect v_0$ के निर्देशांक।
मुक्त पतन (केवल भार) जाँच लीजिए: तब $\vect a = (0,-g)$ ; दो बार प्रतिअवकलज, और हर बार आरंभिक शर्तें।
जगह का प्रश्न हो: $t$ हटा दीजिए (गतिपथ)। क्षण का हो: $t$ रखे रहिए।
शब्दावली: शिखर $\Leftrightarrow v_y = 0$ ; छोड़ने की ऊँचाई $\Leftrightarrow y = 0$ ; $d \Leftrightarrow x = d$ पर दीवार; $\Leftrightarrow y = -\ell$ से $\ell$ नीचे फ़र्श।
समझदारी की जाँच: उड़ान शिखर के दोनों ओर सममित; $R \leq v_0^2/g$ ; और हवा हमेशा घटाती ही है।

26.4 हवा क्या बदल देती है

परिभाषा 26.15 (सीमांत चाल)

वायु-प्रतिरोध वेग का विरोध करता है और चाल के साथ बढ़ता है। इसलिए गिरता पिंड तभी तक त्वरित होता है जब तक कर्षण भार को नहीं काट देता; उसके बाद $\vect a = \vect 0$ : वह अचर सीमांत चाल से गिरता है।

उदाहरण 26.16 (सीमांत चाल की कोटियाँ)

पूरे फैले हुए छत्रीधारी की: लगभग $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ )। बारिश की बूँद की: लगभग $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — निर्वात में $2000\,\mathrm{m}$ गिरने पर वह $\sqrt{2gh} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से पहुँचती। पंख की: लगभग $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , और वह भी कुछ सेंटीमीटर के भीतर ही पा ली जाती है — उसकी सुस्ती का यही रहस्य है: वह अपना पूरा पतन सीमांत चाल पर बिताता है, जबकि हथौड़ा अपनी सीमांत चाल के आसपास तक नहीं पहुँचता।

टिप्पणी 26.17 (असली प्रक्षेप्य-विद्या)

कर्षण पूरी उड़ान भर वेग के विरुद्ध धकेलता रहता है: परास छोटा हो जाता है, शिखर नीचे आ जाता है, और सममिति टूट जाती है — उतार चढ़ाई से अधिक खड़ा, और लंबे शॉट परवलय से साफ़ दिखते हुए पीछे। ईमानदार, मात्रात्मक बरताव एक अवकल समीकरण है जो वर्ष 1 के खंड में हल किया गया है; इस वर्ष परवलय घने और मध्यम तेज़ प्रक्षेप्यों के लिए सही प्रतिरूप है — $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर बास्केटबॉल के लिए हाँ, $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर गोल्फ़ की गेंद के लिए नहीं।

वही छोड़ना, हवा के साथ और उसके बिना: कर्षण परास और शिखर, दोनों काट देता है और प्रक्षेप्य को उछलने से अधिक खड़ी ढाल पर उतारता है — परवलय की सममिति ही पहली शहीद होती है।

26.5 अभ्यास

अभ्यास 26.1 ★

पुल से छोड़ा गया पत्थर $2.0\,\mathrm{s}$ बाद पानी से टकराता है: पुल की ऊँचाई, और टकराने की चाल $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ तथा $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में?

हल

हल — अभ्यास 26.1.

$h = \tfrac12 \times 9.81 \times 2.0^2 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = gt = 19.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

अभ्यास 26.2 ★

चंद्रमा पर किसी अंतरिक्ष यात्री ने हथौड़ा और पंख एक साथ छोड़े: वे साथ-साथ गिरे। क्यों — और पृथ्वी पर पंख इतनी बुरी तरह क्यों हारता है?

हल

हल — अभ्यास 26.2.

चंद्रमा पर हवा नहीं है: दोनों मुक्त पतन में हैं, और $m\vect a = m\vect g$ से हर द्रव्यमान के लिए $\vect a = \vect g$ मिलता है। पृथ्वी पर पंख पर लगता कर्षण उसके नन्हे भार जितना ही है: वह लगभग $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की सीमांत चाल पर सवार हो जाता है, जबकि हथौड़ा हवा को क़रीब-क़रीब गिनता ही नहीं।

अभ्यास 26.3 ★

हवा छोड़कर $1.0\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ , $100\,\mathrm{m}$ से गिरने का समय और पहुँचने की चाल निकालिए। समय ऊँचाई के साथ किस तरह बढ़ते हैं?

