माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

25न्यूटन के नियम

लिफ़्ट में चोरी-छिपे एक तराज़ू ले जाइए। जैसे ही केबिन ऊपर की ओर खिंचता है, सुई तीन किलोग्राम भारी बताती है; ऊपर पहुँचते-पहुँचते हलका; और दोनों के बीच, साफ़ सच — जबकि उसमें बदला कुछ भी नहीं, केवल गति। यह अध्याय उस सुई के पीछे के तीनों नियम रखता है और उन्हें उस विधि में ढाल देता है जो पूरी यांत्रिकी चलाती है: निकाय चुनिए, उसके बल खींचिए, $\sum \vect F = m\vect a$ का प्रक्षेप कीजिए।

25.1 संवेग, और पहला नियम ठीक-ठीक

परिभाषा 25.1 (संवेग)

वेग $\vect v$ से चलते द्रव्यमान $m$ ( $\mathrm{kg}$ ) के पिंड का संवेग वह सदिश है

\vect p = m \vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}):

यानी द्रव्यमान से तौला हुआ वेग; और किसी निकाय के लिए, उसके भागों पर सदिश योग।

परिभाषा 25.2 (जड़त्वीय निर्देश तंत्र)

जड़त्वीय निर्देश तंत्र वह है जिसमें हर विलगित पिंड — जिस पर कोई बल न हो, या जिसके बल संतुलित हों — सरल रेखा में अचर वेग से चले (अध्याय 6)। ज़मीन बहुत अच्छी परिशुद्धता तक ऐसी ही है, और उस पर सरल रेखा में एकसमान चलता कोई भी केबिन भी; पर ब्रेक लगाती रेलगाड़ी या घूमता हिंडोला नहीं: वहाँ खुला रखा सामान बिना धकेले ही त्वरित हो जाता है।

प्रमेय 25.3 (न्यूटन का पहला नियम)

जड़त्वीय तंत्र में किसी विलगित निकाय का संवेग नहीं बदलता: $\vect p$ अचर रहता है, यानी $d\vect p/dt = \vect 0$ ।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 25.4 (जड़त्व, दो बार धार दिया हुआ)

अध्याय 6 का जड़त्व का सिद्धांत, दो बार उन्नत: अब वह बताता है कि वह कहाँ लागू है — वह जड़त्वीय तंत्रों की परिभाषा ही उन्हीं तंत्रों के रूप में कर देता है जहाँ वह लागू है — और वह एक सदिश, $m\vect v$ , की रखवाली करता है, जिसका बहीखाता अध्याय के अंत में रंग लाता है।

25.2 न्यूटन का दूसरा नियम

प्रमेय 25.5 (न्यूटन का दूसरा नियम)

जड़त्वीय तंत्र में किसी पिंड पर लगता परिणामी बल उसके संवेग के बदलने की दर के बराबर होता है; और अचर द्रव्यमान के लिए, चूँकि $\vect p = m\vect v$ ,

\sum \vect F = \frac{d\vect p}{dt} = m\,\frac{d\vect v}{dt} = m \vect a .

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 25.6 (प्रकृति का एक नियम, और उसका मात्रक)

इसकी कोई उपपत्ति नहीं है: यह प्रकृति का नियम है, जिसे तीन सदियों से प्रयोगों के तराज़ू पर तौला जाता रहा है। पिछले वर्ष (अध्याय 16) ने उसकी छाया दी थी, $\Delta v \propto F\,\Delta t/m$ ; और अवकलज (अध्याय 24) उसे हर क्षण के लिए ठीक-ठीक बना देता है — उसकी बारीक शर्तें वर्ष 1 के खंड में प्रतीक्षा कर रही हैं। बल को एक मात्रक मिल जाता है, $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; और केवल अपने भार के नीचे पड़ा पिंड $m\vect a = m\vect g$ मानता है: हर द्रव्यमान $\vect a = \vect g$ से गिरता है, और $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — दोनों पाठ्यांक एक ही हैं।

उदाहरण 25.7 (औसत बल, ब्योरे की ज़रूरत नहीं)

$1300\,\mathrm{kg}$ की कार विराम से $8.0\,\mathrm{s}$ में $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) तक पहुँच जाती है: बीच का पल-पल का क़िस्सा चाहे जो हो, औसत परिणामी बल $\Delta p/\Delta t = 1300 \times 27.8/8.0 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ है — संवेग किसी बल के प्रश्न को पहले-और-बाद के बहीखाते में बदल देता है।

25.3 न्यूटन का तीसरा नियम

प्रमेय 25.8 (न्यूटन का तीसरा नियम)

यदि पिंड $A$ पिंड $B$ पर बल $\vect F_{A \to B}$ लगाए, तो $B$ भी $A$ पर बल $\vect F_{B \to A} = -\vect F_{A \to B}$ लगाता है: वही क्रिया-रेखा, वही परिमाण, उलटी दिशाएँ — और वह भी हर क्षण, गति चाहे जो हो, संपर्क हो या दूरी पर क्रिया।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 25.9 (किताब, मेज़ और पृथ्वी)

