माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

12विद्युत परिपथ और शक्ति

स्विच दबाइए और लैंप जल उठता है: कई किलोमीटर दूर बैठा जनित्र आपकी दीवार में गड़े ताँबे के फंदे पर आवेश को घुमा रहा है। पिछले वर्षों में परिपथ का नक्शा बना था — धारा, विभवांतर, ओम का नियम। यह अध्याय उसी परिपथ को अध्याय 9 के बहीखाते के साथ फिर खोलता है: मीटर किस चीज़ का पैसा लेता है, पतले तार क्यों दहकते हैं, और ग्रिड $400\,\mathrm{kV}$ पर क्यों चलता है।

12.1 चलता हुआ आवेश

परिभाषा 12.1 (धारा और कूलॉम)

विद्युत धारा आवेश का व्यवस्थित बहाव है (धातु में, इलेक्ट्रॉनों का)। उसकी तीव्रता $I$ , ऐंपियर ( $\mathrm{A}$ ) में, वह आवेश है जो प्रति सेकंड तार के अनुप्रस्थ काट से गुज़रता है: स्थिर धारा $I$ समय $t$ तक बहकर आवेश

q = I\,t ,

पहुँचाती है, जो कूलॉम ( $\mathrm{C}$ ) में मापा जाता है और $1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A}\,\mathrm{s}$ । मूल आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ है। धारा को ऐमीटर से मापते हैं, जिसे श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है।

उदाहरण 12.2 (तड़ित बनाम फ़ोन)

तड़ित का एक झटका लगभग $3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ लगभग $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ तक ले जाता है: $q = 3.0\times10^{4} \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{C}$ । आपका फ़ोन $2.0\,\mathrm{A}$ पर वही आवेश हर $1.5$ सेकंड में सरका देता है।

परिभाषा 12.3 (विभवांतर और वोल्ट)

परिपथ के दो बिंदुओं के बीच का विभवांतर $U$ , वोल्ट ( $\mathrm{V}$ ) में, उन बिंदुओं के बीच चलने वाले आवेश के प्रति मात्रक विनिमय हुई ऊर्जा है: $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{C}$ , इसलिए विभवांतर $U$ वाले उपकरण को पार करता आवेश $q$ उससे ऊर्जा $E = qU$ का विनिमय करता है। समांतर क्रम में जुड़ा वोल्टमीटर इसे मापता है।

प्रतिज्ञप्ति 12.4 (परिपथ के नियम)

स्थायी रूप से चलते परिपथ में:

संधि नियम: किसी संधि पर आती धाराओं का योग वहाँ से निकलती धाराओं के योग के बराबर होता है;
श्रेणी नियम: किसी पथ के साथ-साथ विभवांतर जुड़ते जाते हैं: $U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$ ;
समांतर नियम: एक ही दो बिंदुओं को जोड़ती दो शाखाओं पर एक ही विभवांतर होता है।

उपपत्ति. स्थायी अवस्था में आवेश कहीं जमा नहीं होता, इसलिए जो संधि में आता है वही उससे निकलता भी है। प्रति कूलॉम ऊर्जा पथ के साथ जुड़ती है और केवल पथ के सिरों पर निर्भर करती है — बीच में कौन-सी शाखा ली गई, इस पर नहीं। ∎

12.2 ओम का नियम और प्रतिरोधकों के जाल

परिभाषा 12.5 (प्रतिरोध)

किसी चालक का प्रतिरोध उसके सिरों के विभवांतर और उसमें बहती धारा का अनुपात $R = U/I$ है, जिसे ओम ( $\Omega$ ) में मापते हैं: $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ ।

प्रतिज्ञप्ति 12.6 (ओम का नियम)

स्थिर ताप पर रखे धातु के चालक में $R$ अचर रहता है: विभवांतर और धारा समानुपाती होते हैं,

U = R\,I .

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 12.7

यह प्रायोगिक नियम है, सार्वत्रिक नहीं: डायोड, बल्ब का तंतु या आपकी अपनी त्वचा इसे नहीं मानते। धातुएँ इसे क्यों मानती हैं, यह विश्वविद्यालय के खंडों में निकाला गया है।

प्रतिज्ञप्ति 12.8 (श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक)

श्रेणीक्रम में जुड़े दो प्रतिरोधक एक प्रतिरोधक $R_{\text{s}} = R_1 + R_2$ के तुल्य हैं; समांतर क्रम में जुड़े दो, एक प्रतिरोधक $R_{\text{p}}$ के, जो इस प्रकार मिलता है:

\frac{1}{R_{\text{p}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} , \qquad\text{अर्थात्}\quad R_{\text{p}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} < \min(R_1, R_2) .