हल

हल — अभ्यास 26.3.

$t = \sqrt{2h/g} = 0.45$ , $1.4$ , $4.5\,\mathrm{s}$ ; $v = gt = 4.4$ , $14$ , $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । समय $\sqrt h$ की तरह बढ़ते हैं: ऊँचाई में $\times 100$ समय में केवल $\times 10$ है।

अभ्यास 26.4 ★

गेंद सीधे ऊपर $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से फेंकी जाती है: शिखर की ऊँचाई और समय, हाथ में लौटने तक कुल समय, और लौटने की चाल?

हल

हल — अभ्यास 26.4.

$t = v_0/g = 1.53\,\mathrm{s}$ पर $h = v_0^2/2g = 11.5\,\mathrm{m}$ ; और $3.06\,\mathrm{s}$ पर वापस, फिर $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से (सममिति)।

अभ्यास 26.5 ★

कोई कंचा $0.80\,\mathrm{m}$ ऊँची मेज़ से $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर लुढ़ककर गिर जाता है। गिरने का समय और किनारे से गिरने की दूरी निकालिए। क्या गिरने का समय कंचे की चाल पर निर्भर करता है?

हल

हल — अभ्यास 26.5.

$t = \sqrt{2 \times 0.80/9.81} = 0.40\,\mathrm{s}$ ; $x = 2.5 \times 0.40 = 1.0\,\mathrm{m}$ । नहीं: गिरने का समय अकेली ऊर्ध्वाधर गति का है (स्वतंत्रता)।

अभ्यास 26.6 ★★

पाठ के पाँच-कोण वाले चित्र से: कौन-से प्रक्षेप कोण युग्म अपना परास साझा करते हैं, और कौन-सा कोण जीतता है? अधिकतम से कम परास के लिए दोनों संभव कोणों में से कौन-सा अधिक देर उड़ता है? $t_f$ से कारण दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 26.6.

$(15{}^{\circ},75{}^{\circ})$ और $(30{}^{\circ},60{}^{\circ})$ अपना परास साझा करते हैं; और जीतता $45{}^{\circ}$ है। पूरक युग्म में से खड़ा वाला अधिक देर उड़ता है: $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ $\alpha$ के साथ बढ़ता है।

अभ्यास 26.7 ★★

$20\,\mathrm{m}$ ऊँची बालकनी से गेंद सीधे नीचे $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से फेंकी जाती है। ज़मीन तक का समय और टकराने की चाल निकालिए; और दूसरे को ऊर्जा-संतुलन से जाँच लीजिए (अध्याय 18)।

हल

हल — अभ्यास 26.7.

$4.905\,t^2 + 5.0\,t - 20 = 0$ से $t = (-5 + \sqrt{25 + 392.4})/9.81 = 1.57\,\mathrm{s}$ मिलता है; $v = 5.0 + 9.81 \times 1.57 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । ऊर्जा से: $v = \sqrt{5.0^2 + 2 \times 9.81 \times 20} = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — वही।

अभ्यास 26.8 ★★

कोई प्रक्षेप्य समतल ज़मीन से $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 30{}^{\circ}$ पर निकलता है: उड़ान-काल, शिखर की ऊँचाई और परास?

हल

हल — अभ्यास 26.8.

$t_f = 2 \times 40 \times \sin30{}^{\circ}/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$ ; $h = (40\sin30{}^{\circ})^2/(2 \times 9.81) = 20.4\,\mathrm{m}$ ; $R = 40^2 \sin60{}^{\circ}/9.81 = 1.4 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 26.9 ★★

लंबी कूद के खिलाड़ी को प्रक्षेप्य मानिए: उछाल $10.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 20{}^{\circ}$ पर। परास निकालिए; चैंपियन लगभग $9\,\mathrm{m}$ कूदते हैं — बिंदु-प्रतिरूप जिन दो बातों को छोड़ देता है, उनके नाम बताइए।

हल

हल — अभ्यास 26.9.

