माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

6बल और जड़त्व का सिद्धांत

पैडल चलाना बंद कीजिए और साइकिल लुढ़कते-लुढ़कते रुक जाती है; खींचना बंद कीजिए और स्लेज वहीं खड़ी रह जाती है। अनुभव कान में कहता है कि गति को लगातार मेहनत की ख़ुराक चाहिए — और दो हज़ार साल तक भौतिकी भी यही मानती रही। यह अध्याय बल गढ़ता है, यानी न्यूटन में नापा जाने वाला एक तीर, और यांत्रिकी का पहला बड़ा नियम बताता है: सचमुच अकेला छोड़ दिया जाए तो चलता पिंड अपनी गति सदा बनाए रखता है, सीधी और स्थिर।

6.1 किसी क्रिया को बल के रूप में गढ़ना

परिभाषा 6.1 (बल)

बल किसी पिंड पर लगाई गई यांत्रिक क्रिया (धक्का, खिंचाव, आकर्षण) का प्रतिरूप है। उसकी पहचान इनसे होती है:

उसका क्रिया बिंदु;
उसकी दिशा — वह रेखा जिसके अनुदिश वह लगता है, और उस रेखा पर उसका रुख़;
उसका परिमाण, जिसे न्यूटन (संकेत $\mathrm{N}$ ) में नापा जाता है।

बल को उसके क्रिया बिंदु से निकलते एक तीर $\vect F$ (यानी एक सदिश, जैसा गणित के खंड में है) के रूप में खींचा जाता है, जिसकी लंबाई किसी बताए गए पैमाने पर परिमाण के समानुपाती होती है।

उदाहरण 6.2 (बस्ते का भार)

$m = 4.0\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान के बस्ते को पृथ्वी उसके भार (अध्याय 4) से नीचे की ओर खींचती है: $P = mg = 4.0 \times 9.81 \approx 39\,\mathrm{N}$ — और एक न्यूटन लगभग एक सेब के भार जितना है। पैमाने $1\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 10\,\mathrm{N}$ पर: बस्ते के गुरुत्व केंद्र पर लगा, नीचे की ओर इशारा करता $3.9\,\mathrm{cm}$ लंबा एक ऊर्ध्वाधर तीर।

6.2 बलों की सूची

परिभाषा 6.3 (संस्पर्श और दूरस्थ बल)

संस्पर्श बल वहाँ लगता है जहाँ दो पिंड एक-दूसरे को छूते हैं। दूरस्थ बल को स्पर्श चाहिए ही नहीं: इस अध्याय में ऐसा इकलौता बल भार है — यानी अध्याय 4 वाला गुरुत्वाकर्षण खिंचाव।

परिभाषा 6.4 (आम संस्पर्श बल)

चार संस्पर्श बल रोज़मर्रा की अधिकांश स्थितियाँ सँभाल लेते हैं:

किसी आधार की अभिलंब प्रतिक्रिया $\vect R$ , जो उसकी सतह के लंबवत होती है और उससे दूर धकेलती है;
तार, रस्सी या ज़ंजीर का तनाव $\vect T$ , जो उसके अनुदिश होता है और उसकी ओर खींचता है;
किसी सतह, वायु या पानी का घर्षण $\vect f$ , जो सरकने या गति का विरोध करता है;
किसी इंजन, जेट या हाथ का प्रणोद, जो मेहनत की दिशा में धकेलता है।

मेज़ पर रखी पुस्तक: भार P और अभिलंब प्रतिक्रिया R — वही रेखा, बराबर लंबाइयाँ, उलटे रुख़। — मेज़ पर रखी पुस्तक: भार $\vect P$ और अभिलंब प्रतिक्रिया $\vect R$ — वही रेखा, बराबर लंबाइयाँ, उलटे रुख़।

उदाहरण 6.5 (खींची जाती स्लेज की सूची)

बर्फ़ पर खींची जाती स्लेज: भार $\vect P$ (दूरस्थ), बर्फ़ की अभिलंब प्रतिक्रिया $\vect R$ , रस्सी का तनाव $\vect T$ , और सरकने का विरोध करता घर्षण $\vect f$ । स्लेज को और कुछ छूता नहीं: सूची पूरी हो गई — पहले हमेशा भार, फिर हर छूती हुई वस्तु के लिए एक संस्पर्श बल।

6.3 जड़त्व का सिद्धांत

परिभाषा 6.6 (सरल रेखीय एकसमान गति)

