Physics · किताब 2 · Grades 10–12

माध्यमिक भौतिकी

माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

30RC और RL परिपथ

कैमरे का शटर आधा दबाइए: एक पतली सीटी दो सेकंड तक चढ़ती है, एक बत्ती हरी हो जाती है — और तभी फ़्लैश चलेगा, जो दो सेकंड में इकट्ठा किया हुआ सब कुछ एक मिलीसेकंड में उड़ेल देगा। यह अध्याय उन दो अवयवों से मिलता है जो परिपथों को याददाश्त और घड़ी दे देते हैं — संधारित्र और कुंडली — और भौतिकी के पहले अवकल समीकरणों से, जिन्हें इसी वर्ष के अवकलजों से जाँचा जा सकता है।

30.1 संधारित्र

परिभाषा 30.1 (संधारित्र और धारिता)

संधारित्र पतले विद्युत्रोधी से अलग की गई धातु की दो आमने-सामने रखी पट्टियों का युग्म है। किसी स्रोत से जोड़ने पर पट्टियाँ विपरीत आवेश +q+q और −q-q ले लेती हैं — और अंतराल में एक विद्युत क्षेत्र भर जाता है (अध्याय 14) — और पट्टियों के बीच का विभवांतर uu संचित आवेश के समानुपाती होता है:

q=C u.q = C\,u .

अचर CC धारिता है, जिसे फैराड (F\mathrm{F}) में नापते हैं: 1 F=1 C/V1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}।

उदाहरण 30.2 (परिमाण की कोटियाँ)

एक फैराड बहुत बड़ा है — यानी प्रति वोल्ट एक कूलॉम जमा। रेडियो परिपथों के सिरैमिक: pF\mathrm{pF} से nF\mathrm{nF}; शक्ति-आपूर्तियों और फ़्लैश के इलेक्ट्रोलाइटिक: µF\text{µ}\mathrm{F} से mF\mathrm{mF}; और सुपर-संधारित्र: हज़ारों फैराड।

प्रतिज्ञप्ति 30.3 (संधारित्र में जाती धारा)

संधारित्र की पट्टी पर पहुँचती धारा वह दर है जिससे उसका आवेश बढ़ता है:

i=dqdt=C dudt,i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt} ,

जहाँ छोटे अक्षर समय के साथ बदलती राशियाँ दिखाते हैं (UU, II स्थिर रहते हैं, अध्याय 12)।

उपपत्ति. धारा प्रति सेकंड पहुँचाया गया आवेश है (परिभाषा 12.1): सिकुड़ते अंतराल पर ii qq का अवकलज है; और CC के अचर रहते q=Cuq = Cu से C du/dtC\,du/dt मिल जाता है। ∎

टिप्पणी 30.4 (दो परिणाम)

यदि uu अचर हो तो i=0i = 0: यानी आवेशित संधारित्र कोई स्थिर धारा नहीं जाने देता। और uu कभी छलाँग नहीं लगा सकता — छलाँग के लिए अनंत धारा चाहिए: संधारित्र का विभवांतर ही परिपथ की याददाश्त है।

30.2 संधारित्र को आवेशित करना: RC परिपथ

एक ही फंदा — स्रोत E\mathcal{E} (परिभाषा 12.18), स्विच, प्रतिरोधक, ख़ाली संधारित्र: t=0t = 0 पर KK बंद कीजिए।

RC आवेशन-परिपथ: K बंद करते ही स्रोत आवेश को R से होकर C की पट्टियों पर धकेल देता है।
RC आवेशन-परिपथ: KK बंद करते ही स्रोत आवेश को RR से होकर CC की पट्टियों पर धकेल देता है।

प्रमेय 30.5 (RC परिपथ का आवेशन-नियम)

स्विच बंद होने के बाद संधारित्र का विभवांतर यह मानता है, और फिर u(0)=0u(0) = 0 से यह निकलता है:

RC dudt+u=E,u(t)=E(1−e−t/τ),τ=RC.RC\,\frac{du}{dt} + u = \mathcal{E}, \qquad u(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = RC .

उपपत्ति. फंदे के अनुदिश विभवांतर जुड़ते हैं (प्रतिज्ञप्ति 12.4): हर क्षण E=uR+u=Ri+u\mathcal{E} = u_R + u = Ri + u; उसमें i=C du/dti = C\,du/dt (प्रतिज्ञप्ति 30.3) रख दीजिए। अब उम्मीदवार को जाँचिए: du/dt=(E/τ)e−t/τdu/dt = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}, इसलिए RC (E/RC) e−t/τ+E(1−e−t/τ)=ERC\,(\mathcal{E}/RC)\,e^{-t/\tau} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) = \mathcal{E}, जो हर tt के लिए सही है; और u(0)=E(1−1)=0u(0) = \mathcal{E}(1-1) = 0। और यह कि कोई दूसरा वक्र इस समीकरण तथा इस शुरुआत पर नहीं बैठता, यह इसी वर्ष के गणित के अवकल समीकरणों वाले पाठ में सिद्ध किया गया है। ∎