उपपत्ति. श्रेणीक्रम: वही $I$ दोनों से गुज़रती है और विभवांतर जुड़ते हैं (प्रतिज्ञप्ति 12.4), इसलिए $U = (R_1 + R_2)\,I$ । समांतर क्रम: दोनों एक ही $U$ के नीचे हैं और धाराएँ जुड़ती हैं, इसलिए $I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$ । ∎

श्रेणीक्रम (बाएँ): एक ही धारा, विभवांतर जुड़ते हैं। समांतर क्रम (दाएँ): एक ही विभवांतर, धाराएँ जुड़ती हैं।

उदाहरण 12.9 (तुल्य प्रतिरोध)

$R_1 = 100\,\Omega$ और $R_2 = 150\,\Omega$ : श्रेणीक्रम में $250\,\Omega$ ; समांतर क्रम में $\frac{100 \times 150}{250} = 60\,\Omega$ — दोनों में से किसी से भी कम: धारा को दूसरा रास्ता मिल जाता है।

12.3 परिपथ में ऊर्जा और शक्ति

प्रतिज्ञप्ति 12.10 (विद्युत शक्ति)

विभवांतर $U$ के नीचे रखा वह उपकरण, जिससे धारा $I$ गुज़रती है, इस दर से ऊर्जा लेता है:

P = U\,I , \qquad\text{अर्थात्}\quad E = U\,I\,t \ \text{समय } t \text{ में} .

उपपत्ति. समय $t$ में आवेश $q = It$ उपकरण को पार करता है (परिभाषा 12.1) और हर कूलॉम $U$ जूल सौंप देता है (परिभाषा 12.3): $E = qU = UIt$ । ∎

प्रतिज्ञप्ति 12.11 (प्रतिरोधक में शक्ति)

धारा $I$ ले जाता प्रतिरोधक $R$ इतनी शक्ति क्षय करता है:

P = R\,I^2 = \frac{U^2}{R} .

उपपत्ति. $P = UI$ में ओम का नियम रखिए: $P = (RI)I = RI^2 = U(U/R) = U^2/R$ । ∎

उदाहरण 12.12 (नामपट्ट पढ़ना)

“ $230\,\mathrm{V}$ – $2200\,\mathrm{W}$ ” अंकित केतली $I = P/U = 2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ खींचती है और उसका प्रतिरोध $R = U^2/P = 230^2/2200 = 24\,\Omega$ है। $150\,\mathrm{s}$ चलाने पर वह $E = 2200 \times 150 = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J} \approx 0.09\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ खर्च करती है — लगभग दो सेंट।

टिप्पणी 12.13 (जूल और किलोवाट-घंटे)

मीटर किलोवाट-घंटे (परिभाषा 9.17) गिनता है: $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ । जूल भौतिक विज्ञानी का मात्रक है; बिल की क़ीमत किलोवाट-घंटे तय करते हैं।

लघुगणकीय अक्ष पर उपकरणों की शक्ति: जो कुछ गरम करता है (लाल) वह उन सबसे दस गुना ऊपर बैठा है जो गणना करते या चमकते हैं (नीला)।

12.4 जूल प्रभाव: टोस्टर से खंभे तक

परिभाषा 12.14 (जूल प्रभाव)

हर प्रतिरोधक में विद्युत ऊर्जा को ऊष्मा में बदल देने वाला क्षय $P = RI^2$ जूल प्रभाव कहलाता है। हीटर, केतली, टोस्टर और पुराने ढंग के बल्ब जान-बूझकर प्रतिरोधक बनाए जाते हैं; और फ़्यूज़ वह पतला तार है जिसे इस तरह नापा जाता है कि धारा अपनी सीमा पार करते ही वह पिघल जाए — और परिपथ खुल जाए।

उदाहरण 12.15 (खंभे ऊँचे विभव पर क्यों चलते हैं)

एक गाँव को प्रतिरोध $R_\ell = 5.0\,\Omega$ वाली लाइन से $P = 100\,\mathrm{kW}$ चाहिए। $U = 500\,\mathrm{V}$ पर भेजें तो $I = P/U = 200\,\mathrm{A}$ और लाइन $R_\ell I^2 = 200\,\mathrm{kW}$ बरबाद करती है — पहुँचाई गई शक्ति की दुगुनी: बेतुका। $U = 20\,\mathrm{kV}$ पर: $I = 5.0\,\mathrm{A}$ और $R_\ell I^2 = 125\,\mathrm{W}$ । चालीस गुना कम धारा, $1600$ गुना कम हानि।

