माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

18यांत्रिक ऊर्जा और उसका संरक्षण

पहली चढ़ाई के बाद रोलर कोस्टर के पास कोई इंजन नहीं होता: उसके बाद का हर फंदा, हर तेज़ी उसी खाते से निकलती है जो चढ़ते समय खोला गया था। यह अध्याय उस बहीखाते को दो संख्याओं में बदल देता है — गतिज और स्थितिज ऊर्जा — और एक नियम में: जब तक केवल भार कार्य करता है, उनका योग नहीं बदलता। घर्षण उसकी फ़ीस है; और हम उसे बहीखाते से पढ़ना सीखेंगे।

18.1 गतिज ऊर्जा

परिभाषा 18.1 (गतिज ऊर्जा)

द्रव्यमान $m$ ( $\mathrm{kg}$ ) का पिंड चाल $v$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) से चलते हुए गतिज ऊर्जा रखता है:

E_k = \tfrac12\, m v^2 .

मात्रकों की जाँच: $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2} = \mathrm{N}\,\mathrm{m} = \mathrm{J}$ — यानी जूल, हर ऊर्जा की तरह (अध्याय 9)।

उदाहरण 18.2 (परिमाण की कोटियाँ)

पैदल चलता व्यक्ति, $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $70\,\mathrm{kg}$ : $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 1.4^2 \approx 69\,\mathrm{J}$ ;
कार, $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $1300\,\mathrm{kg}$ : $E_k \approx 8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ;
तेज़ रफ़्तार रेलगाड़ी, $m = 3.85 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ , $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर: $E_k \approx 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ;
राइफ़ल की गोली, $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $8.0\,\mathrm{g}$ : $E_k \approx 2.6\,\mathrm{kJ}$ ।

टहलने और रेलगाड़ी के बीच सात कोटियाँ हैं। और $E_k$ चाल के वर्ग की तरह बढ़ता है: $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर कार $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ वाली अपनी ऊर्जा का $4$ गुना ले चलती है — यानी ब्रेकों को चार गुना निकालना पड़ेगा।

18.2 गतिज-ऊर्जा प्रमेय

प्रमेय 18.3 (गतिज-ऊर्जा प्रमेय)

सरल रेखा पर $A$ से $B$ तक चलते द्रव्यमान $m$ के पिंड के लिए गतिज ऊर्जा का बदलाव उसे मिले कुल कार्य (अध्याय 17) के बराबर होता है:

\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),

जहाँ योग पिंड पर लगते सभी बलों पर है। यह किसी भी पथ पर होती गति तक फैल जाता है, और हम उसे भी यहीं मान लेते हैं।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 18.4 (मुक्त पतन, फ़्रेम-दर-फ़्रेम जाँचा हुआ)

$0.200\,\mathrm{kg}$ की एक गेंद छोड़ी जाती है और उसका चलचित्र बनाया जाता है; फ़्रेम ये आँकड़े देते हैं:

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0.10	0.20	0.30	0.40
गिरी हुई ऊँचाई $h$ ( $\mathrm{m}$ )	0.049	0.196	0.441	0.785
चाल $v$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )	0.98	1.96	2.94	3.92
$E_k = \tfrac12 mv^2$ ( $\mathrm{J}$ )	0.096	0.384	0.864	1.54
$W = mgh$ ( $\mathrm{J}$ )	0.096	0.385	0.865	1.54

$E_k = 0$ से चलकर हर फ़्रेम पर $E_k$ भार के कार्य $mgh$ से मेल खाता है: $\Delta E_k = W(\vect P)$ , यानी $v^2 = 2gh$ — यही प्रमेय है, और वह पाठ्यांकों की परिशुद्धता तक सत्यापित हो जाती है।

टिप्पणी 18.5 (उपपत्ति कहाँ रहती है)

सामान्य कथन — जो केवल सरल रेखा पर नहीं, हर पथ पर लागू है — गति के दूसरे नियम और थोड़े कलन से निकलता है, और दोनों इसी पुस्तक में आगे (अध्याय 25 और 29); तब तक मुक्त पतन की यह जाँच ही हमारा प्रमाणपत्र है, और हम वक्र-पथ वाला रूप मानकर उसका खुलकर उपयोग करते हैं।

18.3 गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा

परिभाषा 18.6 (गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा)

ऊँचाई $z$ पर रखा द्रव्यमान $m$ का पिंड, जहाँ ऊँचाई किसी चुने हुए संदर्भ स्तर (जहाँ $z = 0$ ) से ऊपर की ओर नापी जाती है, गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा संचित रखता है:

E_p = m g z, \qquad g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.