$R = 10.5^2\sin40{}^{\circ}/9.81 \approx 7.2\,\mathrm{m}$ । छूट गया: द्रव्यमान केंद्र ऊँचे से उछलता है (शरीर तना हुआ) और नीचे तथा कहीं आगे उतरता है (टाँगें आगे फेंकी हुई), और कूदने वाला कोई बिंदु नहीं है — छूटे हुए $1.7\,\mathrm{m}$ उसी ज्यामिति में रहते हैं, परवलय में नहीं।

अभ्यास 26.10 ★★

समतल ज़मीन से $1.2\,\mathrm{m}$ ऊपर एक गोली छोड़ी जाती है और उसके जैसी दूसरी क्षैतिज दिशा में $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से दागी जाती है। कौन-सी पहले गिरेगी? गिरने का समय और दागी गई गोली के गिरने की दूरी निकालिए। यहाँ किस सिद्धांत की परीक्षा हो रही है?

हल

हल — अभ्यास 26.10.

साथ-साथ: दोनों का $v_y(0) = 0$ है, इसलिए $t = \sqrt{2 \times 1.2/9.81} = 0.49\,\mathrm{s}$ भी वही; और दागी गई गोली $300 \times 0.49 \approx 1.5 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ दूर गिरती है। यहाँ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गतियों की स्वतंत्रता की परीक्षा है।

अभ्यास 26.11 ★★

बीजगणित से दिखाइए कि $\alpha$ और $90{}^{\circ} - \alpha$ अपना परास साझा करते हैं, फिर वे दोनों कोण निकालिए जो $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के प्रक्षेप्य को $50\,\mathrm{m}$ दूर गिरा देते हैं।

हल

हल — अभ्यास 26.11.

$\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ}-2\alpha) = \sin(2\alpha)$ : वही $R$ । यहाँ $\sin(2\alpha) = gR/v_0^2 = 9.81 \times 50/625 = 0.785$ : $\alpha = 25.9{}^{\circ}$ या $64.1{}^{\circ}$ ।

अभ्यास 26.12 ★★★

बग़ीचे की नली से पानी $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से निकलता है: सबसे बड़ी क्षैतिज पहुँच? सबसे बड़ी ऊर्ध्वाधर ऊँचाई? और $5.0\,\mathrm{m}$ दूर की क्यारी सींचते नली के दोनों कोण?

हल

हल — अभ्यास 26.12.

$R_{\max} = v_0^2/g = 6.5\,\mathrm{m}$ ( $45{}^{\circ}$ पर); $h_{\max} = v_0^2/2g = 3.3\,\mathrm{m}$ (सीधे ऊपर)। $\sin(2\alpha) = 9.81 \times 5.0/64 = 0.766$ : $\alpha = 25.0{}^{\circ}$ या $65.0{}^{\circ}$ ।

अभ्यास 26.13 ★★★

कोई गेंद ज़मीन से $18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 35{}^{\circ}$ पर $15\,\mathrm{m}$ दूर लगी $4.0\,\mathrm{m}$ ऊँची बाड़ की ओर मारी जाती है। गतिपथ के समीकरण से तय कीजिए कि वह उसे पार करती है या नहीं, और कितने से।

हल

हल — अभ्यास 26.13.

$y(15) = 15\tan35{}^{\circ} - \dfrac{9.81 \times 15^2} {2 \times 18^2 \cos^235{}^{\circ}} = 10.5 - 5.1 = 5.4\,\mathrm{m}$ : वह $4.0\,\mathrm{m}$ ऊँची बाड़ को लगभग $1.4\,\mathrm{m}$ से पार कर जाती है।

अभ्यास 26.14 ★★★

$80\,\mathrm{kg}$ का छत्रीधारी चपटा फैलकर सीमांत चाल $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से गिरता है। (क) कर्षण-बल? (ख) छलाँग से आगे $v(t)$ का आकार खींचिए। (ग) बारिश की बूँद $2.0\,\mathrm{km}$ से गिरती है: निर्वात में पहुँचने की चाल बनाम उसकी असली $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?