की सुपुर्दगी: P = UI स्थिर रखकर U बढ़ाने पर I सिकुड़ता है, और हानि I2 के साथ गिरती है। — उदाहरण 12.15 की सुपुर्दगी: $P = UI$ स्थिर रखकर $U$ बढ़ाने पर $I$ सिकुड़ता है, और हानि $I^2$ के साथ गिरती है।

टिप्पणी 12.16 (ग्रिड का लोहे-सा नियम)

पहुँचाई गई शक्ति $P = UI$ स्थिर हो तो लाइन की हानि $R_\ell I^2 = R_\ell P^2/U^2$ संवहन विभवांतर के वर्ग के अनुपात में घटती है। इसलिए: यात्रा के लिए ऊपर चढ़ाइए ( $400\,\mathrm{kV}$ ), बरतने के लिए नीचे उतारिए ( $230\,\mathrm{V}$ )।

टिप्पणी 12.17 (घर की सुरक्षा)

$16\,\mathrm{A}$ पर फ़्यूज़ लगी $230\,\mathrm{V}$ लाइन अधिक से अधिक $230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ दे सकती है: एक साथ दो केतलियाँ फ़्यूज़ पिघला देती हैं — वह जान-बूझकर सबसे पतली, सबसे कमज़ोर कड़ी है, और दीवार के भीतर लगी आग से कहीं सस्ती।

12.5 असली सेल: विद्युत वाहक बल

परिभाषा 12.18 (विद्युत वाहक बल और आंतरिक प्रतिरोध)

सेल रासायनिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में बदलता है। उसका विद्युत वाहक बल $\mathcal{E}$ , वोल्ट में, वह ऊर्जा है जो वह अपने से गुज़रते हर कूलॉम को सौंपता है; और उसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ उसकी अपनी रसायन-क्रिया के भीतर होते जूल प्रभाव का हिसाब रखता है। प्रतिरूप: आदर्श स्रोत $\mathcal{E}$ , $r$ के साथ श्रेणीक्रम में (गोलाकार $\mathcal{E}$ : $E$ ऊर्जा है)।

प्रतिज्ञप्ति 12.19 (सिरों का विभवांतर)

धारा $I$ देता सेल अपने सिरों पर यह दिखाता है:

U = \mathcal{E} - r\,I .

उपपत्ति. रसायन-क्रिया $\mathcal{E}I$ देती है, आंतरिक प्रतिरोध $rI^2$ खा जाता है, परिपथ को $UI$ मिलता है: ऊर्जा संरक्षण (अध्याय 9) से $UI = \mathcal{E}I - rI^2$ मिलता है। ∎

उदाहरण 12.20 (भार के नीचे एक सेल)

एक सेल ( $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$ , $r = 1.0\,\Omega$ ) प्रतिरोध $R = 8.0\,\Omega$ वाले बल्ब को खिलाता है। फंदा $\mathcal{E} = rI + RI$ मानता है, इसलिए $I = \mathcal{E}/(R + r) = 1.0\,\mathrm{A}$ और $U = 9.0 - 1.0 \times 1.0 = 8.0\,\mathrm{V}$ : बल्ब को $8.0\,\mathrm{W}$ मिलता है जबकि सेल स्वयं गरम होकर $1.0\,\mathrm{W}$ बरबाद करता है।

वाले सेल का विसर्जन-अभिलक्षण: मापे गए बिंदु ढाल -r = -1.0\, V/ A वाली रेखा U = E - rI पर बैठते हैं। — उदाहरण 12.20 वाले सेल का विसर्जन-अभिलक्षण: मापे गए बिंदु ढाल $-r = -1.0\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ वाली रेखा $U = \mathcal{E} - rI$ पर बैठते हैं।

टिप्पणी 12.21 (ग्राहक)

मोटर या चार्ज होता सेल यही रूपांतरण उलटी दिशा में चलाता है: वह $U = \mathcal{E}' + r'I$ के नीचे ऊर्जा सोखता है, $\mathcal{E}'I$ को गति या रसायन में बदलता है और $r'I^2$ गँवाता है। स्रोत धकेलते हैं, ग्राहक पीछे धकेलते हैं।

उदाहरण 12.22 (सेल की दक्षता)

ऊपर के विसर्जन की दक्षता (परिभाषा 9.12): $\mathcal{E}I = 9.0\,\mathrm{W}$ में से $UI = 8.0\,\mathrm{W}$ काम का, इसलिए $\eta = U/\mathcal{E} = 8/9 \approx 0.89$ — और धारा बढ़ने के साथ यह गिरती जाती है: कड़ी मेहनत करते सेल गरम रहते हैं।

12.6 अभ्यास

अभ्यास 12.1 ★

फ़ोन का सेल $90\,\mathrm{min}$ तक स्थिर $2.0\,\mathrm{A}$ पर चार्ज होता है। तार से कितना आवेश गुज़रता है, कूलॉम में? वह कितने मूल आवेशों के बराबर है ( $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ )?