मेज़ पर रखी किताब: दो अंतःक्रियाएँ, दो युग्म। गुरुत्वीय: पृथ्वी किताब को नीचे खींचती है ( $\vect P$ ), किताब पृथ्वी को ऊपर। संपर्क: मेज़ किताब को ऊपर धकेलती है ( $\vect N$ ), किताब मेज़ को नीचे दबाती है। चलना भी वही सौदा है: ज़मीन को पीछे धकेलिए; और उसकी प्रतिक्रिया ही वह अकेला बल है जो आपको आगे ले जाता है।

एक किताब, दो अंतःक्रियाएँ, चार तीर: गुरुत्वीय युग्म (पृथ्वी किताब को खींचती है, किताब पृथ्वी को) और संपर्क-युग्म (मेज़ किताब को धकेलती है, किताब मेज़ को दबाती है)। P और N साथी नहीं हैं: वे एक ही किताब पर लगते हैं — और केवल इसलिए कट जाते हैं कि उसका त्वरण शून्य है। — एक किताब, दो अंतःक्रियाएँ, चार तीर: गुरुत्वीय युग्म (पृथ्वी किताब को खींचती है, किताब पृथ्वी को) और संपर्क-युग्म (मेज़ किताब को धकेलती है, किताब मेज़ को दबाती है)। $\vect P$ और $\vect N$ साथी *नहीं* हैं: वे एक ही किताब पर लगते हैं — और केवल इसलिए कट जाते हैं कि उसका त्वरण शून्य है।

25.4 विधि: चुनिए, खींचिए, प्रक्षेप कीजिए

विधि 25.10 (गतिकी की समस्या हल करना)

निकाय: बताइए कि किस पिंड (या पिंडों के समुच्चय) का अध्ययन हो रहा है।
तंत्र: कोई जड़त्वीय तंत्र चुनिए और गति के अनुरूप अक्ष — ढलान वाले अक्ष, या वक्र के लिए फ्रेने आधार (अध्याय 24)।
सूची: हर बल गिनाइए — पहले भार, फिर हर संपर्क के लिए एक बल, और कुछ नहीं — और मुक्त-पिंड आरेख खींचिए: एक बिंदु, और हर बल के लिए एक तीर।
प्रक्षेप: $\sum \vect F = m\vect a$ लिखिए और उसे हर अक्ष पर प्रक्षेपित कीजिए।
हल और जाँच: मात्रक, चिह्न, और सीमांत स्थितियाँ ( $\mu \to 0$ , $\alpha \to 0$ , …)।

परिभाषा 25.11 (अभिलंब बल और घर्षण)

कोई सतह किसी पिंड पर दो घटकों से लगती है: सतह के लंबवत अभिलंब बल $\vect N$ , और स्पर्शरेखीय घर्षण $\vect f$ । प्रयोग घर्षण के नियम देते हैं: जब तक पिंड सरकता नहीं, स्थैतिक घर्षण एक छत तक अपने को बढ़ाता जाता है, $f_s \leq \mu_s N$ ; और सरकना शुरू होते ही गतिज घर्षण $f_k = \mu_k N$ होता है, सरकने के विरुद्ध। घर्षण के गुणांक पदार्थों पर निर्भर करते हैं।

उदाहरण 25.12 (ढलान, दो बार)

कोई गुटका कोण $\alpha$ की ढलान पर नीचे सरकता है; अक्ष: $x$ ढलान के नीचे की ओर, $y$ लंबवत। $y$ पर: $N = mg\cos\alpha$ । घर्षणहीन ढलान पर $x$ के लिए: $ma = mg\sin\alpha$ , इसलिए $a = g\sin\alpha$ — कोई द्रव्यमान नहीं; और $\alpha = 30^\circ$ पर $a = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । गतिज घर्षण के साथ: $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)$ ; और $\mu_k = 0.20$ के लिए $a = 9.81\,(0.500 - 0.173) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । और सबसे पहले वह टिका ही तब तक रहा जब तक ज़रूरी स्थैतिक घर्षण अपनी छत के नीचे अँटता रहा: $\tan\alpha \leq \mu_s$ ।

ढलान पर मुक्त-पिंड आरेख: भार P, अभिलंब बल N, और नीचे सरकते गुटके के लिए ढलान पर ऊपर की ओर घर्षण f। ढलान के अनुदिश और लंबवत अक्ष P को mg और mg में बाँट देते हैं (बिंदुदार)। — ढलान पर मुक्त-पिंड आरेख: भार $\vect P$ , अभिलंब बल $\vect N$ , और नीचे सरकते गुटके के लिए ढलान पर ऊपर की ओर घर्षण $\vect f$ । ढलान के अनुदिश और लंबवत अक्ष $\vect P$ को $mg\sin\alpha$ और $mg\cos\alpha$ में बाँट देते हैं (बिंदुदार)।

परिभाषा 25.13 (आभासी भार)

किसी पिंड का आभासी भार उसके और उसके आधार के बीच का अभिलंब बल है — यानी उसके नीचे रखा तराज़ू जो पढ़ता है।

उदाहरण 25.14 (लिफ़्ट)