परिभाषा 30.6 (कालांक)

RC परिपथ का कालांक τ=RC\tau = RC है। मात्रक: Ω×F=(V/A)(C/V)=C/A=s\Omega \times \mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s} — यानी परिपथ की अपनी लय।

विधि 30.7 (वक्र पर τ\tau पढ़ना)

आलेख से सीधे तीन तुल्य पाठ:

  1. मूल बिंदु पर स्पर्शी: u′(0)=E/τu'(0) = \mathcal{E}/\tau, इसलिए आरंभिक स्पर्शी अनंतस्पर्शी तक t=τt = \tau पर पहुँच जाती है;
  2. 63%: u(τ)=E(1−e−1)≈0.63 Eu(\tau) = \mathcal{E}(1 - e^{-1}) \approx 0.63\,\mathcal{E};
  3. 95%: u(3τ)≈0.95 Eu(3\tau) \approx 0.95\,\mathcal{E} — यानी व्यवहार में आवेशित (5τ5\tau: 99%99\%)।

प्रतिज्ञप्ति 30.8 (विसर्जन)

U0U_0 तक आवेशित संधारित्र को अकेले प्रतिरोधक RR पर बंद कर देने पर वह RC du/dt+u=0RC\,du/dt + u = 0 मानता है और इस पर चलता है:

u(t)=U0 e−t/τ,τ=RCu(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC

— τ\tau पर 37%37\% बचता है, और 3τ3\tau पर 5%5\%।

उपपत्ति. वही फंदा-नियम, बस कोई स्रोत नहीं; और फिर वही प्रतिस्थापन: RC(−U0/τ)e−t/τ+U0e−t/τ=0RC(-U_0/\tau)e^{-t/\tau} + U_0 e^{-t/\tau} = 0, जहाँ u(0)=U0u(0) = U_0। ∎

आवेशन (नीला, u = 0 से E की ओर) और विसर्जन (लाल, U_0 = E से)। दोनों की आरंभिक स्पर्शी अपनी अनंतस्पर्शी से t = पर मिलती हैं; पर 63\% पूरा, और 3 पर 95\%।
आवेशन (नीला, u=0u = 0 से E\mathcal{E} की ओर) और विसर्जन (लाल, U0=EU_0 = \mathcal{E} से)। दोनों की आरंभिक स्पर्शी अपनी अनंतस्पर्शी से t=τt = \tau पर मिलती हैं; τ\tau पर 63%63\% पूरा, और 3τ3\tau पर 95%95\%।

उदाहरण 30.9 (फ़्लैश की संख्याएँ)

कोई फ़ोटो-फ़्लैश C=800 µFC = 800\,\text{µ}\mathrm{F} को R=1.0 kΩR = 1.0\,\mathrm{k}\Omega से होकर आवेशित करता है: τ=103×8.0×10−4=0.80 s\tau = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}, इसलिए “तैयार” बत्ती — जो 95%95\% पर चलने के लिए जुड़ी है — 3τ≈2.4 s3\tau \approx 2.4\,\mathrm{s} प्रतीक्षा करती है: यही वह सीटी है जो कान में खटकती है। और फ़्लैश-नली के महज़ 0.50 Ω0.50\,\Omega से होकर चलाने पर वही संधारित्र τ′=0.40 ms\tau' = 0.40\,\mathrm{ms} के साथ ख़ाली हो जाता है: यानी भीतर आने से दो हज़ार गुना तेज़ बाहर।

30.3 कुंडली: प्रेरकत्व और RL परिपथ

परिभाषा 30.10 (प्रेरक और प्रेरकत्व)

प्रेरक तार की एक कुंडली है: उसकी धारा उसके अपने फेरों में चुंबकीय क्षेत्र पिरो देती है (अध्याय 15); और जब भी वह बदलता है, कुंडली के सिरों पर एक विभवांतर प्रकट हो जाता है:

u=L didt.u = L\,\frac{di}{dt} .

