माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

20यांत्रिक तरंगें

शनिवार की शाम, खचाखच भरा स्टेडियम: खड़े होते दर्शकों की एक लहर एक मिनट से भी कम में पूरी दीर्घा घूम जाती है, फिर भी कोई अपनी सीट नहीं छोड़ता। कंकड़ का बनाया छल्ला पूरा तालाब पार कर जाता है जबकि काग़ ऊपर-नीचे भर होता रहता है। यह अध्याय ख़ुद उसी यात्री की पढ़ाई करता है — तरंग की — और उन चार संख्याओं की जो उसे साध लेती हैं: चाल, विलंब, आवर्तकाल, तरंगदैर्घ्य — इतना कि काग़ज़ की एक पट्टी से भूकंप पढ़ा जा सके।

20.1 विक्षोभ चलता है, माध्यम ठहरा रहता है

परिभाषा 20.1 (यांत्रिक तरंग)

यांत्रिक तरंग किसी भौतिक माध्यम — रस्सी, पानी, हवा, चट्टान — में संचरित होता वह विक्षोभ है जो पदार्थ ढोए बिना ऊर्जा ले जाता है: माध्यम का हर टुकड़ा अपनी ही जगह पर पल भर झूलता है, गति आगे सौंप देता है और फिर बैठ जाता है।

उदाहरण 20.2 (पदार्थ का कोई परिवहन नहीं)

स्टेडियम की तरंग में “माध्यम” भीड़ है: चलता वह कर्म है, खड़े हो जाना, जबकि हर दर्शक अपनी सीट पर बना रहता है। तालाब पर छल्ला फैलता है, पर तैरता काग़ अपनी ही जगह ऊपर-नीचे होता रहता है।

परिभाषा 20.3 (अनुप्रस्थ और अनुदैर्घ्य तरंगें)

कोई तरंग अनुप्रस्थ तब है जब माध्यम संचरण के लंबवत हिलता हो: झटकी हुई रस्सी पर कूबड़ दौड़ता है जबकि हर बिंदु केवल ऊपर-नीचे होता है। और वह अनुदैर्घ्य तब है जब माध्यम संचरण के अनुदिश हिले: धकेली गई स्प्रिंग में दबे हुए फेरों का क्षेत्र आगे चलता जाता है, जबकि हर फेरा अपनी ही जगह झूलता है।

अनुप्रस्थ (रस्सी): माध्यम संचरण के लंबवत हिलता है। अनुदैर्घ्य (स्प्रिंग): संपीडन चलते हैं, फेरे अपनी जगह झूलते हैं।

टिप्पणी 20.4 (ध्वनि अनुदैर्घ्य है)

ध्वनि सबसे बढ़कर अनुदैर्घ्य तरंग है: दबी हुई हवा — यानी अधिक दाब (अध्याय 7) — स्रोत से कर्णपटह तक चलती है; अध्याय 21 पूरा उसी को समर्पित है। भूकंप दोनों तरह की तरंगें भेजते हैं: P तरंगें चट्टान को दबाती हैं, S तरंगें उसे बग़ल में हिलाती हैं।

20.2 चाल और विलंब

परिभाषा 20.5 (संचरण चाल)

किसी तरंग की संचरण चाल वह दूरी है जो विक्षोभ तय करता है, बटा उसमें लगा समय: $v = d/t$ । यह चलती हुई आकृति की चाल है, माध्यम की नहीं।

रस्सी की एक स्पंद का दो बार चित्र: शिखर 0.30\, s में 2.4\, m खिसका, इसलिए v = 8.0\, m/ s — आकृति चलती है, रस्सी ठहरी रहती है। — रस्सी की एक स्पंद का दो बार चित्र: शिखर $0.30\,\mathrm{s}$ में $2.4\,\mathrm{m}$ खिसका, इसलिए $v = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — आकृति चलती है, रस्सी ठहरी रहती है।

प्रतिज्ञप्ति 20.6 (चाल माध्यम तय करता है)

छोटे विक्षोभों के लिए संचरण चाल केवल माध्यम पर निर्भर करती है, विक्षोभ के आकार या नाप पर नहीं। खिंची हुई रस्सी पर $v$ तनाव के साथ बढ़ती है और प्रति मीटर द्रव्यमान के साथ घटती है: कसी और हलकी रस्सी तेज़, ढीली और भारी धीमी।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 20.7 (सूत्र कहाँ रहता है)