कोई पिंड किसी तंत्र में सरल रेखीय एकसमान गति में है जब उसका गतिपथ एक सरल रेखा हो और वह उस पर अचर चाल से चले: यानी उसका वेग सदिश $\vect v$ हर क्षण वही रहे। विराम इसकी विशेष अवस्था $\vect v = \vect 0$ है।

परिभाषा 6.7 (संतुलनकारी बल)

किसी पिंड पर लगते बल संतुलनकारी तब होते हैं जब उनका मिला-जुला असर शून्य हो: नोक-से-पूँछ जोड़ने पर उनके तीर वहीं लौट आते हैं जहाँ से चले थे। दो बल ठीक तभी संतुलनकारी होते हैं जब उनकी क्रिया-रेखा एक ही हो, परिमाण बराबर हों और रुख़ उलटे।

प्रमेय 6.8 (जड़त्व का सिद्धांत)

भू-निर्देश तंत्र में जिस पिंड पर कोई बल न लगे, या संतुलनकारी बल लगें, वह विराम में बना रहता है या अपनी सरल रेखीय एकसमान गति बनाए रखता है; और इसका उलटा भी सही है: विराम में या सरल रेखीय एकसमान गति में रहते पिंड पर संतुलनकारी बल ही लगते हैं (या कोई बल लगता ही नहीं)।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 6.9

कोई प्रयोग किसी पिंड को पूरी तरह अलग-थलग नहीं कर सकता, इसलिए यह सिद्धांत एक अभिगृहीत है — गैलीलियो को इसकी झलक मिली, और न्यूटन ने इसे कहा। आगे का एक अध्याय इसे उस नियम तक चढ़ा देता है जो बलों को वेग के परिवर्तनों से जोड़ता है; और स्नातक वर्ष 1 का खंड पूछता है कि यह असल में किन तंत्रों में लागू होता है।

प्रतिज्ञप्ति 6.10 (बलों से गति पढ़ना, और गति से बल)

भू-निर्देश तंत्र में:

यदि किसी पिंड का वेग बदलता है — परिमाण में या दिशा में — तो उस पर लगते बल संतुलनकारी नहीं हैं;
यदि कोई पिंड विराम में है या सरल रेखीय एकसमान गति में है, तो उसकी सूची के बल आपस में कट जाने ही चाहिए — और इससे अज्ञात राशियाँ निकल आती हैं।

उपपत्ति. पहला कथन प्रमेय 6.8 का प्रतिधनात्मक है, और दूसरा उसी के विलोम भाग को पूरी की गई सूची पर लगाने से मिलता है। ∎

छोड़े जाने के बाद हॉकी की चकती: बराबर समय-अंतरालों पर उसकी स्थितियाँ, और हर स्थिति पर एक जैसा वेग तीर — सरल रेखीय एकसमान गति।

उदाहरण 6.11 (हॉकी की चकती)

छड़ी से छोड़े जाने के बाद चकती चिकनी बर्फ़ पर $30\,\mathrm{m}$ की दूरी $2.5\,\mathrm{s}$ में, सीधे और अचर $v = 30/2.5 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से तय करती है। सूची: भार और अभिलंब प्रतिक्रिया (घर्षण नगण्य)। ये संतुलनकारी हैं, और सिद्धांत ठीक वही गति बताता है जो देखी जाती है: चकती को आगे कुछ भी धकेल नहीं रहा — और धकेलने की ज़रूरत भी नहीं।

टिप्पणी 6.12 (अरस्तू के विरुद्ध गैलीलियो)

अरस्तू सिखाते थे कि हर गति को कोई चलाने वाला चाहिए, और रोज़मर्रा की ज़िंदगी — जहाँ हर संपर्क में घर्षण है — मानो सहमत भी दिखती है। गैलीलियो ने घर्षण को आदर्श रूप में हटा दिया: सतह जितनी अधिक चिकनी हो, गति बनाए रखने के लिए उतना ही कम धक्का चाहिए। स्वाभाविक अवस्था विराम नहीं, बल्कि गति का बना रहना है।

टिप्पणी 6.13 (झटका खाता यात्री)

जब बस अचानक ब्रेक लगाती है तो खड़े यात्री आगे की ओर लुढ़क जाते हैं। कोई बल उन्हें फेंकता नहीं: जड़त्व के कारण उनके शरीर अपना वेग बनाए रखते हैं जबकि बस अपना वेग खो देती है। सीट-बेल्ट वही पीछे की ओर लगता बल जुटाती है जिसकी सूची में कमी थी।