टिप्पणी 18.7 (मायने केवल अंतर रखते हैं)

$A$ से $B$ तक जाने पर $E_p$ $mg(z_B - z_A) = -W_{AB}(\vect P)$ जितना बदलता है: यानी भार के कार्य का ठीक उलटा (अध्याय 17)। संदर्भ स्तर मन-मरज़ी का चुनाव है — फ़र्श, समुद्र-तल, मेज़ की सतह — और वह हर जगह $E_p$ को एक अचर जितना खिसका देता है, जो हर अंतर में से कट जाता है। उसे वहाँ रखिए जहाँ संख्याएँ सबसे सरल हों, और बीच समस्या में उसे मत हिलाइए।

उदाहरण 18.8 (ताक़ पर रखी किताब)

$1.2\,\mathrm{kg}$ की किताब फ़र्श से $1.8\,\mathrm{m}$ ऊपर रखी है, और फ़र्श ख़ुद सड़क से $9.0\,\mathrm{m}$ ऊपर है। संदर्भ फ़र्श पर हो तो $E_p = 1.2 \times 9.81 \times 1.8 \approx 21\,\mathrm{J}$ ; सड़क पर हो तो $E_p \approx 127\,\mathrm{J}$ । फ़र्श तक गिरने पर दोनों खातों में $21\,\mathrm{J}$ ही छूटता है।

18.4 यांत्रिक ऊर्जा और उसका संरक्षण

परिभाषा 18.9 (यांत्रिक ऊर्जा)

किसी पिंड की यांत्रिक ऊर्जा है

E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + m g z .

प्रमेय 18.10 (यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण)

यदि पिंड पर कार्य करता एकमात्र बल उसका भार हो (कोई घर्षण नहीं; बाक़ी बल, जैसे घर्षणहीन पटरी की प्रतिक्रिया, गति के लंबवत हों), तो $E_m$ संरक्षित रहता है: गति के किन्हीं दो बिंदुओं $A$ और $B$ के लिए

\tfrac12 m v_A^2 + m g z_A = \tfrac12 m v_B^2 + m g z_B .

उपपत्ति. गतिज-ऊर्जा प्रमेय से $E_k(B) - E_k(A) = W_{AB}(\vect P) = mg(z_A - z_B) = E_p(A) - E_p(B)$ : जो $E_k$ कमाता है, वही $E_p$ गँवाता है। ∎

उदाहरण 18.11 (पानी की फिसलपट्टी)

कोई बच्चा $h = 3.2\,\mathrm{m}$ ऊँची घर्षणहीन फिसलपट्टी के सिरे पर विराम से चलता है। संदर्भ नीचे हो तो $mgh = \tfrac12 mv^2$ , इसलिए $v = \sqrt{2gh} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $29\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) — द्रव्यमान चाहे जो हो और फिसलपट्टी का आकार चाहे जो हो: सीधी, मुड़ी या सर्पिल, हिसाब में केवल ऊँचाई की गिरावट आती है।

उदाहरण 18.12 (लोलक)

लोलक के गोलक को एक ओर तब तक खींचा जाता है जब तक वह अपने सबसे निचले बिंदु से $h = 12\,\mathrm{cm}$ ऊपर न उठ जाए, फिर छोड़ दिया जाता है। दोनों छोरों पर $v = 0$ ; सबसे नीचे पूरा $mgh$ गतिज है, $v = \sqrt{2gh} \approx 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; और दूसरी ओर गोलक ठीक $12\,\mathrm{cm}$ तक चढ़ जाता है।