रस्सी की चाल का ठीक सूत्र वर्ष 1 के खंड में निकाला गया है; इस वर्ष ऊपर दिए प्रायोगिक तथ्य ही काफ़ी हैं।

उदाहरण 20.8 (ध्वनि की चालें)

ध्वनि हवा में $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , पानी में $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और इस्पात में $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ चलती है — माध्यम जितना कड़ा, चाल उतनी तेज़। इसीलिए पश्चिमी फ़िल्मों में कान पटरी पर रखा जाता है: रेलगाड़ी की ख़बर इस्पात पहले देता है।

परिभाषा 20.9 (विलंब)

चाल $v$ की तरंग दूरी $d$ पर बैठे बिंदु तक विलंब $\tau = d/v$ के बाद पहुँचती है: $d$ की दूरी पर बैठे दो बिंदु वही गति दोहराते हैं, और दूर वाला $\tau$ पिछड़ जाता है — यानी अध्याय 8 वाली प्रतिध्वनि से दूरी नापने की विधि, उलटी दिशा में पढ़ी गई।

प्रतिज्ञप्ति 20.10 (बिना अंतःक्रिया अध्यारोपण)

जहाँ दो तरंगें एक-दूसरे पर चढ़ जाएँ, वहाँ माध्यम का विस्थापन हर क्षण उन विस्थापनों का योग होता है जो हर तरंग अकेले पैदा करती; और एक-दूसरे को पार करने के बाद हर तरंग ज्यों की त्यों चलती रहती है — यह वर्ष 2 के खंड में गति-समीकरणों की रैखिकता से निकाला गया है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 20.11 (एक-दूसरे को पार करती स्पंदें)

रस्सी के दोनों सिरों से ऊपर की ओर एक-एक कूबड़ भेजिए: जहाँ वे मिलते हैं वहाँ रस्सी पल भर के लिए दोनों ऊँचाइयों के योग तक उठ जाती है; फिर दोनों कूबड़ साबुत निकल आते हैं — ठीक जैसे एक-दूसरे को काटती दो बातचीतें अपने-अपने सुनने वालों तक पहुँच जाती हैं।

20.3 आवर्ती तरंगें: दुहरी आवर्तिता

परिभाषा 20.12 (आवर्ती तरंग)

जब स्रोत अपनी गति आवर्तकाल $T$ और आवृत्ति $f = 1/T$ (अध्याय 8) के साथ दोहराता है, तो वह माध्यम को आवर्ती तरंग खिलाता है: हर बिंदु अपनी गति आवर्तकाल $T$ के साथ दोहराता है, और हर एक अपने पड़ोसियों से सफ़र के विलंब जितना पिछड़ता है।

परिभाषा 20.13 (तरंगदैर्घ्य)

आवर्ती तरंग का एक क्षणचित्र अवकाश में दोहराता हुआ ढर्रा दिखाता है; उसका स्थानिक आवर्त — शिखर से शिखर तक — तरंगदैर्घ्य $\lambda$ कहलाता है, और मीटर में नापा जाता है। आवर्ती तरंग दुहरी आवर्ती होती है: हर बिंदु पर समय में आवर्त $T$ , और हर क्षण अवकाश में आवर्त $\lambda$ ।

प्रमेय 20.14 (तरंग-संबंध)

चाल $v$ , आवर्तकाल $T$ और आवृत्ति $f$ वाली आवर्ती तरंग का तरंगदैर्घ्य $\lambda = v\,T = v/f$ होता है।

उपपत्ति. एक आवर्तकाल में ढर्रा $v\,T$ आगे सरक जाता है; पर तब तक स्रोत — और इसलिए हर बिंदु — अपनी आरंभिक अवस्था में लौट चुका होता है, इसलिए सरका हुआ ढर्रा मूल ढर्रे पर बैठ जाता है: यानी दोहराव की दूरी $v\,T$ है। ∎

वही ज्या दो बार: क्षणचित्र अवकाश में हर पर दोहराता है, और एक बिंदु का संकेत समय में हर T पर; = v\,T। — वही ज्या दो बार: क्षणचित्र अवकाश में हर $\lambda$ पर दोहराता है, और एक बिंदु का संकेत समय में हर $T$ पर; $\lambda = v\,T$ ।

टिप्पणी 20.15 (आवृत्ति स्रोत की होती है)

एक माध्यम से दूसरे में जाते समय — जैसे ध्वनि हवा से पानी में — तरंग अपनी आवृत्ति बनाए रखती है, जिसे स्रोत तय करता है, जबकि उसकी चाल बदल जाती है; और $\lambda = v/f$ के कारण उसके साथ तरंगदैर्घ्य भी बदल जाता है।