बराबर समय-अंतरालों पर कर्लिंग का पत्थर। बाएँ: P और R संतुलनकारी हैं — क़दम बराबर। दाएँ: एक बिना कटा घर्षण f बचा रह जाता है — क़दम सिकुड़ते जाते हैं, वेग बदलता जाता है। — बराबर समय-अंतरालों पर कर्लिंग का पत्थर। बाएँ: $\vect P$ और $\vect R$ संतुलनकारी हैं — क़दम बराबर। दाएँ: एक बिना कटा घर्षण $\vect f$ बचा रह जाता है — क़दम सिकुड़ते जाते हैं, वेग बदलता जाता है।

6.4 संतुलित बल: आरेख से स्थैतिकी

परिभाषा 6.14 (बल आरेख)

किसी पिंड के बल आरेख में केवल वही पिंड दिखता है, और उस पर लगता हर बल अपने क्रिया बिंदु से पैमाने पर खींचा जाता है; पिंड द्वारा लगाए गए बल उसमें कभी नहीं आते।

विधि 6.15 (किसी स्थैतिक स्थिति का विश्लेषण)

जिस पिंड का अध्ययन करना है उसे चुनिए; भू-निर्देश तंत्र में काम कीजिए।
सूची बनाइए: हमेशा भार, और हर संपर्क के लिए एक संस्पर्श बल।
बल आरेख खींचिए।
पिंड विराम में है, इसलिए बल संतुलनकारी हैं (प्रमेय 6.8): अज्ञात परिमाण आरेख से ही पढ़ लीजिए (एक विमा में बराबर लंबाइयाँ, दो विमाओं में घटक)।

उदाहरण 6.16 (मेज़ पर रखी पुस्तक)

$0.50\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान की एक पुस्तक मेज़ पर रखी है: भार $P = 0.50 \times 9.81 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ और अभिलंब प्रतिक्रिया $\vect R$ । विराम में $\vect R$ $\vect P$ को संतुलित करता है: ऊर्ध्वाधर, ऊपर की ओर, $R = 4.9\,\mathrm{N}$ । एक और पुस्तक रख दीजिए और $R$ उसी के हिसाब से बदल जाता है — कोई आधार ठीक उतना ही ज़ोर लगाता है जितना ज़रूरी हो।

टँगा हुआ लैंप: दोनों तनावों के क्षैतिज हिस्से सममिति से कट जाते हैं; उनके ऊर्ध्वाधर हिस्से मिलकर भार उठाते हैं।

उदाहरण 6.17 (दो तारों पर टँगा लैंप)

$3.0\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान ( $P \approx 29.4\,\mathrm{N}$ ) का एक लैंप दो तारों से टँगा है, और हर तार ऊर्ध्वाधर से $45^\circ$ पर है। सममिति से दोनों तनाव बराबर हैं ( $T_1 = T_2 = T$ ) और उनके क्षैतिज घटक कट जाते हैं; ऊर्ध्वाधर घटक, हर एक $T \cos 45^\circ$ , मिलकर भार उठाते हैं:

2\,T \cos 45^\circ = P \qquad\text{इसलिए}\qquad T = \frac{29.4}{2 \times 0.707} \approx 21\,\mathrm{N}

— यानी प्रति तार भार के आधे से भी अधिक: कोण बनाकर खींचने की क़ीमत तनाव में चुकानी पड़ती है।

6.5 अभ्यास

अभ्यास 6.1 ★

इनमें से हर एक पर लगते बलों की सूची बनाइए और उन्हें संस्पर्श या दूरस्थ में बाँटिए: (क) मेज़ पर विराम में रखी पुस्तक; (ख) अपने तार से टँगा लैंप; (ग) चिकनी बर्फ़ पर सरकती चकती; (घ) गिरता हुआ सेब (वायु का प्रतिरोध नगण्य)।

हल

हल — अभ्यास 6.1.

(क) भार (दूरस्थ), मेज़ की अभिलंब प्रतिक्रिया (संस्पर्श)। (ख) भार (दूरस्थ), तार का तनाव (संस्पर्श)। (ग) भार (दूरस्थ), बर्फ़ की अभिलंब प्रतिक्रिया (संस्पर्श); घर्षण नगण्य। (घ) केवल भार — सेब को कुछ छूता ही नहीं।

अभ्यास 6.2 ★

$250\,\mathrm{g}$ की पुस्तक और $60\,\mathrm{kg}$ के व्यक्ति का भार निकालिए। पैमाने $1\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 1\,\mathrm{N}$ पर पुस्तक का तीर कितना लंबा होगा, और उस व्यक्ति के लिए यह पैमाना बेकार क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 6.2.