हल

हल — अभ्यास 12.1.

$q = It = 2.0 \times 90 \times 60 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$ । मूल आवेशों की संख्या: $q/e = 1.08\times10^{4}/1.6\times10^{-19} \approx 6.8 \times 10^{22}$ ।

अभ्यास 12.2 ★

$220\,\Omega$ का प्रतिरोधक $12\,\mathrm{V}$ के सिरों पर लगा है: कितनी धारा बहती है? कोई ऊष्मक $230\,\mathrm{V}$ पर $0.50\,\mathrm{A}$ खींचता है: उसका प्रतिरोध क्या है?

हल

हल — अभ्यास 12.2.

$I = U/R = 12/220 = 0.055\,\mathrm{A} = 55\,\mathrm{mA}$ ; $R = U/I = 230/0.50 = 460\,\Omega$ ।

अभ्यास 12.3 ★

$R_1 = 120\,\Omega$ और $R_2 = 60\,\Omega$ का तुल्य प्रतिरोध पहले श्रेणीक्रम में, फिर समांतर क्रम में निकालिए। कौन-सा दोनों से छोटा है, और क्यों?

हल

हल — अभ्यास 12.3.

श्रेणीक्रम: $120 + 60 = 180\,\Omega$ । समांतर क्रम: $\frac{120 \times 60}{180} = 40\,\Omega$ — दोनों से छोटा: विभवांतर वही रहता है, पर धारा को दूसरा रास्ता मिल जाता है, इसलिए कुल धारा अधिक और प्रतिरोध कम।

अभ्यास 12.4 ★

यात्रा में काम आने वाली इस्तरी $230\,\mathrm{V}$ पर $8.7\,\mathrm{A}$ खींचती है। उसकी शक्ति निकालिए, फिर $4.0\,\mathrm{min}$ में खर्च होती ऊर्जा, जूल में और किलोवाट-घंटे में।

हल

हल — अभ्यास 12.4.

$P = UI = 230 \times 8.7 = 2.0\,\mathrm{kW}$ । $t = 240\,\mathrm{s}$ में: $E = Pt = 2000 \times 240 = 4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 4.8\times10^{5}/3.6 \times10^{6} \approx 0.13\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ।

अभ्यास 12.5 ★

लैपटॉप का चार्जर दिन में $5.0\,\mathrm{h}$ तक $60\,\mathrm{W}$ देता है: दैनिक ऊर्जा किलोवाट-घंटे और जूल में, और $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ के $0.25$ यूरो के भाव पर उसका दाम?

हल

हल — अभ्यास 12.5.

$E = 60 \times 5.0 = 300\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} = 0.30\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 0.30 \times 3.6\times10^{6} = 1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ । दाम: दिन के $0.30 \times 0.25 = 0.075$ यूरो।

अभ्यास 12.6 ★★

एक विद्युत हीटर $230\,\mathrm{V}$ पर $1200\,\mathrm{W}$ का अंकित है।

उसका प्रतिरोध और उसके द्वारा खींची जाती धारा निकालिए।
उसी प्रतिरोध के साथ $115\,\mathrm{V}$ की आपूर्ति में लगाने पर वह कितनी शक्ति देता है? आधी क्यों नहीं?

हल

हल — अभ्यास 12.6.

1. $R = U^2/P = 230^2/1200 = 44\,\Omega$ ; $I = P/U = 1200/230 = 5.2\,\mathrm{A}$ ।

2. $P' = U'^2/R = 115^2/44.1 = 300\,\mathrm{W}$ : चौथाई, आधी नहीं, क्योंकि $U$ आधा करने पर $I$ भी आधा हो जाता है, और $P = UI \propto U^2$ ।

अभ्यास 12.7 ★★

$R_1 = 40\,\Omega$ और $R_2 = 20\,\Omega$ श्रेणीक्रम में $12\,\mathrm{V}$ के सिरों पर। धारा, हर प्रतिरोधक के सिरों का विभवांतर और हर एक में क्षय हुई शक्ति निकालिए; जाँचिए कि शक्तियों का योग $UI$ बनता है।

हल

हल — अभ्यास 12.7.