उदाहरण 20.16 (सुर A, हवा में और पानी के भीतर)

अध्याय 8 वाले $440\,\mathrm{Hz}$ के सुर A का तरंगदैर्घ्य हवा में $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ है और पानी में $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ : वही सुर, तेज़ माध्यम में खिंचा हुआ।

परिभाषा 20.17 (समकला और विपरीत कला में)

पूरी संख्या भर तरंगदैर्घ्यों की दूरी पर बैठे दो बिंदु, $d = k\lambda$ , हर क्षण एक-सा हिलते हैं: वे समकला में हैं। और $d = (k + \tfrac12)\lambda$ की दूरी पर बैठे बिंदु हमेशा उलटा हिलते हैं — शिखर के सामने गर्त: वे विपरीत कला में हैं।

विधि 20.18 (दुहरी आवर्तिता पढ़ना)

किसी नियत बिंदु पर लिए गए अभिलेख $y(t)$ पर शिखर से शिखर तक $T$ पढ़िए; $f = 1/T$ ।
किसी नियत क्षण के क्षणचित्र $y(x)$ पर शिखर से शिखर तक $\lambda$ पढ़िए।
$v = \lambda/T = \lambda f$ निकालिए; और जहाँ संभव हो, सीधे नापे गए $v = d/\tau$ से जाँच लीजिए।
दोनों आलेख कभी मत गड्डमड्ड कीजिए: एक का अक्ष सेकंड ढोता है, दूसरे का मीटर।

20.4 तरंगाग्र और क्षीणन

परिभाषा 20.19 (तरंगाग्र)

तरंगाग्र उन बिंदुओं की रेखा (या सतह) है जिन तक तरंग एक ही क्षण पहुँचती है — तालाब पर शिखरों की रेखा। बिंदु-स्रोत से निकले तरंगाग्र फैलते हुए वृत्त होते हैं; और किसी भी स्रोत से बहुत दूर वे लगभग सीधे हो जाते हैं। तरंग अपने तरंगाग्रों के लंबवत संचरित होती है, और क्रमागत शिखर $\lambda$ की दूरी पर होते हैं।

परिभाषा 20.20 (क्षीणन)

संचरण के साथ किसी तरंग के आयाम का घटना उसका क्षीणन है। इसके दो कारण जुड़ते हैं: वृत्ताकार तरंगाग्र की ऊर्जा लगातार लंबे होते शिखर पर बँटती जाती है, और माध्यम भी गुज़रते-गुज़रते थोड़ा सोख लेता है। सीधे तरंगाग्र पहले कारण से बच जाते हैं — और इसीलिए दूर के किसी तूफ़ान की लहर पूरा महासागर पार कर सकती है।

एक-एक तरंगदैर्घ्य की दूरी पर वृत्ताकार तरंगाग्र, जो ऊर्जा के लंबे होते शिखरों पर फैलने से मंद पड़ते जाते हैं; सीधे अग्र (दाएँ) धीरे-धीरे मंद होते हैं।

20.5 अभ्यास

अभ्यास 20.1 ★

स्टेडियम की तरंग दीर्घा का $320\,\mathrm{m}$ वाला घेरा $40\,\mathrm{s}$ में पूरा कर लेती है। (क) उसकी चाल निकालिए। (ख) क्या कोई दर्शक घेरे भर घूमता है? फिर घूमता क्या है? (ग) हर दर्शक $12\,\mathrm{m}$ दूर बैठे अपने पड़ोसी के $1.5\,\mathrm{s}$ बाद खड़ा होता है: संगति जाँचिए।

हल

हल — अभ्यास 20.1.

(क) $v = 320/40 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ख) कोई दर्शक घेरे के साथ नहीं चलता: चलता विक्षोभ (खड़े होने का कर्म) है, भीड़ नहीं। (ग) $12/1.5 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — संगत।

अभ्यास 20.2 ★

अनुप्रस्थ या अनुदैर्घ्य? (क) ऊपर-नीचे झटकी रस्सी पर स्पंद; (ख) स्प्रिंग पर भेजा गया संपीडन; (ग) हवा में ध्वनि; (घ) तालाब की लहर (सतह ऊर्ध्वाधर दिशा में उठती-गिरती है, छल्ला क्षैतिज चलता है); (ङ) भूकंपीय P तरंगें (सफ़र की दिशा में दबाती हैं) और S तरंगें (बग़ल में हिलाती हैं)।

हल

हल — अभ्यास 20.2.