$70\,\mathrm{kg}$ की सवारी ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_z$ (ऊपर की ओर धनात्मक) वाली लिफ़्ट में तराज़ू पर खड़ी है: $N - mg = ma_z$ , इसलिए $N = m(g + a_z)$ । $a_z = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से ऊपर खिंचते समय: $792\,\mathrm{N}$ , भारी; ऊपर पहुँचते-पहुँचते ब्रेक लगने पर: $582\,\mathrm{N}$ , हलकी; और एक-सी चाल पर $mg = 687\,\mathrm{N}$ — यानी पहला नियम; और मुक्त पतन में, $a_z = -g$ : $N = 0$ , यानी तराज़ू पर भारहीनता।

उदाहरण 25.15 (दो गुटके और एक घिरनी)

घर्षणहीन मेज़ पर रखा गुटका $m_1 = 4.0\,\mathrm{kg}$ एक हलकी रस्सी से, आदर्श घिरनी के ऊपर से होकर, लटकते गुटके $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ से बँधा है। रस्सी दोनों सिरों पर वही तनाव $T$ पहुँचाती है; और दोनों गुटकों के त्वरण का परिमाण एक ही रहता है $a$ । हर एक के लिए, उसकी अपनी गति के अनुदिश एक-एक दूसरा नियम: $m_1 a = T$ और $m_2 a = m_2 g - T$ , इसलिए $a = m_2\,g/(m_1 + m_2) = 1.96\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ और $T = m_1 a = 7.8\,\mathrm{N}$ — जो $m_2 g = 9.8\,\mathrm{N}$ से छोटा है, और $m_2$ के नीचे की ओर त्वरित होने के लिए ऐसा होना ही चाहिए।

दो गुटके, एक हलकी रस्सी, एक आदर्श घिरनी: वही तनाव T दोनों सिरों को खींचता है, और दोनों गुटकों के त्वरण का परिमाण एक ही रहता है — हर एक के लिए एक दूसरा नियम, यानी दो समीकरण, दो अज्ञात। — दो गुटके, एक हलकी रस्सी, एक आदर्श घिरनी: वही तनाव $T$ दोनों सिरों को खींचता है, और दोनों गुटकों के त्वरण का परिमाण एक ही रहता है — हर एक के लिए एक दूसरा नियम, यानी दो समीकरण, दो अज्ञात।

उदाहरण 25.16 (समतल मोड़)

द्रव्यमान $m$ की कार त्रिज्या $R$ के समतल मोड़ को अचर चाल $v$ से घूमती है। फ्रेने आधार (अध्याय 24) में त्वरण विशुद्ध अभिलंब है, $a_N = v^2/R$ , और केंद्र की ओर ताका हुआ। ऊर्ध्वाधर दिशा में $N = mg$ ; और क्षैतिज दिशा में एकमात्र उपलब्ध अभिकेंद्र बल सड़क का टायरों पर लगता स्थैतिक घर्षण है: $f = mv^2/R \leq \mu_s N = \mu_s mg$ , इसलिए $v \leq \sqrt{\mu_s\, g R}$ , और वह भी द्रव्यमान चाहे जो हो। $R = 90\,\mathrm{m}$ , सूखी सड़क ( $\mu_s = 0.70$ ) के लिए: $v_{\max} \approx 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ); बर्फ़ पर वह छत ढह जाती है — अभ्यास 25.13 सड़क को झुका देता है; और अभ्यास 25.10 किसी तार पर वही प्रक्षेप झुलाता है।

अचर चाल से समतल मोड़ में कार: ऊपर से (बाएँ) वेग स्पर्शी है और परिणामी बल केंद्र की ओर ताका है; पीछे से (दाएँ) N P को संतुलित करता है, और सड़क का बग़ली स्थैतिक घर्षण ही पूरा अभिकेंद्र बल है। — अचर चाल से समतल मोड़ में कार: ऊपर से (बाएँ) वेग स्पर्शी है और परिणामी बल केंद्र की ओर ताका है; पीछे से (दाएँ) $\vect N$ $\vect P$ को संतुलित करता है, और सड़क का बग़ली स्थैतिक घर्षण ही पूरा अभिकेंद्र बल है।

25.5 विलगित निकाय: संवेग संरक्षित रहता है

प्रतिज्ञप्ति 25.17 (संवेग का संरक्षण)

जिन दो पिंडों पर बाहरी बल या तो लुप्त हों या संतुलित हों, उनका कुल संवेग $\vect p_1 + \vect p_2$ अचर रहता है, चाहे वे एक-दूसरे पर कैसे भी बल लगाएँ।

उपपत्ति. दोनों दूसरे नियम जोड़ दीजिए: $\frac{d}{dt}(\vect p_1 + \vect p_2) = \vect F_{2 \to 1} + \vect F_{1 \to 2} + \vect F_{\text{बाह्य}}$ : भीतरी युग्म तीसरे नियम से कट जाता है, और परिकल्पना से $\vect F_{\text{बाह्य}} = \vect 0$ । ∎

उदाहरण 25.18 (प्रतिक्षेप)