हल

हल — अभ्यास 26.14.

(क) कर्षण भार को काट देता है: $80 \times 9.81 \approx 7.8 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ । (ख) $v(t)$ लगातार घटती ढाल के साथ चढ़ता है और $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर समतल हो जाता है। (ग) निर्वात में: $\sqrt{2 \times 9.81 \times 2000} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , यानी असली $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ का बीस गुना — बारिश की बूँदें अपना लगभग पूरा पतन सीमांत चाल पर बिताती हैं।

अभ्यास 26.15 ★★★

गिरता बंदर, सिद्ध करके: कोई तीर मूल बिंदु से ठीक उस बंदर पर ताककर छूटता है जो दूरी $D$ , ऊँचाई $H$ ( $\tan\alpha = H/D$ ) पर है और $t = 0$ पर गिर पड़ता है। दिखाइए कि तीर जब $x = D$ तक पहुँचता है तब उसकी ऊँचाई बंदर की ऊँचाई के बराबर होती है — $v_0$ चाहे जो हो।

हल

हल — अभ्यास 26.15.

$t^* = D/(v_0\cos\alpha)$ पर तीर की ऊँचाई $v_0\sin\alpha\, t^* - \tfrac12 g t^{*2} = D\tan\alpha - \tfrac12 g t^{*2} = H - \tfrac12 g t^{*2}$ है, जो छोड़े गए बंदर की $y = H - \tfrac12 g t^{*2}$ से ठीक बराबर है। दोनों अपने गुरुत्व-रहित बिंदुओं से $\tfrac12 gt^2$ नीचे लटके हैं — इसलिए वे किसी भी $v_0$ पर मिल जाते हैं।

26.6 समस्या: बास्केटबॉल का आख़िरी घंटी वाला शॉट

समस्या 26.1

सप्ताहांत समस्या — आख़िरी घंटी वाला बास्केटबॉल शॉट: तीर-दर-तीर चीरा गया एक फ़्री थ्रो, सेंटीमीटरों से बची उँगलियाँ, पूरे मैदान भर का वह उछाल जो बाँह की ताक़त के तराज़ू पर तौला जाता है, तख़्ते के ऊपर से एक लॉब — और खेल के सबसे नाटकीय शॉट पर एक फ़ैसला

बास्केटबॉल की टोकरी का घेरा फ़र्श से $3.05\,\mathrm{m}$ ऊपर एक क्षैतिज छल्ला है; नोरा हर शॉट $2.00\,\mathrm{m}$ पर छोड़ती है, इसलिए छोड़ने के बिंदु पर अक्ष रखने पर ( $Ox$ टोकरी की ओर क्षैतिज, $Oy$ ऊपर) घेरे का केंद्र मूल बिंदु से $1.05\,\mathrm{m}$ ऊपर बैठता है। जहाँ न कहा जाए, वहाँ हवा छोड़ दी गई है।

भाग I — फ़्री थ्रो। नोरा $d = 4.20\,\mathrm{m}$ (क्षैतिज) से प्रक्षेप कोण $\alpha = 50{}^{\circ}$ पर शॉट लगाती है।

छोड़ने के बाद कौन-से बल लगते हैं? प्रयुक्त नियम का हवाला देते हुए $\vect a$ दीजिए।
$\vect v(t)$ के निर्देशांक निकालिए।
$x(t)$ और $y(t)$ निकालिए।
$t$ हटाकर गतिपथ $y(x)$ प्राप्त कीजिए।
गेंद को घेरे के केंद्र $y(d) = 1.05\,\mathrm{m}$ से गुज़रना है: $v_0$ के लिए हल कीजिए, $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में।

भाग II — उँगलियों के ऊपर से, छल्ले के भीतर।

गेंद को घेरे तक पहुँचने में कितना समय लगता है?
शिखर का समय और ऊँचाई निकालिए; जाँचिए कि गेंद घेरे पर पहुँचते समय पहले से उतर रही है।
नोरा से $0.90\,\mathrm{m}$ आगे खड़ा एक विरोधी उँगलियाँ $2.60\,\mathrm{m}$ तक तान देता है। गेंद उनसे कितना ऊपर से निकलती है?
घेरे पर $v_x$ और $v_y$ , वहाँ की चाल, और वेग का क्षैतिज से नीचे का कोण निकालिए।
गेंद को उतरते हुए पहुँचना ही क्यों चाहिए — और खड़ी ढाल पर क्यों?