पुस्तक: $P = 0.250 \times 9.81 \approx 2.45\,\mathrm{N}$ , यानी लगभग $2.5\,\mathrm{cm}$ लंबा तीर। व्यक्ति: $P = 60 \times 9.81 \approx 589\,\mathrm{N}$ — यानी $5.89\,\mathrm{m}$ का तीर। पैमाना ऐसा चुनिए कि सबसे बड़ा बल भी पन्ने पर समा जाए।

अभ्यास 6.3 ★

पैमाने $1\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 2\,\mathrm{N}$ वाले किसी आरेख में एक बल $A$ बिंदु पर लगा, बाईं ओर इशारा करता $3.5\,\mathrm{cm}$ लंबा क्षैतिज तीर है। उसकी तीनों पहचानें बताइए।

हल

हल — अभ्यास 6.3.

क्रिया बिंदु $A$ ; दिशा क्षैतिज, बाईं ओर; परिमाण $3.5 \times 2 = 7.0\,\mathrm{N}$ ।

अभ्यास 6.4 ★

$1.2\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान का एक शब्दकोश किसी ताक़ पर रखा है। उसका बल आरेख खींचिए और हर बल का परिमाण तथा दिशा बताइए।

हल

हल — अभ्यास 6.4.

भार $\vect P$ : ऊर्ध्वाधर, नीचे की ओर, $P = 1.2 \times 9.81 \approx 11.8\,\mathrm{N}$ । ताक़ की अभिलंब प्रतिक्रिया $\vect R$ : वही रेखा, ऊपर की ओर, $R = 11.8\,\mathrm{N}$ (शब्दकोश विराम में है, इसलिए दोनों संतुलनकारी हैं)।

अभ्यास 6.5 ★

सही या ग़लत — ग़लत वालों को सुधारिए: (क) कोई पिंड आख़िर रुक ही जाता है, जब तक कोई बल उसे धकेलता न रहे; (ख) सरल रेखीय एकसमान गति के लिए किसी बिना कटे बल की ज़रूरत नहीं; (ग) विराम में रखे पिंड पर कोई बल नहीं लगता; (घ) यदि किसी पिंड का वेग बदलता है तो उस पर लगते बल संतुलनकारी नहीं हैं।

हल

हल — अभ्यास 6.5.

(क) ग़लत: चीज़ों को घर्षण रोकता है; कोई बल बिलकुल न लगे तो पिंड अपनी सरल रेखीय एकसमान गति बनाए रखता है। (ख) सही (जड़त्व का सिद्धांत)। (ग) ग़लत: उस पर ऐसे बल लगते हैं जो संतुलनकारी हैं (जैसे भार और प्रतिक्रिया)। (घ) सही — यह सिद्धांत का प्रतिधनात्मक पाठ है।

अभ्यास 6.6 ★★

छोड़े जाने के बाद एक चकती बर्फ़ पर $24\,\mathrm{m}$ की दूरी $3.0\,\mathrm{s}$ में, सीधे और अचर चाल से तय करती है। उसकी चाल निकालिए; क्या उस पर लगते बल संतुलनकारी हैं? कंक्रीट पर वही चकती मीटरों के भीतर रुक जाती है: सूची में क्या बदला, और प्रतिज्ञप्ति 6.10 क्या निष्कर्ष निकालता है?

हल

हल — अभ्यास 6.6.

1. $v = 24/3.0 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । बल: भार और अभिलंब प्रतिक्रिया; वे संतुलनकारी हैं (सरल रेखीय एकसमान गति, घर्षण नगण्य)। 2. कंक्रीट का घर्षण अब नगण्य नहीं रहा: सूची में एक बिना कटा पीछे की ओर लगता बल जुड़ जाता है, और सचमुच वेग बदलता है — चकती धीमी पड़कर रुक जाती है।

अभ्यास 6.7 ★★

$70\,\mathrm{kg}$ का एक यात्री अचर $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से ऊपर जाती लिफ़्ट में खड़ा है। यात्री पर लगते बलों की सूची बनाइए; क्या वे संतुलनकारी हैं? फ़र्श के बल का परिमाण बताइए। लिफ़्ट के विराम में होने पर क्या कुछ बदलेगा?