चिकनी बर्फ़ पर विराम में खड़ी $60\,\mathrm{kg}$ की स्केटर $4.0\,\mathrm{kg}$ की एक भारी गेंद क्षैतिज दिशा में $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से फेंकती है। पहले: $\vect p = \vect 0$ ; बाद में: $0 = 60\,V + 4.0 \times 6.0$ , इसलिए $V = -0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — वह पीछे की ओर सरक जाती है। उसे बाहर से किसी ने नहीं धकेला: गेंद ने धकेला (तीसरा नियम), और बहीखाता शून्य पर ही बना रहता है।

टिप्पणी 25.19 (राकेट किस पर धक्का देता है)

राकेट द्रव्यमान फेंकने की मशीन है। उसके इंजन हर सेकंड गैस की एक खेप पीछे की ओर उछालते हैं; गैस पीछे की ओर संवेग ले जाती है, इसलिए राकेट उतना ही आगे की ओर पा लेता है — यानी एक स्थिर प्रणोद, जो मोटे तौर पर प्रति सेकंड निकाले गए द्रव्यमान गुणा निकास-चाल है। राकेट अपने ही निकास पर धक्का देता है, हवा पर नहीं: इसलिए वह ख़ाली अवकाश में सबसे अच्छा काम करता है।

25.6 अभ्यास

अभ्यास 25.1 ★

इनका संवेग निकालिए: (क) $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $70\,\mathrm{kg}$ का धावक; (ख) $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर $1300\,\mathrm{kg}$ की कार; (ग) $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $8.0\,\mathrm{g}$ की गोली। इन्हें क्रम में रखिए। सबसे तेज़ सबसे पीछे क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 25.1.

(क) $p = 70 \times 10 = 7.0 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ख) $v = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $p \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ग) $p = 0.0080 \times 800 = 6.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । कार $>$ धावक $>$ गोली: द्रव्यमान की पाँच कोटियाँ इतनी बड़ी हैं कि चाल उन्हें ख़रीद नहीं सकती।

अभ्यास 25.2 ★

$70\,\mathrm{kg}$ की सवारी लिफ़्ट में तराज़ू पर खड़ी है। तराज़ू क्या पढ़ेगा जब केबिन (क) $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से ऊपर की ओर त्वरित हो; (ख) अचर $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चढ़े; (ग) $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से नीचे की ओर त्वरित हो? (ख) का फ़ैसला कौन-सा नियम करता है?

हल

हल — अभ्यास 25.2.

$N = m(g + a_z)$ : (क) $70 \times 11.01 = 771\,\mathrm{N}$ ; (ख) $a_z = 0$ , इसलिए $N = mg = 687\,\mathrm{N}$ — यानी पहला नियम: अचर वेग, बल संतुलित; (ग) $70 \times 8.61 = 603\,\mathrm{N}$ ।

अभ्यास 25.3 ★

कोण $30^\circ$ की घर्षणहीन ढलान पर एक गुटका छोड़ा जाता है। उसका त्वरण निकालिए, फिर $3.0\,\mathrm{m}$ सरकने के बाद उसकी चाल। द्रव्यमान कहाँ चला गया?

हल

हल — अभ्यास 25.3.

$a = g\sin 30^\circ = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v = \sqrt{2 \times 4.905 \times 3.0} = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । द्रव्यमान $ma$ और $mg\sin\alpha$ के बीच कट जाता है।

अभ्यास 25.4 ★

$58\,\mathrm{g}$ की टेनिस गेंद $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से आती है और उसी रेखा पर $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से लौटा दी जाती है; संपर्क $5.0\,\mathrm{ms}$ रहता है। संवेग का बदलाव और तारों का औसत बल निकालिए; और उस बल की तुलना गेंद के भार से कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 25.4.

पलटाव: $\Delta p = 0.058 \times (25 + 15) = 2.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F = 2.32/0.0050 = 4.6 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — यानी $0.57\,\mathrm{N}$ के भार का लगभग $800$ गुना, और इसीलिए संपर्क के दौरान गुरुत्व को अनदेखा किया जाता है।

अभ्यास 25.5 ★

मेज़ पर एक किताब रखी है। किताब पर लगते दोनों बल बताइए और हर एक का क्रिया–प्रतिक्रिया साथी भी (किस पिंड पर? किस दिशा में?)। किताब का भार और मेज़ का धक्का एक-दूसरे के साथी क्यों नहीं हैं?

हल

हल — अभ्यास 25.5.

भार (पृथ्वी किताब पर, नीचे): साथी = किताब पृथ्वी को ऊपर खींचती है। अभिलंब बल (मेज़ किताब पर, ऊपर): साथी = किताब मेज़ को नीचे दबाती है। भार और अभिलंब बल एक ही पिंड पर लगते हैं और दो अलग अंतःक्रियाओं के हैं — यहाँ बराबर केवल इसलिए हैं कि $\vect a = \vect 0$ ।

अभ्यास 25.6 ★★

$50\,\mathrm{kg}$ का संदूक क्षैतिज फ़र्श पर रखा है, $\mu_s = 0.45$ , $\mu_k = 0.35$ । (क) कितना क्षैतिज धक्का उसे बस-बस चला देगा? (ख) वही धक्का बनाए रखने पर उसका त्वरण क्या होगा? (ग) उसे अचर वेग से चलाए रखने के लिए कितना धक्का चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 25.6.