भाग III — पूरे मैदान भर का उछाल। घंटी बजने ही वाली है, और नोरा दूर वाले घेरे से $26.0\,\mathrm{m}$ पर है।

$26.0\,\mathrm{m}$ के मुक़ाबले $1.05\,\mathrm{m}$ की चढ़ाई छोटी है: समतल-ज़मीन वाले प्रतिरूप का औचित्य बताइए, और $y(t_f) = 0$ से उड़ान-काल निकालिए।
$R = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ और सबसे बड़े परास का कोण निकालिए।
$\alpha = 45{}^{\circ}$ पर $26.0\,\mathrm{m}$ तय करने के लिए ज़रूरी $v_0$ निकालिए।
कोई मज़बूत खिलाड़ी बास्केटबॉल को लगभग $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से फेंक सकता है। उसका अधिकतम परास क्या है — क्या यह शॉट मनुष्य के बस का है?
$17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर वे दोनों कोण निकालिए जो गेंद को $26.0\,\mathrm{m}$ दूर गिराते हैं, और उनके उड़ान-काल भी: घड़ी पर $2.0\,\mathrm{s}$ बचे हों तो कौन-सा घंटी से पहले पहुँचता है?

भाग IV — तख़्ते के ऊपर से लॉब। पिछली रेखा के पीछे से नोरा लॉब मारती है: छोड़ने का बिंदु घेरे के केंद्र से $6.0\,\mathrm{m}$ दूर, $\alpha = 75{}^{\circ}$ ; तख़्ते का तल उसके शॉट को घेरे के केंद्र से $0.45\,\mathrm{m}$ पहले काटता है, और उसका ऊपरी किनारा फ़र्श से $3.95\,\mathrm{m}$ ऊपर है।

वह $v_0$ निकालिए जो गेंद को घेरे के केंद्र से नीचे गिरा दे।
तख़्ते के तल पर ( $x = 5.55\,\mathrm{m}$ ) गेंद की ऊँचाई निकालिए: क्या वह ऊपरी किनारे से पार निकलती है, और कितने से?
शिखर की ऊँचाई और उड़ान-काल निकालिए — भीड़ को यह इतना प्यारा क्यों लगता है?
गुणात्मक रूप से, वायु-प्रतिरोध इन तीनों शॉटों में क्या बदल देता है, और सबसे बड़ा ख़तरा किसे है?
आख़िरी घंटी वाला फ़ैसला, दो वाक्यों में: पूरे मैदान वाला शॉट जितनी चाल माँगता है उसकी तुलना बाँह जितनी दे सकती है उससे कीजिए, हाशिया बताइए, और फ़ैसला सुनाइए — संभव, या मिथक?

हल

हल — समस्या 26.1.

1. केवल भार (हवा छोड़ दी गई); न्यूटन का दूसरा नियम: $m\vect a = m\vect g$ , इसलिए $\vect a = (0,\,-g)$ ।

2. $v_x = v_0\cos\alpha$ , $v_y = v_0\sin\alpha - gt$ ।

3. $x = v_0\cos\alpha\, t$ , $y = v_0\sin\alpha\, t - \tfrac12 gt^2$ ।

4. $t = x/(v_0\cos\alpha)$ : $y = x\tan\alpha - g x^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$ ।

5. $v_0^2 = \dfrac{g d^2}{2\cos^2\alpha\,(d\tan\alpha - 1.05)} = \dfrac{173.0}{0.826 \times 3.96} = 52.9$ : $v_0 = 7.28\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 26\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