हल

हल — अभ्यास 6.7.

भार $P = 70 \times 9.81 \approx 687\,\mathrm{N}$ नीचे की ओर; फ़र्श का बल ऊपर की ओर। सरल रेखीय एकसमान गति है, इसलिए वे संतुलनकारी हैं: फ़र्श $687\,\mathrm{N}$ से धकेलता है। विराम में कुछ नहीं बदलता — विराम और एकसमान गति एक ही बल आरेख देते हैं।

अभ्यास 6.8 ★★

$1.8\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान का एक लैंप एक ही ऊर्ध्वाधर तार से विराम में टँगा है। तार का तनाव निकालिए। तार की जगह दो ऊर्ध्वाधर तार लगा दिए जाते हैं जो बोझ बराबर बाँट लेते हैं: अब हर तार का तनाव कितना है?

हल

हल — अभ्यास 6.8.

1. विराम में तनाव भार को संतुलित करता है: $T = 1.8 \times 9.81 \approx 17.7\,\mathrm{N}$ । 2. हर ऊर्ध्वाधर तार आधा बोझ उठाता है: $T = 8.8\,\mathrm{N}$ ।

अभ्यास 6.9 ★★

एक बस अचानक ब्रेक लगाती है और खड़ा यात्री आगे की ओर लुढ़क जाता है; और अचर चाल पर मोड़ लेते समय वही यात्री बाहर की ओर झुक जाता है। किसी “आगे की ओर” या “बाहर की ओर” बल को गढ़े बिना दोनों को समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 6.9.

ब्रेक लगने पर: यात्री का शरीर अपना वेग बनाए रखता है (जड़त्व) जबकि बस अपना वेग खो देती है, इसलिए यात्री बस के सापेक्ष आगे बढ़ जाता है। मोड़ पर: शरीर सीधा चलते रहना चाहता है जबकि बस उसके नीचे मुड़ जाती है, इसलिए वह मोड़ के बाहर की ओर खिसक जाता है। दोनों हालात में वह “बल” काल्पनिक है; जिसकी कमी है वह कोई असली बल (पकड़, रेलिंग) है जो यात्री का वेग भी बस के साथ बदल दे।

अभ्यास 6.10 ★★

कुल $85\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान का एक पैराशूट यात्री अचर $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से ऊर्ध्वाधर नीचे उतरता है। बल आरेख खींचिए और छतरी पर लगते वायु-प्रतिरोध की गणना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 6.10.

सरल रेखीय एकसमान गति है, इसलिए भार और वायु का प्रतिरोध संतुलनकारी हैं: कर्षण $= P = 85 \times 9.81 \approx 834\,\mathrm{N}$ , ऊर्ध्वाधर और ऊपर की ओर।

अभ्यास 6.11 ★★

एक जल-स्कीबाज़ को अचर चाल पर सीधे खींचा जा रहा है; क्षैतिज रस्सी $300\,\mathrm{N}$ से खींचती है। स्कीयों पर पानी का क्षैतिज कर्षण कितना है (उचित ठहराइए)? कौन-से दो ऊर्ध्वाधर बल एक-दूसरे को संतुलित करते हैं?

हल

हल — अभ्यास 6.11.

1. सरल रेखीय एकसमान गति: क्षैतिज बल संतुलनकारी हैं, इसलिए कर्षण $300\,\mathrm{N}$ है, रस्सी के उलटी दिशा में। 2. स्कीबाज़ का भार और स्कीयों पर पानी का ऊपर की ओर धक्का।

अभ्यास 6.12 ★★★

$2.4\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान का एक लैंप ऊर्ध्वाधर से $40^\circ$ पर लगे दो तारों से टँगा है ( $\cos 40^\circ \approx 0.766$ )। हर तनाव निकालिए। तारों के क्षैतिज होते जाने पर तनाव क्यों बढ़ता है, और ठीक-ठीक क्षैतिज दो तार लैंप को कभी थाम क्यों नहीं सकते?

हल

हल — अभ्यास 6.12.