$N = mg = 490\,\mathrm{N}$ । (क) $F > \mu_s N = 221\,\mathrm{N}$ । (ख) $a = (220.7 - 0.35 \times 490.5)/50 = 0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । (ग) $F = \mu_k N = 172\,\mathrm{N}$ ।

अभ्यास 25.7 ★★

वही संदूक एक झुकाई जा सकने वाली ढलान पर रखा है ( $\mu_s = 0.45$ , $\mu_k = 0.35$ )। (क) किस कोण पर वह सरकना शुरू करता है? (ख) $30^\circ$ पर उसका त्वरण निकालिए। (ग) (क) वाले कोण पर एक बार चल पड़ने के बाद क्या वह त्वरित होता ही रहता है? क्यों?

हल

हल — अभ्यास 25.7.

(क) तब सरकता है जब $\tan\alpha > \mu_s$ : $\alpha = \arctan 0.45 \approx 24^\circ$ । (ख) $a = g(\sin 30^\circ - 0.35\cos 30^\circ) = 9.81 \times 0.197 = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । (ग) हाँ: सरकना शुरू होते ही घर्षण गिरकर $\mu_k < \mu_s$ रह जाता है, इसलिए $a = g\cos\alpha\,(\tan\alpha - \mu_k) \approx 0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} > 0$ ।

अभ्यास 25.8 ★★

घर्षणहीन मेज़ पर रखा $3.0\,\mathrm{kg}$ का गुटका आदर्श घिरनी के ऊपर से होकर लटकते $2.0\,\mathrm{kg}$ के गुटके से बँधा है। त्वरण और तनाव निकालिए। तनाव को लटकते भार से छोटा निकलना ही क्यों था?

हल

हल — अभ्यास 25.8.

$a = m_2 g/(m_1 + m_2) = 19.62/5.0 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_1 a = 11.8\,\mathrm{N}$ । लटकता गुटका नीचे की ओर त्वरित होता है, इसलिए उस पर परिणामी बल नीचे की ओर है: यानी $T$ को $m_2 g$ से कम रहना ही होगा।

अभ्यास 25.9 ★★

त्रिज्या $50\,\mathrm{m}$ का मोड़ समतल है। $\mu_s = 0.70$ (सूखा) और $0.40$ (गीला) के लिए कार की अधिकतम चाल $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में निकालिए। उत्तर स्कूटर और ट्रक, दोनों पर एक-सा क्यों लागू होता है?

हल

हल — अभ्यास 25.9.

$v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$ : सूखा $\sqrt{0.70 \times 9.81 \times 50} = 18.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 67\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; गीला $14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ । $mv^2/R$ और $\mu_s mg$ , दोनों में $m$ है: वह कट जाता है।

अभ्यास 25.10 ★★

$1.2\,\mathrm{m}$ के तार पर लटका $0.30\,\mathrm{kg}$ का गोलक क्षैतिज वृत्त खींचता है, और तार ऊर्ध्वाधर से अचर $25^\circ$ बनाए रखता है (शंक्वाकार लोलक)। दूसरे नियम का ऊर्ध्वाधर दिशा में प्रक्षेप कीजिए, फिर त्रिज्या के अनुदिश: तनाव और चाल निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 25.10.

ऊर्ध्वाधर: $T\cos\theta = mg$ , इसलिए $T = 2.943/\cos 25^\circ = 3.2\,\mathrm{N}$ । त्रिज्या $R = L\sin\theta = 0.507\,\mathrm{m}$ ; त्रिज्या के अनुदिश: $T\sin\theta = mv^2/R$ , इसलिए $v = \sqrt{gR\tan\theta} = \sqrt{9.81 \times 0.507 \times 0.466} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 25.11 ★★

माल-लिफ़्ट में $5.0\,\mathrm{kg}$ का पार्सल तराज़ू पर रखा है; पाठ्यांक ये हैं:

चरण	$0\text{ to }2\,\mathrm{s}$	$2\text{ to }8\,\mathrm{s}$	$8\text{ to }10\,\mathrm{s}$
तराज़ू ( $\mathrm{N}$ )	54.0	49.0	44.1

हर चरण में त्वरण निकालिए और एक संभव यात्रा का वर्णन कीजिए। क्या लिफ़्ट पूरे समय नीचे की ओर चल रही हो सकती थी?

हल

हल — अभ्यास 25.11.