लोलक E_p को E_k से बदलता रहता है और फिर उलटा: छोरों पर पूरा स्थितिज, तल पर पूरा गतिज, और वही चढ़ाई h दो बार। — लोलक $E_p$ को $E_k$ से बदलता रहता है और फिर उलटा: छोरों पर पूरा स्थितिज, तल पर पूरा गतिज, और वही चढ़ाई $h$ दो बार।

घर्षणहीन कोस्टर का ऊर्जा-स्तंभ चित्र: हर स्थिति पर E_p और E_k के स्तंभ जुड़कर वही कुल E_m बनाते हैं (बिंदुदार रेखा)। — घर्षणहीन कोस्टर का ऊर्जा-स्तंभ चित्र: हर स्थिति पर $E_p$ और $E_k$ के स्तंभ जुड़कर वही कुल $E_m$ बनाते हैं (बिंदुदार रेखा)।

उदाहरण 18.13 (स्की-कूद में उतरने की चाल)

कोई स्की-कूद करने वाला उछाल-बिंदु से $v_A = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर निकलता है और $\Delta z = 40\,\mathrm{m}$ नीचे उतरता है। वायु-प्रतिरोध छोड़ दें तो $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g\,\Delta z} = \sqrt{625 + 785} \approx 38\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — और इसके लिए उड़ान का पथ जानने की कोई ज़रूरत नहीं।

स्की-कूद: A से B तक उड़ान का वक्र चाहे जो हो, ऊर्जा के हिसाब में केवल गिरावट z आती है। — स्की-कूद: $A$ से $B$ तक उड़ान का वक्र चाहे जो हो, ऊर्जा के हिसाब में केवल गिरावट $\Delta z$ आती है।

18.5 घर्षण से क्षय

परिभाषा 18.14 (क्षय)

यांत्रिक खाते से निकल जाती ऊर्जा के बारे में कहा जाता है कि वह क्षय हो गई: वह रगड़ती सतहों और हवा में तापीय ऊर्जा बनकर फिर प्रकट हो जाती है। कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है (अध्याय 9); अकेली यांत्रिक ऊर्जा नहीं।

प्रतिज्ञप्ति 18.15 (घाटा घर्षण को नाप देता है)

यदि गति के अनुदिश घर्षण-बल $\vect f$ भी कार्य करे, तो

\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = W_{AB}(\vect f) < 0:

यानी यांत्रिक ऊर्जा की हानि घर्षण के कार्य के बराबर होती है।

उपपत्ति. गतिज-ऊर्जा प्रमेय अब $\Delta E_k = W_{AB}(\vect P) + W_{AB}(\vect f) = -\Delta E_p + W_{AB}(\vect f)$ कहता है; $\Delta E_p$ को दूसरी ओर ले जाइए। घर्षण गति का विरोध करता है, इसलिए उसका कार्य ऋणात्मक है। ∎

उदाहरण 18.16 (बर्फ़-गाड़ी का लेखा)

बच्चा और स्लेज ( $m = 40\,\mathrm{kg}$ ) विराम से चलते हैं, $12\,\mathrm{m}$ बर्फ़ पर $h = 5.0\,\mathrm{m}$ गिरते हैं और घर्षणहीन $\sqrt{2gh} \approx 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के बजाय $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर पहुँचते हैं। संदर्भ नीचे रखने पर: $\Delta E_m = \tfrac12 \times 40 \times 7.0^2 - 40 \times 9.81 \times 5.0 = 980 - 1962 = -982\,\mathrm{J}$ । तो $12\,\mathrm{m}$ पर $W(\vect f) = -982\,\mathrm{J}$ : यानी औसत घर्षण-बल $f = 982/12 \approx 82\,\mathrm{N}$ , और फिसलपट्टियों तथा बर्फ़ में $982\,\mathrm{J}$ की गरमाहट।

गति के अनुदिश E_m: घर्षण के बिना समतल, और उसके साथ घटता हुआ — हर क्षण की गिरावट वहीं तक पैदा हुई ऊष्मा है। — गति के अनुदिश $E_m$ : घर्षण के बिना समतल, और उसके साथ घटता हुआ — हर क्षण की गिरावट वहीं तक पैदा हुई ऊष्मा है।