(क) अनुप्रस्थ; (ख) अनुदैर्घ्य; (ग) अनुदैर्घ्य; (घ) अनुप्रस्थ; (ङ) P अनुदैर्घ्य, S अनुप्रस्थ।

अभ्यास 20.3 ★

कड़क आप तक चमक के $4.0\,\mathrm{s}$ बाद पहुँचती है। (क) बिजली कितनी दूर गिरी ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )? (ख) कोई गोताख़ोर चमक और पानी के भीतर हुए धमाके के बीच वही विलंब सुनता है ( $v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): वह स्रोत कितनी दूर है? (ग) विलंब को दूरी में बदलने से पहले आपको क्या जानना ही होगा?

हल

हल — अभ्यास 20.3.

(क) $d = 340 \times 4.0 \approx 1.4\,\mathrm{km}$ । (ख) $1500 \times 4.0 = 6.0\,\mathrm{km}$ । (ग) जिस माध्यम को पार किया गया है उसमें संचरण चाल।

अभ्यास 20.4 ★

हवा में और पानी में $440\,\mathrm{Hz}$ की ध्वनि का तरंगदैर्घ्य निकालिए। जब ध्वनि हवा से पानी में जाती है तो $f$ , $v$ , $\lambda$ में से कौन-कौन बदलते हैं, और कौन-सा वही रहता है?

हल

हल — अभ्यास 20.4.

$\lambda = v/f$ : हवा में $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ , पानी में $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ । आवृत्ति वही रहती है (उसे स्रोत तय करता है); $v$ और $\lambda$ , दोनों बदल जाते हैं।

अभ्यास 20.5 ★

तालाब पर पड़ोसी लहर-शिखर $12\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर हैं और छल्ले $0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से आगे बढ़ते हैं। तरंग का तरंगदैर्घ्य, आवर्तकाल और आवृत्ति निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 20.5.

$\lambda = 12\,\mathrm{cm}$ ; $T = \lambda/v = 0.12/0.30 = 0.40\,\mathrm{s}$ ; $f = 1/T = 2.5\,\mathrm{Hz}$ ।

अभ्यास 20.6 ★★

लंबी रस्सी पर एक स्पंद का $0.30\,\mathrm{s}$ के अंतर पर दो बार चित्र लिया जाता है: उसका शिखर पहले $x = 1.0\,\mathrm{m}$ पर है, फिर $3.4\,\mathrm{m}$ पर। (क) चाल? (ख) स्पंद $x = 7.0\,\mathrm{m}$ पर लगी दीवार तक कब पहुँचेगा? (ग) $x = 5.0\,\mathrm{m}$ पर बँधा रिबन: स्पंद के गुज़रते समय उसकी गति?

हल

हल — अभ्यास 20.6.

(क) $v = 2.4/0.30 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ख) पहले चित्र से शिखर को अभी $6.0\,\mathrm{m}$ और चलना है: यानी उसके $t = 6.0/8.0 = 0.75\,\mathrm{s}$ बाद। (ग) रिबन विशुद्ध अनुप्रस्थ दिशा में उठता है और फिर गिर जाता है, और $x = 5.0\,\mathrm{m}$ पर ही बना रहता है: रस्सी चलती नहीं।

अभ्यास 20.7 ★★

ऊपर की ओर उठी दो स्पंदें, ऊँचाइयाँ $3.0\,\mathrm{cm}$ और $2.0\,\mathrm{cm}$ , एक-दूसरे की ओर हर एक $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलती हैं और उनके शिखर $4.0\,\mathrm{m}$ दूर हैं। (क) शिखर कब एक साथ आएँगे? (ख) तब रस्सी की अधिकतम ऊँचाई? (ग) यदि छोटी स्पंद नीचे की ओर हो तो वही प्रश्न। (घ) उसके ठीक बाद रस्सी?

हल

हल — अभ्यास 20.7.

(क) पास आने की चाल $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , दूरी $4.0\,\mathrm{m}$ : $t = 1.0\,\mathrm{s}$ । (ख) अध्यारोपण: $3.0 + 2.0 = 5.0\,\mathrm{cm}$ । (ग) $3.0 - 2.0 = 1.0\,\mathrm{cm}$ । (घ) दोनों स्पंदें साबुत निकलकर ज्यों की त्यों चलती रहती हैं, मानो वे कभी मिली ही न हों।

अभ्यास 20.8 ★★

(क) दो कपड़े-रस्सियों पर एक ही तनाव है; दोनों पर एक-एक स्पंद भेजी जाती है। कौन-सी तेज़ है: पतली या मोटी? क्यों? (ख) गिटार बजाने वाला तार कसता है: तरंग की चाल का क्या होता है? (ग) क्या दुगुने ज़ोर से झटकने (यानी ऊँची स्पंद) से स्पंद तेज़ चलने लगती है?