$mg = 49.05\,\mathrm{N}$ के साथ $a_z = (N - mg)/m$ : $+1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $0$ , $-1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । जैसे ऊपर जाती एक यात्रा: चाल बढ़ाना, एक-सी चाल, फिर ब्रेक। और हाँ: पहले से नीचे उतरते हुए घुसने पर वही पाठ्यांक ब्रेक, एक-सी चाल, और फिर नीचे की ओर तेज़ होना कहते हैं — तराज़ू त्वरण पढ़ता है, वेग नहीं।

अभ्यास 25.12 ★★★

चिकनी बर्फ़ पर विराम में खड़ी $60\,\mathrm{kg}$ की स्केटर $4.0\,\mathrm{kg}$ की गेंद क्षैतिज दिशा में फेंकती है। (क) गेंद ज़मीन के सापेक्ष $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से निकलती है: उसकी प्रतिक्षेप-चाल? (ख) अब $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ उसके सापेक्ष नापा गया है: दोनों चालें फिर से निकालिए। (ग) उसे पीछे किस बल ने धकेला?

हल

हल — अभ्यास 25.12.

(क) $0 = 60V + 4.0 \times 8.0$ : $V = -0.53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ख) गेंद ज़मीन के सापेक्ष $8.0 + V$ पर: $0 = 60V + 4.0(8.0 + V)$ , इसलिए $V = -32/64 = -0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और गेंद $7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से उड़ती है। (ग) उसके हाथों पर गेंद का धक्का — यानी उसके फेंकने का तीसरे-नियम वाला साथी।

अभ्यास 25.13 ★★★

त्रिज्या $80\,\mathrm{m}$ वाला राजमार्ग का मोड़ $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के लिए इस तरह बनाया गया है कि घर्षण की कोई मदद न लगे। दिखाइए कि सड़क को कोण $\theta$ से झुका होना चाहिए जो $\tan\theta = v^2/(gR)$ से मिलता है, और उसे निकालिए। जो कार मोड़ को उससे धीमे — या तेज़ — लेती है, उसके लिए घर्षण को क्या करना पड़ता है?

हल

हल — अभ्यास 25.13.

घर्षणहीन: $N\cos\theta = mg$ (ऊर्ध्वाधर) और $N\sin\theta = mv^2/R$ (त्रिज्य); भाग देने पर $\tan\theta = v^2/(gR) = 400/784.8$ : $\theta \approx 27^\circ$ । धीमे जाने पर कार झुकाव से नीचे फिसलना चाहती है, इसलिए घर्षण को ढलान पर ऊपर की ओर होना पड़ता है; तेज़ जाने पर उलटा।

अभ्यास 25.14 ★★★

किसी राकेट के इंजन प्रति सेकंड $250\,\mathrm{kg}$ गैस $2500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से निकालते हैं। (क) प्रति सेकंड कितना संवेग बाहर जाता है — गैसें कितना प्रणोद लौटाती हैं? (ख) प्रज्वलन के समय राकेट का द्रव्यमान $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ है: उसका भार? उसका उड़ान-भरने का त्वरण? (ग) यह इंजन ख़ाली अवकाश में भी उतना ही क्यों काम करता है?

हल

हल — अभ्यास 25.14.

(क) हर सेकंड $250 \times 2500 = 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : प्रणोद $6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ । (ख) $P = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ ; $a = (6.25 - 4.905) \times 10^5 / 5.0 \times 10^{4} = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । (ग) वह अपने ही निकास पर धक्का देता है (तीसरा नियम), हवा पर नहीं।

अभ्यास 25.15 ★★★

मेज़ पर रखा $4.0\,\mathrm{kg}$ का गुटका ( $\mu_s = 0.35$ , $\mu_k = 0.25$ ) आदर्श घिरनी के ऊपर से होकर लटकते द्रव्यमान $m_2$ से बँधा है। (क) गति शुरू करने के लिए न्यूनतम $m_2$ कितना चाहिए? (ख) $m_2 = 2.0\,\mathrm{kg}$ के लिए त्वरण और तनाव निकालिए। (ग) जाँचिए कि $\mu_k = 0$ रखने पर अभ्यास 25.8 वाला घर्षणहीन सूत्र फिर मिल जाता है।

हल

हल — अभ्यास 25.15.

(क) $m_2 g > \mu_s m_1 g$ : $m_2 > 0.35 \times 4.0 = 1.4\,\mathrm{kg}$ । (ख) $a = (m_2 - \mu_k m_1)\,g/(m_1 + m_2) = 1.0 \times 9.81/6.0 = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_2(g - a) = 16.4\,\mathrm{N}$ । (ग) $\mu_k = 0$ से $a = m_2 g/(m_1 + m_2)$ मिलता है: यानी अभ्यास 25.8 वाला सूत्र।

25.7 समस्या: रज्जुमार्ग

समस्या 25.1

सप्ताहांत समस्या — रज्जुमार्ग का प्रमाणन: विराम में ढलान जितना तनाव माँगती है, चलना शुरू करने का अधिभार, मीनार के ऊपर मिलती राहत, आपात-रुकाव का दाम — और वह एक संख्या जिसका वादा केबिन में लगी तख़्ती कर सकती है