विधि 18.17 (ऊर्जा का बहीखाता)

एक संदर्भ स्तर चुनिए और उसे बनाए रखिए; $A$ (आँकड़े) और $B$ (प्रश्न) के नाम रखिए।
$A$ पर और $B$ पर $E_m = \tfrac12 mv^2 + mgz$ लिखिए।
घर्षण न हो: $E_m(A) = E_m(B)$ ; हल कीजिए — आम तौर पर $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g(z_A - z_B)}$ ।
घर्षण हो: $E_m(B) - E_m(A) = -f\ell$ ( $\ell$ = पथ-लंबाई); अज्ञात के लिए हल कीजिए।
जाँच: $E_k$ / $E_p$ के स्तंभ जुड़कर $E_m$ बनते हैं, और घर्षण न हो तो समतल रहते हैं।

18.6 अभ्यास

अभ्यास 18.1 ★

इनकी गतिज ऊर्जा निकालिए: (क) $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर $90\,\mathrm{kg}$ का स्कूटर और सवार; (ख) $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर $1200\,\mathrm{kg}$ की कार। (ग) चाल दुगुनी होने पर $E_k$ कितने गुना बदल जाता है? तिगुनी होने पर?

हल

हल — अभ्यास 18.1.

(क) $v = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 90 \times 6.94^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ । (ख) $v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 1200 \times 36.1^2 \approx 7.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ । (ग) $\times 4$ ; $\times 9$ — यानी वर्ग।

अभ्यास 18.2 ★

$75\,\mathrm{kg}$ का पर्वतारोही $850\,\mathrm{m}$ ऊँचाई चढ़ता है। स्थितिज ऊर्जा की वृद्धि निकालिए। क्या वह संदर्भ स्तर पर निर्भर करती है? रास्ते पर?

हल

हल — अभ्यास 18.2.

$\Delta E_p = 75 \times 9.81 \times 850 \approx 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ । नहीं: संदर्भ दोनों मानों को बराबर खिसका देता है। नहीं: हिसाब में केवल ऊँचाई का अंतर आता है।

अभ्यास 18.3 ★

गमला बालकनी से $20\,\mathrm{m}$ नीचे गिरता है। वायु-प्रतिरोध छोड़कर ज़मीन पर उसकी चाल $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में निकालिए। द्रव्यमान कहाँ चला गया?

हल

हल — अभ्यास 18.3.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 20} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ । $mgh = \tfrac12 mv^2$ : द्रव्यमान कट जाता है।

अभ्यास 18.4 ★

$1200\,\mathrm{kg}$ की कार $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से $50\,\mathrm{m}$ में रुक जाती है। गतिज-ऊर्जा प्रमेय से ब्रेकों का कार्य निकालिए, फिर औसत ब्रेक-बल।

हल

हल — अभ्यास 18.4.

$W = \Delta E_k = 0 - \tfrac12 \times 1200 \times 25^2 = -3.75 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; $F = 3.75 \times 10^{5}/50 = 7.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ ।

अभ्यास 18.5 ★

लोलक का गोलक अपने सबसे निचले बिंदु से $8.0\,\mathrm{cm}$ ऊपर से छोड़ा जाता है। तल पर उसकी चाल और दूसरी ओर पहुँची ऊँचाई निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 18.5.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.080} \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; वह फिर $8.0\,\mathrm{cm}$ तक चढ़ जाता है (संरक्षण)।

अभ्यास 18.6 ★★

उदाहरण 18.2 का उपयोग करते हुए: रेलगाड़ी की गतिज ऊर्जा गोली से कितने गुना अधिक है? रेलगाड़ी को उसकी अपनी $E_k$ कितनी ऊँचाई तक उठा सकती है ( $h = v^2/2g$ )?

हल

हल — अभ्यास 18.6.