$R_{\text{s}} = 60\,\Omega$ , इसलिए $I = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$ । $U_1 = R_1 I = 8.0\,\mathrm{V}$ , $U_2 = 4.0\,\mathrm{V}$ (योग $12\,\mathrm{V}$ ); $P_1 = U_1 I = 1.6\,\mathrm{W}$ , $P_2 = 0.8\,\mathrm{W}$ : कुल $2.4\,\mathrm{W}$ $= UI = 12 \times 0.20$ , जैसा होना ही चाहिए।

अभ्यास 12.8 ★★

$R_1 = 60\,\Omega$ और $R_2 = 30\,\Omega$ समांतर क्रम में $12\,\mathrm{V}$ के सिरों पर। हर शाखा की धारा, कुल धारा और तुल्य प्रतिरोध दो तरीक़ों से निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 12.8.

$I_1 = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$ , $I_2 = 12/30 = 0.40\,\mathrm{A}$ , कुल $I = 0.60\,\mathrm{A}$ । तुल्य: $R = U/I = 12/0.60 = 20\,\Omega$ , और सचमुच $\frac{60 \times 30}{60 + 30} = 20\,\Omega$ ।

अभ्यास 12.9 ★★

कोई सेल $I = 0.50\,\mathrm{A}$ पर $U = 5.5\,\mathrm{V}$ देता है और $I = 2.0\,\mathrm{A}$ पर $U = 4.0\,\mathrm{V}$ । उसका विद्युत वाहक बल $\mathcal{E}$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ निकालिए, फिर लघुपथ धारा $\mathcal{E}/r$ ।

हल

हल — अभ्यास 12.9.

$\mathcal{E} - 0.50\,r = 5.5$ और $\mathcal{E} - 2.0\,r = 4.0$ ; घटाने पर $1.5\,r = 1.5$ , इसलिए $r = 1.0\,\Omega$ और $\mathcal{E} = 6.0\,\mathrm{V}$ । लघुपथ में: $\mathcal{E}/r = 6.0\,\mathrm{A}$ ।

अभ्यास 12.10 ★★

रसोई की $230\,\mathrm{V}$ लाइन $16\,\mathrm{A}$ के फ़्यूज़ से सुरक्षित है। $2.2\,\mathrm{kW}$ की केतली और $1.0\,\mathrm{kW}$ का टोस्टर एक साथ चलते हैं: क्या फ़्यूज़ टिकेगा? कोई $1.5\,\mathrm{kW}$ का हीटर और जोड़ देता है: दिखाइए कि अब वह उड़ जाता है।

हल

हल — अभ्यास 12.10.

केतली $2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ , टोस्टर $1000/230 = 4.3\,\mathrm{A}$ : कुल $13.9\,\mathrm{A}$ $< 16\,\mathrm{A}$ , फ़्यूज़ टिक जाता है। हीटर $1500/230 = 6.5\,\mathrm{A}$ : कुल $20.4\,\mathrm{A}$ $> 16\,\mathrm{A}$ , वह उड़ जाता है (या यों कहिए, $4.7\,\mathrm{kW} > 230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ )।

अभ्यास 12.11 ★★

किसी कारख़ाने को प्रतिरोध $2.0\,\Omega$ वाली आपूर्ति-केबल से $10\,\mathrm{kW}$ चाहिए। धारा और जूल-हानि निकालिए, पहले जब शक्ति $200\,\mathrm{V}$ पर भेजी जाए, फिर जब $4.0\,\mathrm{kV}$ पर। दोनों हानियों की तुलना कीजिए और उनके अनुपात का कारण बताइए।

हल

हल — अभ्यास 12.11.

$200\,\mathrm{V}$ पर: $I = 10^4/200 = 50\,\mathrm{A}$ , हानि $RI^2 = 2.0 \times 50^2 = 5.0\,\mathrm{kW}$ — पहुँचाई गई शक्ति की आधी। $4.0\,\mathrm{kV}$ पर: $I = 2.5\,\mathrm{A}$ , हानि $2.0 \times 2.5^2 = 12.5\,\mathrm{W}$ । अनुपात $400 = 20^2$ : बीस गुना विभवांतर का अर्थ है बीस गुना कम धारा, और हानि $I^2$ के साथ चलती है।

अभ्यास 12.12 ★★★

$60\,\Omega$ के तीनों एक जैसे प्रतिरोधकों का उपयोग करते हुए हर अलग तुल्य प्रतिरोध (श्रेणी, समांतर, मिश्रित) की सूची बनाइए और हर एक का मान निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 12.12.