पहाड़ का एक रज्जुमार्ग — केबिन और गाड़ी मिलाकर ख़ाली द्रव्यमान $M_0 = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ — $\alpha = 30^\circ$ पर झुकी पटरी-रस्सी पर लुढ़कता है और ढलान के समांतर तनाव $\vect T$ वाली खिंचाव-रस्सी से खींचा जाता है। लोटनी घर्षण नगण्य है; केबिन का फ़र्श पूरे सफ़र में क्षैतिज बना रहता है। केबिन में औसतन $80\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान की $25$ सवारियाँ बैठती हैं; और प्रमाणित करने वाले अभियंता आप हैं। जब तक कुछ और न कहा जाए, केबिन भरी हुई है: $M = 4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ।

भाग I — ढलान पर विराम में।

निकाय चुनिए; बताइए कि पहाड़ का तंत्र जड़त्वीय तंत्र के रूप में क्यों चल जाएगा; और तीनों बल दिशाओं समेत गिनाइए।
इस प्रतीक्षा पर कौन-सा नियम राज करता है? उसे ढलान के अनुदिश और लंबवत प्रक्षेपित करके $T$ और पटरी-रस्सी का अभिलंब बल $N$ लिखिए।
$T$ और $N$ निकालिए।
ख़ाली केबिन के लिए $T$ फिर से निकालिए। $T$ कुल द्रव्यमान के समानुपाती क्यों है?
खिंचाव-रस्सी टूट जाती है और ब्रेक भी नहीं हैं: दिखाइए कि भागती केबिन का त्वरण भरी हो या ख़ाली, $g \sin\alpha$ ही रहता है, और उसे निकालिए।

भाग II — चलना शुरू करना। चरखी भरी केबिन को $a = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से ढलान पर ऊपर त्वरित करती है, जब तक वह $v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की एक-सी चाल न पकड़ ले।

इस चरण में तनाव $T'$ लिखिए और निकालिए।
चलना शुरू करना तनाव को विराम वाले मान से कितने अंश ऊपर चढ़ा देता है?
यह चरण कितनी देर और कितनी दूरी तक चलता है?
$80\,\mathrm{kg}$ की एक सवारी क्षैतिज फ़र्श पर खड़ी है। दूसरे नियम का ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप करके उसका आभासी भार लिखिए और निकालिए; $mg$ से तुलना कीजिए।
उसे क्षैतिज दिशा में कौन-सा बल त्वरित करता है, और कितना बड़ा? सवारियाँ झुक क्यों जाती हैं?

भाग III — मीनार के ऊपर। अचर $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर पटरी-रस्सी एक सहारा-मीनार के ऊपर त्रिज्या $R = 40\,\mathrm{m}$ के ऊर्ध्वाधर वृत्तीय चाप के अनुदिश मुड़ जाती है; और शिखर पर वेग क्षैतिज होता है।

शिखर पर फ्रेने आधार (अध्याय 24) में त्वरण के दोनों घटक उनके मानों समेत दीजिए।
दूसरे नियम का अभिलंब के अनुदिश प्रक्षेप करके गाड़ी पर रस्सी का अभिलंब बल $N'$ लिखिए और निकालिए।
शिखर पर सवारी के आभासी भार के लिए वही प्रश्न: वह कितने अंश हलकी हो जाती है?
किस चाल पर $N'$ लुप्त हो जाता? उसकी तुलना यात्रा-चाल से कीजिए और टिप्पणी कीजिए।
मीनार के ऊपर गाड़ी रस्सी पर कौन-सा बल लगाती है — कौन-सा नियम यह कहता है, और उसका परिमाण तथा दिशा क्या है?

भाग IV — ब्रेक, एक छलाँग, और तख़्ती।

क्षैतिज आगमन-पट्टी पर एक आपात-रुकाव भरी केबिन को $1.5\,\mathrm{s}$ में $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से विराम तक ले आता है: रुकाव भर के औसत के रूप में $\sum \vect F = d\vect p/dt$ पढ़कर ब्रेक-बल निकालिए।
$80\,\mathrm{kg}$ की सवारी को रोकने के लिए कितना क्षैतिज बल चाहिए, और क्या जूते–फ़र्श का स्थैतिक घर्षण ( $\mu_s = 0.40$ ) उसे दे सकता है? निष्कर्ष लिखिए।
मंच पर, ब्रेक हटे हुए, ख़ाली केबिन मुक्त और निश्चल लटकी है; आख़िरी सवारी ( $80\,\mathrm{kg}$ ) केबिन के सापेक्ष $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से क्षैतिज दिशा में कूद जाती है। केबिन की प्रतिक्षेप-चाल और सवारी की ज़मीन के सापेक्ष चाल निकालिए।
एक वाक्य में: कौन-सा नोदन-यंत्र इसी प्रतिक्षेप-सिद्धांत पर जीता है, और उसका प्रणोद किससे तय होता है?
प्रमाणन। खिंचाव-रस्सी $100\,\mathrm{kN}$ पर टूटती है; और नियम कार्यकारी तनाव को उसके पाँचवें हिस्से तक सीमित रखते हैं। दिखाइए कि ऊपर मिली सबसे बुरी स्थिति चलना शुरू करने वाली है, उससे अधिकतम कुल द्रव्यमान निकालिए, और तख़्ती छाप दीजिए: $80\,\mathrm{kg}$ की कितनी सवारियाँ बैठ सकती हैं? सुरक्षा-गुणक जाँच लीजिए।

हल

हल — समस्या 25.1.