$1.5 \times 10^{9}/2.6 \times 10^{3} \approx 5.9 \times 10^{5}$ : यानी लगभग छह लाख गोलियाँ। $h = 88.9^2/(2 \times 9.81) \approx 4.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ — उसकी अपनी चाल रेलगाड़ी को $400$ मीटर ऊपर उठा सकती थी।

अभ्यास 18.7 ★★

दो घर्षणहीन फिसलपट्टियाँ एक ही $3.0\,\mathrm{m}$ ऊँचे चबूतरे से उतरती हैं, एक सीधी और खड़ी, दूसरी लंबी और घुमावदार। पहुँचने की चालों की तुलना कीजिए (उन्हें निकालिए भी) और पहुँचने के समयों की भी (बिना कोई गणना किए)।

हल

हल — अभ्यास 18.7.

चाल दोनों पर वही, $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 3.0} \approx 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (हिसाब में केवल गिरावट आती है)। समय में खड़ी फिसलपट्टी जीतती है: वह तेज़ चाल जल्दी पा लेती है और उसका पथ छोटा भी है।

अभ्यास 18.8 ★★

गेंद सीधे ऊपर $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से फेंकी जाती है। पहुँची अधिकतम ऊँचाई निकालिए, फिर $4.0\,\mathrm{m}$ पर उसकी चाल — ऊपर जाते समय और नीचे आते समय।

हल

हल — अभ्यास 18.8.

$h = v^2/2g = 144/19.62 \approx 7.3\,\mathrm{m}$ । $4.0\,\mathrm{m}$ पर: $v = \sqrt{144 - 2 \times 9.81 \times 4.0} \approx 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — और दोनों ओर वही: $E_m$ ऊँचाई पर निर्भर करता है, चलने की दिशा पर नहीं।

अभ्यास 18.9 ★★

स्की-कूद करने वाला उछाल-बिंदु से $23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर निकलता है और $35\,\mathrm{m}$ नीचे उतरता है। वायु-प्रतिरोध के बिना उतरने की चाल का पूर्वानुमान लगाइए; असली मान इससे बड़ा होगा या छोटा, और क्यों?

हल

हल — अभ्यास 18.9.

$v = \sqrt{23^2 + 2 \times 9.81 \times 35} = \sqrt{1216} \approx 35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । असल में इससे कम: वायु-प्रतिरोध $E_m$ का कुछ हिस्सा क्षय कर देता है।

अभ्यास 18.10 ★★

$45\,\mathrm{kg}$ की स्लेज विराम से चलकर $15\,\mathrm{m}$ ढलान पर $6.0\,\mathrm{m}$ गिरती है और $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर पहुँचती है। गँवाई गई यांत्रिक ऊर्जा निकालिए, फिर औसत घर्षण-बल। ऊर्जा कहाँ गई?

हल

हल — अभ्यास 18.10.

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 45 \times 8.0^2 - 45 \times 9.81 \times 6.0 = 1440 - 2649 \approx -1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; $f = 1209/15 \approx 81\,\mathrm{N}$ । वह ऊष्मा बनकर फिसलपट्टियों और बर्फ़ में चली गई।

अभ्यास 18.11 ★★

गैलीलियो की खूँटी: अपने सबसे निचले बिंदु से $15\,\mathrm{cm}$ ऊपर से छोड़ा गया लोलक ऊर्ध्वाधर पर पहुँचकर एक ऐसी खूँटी से मिलता है जो डोरी का ऊपरी आधा हिस्सा रोक देती है। तल पर चाल और खूँटी के आगे की चढ़ाई निकालिए; खूँटी क्या बदल देती है, और क्या नहीं?

हल

हल — अभ्यास 18.11.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.15} \approx 1.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; वह फिर $15\,\mathrm{cm}$ तक चढ़ जाता है। खूँटी पथ बदल देती है (एक कसा हुआ वृत्त), ऊर्जा नहीं: ऊँचाइयाँ और चालें अछूती रहती हैं।

अभ्यास 18.12 ★★★

कोई स्केटबोर्ड-सवार $2.5\,\mathrm{m}$ से आधी-नली में उतरता है; हर फेरा (एक ओर से दूसरी ओर) यांत्रिक ऊर्जा का $10\%$ क्षय कर देता है। पहले उतार के तल पर चाल निकालिए, फिर — क्रमशः चढ़ाई की ऊँचाइयाँ निकालकर — वह पहला चक्कर बताइए जो $1.0\,\mathrm{m}$ से नीचे ख़त्म होता है।