हल

हल — अभ्यास 20.8.

(क) पतली वाली: बराबर तनाव पर प्रति मीटर कम द्रव्यमान का अर्थ है तेज़ तरंग। (ख) वह बढ़ जाती है (तनाव अधिक)। (ग) नहीं: चाल केवल माध्यम पर निर्भर करती है, स्पंद के नाप पर नहीं।

अभ्यास 20.9 ★★

कोई मज़दूर $1.8\,\mathrm{km}$ दूर पटरी पर हथौड़ा मारता है; आप एक कान इस्पात पर रखकर सुनते हैं। पटरी से ( $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) और हवा से ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) पहुँचने के समय, और दोनों धमाकों के बीच का अंतर निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 20.9.

पटरी: $1800/5900 \approx 0.31\,\mathrm{s}$ ; हवा: $1800/340 \approx 5.3\,\mathrm{s}$ ; अंतर $\approx 5.0\,\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 20.10 ★★

रस्सी पर तरंगदैर्घ्य $24\,\mathrm{cm}$ की आवर्ती तरंग चल रही है। इन बिंदु-दूरियों के लिए समकला, विपरीत कला में, या इनमें से कोई नहीं: (क) $48\,\mathrm{cm}$ ; (ख) $12\,\mathrm{cm}$ ; (ग) $36\,\mathrm{cm}$ ; (घ) $30\,\mathrm{cm}$ ; (ङ) $6.0\,\mathrm{cm}$ ?

हल

हल — अभ्यास 20.10.

$\lambda = 24\,\mathrm{cm}$ के साथ: (क) $2\lambda$ , समकला; (ख) $\lambda/2$ , विपरीत कला; (ग) $\tfrac32\lambda$ , विपरीत कला; (घ) $1.25\lambda$ , कोई नहीं; (ङ) $\lambda/4$ , कोई नहीं।

अभ्यास 20.11 ★★

कोई भूकंप $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर P तरंगें और $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर S तरंगें भेजता है, दोनों का आवर्तकाल $2.0\,\mathrm{s}$ । दोनों तरंगदैर्घ्य निकालिए, उनकी तुलना किसी इमारत से कीजिए, और समझाइए कि पूरा मोहल्ला लगभग एक साथ क्यों उठता-गिरता है।

हल

हल — अभ्यास 20.11.

$\lambda_P = 6.0 \times 2.0 = 12\,\mathrm{km}$ ; $\lambda_S = 3.5 \times 2.0 = 7.0\,\mathrm{km}$ — यानी किसी इमारत के नाप का सैकड़ों गुना। $\lambda$ से कहीं पास बैठे बिंदु लगभग समकला में रहते हैं, इसलिए पूरा मोहल्ला एक साथ हिलता है।

अभ्यास 20.12 ★★★

किसी प्लव पर पानी की ऊँचाई के अभिलेख में हर $0.50\,\mathrm{s}$ पर शिखर दिखते हैं; और हवाई चित्र में शिखर $0.75\,\mathrm{m}$ की दूरी पर हैं। (क) $T$ और $f$ निकालिए। (ख) $\lambda$ निकालिए। (ग) चाल निकालिए। (घ) प्लव $t = 0$ पर शिखर पर सवार है: अगली बार कब? (ङ) क्या $1.875\,\mathrm{m}$ दूर बैठा बिंदु प्लव के समकला है, विपरीत कला में है, या इनमें से कोई नहीं?

हल

हल — अभ्यास 20.12.

(क) $T = 0.50\,\mathrm{s}$ , $f = 2.0\,\mathrm{Hz}$ । (ख) $\lambda = 0.75\,\mathrm{m}$ । (ग) $v = \lambda/T = 0.75/0.50 = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (घ) $t = T = 0.50\,\mathrm{s}$ पर। (ङ) $1.875/0.75 = 2.5$ तरंगदैर्घ्य $= (2 + \tfrac12)\lambda$ : विपरीत कला।

अभ्यास 20.13 ★★★

लंगर डाले एक प्लव ऐसी नियमित लहर पर $80\,\mathrm{s}$ में $10$ पूरे दोलन कर लेता है जिसके शिखर $120\,\mathrm{m}$ की दूरी पर हैं। (क) आवर्तकाल और आवृत्ति निकालिए। (ख) लहर की चाल $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में निकालिए। (ग) अभी प्लव पर मौजूद शिखर को $900\,\mathrm{m}$ दूर तट तक पहुँचने में कितना समय लगेगा? (घ) क्या प्लव भी उसके साथ बहकर तट पर आ जाता है?