1. $P = 2.4 \times 9.81 \approx 23.5\,\mathrm{N}$ ; ऊर्ध्वाधर घटक भार उठाते हैं: $2T\cos 40^\circ = P$ , इसलिए $T = 23.5/(2 \times 0.766) \approx 15.4\,\mathrm{N}$ । 2. $\theta \to 90^\circ$ होते-होते $T = P/(2\cos\theta)$ बिना किसी सीमा के बढ़ता जाता है, क्योंकि $\cos\theta \to 0$ ; और ठीक-ठीक क्षैतिज तारों का कोई ऊर्ध्वाधर घटक होता ही नहीं, इसलिए भार उठाने वाला कुछ बचता ही नहीं।

अभ्यास 6.13 ★★★

कर्लिंग के एक पत्थर को धकेला जाता है, छोड़ा जाता है, वह बहुत धीरे-धीरे मंद पड़ते हुए सरकता है, और फिर रुक जाता है। हर चरण (धक्का, सरकना, विराम) के लिए बल आरेख खींचिए और बताइए कि बल संतुलनकारी हैं या नहीं, और उसके साथ प्रमेय 6.8 या प्रतिज्ञप्ति 6.10 का हवाला दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 6.13.

धक्का: भार, प्रतिक्रिया, हाथ का प्रणोद, थोड़ा घर्षण; चाल बढ़ती है, इसलिए बल संतुलनकारी नहीं हैं (प्रतिज्ञप्ति 6.10)। सरकना: भार, प्रतिक्रिया, थोड़ा घर्षण; पत्थर धीमा पड़ता है, इसलिए फिर कोई संतुलन नहीं — बचा हुआ बिना कटा हिस्सा घर्षण ही है (आदर्श बर्फ़ पर वह सदा सरकता रहता)। विराम: केवल भार और प्रतिक्रिया, और वे संतुलनकारी हैं (प्रमेय 6.8)।

अभ्यास 6.14 ★★★

यान वॉयेजर 1 इंजन बंद किए हुए तारों के बीच के अंतरिक्ष में $17\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से लुढ़कता जा रहा है। अपनी चाल बनाए रखने के लिए उसे ईंधन क्यों नहीं चाहिए, और अरस्तू क्या भविष्यवाणी करते? वह एक वर्ष में कितनी दूरी तय करता है — पहले $\mathrm{km}$ में, फिर खगोलीय मात्रकों में ( $1\,\mathrm{au} \approx 1.496 \times 10^{8}\,\mathrm{km}$ )? और चाल बदले बिना केवल दिशा बदलने के लिए भी उसे कोई प्रणोदक क्यों चलाना पड़ता है?

हल

हल — अभ्यास 6.14.

1. जड़त्व के सिद्धांत से अचर वेग बनाए रखने के लिए कोई बल चाहिए ही नहीं — और तारों के बीच के अंतरिक्ष में लगभग कोई बल लगता भी नहीं। अरस्तू भविष्यवाणी करते कि “चलाने वाले” के हटते ही यान रुक जाएगा। 2. एक वर्ष $\approx 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , इसलिए $d = 17 \times 3.156 \times 10^{7} \approx 5.4 \times 10^{8}\,\mathrm{km} \approx 3.6\,\mathrm{au}$ । 3. वेग एक सदिश है: उसकी दिशा बदलना वेग को बदलना है, और इसके लिए एक बिना कटा बल चाहिए।

अभ्यास 6.15 ★★★

तीन रस्सियाँ एक विराम में रखे छल्ले को खींचती हैं। जिस जाली पर एक वर्ग $1\,\mathrm{N}$ का है, उस पर दो बल $\vect F_1\,(3, 2)$ और $\vect F_2\,(-1, 2)$ पढ़े जाते हैं। तीसरे बल के घटक, परिमाण और दिशा निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 6.15.

विराम में तीनों बल संतुलनकारी हैं: $\vect F_3 = -(\vect F_1 + \vect F_2)$ , इसलिए $\vect F_3\,(-2, -4)$ , परिमाण $\sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4.5\,\mathrm{N}$ , और दिशा पहले दोनों के परिणामी की उलटी (जाली पर नीचे-बाएँ)।

6.6 समस्या: तीन अंकों में जड़त्व

समस्या 6.1

सप्ताहांत समस्या — हवाई अड्डे का चलपथ, बर्फ़ का मैदान और पैराशूट: अचर वेग, संतुलित बलों की पहचान, और पैराशूट कर्षण नहीं बल्कि चाल क्यों घटाता है

तीन दृश्य — चलते पथ पर रखा एक सूटकेस, बर्फ़ के मैदान पर एक चकती, और साँझ की हवा में उतरता एक पैराशूट यात्री — और तीनों में बोलता एक ही नियम।

भाग I — हवाई अड्डे का चलपथ। $23\,\mathrm{kg}$ का एक सूटकेस अचर चाल $0.75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलते पथ पर खड़ा है।