अचर LL प्रेरकत्व है, जिसे हेनरी (H\mathrm{H}) में नापते हैं: 1 H=1 V s/A1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 30.11 (कुंडली बदलाव का विरोध करती है)

बदलती धारा विभवांतर क्यों बनाती है — यानी प्रेरण — यह विश्वविद्यालय के खंडों में निकाला गया है; यहाँ हम नियम और उसका स्वभाव ले लेते हैं: कुंडली अपनी धारा के बदलावों का विरोध करती है। दर्पण-जुड़वाँ: संधारित्र का uu छलाँग नहीं लगा सकता, कुंडली का ii नहीं लगा सकता।

RL परिपथ: K बंद होने के बाद कुंडली धारा को केवल अपनी ही चाल = L/R से चढ़ने देती है।
RL परिपथ: KK बंद होने के बाद कुंडली धारा को केवल अपनी ही चाल τ=L/R\tau = L/R से चढ़ने देती है।

प्रतिज्ञप्ति 30.12 (RL परिपथ में धारा का चढ़ाव)

स्रोत E\mathcal{E}, प्रतिरोधक RR और कुंडली LL को श्रेणीक्रम में जोड़कर स्विच बंद करने पर E=Ri+L di/dt\mathcal{E} = Ri + L\,di/dt मिलता है, यानी

LR didt+i=ER,जिसका हल हैi(t)=ER(1−e−t/τ),τ=LR.\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{\mathcal{E}}{R}, \qquad\text{जिसका हल है}\quad i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{L}{R} .

उपपत्ति. फिर वही फंदा-नियम; और यह प्रमेय 30.5 वाला वही समीकरण है, जिसमें u→iu \to i, E→E/R\mathcal{E} \to \mathcal{E}/R, RC→L/RRC \to L/R — वही प्रतिस्थापन हल को जाँच देता है, और विधि 30.7 का हर पाठ यहाँ भी उतर आता है। ∎

उदाहरण 30.13 (विद्युत्चुंबक जागता है)

रिले की कुंडली, L=0.30 HL = 0.30\,\mathrm{H} और R=6.0 ΩR = 6.0\,\Omega, 12 V12\,\mathrm{V} की आपूर्ति पर: अंतिम धारा E/R=2.0 A\mathcal{E}/R = 2.0\,\mathrm{A}, और चाल τ=0.30/6.0=50 ms\tau = 0.30/6.0 = 50\,\mathrm{ms} — यानी 3τ≈0.15 s3\tau \approx 0.15\,\mathrm{s} में जाग जाती है।

टिप्पणी 30.14 (खोलने पर उठती चिंगारी)

जीवित कुंडली पर स्विच खोलिए और ii को मिलीसेकंड के अंश भर में शून्य पर गिरना पड़ता है: di/dtdi/dt विशाल हो जाता है और u=L di/dtu = L\,di/dt सैकड़ों या हज़ारों वोल्ट तक पहुँच जाता है — और संपर्क पर चिंगारी कूद पड़ती है। कार की इग्निशन कुंडली यही काम जान-बूझकर करती है, मिनट में हज़ारों बार।

30.4 संचित ऊर्जा

प्रतिज्ञप्ति 30.15 (संधारित्र में ऊर्जा, कुंडली में ऊर्जा)

uu के विभवांतर तक आवेशित संधारित्र CC और ii धारा ले जाती कुंडली LL इतनी ऊर्जा संचित रखते हैं:

EC=12 Cu2=q22C,EL=12 Li2.E_C = \tfrac12\,C u^2 = \frac{q^2}{2C}, \qquad E_L = \tfrac12\,L i^2 .

उपपत्ति. पहले से uu विभवांतर पर पड़ी पट्टियों पर छोटा आवेश dqdq उतारने का दाम u dqu\,dq है (परिभाषा 12.3); और दाम एक पर एक चढ़ाते जाने पर कुल दाम रेखा u=q/Cu = q/C के नीचे का क्षेत्रफल — यानी नीचे का त्रिभुज — हो जाता है, इसलिए EC=12qu=12Cu2E_C = \tfrac12 qu = \tfrac12 Cu^2। कुंडली के लिए वही त्रिभुज (ii को didi बढ़ाने का दाम Li diLi\,di) EL=12Li2E_L = \tfrac12 Li^2 देता है। ∎

हर टुकड़े dq का दाम u\,dq है; और पूरे आवेश का दाम त्रिभुज का क्षेत्रफल E_C = 1/2 q_0 u_0 — शुरुआती कूलॉम कम विभवांतर पर सवार हो जाते हैं।
हर टुकड़े dqdq का दाम u dqu\,dq है; और पूरे आवेश का दाम त्रिभुज का क्षेत्रफल EC=12q0u0E_C = \tfrac12 q_0 u_0 — शुरुआती कूलॉम कम विभवांतर पर सवार हो जाते हैं।

उदाहरण 30.16 (ऊर्जा की परिमाण-कोटियाँ)

उदाहरण 30.9 का फ़्लैश-संधारित्र: 12×8.0×10−4×3002=36 J\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}। 2.7 V2.7\,\mathrm{V} पर 3000 F3000\,\mathrm{F} का सुपर-संधारित्र: 1.1×104 J1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J} — यानी एक AA सेल भर। और 10 A10\,\mathrm{A} पर 10 mH10\,\mathrm{mH} की कुंडली: 0.50 J0.50\,\mathrm{J}। बैटरियों से कम — पर एक मिलीसेकंड में छोड़ा जा सकने वाला।