चार सजावटें: सभी श्रेणीक्रम में, $3 \times 60 = 180\,\Omega$ ; सभी समांतर क्रम में, $60/3 = 20\,\Omega$ ; एक प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े दो के साथ श्रेणीक्रम में, $60 + 30 = 90\,\Omega$ ; एक प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े दो के साथ समांतर क्रम में, $\frac{60 \times 120}{180} = 40\,\Omega$ ।

अभ्यास 12.13 ★★★

एक सेल ( $\mathcal{E} = 4.5\,\mathrm{V}$ , $r = 1.5\,\Omega$ ) प्रतिरोधक $R = 6.0\,\Omega$ को खिलाता है।

$I$ , $U$ , $R$ में काम की शक्ति, $r$ में गँवाई शक्ति और दक्षता निकालिए।
दिखाइए कि परिवर्ती $R$ को मिलती शक्ति, $P = \mathcal{E}^2 R/(R+r)^2$ , तब सबसे अधिक होती है जब $R = r$ हो (संकेत: $(R+r)^2/R = (R-r)^2/R + 4r$ ), और वह अधिकतम मान निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 12.13.

1. $I = \mathcal{E}/(R + r) = 4.5/7.5 = 0.60\,\mathrm{A}$ ; $U = RI = 3.6\,\mathrm{V}$ ; काम का $P = UI = 2.2\,\mathrm{W}$ ; गँवाया गया $rI^2 = 1.5 \times 0.60^2 = 0.54\,\mathrm{W}$ ; $\eta = U/\mathcal{E} = 3.6/4.5 = 0.80$ ।

2. संकेत से $P = \mathcal{E}^2 \big/ \big[(R - r)^2/R + 4r\big]$ ; कोष्ठक का मान ठीक तभी सबसे कम ( $= 4r$ ) होता है जब $R = r$ , इसलिए $P_{\max} = \mathcal{E}^2/(4r) = 4.5^2/6.0 = 3.4\,\mathrm{W}$ ।

अभ्यास 12.14 ★★★

दक्षता $0.90$ वाली $2.2\,\mathrm{kW}$ की केतली $1.0\,\mathrm{kg}$ पानी को $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ से उबाल तक लाती है (पानी गरम करने में प्रति किलोग्राम प्रति डिग्री $4180\,\mathrm{J}$ लगता है)। ज़रूरी ऊष्मा, खींची गई विद्युत ऊर्जा, गरम करने का समय और $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ के $0.25$ यूरो के भाव पर दाम निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 12.14.

ऊष्मा: $Q = 1.0 \times 4180 \times (100 - 20) = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ । विद्युत: $E = Q/0.90 = 3.7 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ । समय: $t = E/P = 3.7\times10^{5}/2200 \approx 170\,\mathrm{s}$ , तीन मिनट से कम। दाम: $3.7\times10^{5}/3.6\times10^{6} \approx 0.10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ , लगभग $2.6$ सेंट।

अभ्यास 12.15 ★★★

कार का बैटरी-सेल: $\mathcal{E} = 12.7\,\mathrm{V}$ , $r = 0.020\,\Omega$ , धारिता $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ ।

धारिता को कूलॉम में बदलिए और संचित ऊर्जा ( $E \approx \mathcal{E} q$ ) का अनुमान जूल तथा किलोवाट-घंटे में लगाइए।
स्टार्टर $150\,\mathrm{A}$ खींचता है: सिरों का विभवांतर, दी गई शक्ति और भीतर गँवाई शक्ति निकालिए।
समझाइए कि इंजन स्टार्ट होते समय हेडलाइटें मंद क्यों पड़ जाती हैं।

हल

हल — अभ्यास 12.15.

1. $q = 60 \times 3600 = 2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ ; $E \approx \mathcal{E}q = 12.7 \times 2.16\times10^{5} = 2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J} \approx 0.76\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ।

2. $U = 12.7 - 0.020 \times 150 = 9.7\,\mathrm{V}$ ; दिया गया $UI = 1.5\,\mathrm{kW}$ ; गँवाया गया $rI^2 = 0.020 \times 150^2 = 450\,\mathrm{W}$ ।

3. हेडलाइटें सेल के सिरों पर ही जुड़ी हैं: स्टार्ट करते समय सिरों का विभवांतर $12.7$ से गिरकर $9.7\,\mathrm{V}$ रह जाता है, इसलिए उन्हें कम शक्ति मिलती है और वे मंद पड़ जाती हैं।

12.7 समस्या: बाँध से टोस्टर तक

समस्या 12.1

सप्ताहांत समस्या — एक किलोवाट-घंटे की हज़ार किलोमीटर लंबी यात्रा, गिरते पानी से लेकर सिंकती रोटी तक, और सफ़र का पूरा हिसाब