हल

हल — अभ्यास 18.12.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.5} = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । चढ़ाई की ऊँचाइयाँ $E_m$ के साथ चलती हैं, इसलिए हर फेरे पर $\times 0.9$ : $2.25$ , $2.03$ , $1.82$ , $1.64$ , $1.48$ , $1.33$ , $1.20$ , $1.08$ , $0.97$ — यानी $9$ वें फेरे पर वह पहली बार $1.0\,\mathrm{m}$ से नीचे रहता है।

अभ्यास 18.13 ★★★

$45\,\mathrm{m}$ ऊँची चट्टान की चोटी से एक पत्थर $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर फेंका जाता है — ऊपर की ओर, क्षैतिज, या किसी भी कोण पर। दिखाइए कि उतरने की चाल सभी स्थितियों में एक-सी रहती है, और उसे निकालिए। कोण पर निर्भर क्या करता है?

हल

हल — अभ्यास 18.13.

कोण चाहे जो हो, आरंभिक $E_m = \tfrac12 m \times 15^2 + m \times 9.81 \times 45$ वही रहता है, इसलिए ज़मीन पर चाल $v = \sqrt{225 + 2 \times 9.81 \times 45} = \sqrt{1108} \approx 33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ है। कोण उतरते वेग की दिशा, उड़ान का समय और परास तय करता है — उतरने की चाल नहीं।

अभ्यास 18.14 ★★★

$80\,\mathrm{kg}$ का उतार-स्कीबाज़ विराम से चलकर $800\,\mathrm{m}$ लंबे रास्ते पर $120\,\mathrm{m}$ गिरता है, और उस पर अचर $65\,\mathrm{N}$ का घर्षण-बल लगता है। पहुँचने की चाल और $E_m$ का क्षय हुआ अंश निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 18.14.

$\tfrac12 mv^2 = mgh - f\ell = 80 \times 9.81 \times 120 - 65 \times 800 = 94\,176 - 52\,000 = 4.22 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ , इसलिए $v = \sqrt{2 \times 42\,176/80} \approx 32\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $117\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ )। क्षय हुआ अंश: $52000/94176 \approx 55\%$ ।

अभ्यास 18.15 ★★★

कोई पंप-भंडारण संयंत्र $V = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ पानी (प्रति $\mathrm{m}^{3}$ $1000\,\mathrm{kg}$ ) को $300\,\mathrm{m}$ ऊपर चढ़ाता है। संचित ऊर्जा जूल में और $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ में निकालिए; $85\%$ दक्षता (अध्याय 9) पर टरबाइन से लौटाने पर वह प्रतिदिन $10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ खींचते कितने घरों को एक दिन खिला सकता है?

हल

हल — अभ्यास 18.15.

$m = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ : $E_p = 2.0 \times 10^{9} \times 9.81 \times 300 \approx 5.9 \times 10^{12}\,\mathrm{J} = 5.9 \times 10^{12}/3.6 \times 10^{6} \approx 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ । वापस पाया गया: $0.85 \times 1.64 \times 10^{6} \approx 1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — यानी एक दिन के लिए लगभग $1.4 \times 10^{5}$ घर।

18.7 समस्या: फंदे की डिज़ाइन

समस्या 18.1

सप्ताहांत समस्या — एक रोलर कोस्टर का ऊर्जा-लेखा: वह छोड़-ऊँचाई जो फंदा तय कर देता है, वे चालें जिनका वह वादा करता है, वह घर्षण जिसे दो संवेदक क़बूल कर लेते हैं, और वे ब्रेक जो खाता बंद करते हैं — पूरी सवारी एक ही संख्या से लटकी हुई

द्रव्यमान $m = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ की एक गाड़ी $H$ ऊँची छोड़-पहाड़ी से विराम से छोड़ी जाती है और बिना इंजन के त्रिज्या $R = 8.0\,\mathrm{m}$ वाले उस ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार फंदे से गुज़रती है जिसका शिखर ऊँचाई $2R$ पर है। वृत्तीय गति का विश्लेषण (अगला वर्ष) हमें केवल एक आँकड़ा उधार देता है: फंदे के शिखर पर गाड़ी पटरी पर तभी दबाव डालती है जब $v_{\text{शिखर}}^2 \geq gR$ । भाग I और II में घर्षण छोड़ दिया गया है।