टिप्पणी 30.17 (ये दोनों समय-रक्षक किस काम के हैं)

धीरे भरना, तेज़ उड़ेलना — यही कैमरे के फ़्लैश और डीफ़िब्रिलेटर को शक्ति देता है। τ=RC\tau = RC का विलंब कालनियंत्रण परिपथ चलाता है: रुक-रुककर चलते वाइपर, टिमटिमाते संकेतक, सीढ़ियों की बत्तियाँ। आपूर्ति के समांतर जुड़ा संधारित्र विभवांतर को चिकना कर देता है (uu छलाँग नहीं लगा सकता); और श्रेणीक्रम में जुड़ी कुंडली धारा को (ii छलाँग नहीं लगा सकता)। और कुंडली तथा संधारित्र साथ मिलकर एक दोलित्र बना देते हैं (अध्याय 31)।

30.5 अभ्यास

अभ्यास 30.1 ★

470 µF470\,\text{µ}\mathrm{F} का संधारित्र 12 V12\,\mathrm{V} तक आवेशित किया जाता है: वह कितना आवेश रखता है? 100 µF100\,\text{µ}\mathrm{F} पर 2.0 mC2.0\,\mathrm{mC} डालने के लिए कितना विभवांतर चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 30.1.

q=Cu=4.7×10−4×12≈5.6 mCq = Cu = 4.7\times10^{-4} \times 12 \approx 5.6\,\mathrm{mC}; u=q/C=2.0×10−3/10−4=20 Vu = q/C = 2.0\times10^{-3}/10^{-4} = 20\,\mathrm{V}।

अभ्यास 30.2 ★

47 pF47\,\mathrm{pF}, 2200 µF2200\,\text{µ}\mathrm{F} और 10 F10\,\mathrm{F} को आपूर्ति-चिकनाकार, रेडियो-ट्यूनर और सुपर-संधारित्र में बाँटिए; और आख़िरी की 2.7 V2.7\,\mathrm{V} पर ऊर्जा निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 30.2.

47 pF47\,\mathrm{pF}: रेडियो-ट्यूनर; 2200 µF2200\,\text{µ}\mathrm{F}: चिकनाकार; 10 F10\,\mathrm{F}: सुपर-संधारित्र। E=12×10×2.72≈36 JE = \tfrac12 \times 10 \times 2.7^2 \approx 36\,\mathrm{J}।

अभ्यास 30.3 ★

220 µF220\,\text{µ}\mathrm{F} के संधारित्र के सिरों का विभवांतर 10 ms10\,\mathrm{ms} में 00 से 5.0 V5.0\,\mathrm{V} तक एकसार चढ़ता है: उसमें कितनी धारा जाती है? विभवांतर के ठहर जाने पर कितनी, और क्यों?

हल

हल — अभ्यास 30.3.

i=C Δu/Δt=2.2×10−4×5.0/0.010=0.11 Ai = C\,\Delta u/\Delta t = 2.2\times10^{-4} \times 5.0/0.010 = 0.11\,\mathrm{A}। फिर i=C du/dt=0i = C\,du/dt = 0: आवेशित संधारित्र खुला परिपथ है — कोई स्थिर धारा नहीं।

अभ्यास 30.4 ★

R=10 kΩR = 10\,\mathrm{k}\Omega, C=100 µFC = 100\,\text{µ}\mathrm{F} के लिए τ\tau निकालिए, फिर L=0.10 HL = 0.10\,\mathrm{H}, R=50 ΩR = 50\,\Omega के लिए। मात्रक-दर-मात्रक जाँचिए कि दोनों संयोजन सेकंड ही हैं।

हल

हल — अभ्यास 30.4.

RC=104×10−4=1.0 sRC = 10^4 \times 10^{-4} = 1.0\,\mathrm{s}; L/R=0.10/50=2.0 msL/R = 0.10/50 = 2.0\,\mathrm{ms}। Ω F=(V/A)(C/V)=C/A=s\Omega\,\mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}; H/Ω=(V s/A)/(V/A)=s\mathrm{H}/\Omega = (\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})/(\mathrm{V}/\mathrm{A}) = \mathrm{s}।

अभ्यास 30.5 ★

कोई संधारित्र 6.0 V6.0\,\mathrm{V} की ओर आवेशित होता है और t=2.0 st = 2.0\,\mathrm{s} पर 3.8 V3.8\,\mathrm{V} पार कर जाता है। कालांक पढ़िए; और आवेशन 95%95\% कब पूरा होता है?

हल

हल — अभ्यास 30.5.