पहाड़ का एक बाँध पानी को अपनी टरबाइनों से $200\,\mathrm{m}$ ऊपर रोके रखता है, और वे टरबाइनें हर सेकंड $50\,\mathrm{m}^{3}$ — यानी $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ — निगलती हैं; टरबाइन और प्रत्यावर्तित्र दक्षता $0.90$ से रूपांतरण करते हैं। कुल प्रतिरोध $R_\ell = 32\,\Omega$ ( $1000\,\mathrm{km}$ जाने और आने का) वाली एक लाइन से संयंत्र उस शहर को खिलाता है जहाँ आपका $900\,\mathrm{W}$ का टोस्टर $230\,\mathrm{V}$ पर प्रतीक्षा कर रहा है। प्रत्यावर्तित्र $20\,\mathrm{kV}$ देता है; ट्रांसफ़ॉर्मर (हर एक की दक्षता $0.99$ ) विभवांतर जैसा चाहें बदल देते हैं। बिजली $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ के $0.25$ यूरो के भाव पर बिकती है; $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ।

भाग I — बाँध पर।

गिरता पानी हर सेकंड कितनी स्थितिज ऊर्जा छोड़ता है? इससे टरबाइनों को उपलब्ध शक्ति निकालिए।
प्रत्यावर्तित्र से कितनी विद्युत शक्ति निकलती है?
सीधे प्रत्यावर्तित्र से $20\,\mathrm{kV}$ पर भेजने पर कितनी धारा बहती है?
उस धारा पर जूल-हानि $R_\ell I^2$ निकालिए और उसकी तुलना संयंत्र के उत्पादन से कीजिए। निष्कर्ष लिखिए।
शहर की शक्ति $P = UI$ माँग से तय होती है। $I$ घटाने का एकमात्र उपाय क्या है, और वह काम कौन-सा उपकरण करता है?

भाग II — लाइन पर।

इस प्रश्न भर के लिए हानिरहित मानकर, ट्रांसफ़ॉर्मर $88\,\mathrm{MW}$ को चढ़ाकर $400\,\mathrm{kV}$ कर देता है: अब कितनी धारा बहती है?
नई लाइन-हानि मेगावाट में निकालिए।
संयंत्र के उत्पादन का कितना अंश लाइन में गँवाया जाता है?
दिखाइए कि गँवाया गया अंश $R_\ell P/U^2$ के बराबर है, और जाँचिए कि यह प्रश्न 4 और 7 के बीच के गुणक को समझा देता है।
$400\,\mathrm{kV}$ पर लाइन के साथ-साथ विभवांतर की गिरावट $R_\ell I$ निकालिए। क्या यह प्रश्न 8 से मेल खाती है?

भाग III — रसोई में।

$1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ को जूल में बदलिए; मीटर किससे गुणा करता है?
$230\,\mathrm{V}$ पर टोस्टर की धारा और प्रतिरोध निकालिए।
तीन मिनट सेंकने पर: जूल और किलोवाट-घंटे में ऊर्जा, और उसका दाम।
टोस्टर $RI^2$ क्षय करता है: एक वाक्य में समझाइए कि वही सूत्र लाइन पर हानि क्यों है और रसोई में उत्पाद।
टोस्टर $2.2\,\mathrm{kW}$ की केतली के साथ एक ही $16\,\mathrm{A}$ का फ़्यूज़ बाँटता है: क्या फ़्यूज़ टिकेगा? अब $2.0\,\mathrm{kW}$ का हीटर भी आ जुड़ता है: और अब?

भाग IV — लेखा-जोखा।

घर की अपनी तारबंदी, प्रतिरोध $0.05\,\Omega$ , प्रश्न 15 की $13.5\,\mathrm{A}$ ले जाती है: हानि निकालिए और मोटे तौर पर पहुँचाए गए $3.1\,\mathrm{kW}$ में उसका अंश।
सारी दक्षताओं (टरबाइन–प्रत्यावर्तित्र, ऊपर चढ़ाना, लाइन, नीचे उतारना, घर की तारबंदी) को जोड़कर एक कुल ग्रिड दक्षता बनाइए।
एक किलोवाट-घंटे को आपके टोस्टर तक पहुँचाने के लिए बाँध का कितने किलोग्राम (और कितने घन मीटर) पानी गिरना चाहिए?
प्रश्न 9 वाले गँवाए गए अंश $R_\ell P/U^2$ का मान $U = 20\,\mathrm{kV}$ पर निकालिए। $1$ से बड़े मान का अर्थ क्या है?
और अंतिम चोट — दूरी की क़ीमत: दो वाक्यों में लिखिए कि एक सिंका हुआ किलोवाट-घंटा पहाड़ को कितना पड़ता है, रास्ते में उसका कितना अंश मर जाता है, और कौन-सी एक तरकीब इसे संभव बनाती है।

हल

हल — समस्या 12.1.