1. निकाय: केबिन $+$ गाड़ी ( $+$ सवारियाँ)। पहाड़ ज़मीन से जुड़ा है, और बहुत अच्छी परिशुद्धता तक जड़त्वीय है। बल: भार $M\vect g$ (नीचे), पटरी-रस्सी का अभिलंब बल $\vect N$ (उसके लंबवत), और खिंचाव का तनाव $\vect T$ (ढलान पर ऊपर की ओर)।

2. विराम में पहला नियम: $\sum \vect F = \vect 0$ । ढलान के अनुदिश: $T = Mg\sin\alpha$ ; लंबवत: $N = Mg\cos\alpha$ ।

3. $T = 4000 \times 9.81 \times 0.500 = 19.6\,\mathrm{kN}$ ; $N = 4000 \times 9.81 \times 0.866 = 34.0\,\mathrm{kN}$ ।

4. ख़ाली: $T = 9.8\,\mathrm{kN}$ । संतुलन में हर बल $M$ के समानुपाती है, इसलिए $T$ भी।

5. ढलान के अनुदिश $Ma = Mg\sin\alpha$ : $M$ कट जाता है और ढलान से नीचे की ओर $a = g\sin\alpha = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ।

6. $T' = M(g\sin\alpha + a) = 4000 \times 5.505 = 22.0\,\mathrm{kN}$ ।

7. $a/(g\sin\alpha) = 0.60/4.905 \approx 12\%$ ।

8. $t = v/a = 10\,\mathrm{s}$ ; $d = v^2/(2a) = 30\,\mathrm{m}$ ।

9. $\vect a$ का ऊर्ध्वाधर घटक: $a\sin\alpha = 0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , इसलिए $mg = 785\,\mathrm{N}$ के मुक़ाबले $N = m(g + a\sin\alpha) = 80 \times 10.11 = 809\,\mathrm{N}$ : यानी $3\%$ अधिक भारी।

10. फ़र्श का स्थैतिक घर्षण, क्षैतिज: $ma\cos\alpha = 80 \times 0.52 \approx 42\,\mathrm{N}$ । झुक जाने से फ़र्श का कुल धक्का उसके द्रव्यमान केंद्र से होकर गुज़रता है, इसलिए वह उसे उलट नहीं देता।

11. $a_T = dv/dt = 0$ (अचर चाल); $a_N = v^2/R = 36/40 = 0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , केंद्र की ओर ताका हुआ — यानी शिखर पर सीधे नीचे।

12. अभिलंब अक्ष (नीचे धनात्मक): $Mg - N' = Mv^2/R$ , इसलिए $N' = M(g - v^2/R) = 4000 \times 8.91 = 35.6\,\mathrm{kN}$ ।

13. $N = m(g - v^2/R) = 80 \times 8.91 = 713\,\mathrm{N}$ : यानी $v^2/(gR) = 0.90/9.81 \approx 9\%$ हलकी।

14. $v = \sqrt{gR} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर $N' = 0$ — यानी यात्रा-चाल का तिगुने से भी अधिक: गाड़ी रस्सी पर अच्छे-ख़ासे हाशिये के साथ चलती है।

15. न्यूटन का तीसरा नियम: $35.6\,\mathrm{kN}$ , जो रस्सी पर (और इसलिए मीनार पर) नीचे की ओर दबाता है — विराम वाले भार से ज़रा कम, क्योंकि मुड़ी हुई उड़ान उसे कुछ राहत दे देती है।

16. $F = \Delta p/\Delta t = 4000 \times 6.0/1.5 = 16\,\mathrm{kN}$ , गति के विपरीत ( $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ )।

17. $f = ma = 80 \times 4.0 = 320\,\mathrm{N}$ ; और छत $\mu_s mg = 0.40 \times 785 = 314\,\mathrm{N} < 320\,\mathrm{N}$ है: अकेले पैर फिसल जाएँगे — रेलिंग पकड़िए।

18. $0 = M_0 V + m(v_{\text{सापेक्ष}} + V)$ : $V = -80 \times 2.5/2080 = -0.096\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; और सवारी ज़मीन के सापेक्ष $2.5 - 0.096 \approx 2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलती है।

19. राकेट: उसका प्रणोद प्रति सेकंड निकाले गए द्रव्यमान गुणा उसके सापेक्ष निकास-चाल से तय होता है।

20. मिलता सबसे बड़ा तनाव चलना शुरू करने वाला $T' = M \times 5.505\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ है (विराम $Mg\sin\alpha$ देता है, और शिखर उससे भी कम)। सीमा: $T' \leq 20\,\mathrm{kN}$ , इसलिए $M \leq 20000/5.505 = 3.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ : यानी भार-क्षमता $1.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , यानी $80\,\mathrm{kg}$ की $20$ सवारियाँ ( $25$ नहीं)। तख़्ती: 20 व्यक्ति; तब $M = 3.6 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , $T' = 19.8\,\mathrm{kN}$ , और सुरक्षा-गुणक $100/19.8 \approx 5.1 \geq 5$ ।