3.8/6.0=0.633.8/6.0 = 0.63, इसलिए τ=2.0 s\tau = 2.0\,\mathrm{s}; और 3τ=6.0 s3\tau = 6.0\,\mathrm{s} पर 95%95\%।

अभ्यास 30.6 ★★

कोई RC परिपथ: E=9.0 V\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}, R=4.7 kΩR = 4.7\,\mathrm{k}\Omega, C=220 µFC = 220\,\text{µ}\mathrm{F}। τ\tau, u(τ)u(\tau), u(3τ)u(3\tau), और स्विच बंद होने के क्षण की धारा निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 30.6.

τ=4700×2.2×10−4≈1.0 s\tau = 4700 \times 2.2\times10^{-4} \approx 1.0\,\mathrm{s}; u(τ)=0.63×9.0=5.7 Vu(\tau) = 0.63 \times 9.0 = 5.7\,\mathrm{V}; u(3τ)=0.95×9.0=8.6 Vu(3\tau) = 0.95 \times 9.0 = 8.6\,\mathrm{V}; I0=E/R=9.0/4700≈1.9 mAI_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/4700 \approx 1.9\,\mathrm{mA} (ख़ाली संधारित्र: पूरा E\mathcal{E} RR के सिरों पर बैठता है)।

अभ्यास 30.7 ★★

प्रतिस्थापन से जाँचिए कि u(t)=E(1−e−t/RC)u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) RC du/dt+u=ERC\,du/dt + u = \mathcal{E} को संतुष्ट करता है; और t=0t = 0 पर उसका मान तथा बड़े tt की सीमा भौतिक रूप से क्या दर्ज करते हैं?

हल

हल — अभ्यास 30.7.

du/dt=(E/RC)e−t/RCdu/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}, इसलिए RC du/dt+u=Ee−t/RC+E(1−e−t/RC)=ERC\,du/dt + u = \mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}। u(0)=0u(0) = 0: संधारित्र ख़ाली शुरू होता है; u→Eu \to \mathcal{E}: पूरा आवेशित, और धारा रुक चुकी।

अभ्यास 30.8 ★★

12 V12\,\mathrm{V} तक आवेशित 100 µF100\,\text{µ}\mathrm{F} का संधारित्र 47 kΩ47\,\mathrm{k}\Omega से होकर विसर्जित होता है: τ\tau, u(τ)u(\tau), और uu के 0.60 V0.60\,\mathrm{V} से नीचे गिरने का समय निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 30.8.

τ=4.7×104×10−4=4.7 s\tau = 4.7\times10^{4} \times 10^{-4} = 4.7\,\mathrm{s}; u(τ)=12 e−1≈4.4 Vu(\tau) = 12\,e^{-1} \approx 4.4\,\mathrm{V}; 0.60 V0.60\,\mathrm{V} 5%5\% है, जो 3τ≈14 s3\tau \approx 14\,\mathrm{s} पर पहुँचता है।

अभ्यास 30.9 ★★

0.50 H0.50\,\mathrm{H} की कुंडली में धारा 40 ms40\,\mathrm{ms} में 00 से 2.0 A2.0\,\mathrm{A} तक एकसार चढ़ती है: उसके सिरों पर कितना विभवांतर प्रकट होता है? u=L di/dtu = L\,di/dt के साथ, कुंडली पर स्विच खोलने से चिंगारी क्यों उठती है, बंद करने से क्यों नहीं?

हल

हल — अभ्यास 30.9.

u=L Δi/Δt=0.50×2.0/0.040=25 Vu = L\,\Delta i/\Delta t = 0.50 \times 2.0/0.040 = 25\,\mathrm{V}। बंद करने पर ii परिपथ की अपनी चाल से चढ़ती है और di/dtdi/dt मामूली रहता है; पर खोलने पर ii को लगभग तत्काल शून्य होने के लिए बाध्य किया जाता है, di/dtdi/dt विशाल हो जाता है और uu चिंगारी वाले मानों तक पहुँच जाता है।

अभ्यास 30.10 ★★

उदाहरण 30.13 वाली रिले: प्रतिस्थापन से जाँचिए कि i(t)=(E/R)(1−e−Rt/L)i(t) = (\mathcal{E}/R)(1 - e^{-Rt/L}) L di/dt+Ri=EL\,di/dt + Ri = \mathcal{E} को संतुष्ट करता है, फिर i(τ)i(\tau) और i(3τ)i(3\tau) निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 30.10.

di/dt=(E/L)e−Rt/Ldi/dt = (\mathcal{E}/L)e^{-Rt/L}, इसलिए L di/dt+Ri=Ee−Rt/L+E(1−e−Rt/L)=EL\,di/dt + Ri = \mathcal{E}e^{-Rt/L} + \mathcal{E}(1 - e^{-Rt/L}) = \mathcal{E}। i(τ)=0.63×2.0=1.3 Ai(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.3\,\mathrm{A}; i(3τ)=0.95×2.0=1.9 Ai(3\tau) = 0.95 \times 2.0 = 1.9\,\mathrm{A}।