भू-तंत्र में सूटकेस की गति क्या है? उस पर लगते बलों की सूची बनाइए।
क्या ये बल संतुलनकारी हैं? उचित ठहराइए; दोनों परिमाण निकालिए।
उसके बल आरेख की तुलना उसी सूटकेस के फ़र्श पर रखे होने वाले आरेख से कीजिए। यह तुलना कौन-सा गहरा कथन दिखाती है?
चलपथ झटके से रुक जाता है। किसी आगे की ओर लगते बल को गढ़े बिना बताइए कि सूटकेस क्या करता है।
उसकी मालकिन चलपथ के सापेक्ष $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलती है। भू-तंत्र में उसकी चाल? क्या उस पर लगते बल संतुलनकारी हैं?

भाग II — बर्फ़ का मैदान।

$160\,\mathrm{g}$ की एक चकती अचर $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से सीधी सरकती है। परिमाणों सहित उसका बल आरेख खींचिए।
अरस्तू का दावा है कि चकती को कोई चलाने वाला चाहिए। मैदान क्या जवाब देता है, और रोज़मर्रा की सतहें उनका पक्ष क्यों लेती दिखती हैं?
चकती किसी खुरदरे टुकड़े से गुज़रती है और धीमी पड़ जाती है। वहाँ के बलों के बारे में क्या निष्कर्ष निकलेगा? दोषी बल कौन-सा है?
एक स्केटर अचर चाल पर सहज मोड़ लेती है। क्या उस पर लगते बल संतुलनकारी हैं? सावधान: वेग किस तरह की राशि है?
आरेख को गति से मिलाइए: (क) संतुलनकारी बल; (ख) $\vect v$ के उलटा एक अतिरिक्त बल; (ग) $\vect v$ के लंबवत एक अतिरिक्त बल — (1) सीधे चलते हुए धीमा पड़ना; (2) अचर चाल पर मुड़ना; (3) सरल रेखीय एकसमान गति।

भाग III — पैराशूट। सामान समेत छलाँग लगाने वाले का कुल द्रव्यमान $80\,\mathrm{kg}$ है।

विमान छोड़ते ही ऊर्ध्वाधर चाल और कर्षण, दोनों अभी शून्य हैं। बल निकालिए; क्या वे संतुलनकारी हैं? आगे क्या होना चाहिए?
कर्षण चाल के साथ बढ़ता है। जब तक कर्षण भार से $<$ है तब तक की गिरावट बताइए।
छतरी खुलने से पहले छलाँग लगाने वाला स्थिर $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (“सीमांत चाल”) तक पहुँच जाता है। कर्षण निकालिए। गति किस तरह की है, और वह “भेस बदले जड़त्व” क्यों है?
छतरी खुलती है: अब कर्षण भार से कहीं अधिक है। वेग का क्या होता है? (छलाँग लगाने वाला पूरे समय नीचे ही चलता है।)
एक नई स्थिर $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ बन जाती है। कर्षण निकालिए; प्रश्न 13 से तुलना कीजिए।
और अंतिम चोट: पैराशूट ने क्या बदला — सीमांत कर्षण, या वह चाल जिस पर कर्षण भार तक पहुँच जाता है?

भाग IV — फ़ैसले।

पूरा कीजिए और उचित ठहराइए: “विराम में या सरल रेखीय एकसमान गति में $\iff$ …”। विराम को अलग नियम की ज़रूरत क्यों नहीं?
किस अंक में अरस्तू का “गति को चलाने वाला चाहिए” सबसे खुलकर धराशायी होता, और गैलीलियो किस ओर इशारा करते?
किसी परीक्षा की उत्तर-पुस्तिका में लिखा है: “पैराशूट यात्री अचर चाल से गिरता है, इसलिए उस पर कोई बल नहीं लगता”। इसे एक पंक्ति में सुधारिए।
समापन: हर अंक के लिए उन बलों का युग्म बताइए जो संतुलित होता है, और वह इकलौता नियम बताइए जो इस समस्या में बीस बार काम आया।

हल

हल — समस्या 6.1.