भाग I — वह पहाड़ी जो फंदा तय करता है।

फंदे के शिखर पर न्यूनतम सुरक्षित चाल निकालिए।
ज़मीन को संदर्भ स्तर मानकर उस न्यूनतम चाल पर फंदे के शिखर पर गाड़ी की यांत्रिक ऊर्जा निकालिए।
$H_{\min}$ निकालिए और दिखाइए कि $H_{\min} = 5R/2$ — यानी न द्रव्यमान, न $g$ ।
दल $H = 24\,\mathrm{m}$ लेता है: फंदे के शिखर की असली चाल और अनुपात $v_{\text{शिखर}}^2/(gR)$ निकालिए।
$m$ कहाँ गया? यह डिज़ाइन भरी और ख़ाली, दोनों गाड़ियों पर एक-सा क्यों बैठता है?

भाग II — ऊँचाई किसका वादा करती है ( $H = 24\,\mathrm{m}$ )।

फंदे के तल ( $z = 0$ ) पर चाल, $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में?
फंदे की बग़ल ( $z = R$ ) पर चाल?
छोड़-बिंदु, फंदे के तल, बग़ल और शिखर पर $E_p$ तथा $E_k$ निकालिए; जाँचिए कि हर जोड़ी का योग $mgH$ बनता है।
फंदे के बाद $12\,\mathrm{m}$ का ऊँट-कूबड़ आता है: उसकी चोटी पर चाल?
$v(z)$ का सामान्य सूत्र दीजिए; सवारी कहाँ सबसे तेज़ है, और कहाँ सबसे धीमी?

भाग III — घर्षण का लेखा। एक ही ऊँचाई $z = 2.0\,\mathrm{m}$ पर, पटरी के $60\,\mathrm{m}$ की दूरी पर लगे दो संवेदक पहले $v_1 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और फिर $v_2 = 19.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पढ़ते हैं।

दोनों संवेदकों के बीच यांत्रिक ऊर्जा का बदलाव निकालिए। दोनों को एक ही ऊँचाई पर रखना चतुराई क्यों थी?
घर्षण का कार्य और औसत घर्षण-बल निकालिए।
ग़ायब ऊर्जा कहाँ गई? उसका रूप और उसकी जगहें बताइए।
प्रति $60\,\mathrm{m}$ गाड़ी का $E_m$ का कितना अंश खो जाता है? असली, रगड़ती दुनिया में नंगा $H_{\min}$ असुरक्षित क्यों होगा?
छोड़-बिंदु और फंदे के शिखर के बीच लगभग $90\,\mathrm{m}$ पटरी है: वहाँ $E_m$ का अनुमान लगाइए; क्या प्रश्न 4 वाला हाशिया अब भी फंदे को बचा लेता है?

भाग IV — खाता बंद करना। सीधे क्षैतिज ब्रेक-पथ के मुहाने ( $z = 0$ ) पर लगा आख़िरी संवेदक $18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पढ़ता है।

वहाँ गाड़ी की गतिज ऊर्जा निकालिए।
ब्रेकों को उसे $d = 45\,\mathrm{m}$ में रोकना है: ज़रूरी (अचर) ब्रेक-बल निकालिए।
आराम की जाँच: मंदन $a = F/m$ निकालिए; $g$ से तुलना कीजिए।
पूरी सवारी में पटरी के घर्षण ने कितनी ऊर्जा क्षय की? जाँचिए कि घर्षण $+$ ब्रेक $= mgH$ , जूल तक सही बैठता है।
अंतिम चोट, एक वाक्य में: वह कौन-सी अकेली संख्या थी जिसने फंदे की सुरक्षा, हर चाल, घर्षण का बिल और ब्रेक-बल, सब तय कर दिए — और घर्षण को अनदेखा करने का दाम क्या रहा?

हल

हल — समस्या 18.1.