हल

हल — अभ्यास 20.13.

(क) $T = 80/10 = 8.0\,\mathrm{s}$ , $f = 0.125\,\mathrm{Hz}$ । (ख) $v = \lambda/T = 120/8.0 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ । (ग) $t = 900/15 = 60\,\mathrm{s}$ । (घ) नहीं: तरंगें पदार्थ नहीं ढोतीं — लंगर डाला प्लव केवल ऊपर-नीचे होता रहता है।

अभ्यास 20.14 ★★★

दो एक जैसी स्पंदें, एक ऊपर की ओर और एक नीचे की ओर, एक-दूसरे की ओर हर एक $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलती हैं और उनके केंद्र $6.0\,\mathrm{m}$ दूर हैं। (क) उनके केंद्र कब एक साथ आते हैं, और तब रस्सी कैसी दिखती है? (ख) क्या तब रस्सी विराम में है? ऊर्जा कहाँ चली गई? (ग) इसके बाद क्या होता है? (घ) “पल भर के लिए चपटी” का अर्थ “कुछ है ही नहीं” क्यों नहीं है?

हल

हल — अभ्यास 20.14.

(क) $6.0\,\mathrm{m}$ की दूरी पर $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से पास आते हुए: $t = 1.0\,\mathrm{s}$ ; विपरीत विस्थापन कट जाते हैं — रस्सी पल भर के लिए चपटी हो जाती है। (ख) नहीं: उसके बिंदु चल रहे हैं (अनुप्रस्थ वेग जुड़ते हैं, कटते नहीं); पूरी ऊर्जा गतिज है। (ग) दोनों स्पंदें फिर प्रकट होकर ज्यों की त्यों चलती रहती हैं। (घ) चपटी रस्सी वेग ढो रही है, यानी ऊर्जा: तरंग पल भर के लिए आकृति में नहीं, गति में संचित है।

अभ्यास 20.15 ★★★

शांत तालाब पर कंकड़ की लहर फैलती है। (क) $r = 0.50\,\mathrm{m}$ और $r = 8.0\,\mathrm{m}$ पर शिखर की लंबाई निकालिए; वृद्धि-गुणक? (ख) शिखर की ऊर्जा मोटे तौर पर संरक्षित रहती है: प्रति मीटर ऊर्जा का क्या होता है, और आयाम का? (ग) सीधे अग्र वाली लहर कहीं कम क्यों क्षीण होती है? (घ) और स्टेडियम की तरंग बिलकुल ही क्यों नहीं?

हल

हल — अभ्यास 20.15.

(क) $2\pi r$ : $3.1\,\mathrm{m}$ और $50\,\mathrm{m}$ — $\times 16$ । (ख) प्रति मीटर ऊर्जा $16$ से गिरती है, इसलिए आयाम भी घटता है (ऊर्जा आयाम के साथ बढ़ती है)। (ग) सीधे अग्र लंबे नहीं होते: इसलिए केवल अवशोषण बचता है। (घ) वहाँ माध्यम स्वयं सक्रिय है: हर दर्शक अपनी माँसपेशियों की ऊर्जा से खड़ा होता है और तरंग को फिर से भर देता है।

20.6 समस्या: भूकंपलेख पढ़ना

समस्या 20.1

सप्ताहांत समस्या — भूकंपलेख पढ़ना: टूटी हुई भ्रंश-रेखा से दो तरंगें दौड़ पड़ती हैं, तीन वृत्त अधिकेंद्र को कील देते हैं, और एक धीमी तीसरी तरंग किसी तट को उसकी चेतावनी दे जाती है

भूकंप-वेधशाला में रात की पाली। 09:14:32 पर स्टेशन A की सुई उछलती है: पहले तीखी तेज़ लहरें, फिर धीमी, चौड़ी झूलें। कहीं भूकंप ने चट्टान तोड़ी है; और भूपर्पटी में दो तरंगें दौड़ पड़ी हैं: P तरंगें, यानी $v_P = 6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर चलते संपीडन, और S तरंगें, यानी $v_S = 3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर बग़ल का हिलाव।