अभ्यास 30.11 ★★

दिखाइए कि u′(0)=E/τu'(0) = \mathcal{E}/\tau, और इससे निकालिए कि मूल बिंदु पर स्पर्शी अनंतस्पर्शी से t=τt = \tau पर मिलती है। किसी अभिलिखित वक्र पर यह τ=0.50 s\tau = 0.50\,\mathrm{s} देता है, और R=2.0 kΩR = 2.0\,\mathrm{k}\Omega के साथ: CC निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 30.11.

u′(t)=(E/τ)e−t/τu'(t) = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}, इसलिए u′(0)=E/τu'(0) = \mathcal{E}/\tau: स्पर्शी u=(E/τ) tu = (\mathcal{E}/\tau)\,t t=τt = \tau पर E\mathcal{E} तक पहुँच जाती है। C=τ/R=0.50/2000=250 µFC = \tau/R = 0.50/2000 = 250\,\text{µ}\mathrm{F}।

अभ्यास 30.12 ★★★

संचित ऊर्जा के अनुसार क्रम में रखिए और हर एक निकालिए: 2.7 V2.7\,\mathrm{V} पर 3000 F3000\,\mathrm{F} का सुपर-संधारित्र; 300 V300\,\mathrm{V} पर 800 µF800\,\text{µ}\mathrm{F} का फ़्लैश-संधारित्र; 10 A10\,\mathrm{A} पर 10 mH10\,\mathrm{mH} की कुंडली; और एक AA सेल (E≈1.3×104 JE \approx 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J})। पहले तीन ऐसा क्या देते हैं जो बैटरी नहीं दे सकती?

हल

हल — अभ्यास 30.12.

सुपर-संधारित्र 12×3000×2.72≈1.1×104 J\tfrac12 \times 3000 \times 2.7^2 \approx 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}; फ़्लैश 12×8.0×10−4×3002=36 J\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}; कुंडली 12×0.010×102=0.50 J\tfrac12 \times 0.010 \times 10^2 = 0.50\,\mathrm{J}। बैटरी (1.3×104 J1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}) >> सुपर-संधारित्र ≫\gg फ़्लैश ≫\gg कुंडली — पर तीनों अपनी ऊर्जा मिलीसेकंडों में उड़ेल सकते हैं: यानी शक्ति, ऊर्जा नहीं।

अभ्यास 30.13 ★★★

सीढ़ी की एक समय-घड़ी तब तक बत्ती जलाए रखती है जब तक अपने आवेशित होते संधारित्र के सिरों पर u<0.63 Eu < 0.63\,\mathcal{E} हो, और t=τt = \tau पर अँधेरा कर देती है। C=100 µFC = 100\,\text{µ}\mathrm{F} का उपयोग करते हुए बत्ती को 5.0 s5.0\,\mathrm{s} तक चलाने की डिज़ाइन बनाइए: कितना RR? देहली 0.50 E0.50\,\mathcal{E} के लिए दिखाइए कि विलंब τln⁡2\tau \ln 2 है और उसे निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 30.13.

τ=5.0 s\tau = 5.0\,\mathrm{s}, इसलिए R=τ/C=5.0/10−4=50 kΩR = \tau/C = 5.0/10^{-4} = 50\,\mathrm{k}\Omega। 1−e−t/τ=0.501 - e^{-t/\tau} = 0.50 से e−t/τ=0.50e^{-t/\tau} = 0.50, t=τln⁡2≈0.69 τ=3.5 st = \tau\ln 2 \approx 0.69\,\tau = 3.5\,\mathrm{s}।

अभ्यास 30.14 ★★★

2200 µF2200\,\text{µ}\mathrm{F} का संधारित्र किसी आपूर्ति को चिकना करता है: दो बार भरने के बीच वह अकेला 10 ms10\,\mathrm{ms} तक 0.50 A0.50\,\mathrm{A} खींचते भार को खिलाता है। i=C du/dti = C\,du/dt से विभवांतर की गिरावट निकालिए, फिर वह धारिता जो उसे 0.50 V0.50\,\mathrm{V} के नीचे रखे।

हल

हल — अभ्यास 30.14.

Δu=i Δt/C=0.50×0.010/2.2×10−3≈2.3 V\Delta u = i\,\Delta t/C = 0.50 \times 0.010/2.2\times10^{-3} \approx 2.3\,\mathrm{V}। चाहिए C≥i Δt/Δu=5.0×10−3/0.50=10 mFC \geq i\,\Delta t/\Delta u = 5.0\times10^{-3}/0.50 = 10\,\mathrm{mF}।

अभ्यास 30.15 ★★★

इग्निशन की कुंडली, L=0.80 HL = 0.80\,\mathrm{H}, 2.0 A2.0\,\mathrm{A} ले जाती है और ब्रेकर उसे लगभग 1.0 ms1.0\,\mathrm{ms} में काट देता है। कटाव के दौरान कुंडली का विभवांतर और चिंगारी की ऊर्जा का अनुमान लगाइए; धीमी रुकावट पर कोई चिंगारी क्यों नहीं उठती?