1. $v_{\text{शिखर}} = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 8.0} \approx 8.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

2. $E_m = mg\,(2R) + \tfrac12 m gR = 3.14 \times 10^{5} + 7.8 \times 10^{4} \approx 3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ।

3. $mgH_{\min} = E_m$ से $H_{\min} = 20\,\mathrm{m}$ मिलता है; बीजगणित में $H_{\min} = 2R + \frac{gR}{2g} = \frac{5R}{2}$ ।

4. $v_{\text{शिखर}} = \sqrt{2g(H - 2R)} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 8.0} \approx 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_{\text{शिखर}}^2/(gR) = 2.0$ — यानी न्यूनतम का दुगुना।

5. हर ऊर्जा $m$ के समानुपाती है, इसलिए $m$ कट जाता है: गाड़ी भरी हो या ख़ाली, चालें वही और सुरक्षा वही।

6. $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 24} \approx 21.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 78\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

7. $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 8.0)} \approx 17.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

8. $mgH = 4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ । $(E_p, E_k)$ : छोड़-बिंदु $(4.71 \times 10^{5}, 0)$ ; तल $(0, 4.71 \times 10^{5})$ ; बग़ल $(1.57 \times 10^{5}, 3.14 \times 10^{5})$ ; शिखर $(3.14 \times 10^{5}, 1.57 \times 10^{5})$ — और हर जोड़ी का योग $4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ।

9. $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 12)} \approx 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

10. $v(z) = \sqrt{2g(H - z)}$ : सबसे तेज़ पटरी के सबसे निचले बिंदु पर, सबसे धीमी फंदे के शिखर पर।

11. ऊँचाई एक ही है, इसलिए $\Delta E_p = 0$ और $\Delta E_m = \Delta E_k = \tfrac12 \times 2000 \times (19.2^2 - 20.4^2) \approx -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ : इस जगह-चुनाव से घाटा शुद्ध गतिज बन जाता है, जिसे दो चालमापियों से सीधे पढ़ा जा सकता है।

12. $W(\vect f) = -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ; $f = 4.75 \times 10^{4}/60 \approx 7.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ ।

13. तापीय ऊर्जा, पहियों में, पटरियों में और हवा में।

14. पहले संवेदक पर $E_m$ : $4.16 \times 10^{5} + 3.9 \times 10^{4} = 4.55 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; प्रति $60\,\mathrm{m}$ हानि $4.75 \times 10^{4}/4.55 \times 10^{5} \approx 10\%$ । $H_{\min}$ पर फंदे का शिखर ठीक $\sqrt{gR}$ पर पहुँचता है; कोई भी हानि उसे सुरक्षित चाल से नीचे गिरा देती है।

15. प्रति $60\,\mathrm{m}$ $\approx 10\%$ गँवाते हुए $mgH$ का लगभग $15\%$ ( $\approx 7.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ) चला जाता है: $E_m \approx 4.00 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ , जो ज़रूरी $3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ से अब भी ऊपर है — सुरक्षित, पर केवल $2\%$ के हाशिये से। वह हाशिया कोई विलासिता नहीं था।

16. $E_k = \tfrac12 \times 2000 \times 18.0^2 = 3.24 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ।

17. $F = 3.24 \times 10^{5}/45 = 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ ।

18. $a = 7200/2000 = 3.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.37\,g$ : कड़ा, पर आरामदेह।

19. पटरी का घर्षण: $mgH - 3.24 \times 10^{5} = 470\,880 - 324\,000 = 1.47 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ । लेखा: $1.47 \times 10^{5} + 3.24 \times 10^{5} = 4.71 \times 10^{5} = mgH$ — हर जूल का हिसाब मिल जाता है।

20. छोड़-ऊँचाई $H = 24\,\mathrm{m}$ ने ही फंदे की सुरक्षा, हर चाल $\sqrt{2g(H - z)}$ , घर्षण का बिल और ब्रेक-बल, सब तय कर दिए; और घर्षण को अनदेखा करने का दाम वही हाशिया है — पहाड़ी का वह $4\,\mathrm{m}$ जो रगड़ती दुनिया चुपचाप खा जाती है।