भाग I — दो तरंगें, एक घड़ी।

ऊपर के वर्णनों से P और S तरंगों को अनुप्रस्थ या अनुदैर्घ्य में बाँटिए।
हर स्टेशन पर कौन-सी तरंग पहले पहुँचती है? $d = 120\,\mathrm{km}$ पर दोनों के सफ़र-समय निकालिए।
दिखाइए कि P–S आगमन-अंतराल $\Delta t = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ है और उसे $d = 120\,\mathrm{km}$ के लिए निकालिए।
भूकंपविज्ञानी का दूरी-नियम $d = \dfrac{v_P\,v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t$ निकालिए और दिखाइए कि गुणांक अंतराल के प्रति सेकंड लगभग $8.4\,\mathrm{km}$ है।
अंतराल दूरी के साथ बढ़ता क्यों है — और उस स्टेशन के लिए, जिसने भूकंप का आरंभ देखा ही नहीं, यह वरदान क्यों है?

भाग II — नक़्शे पर वृत्त।

स्टेशन A $\Delta t_A = 25\,\mathrm{s}$ नापता है। अधिकेंद्र A से कितनी दूर है?
समझाइए कि यह अकेला पाठ्यांक अधिकेंद्र को किसी बिंदु पर नहीं, एक वृत्त पर क्यों रखता है।
स्टेशन B और C $\Delta t_B = 15\,\mathrm{s}$ तथा $\Delta t_C = 32\,\mathrm{s}$ नापते हैं: अधिकेंद्र से उनकी दूरियाँ?
समझाइए कि तीनों वृत्त मिलकर अधिकेंद्र को कैसे कील देते हैं।
P तरंग A पर 09:14:32 बजे पहुँची थी। अधिकेंद्र से उसका सफ़र-समय और भूकंप का आरंभ-समय निकालिए।

भाग III — वह तरंग जो महासागर पार करती है। तीनों वृत्त समुद्र में जाकर मिलते हैं: भ्रंश समुद्र-तल के नीचे टूटा और उसने पानी का पूरा स्तंभ हिला दिया। गहरे पानी पर लंबी तरंगें उस चाल से चलती हैं जो गहराई तय करती है — खुले महासागर में लगभग $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , और तट के पास लगभग $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (यहाँ मान लिया गया; सूत्र वर्ष 1 के खंड में निकाला गया है)। अधिकेंद्र से $D = 600\,\mathrm{km}$ दूर एक बंदरगाह है।

$200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ को $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में बदलिए और इतनी ही यात्रा-चाल वाला कोई वाहन बताइए।
सूनामी को बंदरगाह तक पहुँचने में कितना समय लगेगा?
बंदरगाह का अपना भूकंपमापी P तरंग पहले महसूस करता है। कितनी देर बाद? यदि उसी क्षण चेतावनी बज उठे, तो सूनामी से पहले तट को कितनी चेतावनी-अवधि मिलती है?
समुद्र में सूनामी का आवर्तकाल लगभग $15\,\mathrm{min}$ है। वहाँ उसका तरंगदैर्घ्य निकालिए, और समझाइए कि कोई जहाज़ उसे महसूस तक क्यों नहीं करता।
तट के पास चाल गिरकर $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ रह जाती है जबकि आवर्तकाल वही रहता है। नया तरंगदैर्घ्य निकालिए। सिकुड़ती हुई तरंग के साथ क्या होना ही चाहिए?

भाग IV — ऊर्जा, और रिपोर्ट। कोई प्रबल भूकंप $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ की कोटि की ऊर्जा छोड़ता है, जिसे तरंगें ले जाती हैं।

अधिकेंद्र से $10\,\mathrm{km}$ पर वृत्ताकार तरंगाग्र की लंबाई निकालिए, फिर $210\,\mathrm{km}$ पर; वह कितने गुना बढ़ गया?
इससे निकालिए कि हानिरहित भूपर्पटी में भी कंपन दूरी के साथ क्यों कमज़ोर पड़ता है — और असली भूपर्पटी जो दूसरा कारण जोड़ती है, उसका नाम लीजिए।
द्रव अपरूपण नहीं झेल सकता। दूसरी ओर के स्टेशन P तरंग तो दर्ज करते हैं पर S तरंग नहीं: इससे पृथ्वी के क्रोड के बारे में क्या पता चलता है?
पिछले वर्ष के ऊर्जा वाले अध्याय की तेज़ रफ़्तार रेलगाड़ी (अध्याय 18) लगभग $1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ गतिज ऊर्जा ढोती है: $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ऐसी कितनी रेलगाड़ियों के बराबर है?
रिपोर्ट, दो वाक्यों में: भूकंप कहाँ और कब आया, और बंदरगाह को कितनी चेतावनी मिली? तीनों संख्याएँ दीजिए।

हल

हल — समस्या 20.1.