6. $t = d/(v_0\cos\alpha) = 4.20/4.68 = 0.90\,\mathrm{s}$ ।

7. शिखर $t = v_0\sin\alpha/g = 0.57\,\mathrm{s}$ पर, ऊँचाई $2.00 + (v_0\sin\alpha)^2/2g = 2.00 + 1.58 = 3.58\,\mathrm{m}$ ; $0.57 < 0.90$ : यानी घेरे पर पहुँचते समय वह उतर रही है।

8. छोड़ने के बिंदु से $y(0.90) = 0.90\tan50{}^{\circ} - 0.182 = 0.89\,\mathrm{m}$ ऊपर, यानी फ़र्श से $2.89\,\mathrm{m}$ ऊपर: उँगलियों से $0.29\,\mathrm{m}$ ऊपर।

9. $v_x = 4.68\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y = 5.57 - 9.81 \times 0.90 = -3.24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v = 5.69\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , और क्षैतिज से $\arctan(3.24/4.68) = 34.7{}^{\circ}$ नीचे।

10. घेरा एक क्षैतिज छल्ला है: गेंद को उसका तल ऊपर से पार करना ही होगा। प्रवेश जितना खड़ा, वेग के अनुदिश छल्ले का मुँह उतना ही बड़ा दिखता है — यानी चूक के लिए उतना ही अधिक हाशिया।

11. $1.05/26.0 = 4\%$ : नगण्य। $y(t_f) = 0$ से $t_f\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 g t_f) = 0$ मिलता है, इसलिए $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ ।

12. $R = v_0\cos\alpha\, t_f = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ ; और अधिकतम $\alpha = 45{}^{\circ}$ पर।

13. $v_0 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 26.0} = 16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

14. $R_{\max} = 17.5^2/9.81 = 31.2\,\mathrm{m} > 26.0\,\mathrm{m}$ : संभव है, और परास में $5\,\mathrm{m}$ बचा भी रहता है।

15. $\sin(2\alpha) = 255.1/306.3 = 0.833$ : $\alpha = 28.2{}^{\circ}$ या $61.8{}^{\circ}$ ; उड़ान-काल $2v_0\sin\alpha/g = 1.69\,\mathrm{s}$ और $3.14\,\mathrm{s}$ । घंटी $2.0\,\mathrm{s}$ पर बजनी है, इसलिए केवल चपटा शॉट ही उससे पहले पहुँचता है।

16. $v_0^2 = \dfrac{9.81 \times 36}{2\cos^275{}^{\circ}\, (6.0\tan75{}^{\circ} - 1.05)} = \dfrac{353.2}{2.86} = 123.5$ : $v_0 = 11.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

17. छोड़ने के बिंदु से $y(5.55) = 5.55\tan75{}^{\circ} - 18.26 = 2.45\,\mathrm{m}$ ऊपर, यानी फ़र्श से $4.45\,\mathrm{m}$ ऊपर: तख़्ते के ऊपरी किनारे से $0.50\,\mathrm{m}$ ऊपर।

18. शिखर $2.00 + (11.1\sin75{}^{\circ})^2/2g \approx 7.9\,\mathrm{m}$ ; उड़ान $6.0/(11.1\cos75{}^{\circ}) = 2.1\,\mathrm{s}$ — यानी पूरे दो सेकंड, और गेंद $8\,\mathrm{m}$ ऊपर टँगी हुई।

19. कर्षण हर शॉट को छोटा करता है और उतार को खड़ा; और उसका असर चाल के साथ बढ़ता है, इसलिए सबसे अधिक नुक़सान $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ वाले पूरे-मैदान उछाल को होता है — उसका असली परास $31\,\mathrm{m}$ से कुछ मीटर पीछे रह जाता है और हाशिया खा जाता है।

20. आख़िरी घंटी वाला फ़ैसला: $26.0\,\mathrm{m}$ वाला शॉट $16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ माँगता है और बाँह लगभग $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ देती है, यानी $5\,\mathrm{m}$ ( $\approx 20\%$ ) का परास-हाशिया, जिसे वायु-प्रतिरोध छाँटता तो है पर मिटाता नहीं। संभव — और ठीक इसीलिए हर मौसम में दो-चार बार यह शॉट टोकरी में जा भी गिरता है।