1. हर सेकंड $E_p = mgh = 5.0\times10^{4} \times 9.81 \times 200 = 9.8 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ : उपलब्ध शक्ति $98\,\mathrm{MW}$ ।

2. $0.90 \times 98 = 88\,\mathrm{MW}$ ।

3. $I = P/U = 8.8\times10^{7}/2.0\times10^{4} = 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}$ ।

4. $R_\ell I^2 = 32 \times (4.4\times10^{3})^2 \approx 6.2 \times 10^{8}\,\mathrm{W} = 620\,\mathrm{MW}$ — संयंत्र के उत्पादन का सात गुना: $20\,\mathrm{kV}$ पर संचरण असंभव है।

5. $P = UI$ स्थिर रहते हुए $I$ केवल $U$ बढ़ाने से घटता है: यानी ट्रांसफ़ॉर्मर से।

6. $I = 8.8\times10^{7}/4.0\times10^{5} = 220\,\mathrm{A}$ ।

7. $R_\ell I^2 = 32 \times 220^2 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$ ।

8. $1.6/88 \approx 0.018$ : लगभग $1.8\%$ ।

9. अंश $= R_\ell I^2/P = R_\ell (P/U)^2/P = R_\ell P/U^2 \propto 1/U^2$ : $20\,\mathrm{kV}$ से $400\,\mathrm{kV}$ तक जाने पर वह $20^2 = 400$ से घटता है, और सचमुच $620\,\mathrm{MW}/400 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$ ।

10. $R_\ell I = 32 \times 220 \approx 7.1\,\mathrm{kV}$ : $400\,\mathrm{kV}$ का $1.8\%$ , वही अंश जो प्रश्न 8 में था, क्योंकि $R_\ell I/U = R_\ell I^2/UI$ ।

11. $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ : मीटर खींची गई शक्ति को उस समय से गुणा करता है जितनी देर वह खींची गई, और सब जोड़ता जाता है।

12. $I = 900/230 = 3.9\,\mathrm{A}$ ; $R = U^2/P = 230^2/900 \approx 59\,\Omega$ ।

13. $E = 900 \times 180 = 1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 0.045\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ : लगभग $1.1$ सेंट।

14. $RI^2$ की भौतिकी बिलकुल वही है; फ़र्क़ केवल मक़सद का है — लाइन पर ऊष्मा अनचाही है, टोस्टर में ऊष्मा ही उत्पाद है।

15. $3.9 + 9.6 = 13.5\,\mathrm{A} < 16\,\mathrm{A}$ : टिक जाता है। हीटर $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ : कुल $22.2\,\mathrm{A} > 16\,\mathrm{A}$ , फ़्यूज़ उड़ जाता है।

16. $0.05 \times 13.5^2 = 9.1\,\mathrm{W}$ : पहुँचाई गई शक्ति का $9.1/3100 \approx 0.3\%$ — छोटे तारों पर नगण्य।

17. $\eta = 0.90 \times 0.99 \times 0.982 \times 0.99 \times 0.997 \approx 0.86$ ।

18. एक सिंके हुए किलोवाट-घंटे के लिए ऊपर की ओर $3.6\times10^{6}/0.86 \approx 4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ चाहिए: $m = E/(gh) = 4.2\times10^{6}/(9.81 \times 200) \approx 2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , यानी लगभग $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ पानी।

19. $R_\ell P/U^2 = 32 \times 8.8\times10^{7}/(2.0\times 10^{4})^2 \approx 7$ । $1$ से बड़े “अंश” का अर्थ है कि लाइन उतने से भी अधिक क्षय कर देगी जितना वह ले जाती है: उस विभवांतर पर सुपुर्दगी हो ही नहीं सकती।

20. एक सिंका हुआ किलोवाट-घंटा पहाड़ को लगभग दो टन — $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ — पानी का पड़ता है, जो $200\,\mathrm{m}$ गिरता है, और रास्ते में ऊर्जा का लगभग $14\%$ मर जाता है, ज़्यादातर टरबाइनों और ट्रांसफ़ॉर्मरों में ( $1000\,\mathrm{km}$ लंबी लाइन में $2\%$ से भी कम)। इस सफ़र को संभव बनाने वाली एकमात्र तरकीब ट्रांसफ़ॉर्मर है: $400\,\mathrm{kV}$ तक चढ़ा देने से धारा $20$ से बँट जाती है और जूल-हानि $400$ से।