हल

हल — अभ्यास 30.15.

u≈L Δi/Δt=0.80×2.0/10−3=1.6 kVu \approx L\,\Delta i/\Delta t = 0.80 \times 2.0/10^{-3} = 1.6\,\mathrm{kV}; EL=12×0.80×2.02=1.6 JE_L = \tfrac12 \times 0.80 \times 2.0^2 = 1.6\,\mathrm{J}। धीरे काटिए तो di/dtdi/dt छोटा रहता है और uu कुछ वोल्ट भर: कोई चिंगारी नहीं।

30.6 समस्या: कैमरे का फ़्लैश

समस्या 30.1

सप्ताहांत समस्या — कैमरे का फ़्लैश: दो सेकंड की सीटी, एक मिलीसेकंड का जलवा, और दीवार पर टँगा वह चचेरा भाई जो दिल फिर से चला देता है — और तीनों को एक ही चरघातांक चलाता है

कोई छोटा फ़्लैश-यंत्र C=800 µFC = 800\,\text{µ}\mathrm{F} के संधारित्र में ऊर्जा संचित रखता है, जिसे R=1.0 kΩR = 1.0\,\mathrm{k}\Omega से होकर उस परिवर्तित्र से आवेशित किया जाता है जिसे आदर्श स्रोत E=300 V\mathcal{E} = 300\,\mathrm{V} माना गया है; और “तैयार” बत्ती पूरे विभवांतर के 95%95\% पर चल पड़ती है। चलने पर संधारित्र को केवल फ़्लैश-नली दिखती है, Rf=0.50 ΩR_f = 0.50\,\Omega। आँकड़े: कोई AA सेल 1.5 V1.5\,\mathrm{V} और 2.4 A h2.4\,\mathrm{A}\,\mathrm{h} देता है; e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}।

भाग I — भंडार।

  1. 300 V300\,\mathrm{V} पर संधारित्र का आवेश निकालिए।
  2. वह कितने मूल आवेश हैं?
  3. संचित ऊर्जा ECE_C निकालिए।
  4. AA सेल q=It≈8.6×103 Cq = It \approx 8.6 \times 10^{3}\,\mathrm{C} रखता है, यानी लगभग 1.3×104 J1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}। यह संधारित्र की ऊर्जा का कितना गुना है?
  5. तो फिर संधारित्र की झंझट क्यों? “शक्ति” शब्द का उपयोग करते हुए एक वाक्य में।

भाग II — हरी बत्ती की प्रतीक्षा।

  1. फंदा-नियम लिखिए और उसे u(t)u(t) के अवकल समीकरण में बदलिए।
  2. प्रतिस्थापन से जाँचिए कि u(t)=E(1−e−t/RC)u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) उसे हल कर देता है, और वह u(0)=0u(0) = 0 से शुरू होता है।
  3. कालांक τ\tau निकालिए।
  4. तैयार-बत्ती कितने समय बाद और किस विभवांतर पर हरी होती है? दो सेकंड की उस सीटी को पहचानिए।
  5. आरंभिक आवेशन-धारा निकालिए; फिर वह मरती क्यों जाती है?

भाग III — एक मिलीसेकंड का जलवा।

  1. नली से होकर विसर्जन का नियम u(t)u(t) लिखिए और नया कालांक τ′\tau' निकालिए।
  2. नली से गुज़रती शिखर धारा निकालिए।
  3. शिखर शक्ति निकालिए; 2.2 kW2.2\,\mathrm{kW} की केतली से तुलना कीजिए।
  4. फ़्लैश को 3τ′3\tau' पर ख़त्म मानकर उसकी अवधि और औसत शक्ति दीजिए।
  5. आवेशन-काल और फ़्लैश-काल का अनुपात बनाइए: वही संधारित्र, वही आवेश — तो बदला क्या, और इससे संधारित्र क्या ठहरता है: ऊर्जा की टंकी, या शक्ति का लीवर?

भाग IV — दीवार पर टँगा चचेरा भाई। किसी डीफ़िब्रिलेटर को U0=1500 VU_0 = 1500\,\mathrm{V} पर EC=200 JE_C = 200\,\mathrm{J} देना है; और छाती तथा पट्टियाँ मिलकर लगभग 50 Ω50\,\Omega बनाती हैं।

  1. ज़रूरी धारिता निकालिए।
  2. संचित आवेश निकालिए।
  3. झटके का कालांक और अवधि (3τ3\tau) निकालिए; फ़्लैश से तुलना कीजिए।
  4. रोगी में शिखर धारा और शिखर शक्ति निकालिए।
  5. फिर से आवेशित करने वाले परिपथ को यंत्र को 6.0 s6.0\,\mathrm{s} में तैयार (95%95\%) कर देना है: ज़रूरी आवेशन-प्रतिरोध और आरंभिक आवेशन-धारा निकालिए — यानी वे संख्याएँ जो कोई डिज़ाइनर मँगवाएगा।
हल

हल — समस्या 30.1.