1. $0.75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर सरल रेखीय एकसमान गति। बल: भार और पट्टी की अभिलंब प्रतिक्रिया (घर्षण की ज़रूरत नहीं: सूटकेस पट्टी पर सरकता नहीं)। 2. हाँ — सरल रेखीय एकसमान गति (प्रमेय 6.8)। $P = 23 \times 9.81 \approx 226\,\mathrm{N}$ , इसलिए $R = 226\,\mathrm{N}$ । 3. दोनों आरेख एक जैसे हैं। विराम और सरल रेखीय एकसमान गति एक ही यांत्रिक अवस्था हैं: जड़त्व दोनों में भेद नहीं करता। 4. पट्टी रुक जाती है पर सूटकेस अपना $0.75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ बनाए रखता है: वह सरकता या आगे झुकता है, जब तक घर्षण उसकी गति सोख न ले। उसे किसी ने धकेला नहीं — उसने बस अपना वेग बनाए रखा। 5. एक ही दिशा की चालें जुड़ती हैं: $0.75 + 1.2 = 1.95\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । उसका वेग अचर है, इसलिए उस पर लगते बल संतुलनकारी हैं। 6. $P = 0.160 \times 9.81 \approx 1.57\,\mathrm{N}$ नीचे, $R = 1.57\,\mathrm{N}$ ऊपर, और कोई क्षैतिज बल नहीं। 7. चकती बिना किसी चलाने वाले के $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ बनाए रखती है। रोज़मर्रा की सतहें घर्षण छिपा लेती हैं — यानी एक बिना कटा पीछे की ओर लगता बल — इसलिए गति अपने आप मरती हुई लगती है। 8. उसका वेग बदलता है, इसलिए बल अब संतुलनकारी नहीं रहे (प्रतिज्ञप्ति 6.10); दोषी खुरदरी बर्फ़ का घर्षण है। 9. नहीं: वेग एक सदिश है, और उसकी दिशा बदल रही है, इसलिए बल संतुलनकारी नहीं हैं — बर्फ़ उसके ब्लेडों पर बग़ल से धक्का देती है। 10. (क)–(3), (ख)–(1), (ग)–(2)। 11. भार $P = 80 \times 9.81 \approx 785\,\mathrm{N}$ , कर्षण शून्य: भार को कुछ भी संतुलित नहीं करता, इसलिए वेग बदलना ही चाहिए — छलाँग लगाने वाला नीचे की ओर तेज़ होता जाता है। 12. जब तक कर्षण भार से $<$ है तब तक बल संतुलनकारी नहीं होते: चाल बढ़ती जाती है, और उसके साथ कर्षण भी। 13. स्थिर चाल: भार और कर्षण संतुलनकारी हैं, इसलिए कर्षण $785\,\mathrm{N}$ है। गति सीधी और एकसमान है — यानी गिरता पिंड ठीक उसी यांत्रिक अवस्था में है जिसमें चलपथ पर रखा सूटकेस था: भेस बदले जड़त्व। 14. अब कर्षण भार से अधिक है: बल संतुलनकारी नहीं हैं, इसलिए वेग बदलता है — छलाँग लगाने वाला नीचे उतरता तो रहता है पर धीमा पड़ जाता है; और चाल गिरने के साथ कर्षण भी घटकर भार की ओर लौटने लगता है। 15. फिर स्थिर: कर्षण $= P = 785\,\mathrm{N}$ — यानी ठीक वही जो $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर था। 16. सीमांत कर्षण हमेशा भार के बराबर होता है, छतरी हो या न हो। पैराशूट वह चाल बदलता है जिस पर कर्षण $785\,\mathrm{N}$ तक पहुँचता है: $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के बजाय $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । 17. “…पिंड पर लगते बल संतुलनकारी हैं (या कोई बल लगता ही नहीं)” — यानी प्रमेय 6.8 के दोनों पाठ। विराम तो बस $\vect v = \vect 0$ है, यानी बाक़ी सबकी तरह एक सरल रेखीय एकसमान गति। 18. बर्फ़ का मैदान: चकती बिना किसी दिखते चलाने वाले के सरकती चली जाती है। गैलीलियो लगातार चिकनी होती सतह की ओर इशारा करते — चीज़ों को घर्षण रोकता है, प्रकृति नहीं। 19. बल लगते तो हैं — भार $785\,\mathrm{N}$ नीचे और कर्षण $785\,\mathrm{N}$ ऊपर; वे संतुलनकारी हैं, और ठीक इसीलिए चाल अचर है। 20. चलपथ: भार और अभिलंब प्रतिक्रिया। मैदान: भार और अभिलंब प्रतिक्रिया। पैराशूट: भार और कर्षण। इकलौता नियम: जड़त्व का सिद्धांत, अपने सीधे और विलोम, दोनों पाठों में।