1. P सफ़र की दिशा में दबाती हैं: अनुदैर्घ्य; S बग़ल में हिलाती हैं: अनुप्रस्थ।

2. तेज़ होने के कारण P हर जगह पहले पहुँचती है। $t_P = 120/6.0 = 20\,\mathrm{s}$ ; $t_S = 120/3.5 \approx 34\,\mathrm{s}$ ।

3. $\Delta t = d/v_S - d/v_P = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ ; और $120\,\mathrm{km}$ के लिए: $34.3 - 20 \approx 14\,\mathrm{s}$ ।

4. $d$ के लिए हल कीजिए: अंतराल के प्रति सेकंड $d = \dfrac{v_P v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t = \dfrac{6.0 \times 3.5}{2.5}\,\Delta t = 8.4\,\mathrm{km}$ ।

5. $\Delta t \propto d$ : यानी किसी एक स्टेशन का अपना अभिलेख ही, आरंभ-समय जाने बिना, अधिकेंद्र से उसकी दूरी दे देता है।

6. $d_A = 8.4 \times 25 = 2.1 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ ।

7. अंतराल दूरी देता है, दिशा नहीं: अधिकेंद्र A के चारों ओर त्रिज्या $d_A$ वाले वृत्त पर कहीं भी हो सकता है।

8. $d_B = 8.4 \times 15 = 1.3 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ ; $d_C = 8.4 \times 32 \approx 2.7 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ ।

9. दो वृत्त दो बिंदुओं पर मिलते हैं; तीसरा उनमें से एक चुन लेता है: तीनों का साझा प्रतिच्छेद ही अधिकेंद्र है।

10. $t_P = 210/6.0 = 35\,\mathrm{s}$ : भूकंप $09{:}14{:}32 - 35\,\mathrm{s} = 09{:}13{:}57$ पर आरंभ हुआ।

11. $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 720\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — यानी यात्री जेट विमान की रफ़्तार।

12. $t = 6.0 \times 10^{5}/200 = 3.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{min}$ ।

13. $t_P = 600/6.0 = 100\,\mathrm{s}$ । चेतावनी: $3000 - 100 = 2.9 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 48\,\mathrm{min}$ ।

14. $\lambda = vT = 200 \times 900 = 1.8 \times 10^{5}\,\mathrm{m} = 180\,\mathrm{km}$ : $180\,\mathrm{km}$ पर फैली मुश्किल से एक मीटर की चढ़ाई — जहाज़ कई मिनटों में एक अगोचर ढाल चढ़ जाता है।

15. $\lambda = 10 \times 900 = 9.0\,\mathrm{km}$ : तरंग बीस गुना सिकुड़ जाती है, उसकी ऊर्जा कहीं छोटी लंबाई में ठुँस जाती है, इसलिए उसकी ऊँचाई बढ़नी ही है — और सूनामी तट पर आकर तन जाती है।

16. $2\pi r$ : $63\,\mathrm{km}$ , फिर $\approx 1.3 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ — $\times 21$ ।

17. वही ऊर्जा $21\times$ गुना लंबे अग्र पर बँट जाती है, इसलिए हानिरहित भूपर्पटी में भी आयाम गिरता है; और असली भूपर्पटी उसमें अवशोषण भी जोड़ देती है।

18. S तरंगें, यानी अनुप्रस्थ अपरूपण, द्रव को पार नहीं कर सकतीं: S-तरंग की यह छाया दिखाती है कि (बाहरी) क्रोड द्रव है।

19. $1 \times 10^{15}/1.5 \times 10^{9} \approx 6.7 \times 10^{5}$ : यानी पूरी रफ़्तार पर दौड़ती लगभग सात लाख रेलगाड़ियाँ।

20. भूकंप $09{:}13{:}57$ पर आया, समुद्र में तीनों वृत्तों के कटान-बिंदु पर, स्टेशन A से $210\,\mathrm{km}$ दूर। बंदरगाह का P-तरंग वाला चेतावनी-यंत्र आरंभ के $100\,\mathrm{s}$ बाद बजा, यानी सूनामी के पहुँचने से लगभग $48\,\mathrm{min}$ पहले।