1. q=CU0=8.0×10−4×300=0.24 Cq = CU_0 = 8.0\times10^{-4} \times 300 = 0.24\,\mathrm{C}।

2. N=0.24/1.60×10−19=1.5×1018N = 0.24/1.60\times10^{-19} = 1.5 \times 10^{18}।

3. EC=12×8.0×10−4×3002=36 JE_C = \tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}।

4. 1.3×104/36≈3601.3 \times 10^{4}/36 \approx 360 गुना।

5. सेल भरपूर संचित रखता है पर धीरे-धीरे देता है; और संधारित्र मामूली ऊर्जा को विशाल शक्ति में बदल देता है।

6. i=C du/dti = C\,du/dt के साथ E=Ri+u\mathcal{E} = Ri + u: RC du/dt+u=ERC\,du/dt + u = \mathcal{E}।

7. du/dt=(E/RC)e−t/RCdu/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}: हर tt के लिए Ee−t/RC+E(1−e−t/RC)=E\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}, और u(0)=0u(0) = 0।

8. τ=RC=103×8.0×10−4=0.80 s\tau = RC = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}।

9. 3τ=2.4 s3\tau = 2.4\,\mathrm{s} पर u=0.95×300=285 Vu = 0.95 \times 300 = 285\,\mathrm{V} — यानी दो सेकंड की वही सीटी।

10. I0=E/R=0.30 AI_0 = \mathcal{E}/R = 0.30\,\mathrm{A}; और uu के चढ़ते जाने पर RR के सिरों पर बचा हिस्सा E−u\mathcal{E} - u सिकुड़ता जाता है, इसलिए i=(E−u)/Ri = (\mathcal{E}-u)/R मरती जाती है।

11. τ′=RfC=0.50×8.0×10−4=0.40 ms\tau' = R_f C = 0.50 \times 8.0\times10^{-4} = 0.40\,\mathrm{ms} के साथ u(t)=U0 e−t/τ′u(t) = U_0\,e^{-t/\tau'}।

12. I0=U0/Rf=300/0.50=600 AI_0 = U_0/R_f = 300/0.50 = 600\,\mathrm{A}।

13. P0=U0I0=300×600=180 kWP_0 = U_0 I_0 = 300 \times 600 = 180\,\mathrm{kW} — यानी एक साथ लगभग 8080 केतलियाँ।

14. अवधि 3τ′=1.2 ms3\tau' = 1.2\,\mathrm{ms}; औसत शक्ति ≈36/1.2×10−3=30 kW\approx 36/1.2\times10^{-3} = 30\,\mathrm{kW}।

15. 2.4/1.2×10−3=20002.4/1.2\times10^{-3} = 2000। बदला केवल प्रतिरोध (भीतर 1.0 kΩ1.0\,\mathrm{k}\Omega, बाहर 0.50 Ω0.50\,\Omega): यानी शक्ति का लीवर।

16. C=2EC/U02=400/15002≈1.8×10−4 F=180 µFC = 2E_C/U_0^2 = 400/1500^2 \approx 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{F} = 180\,\text{µ}\mathrm{F}।

17. q=CU0=1.78×10−4×1500≈0.27 Cq = CU_0 = 1.78\times10^{-4} \times 1500 \approx 0.27\,\mathrm{C}।

18. τ=50×1.78×10−4≈8.9 ms\tau = 50 \times 1.78\times10^{-4} \approx 8.9\,\mathrm{ms}, अवधि 3τ≈27 ms3\tau \approx 27\,\mathrm{ms} — यानी फ़्लैश की लगभग बीस गुनी।

19. I0=1500/50=30 AI_0 = 1500/50 = 30\,\mathrm{A}; P0=1500×30=45 kWP_0 = 1500 \times 30 = 45\,\mathrm{kW}।

20. 3τc=6.0 s3\tau_c = 6.0\,\mathrm{s} से τc=2.0 s\tau_c = 2.0\,\mathrm{s} मिलता है, इसलिए Rc=τc/C=2.0/1.78×10−4≈11 kΩR_c = \tau_c/C = 2.0/1.78\times10^{-4} \approx 11\,\mathrm{k}\Omega और I0=1500/1.12×104≈0.13 AI_0 = 1500/1.12\times10^{4} \approx 0.13\,\mathrm{A} — यानी छह सेकंड में तैयार, और वह भी दसवें हिस्से भर ऐंपियर पर।