माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

31मुक्त विद्युत दोलन: RLC

अटारी में पड़े किसी रेडियो का भारी डायल घुमाइए और स्टेशन सुई के सामने से क़तार में गुज़रने लगते हैं: एक आवाज़, वायलिन, खरखराहट, फिर एक आवाज़। पैनल के पीछे न कोई मोटर है न कोई कंप्यूटर — बस एक कुंडली, एक संधारित्र जिसकी गुँथी हुई पट्टियों को डायल घुमाता है, और ऐंटेना के तार का एक टुकड़ा। यह अध्याय पिछले अध्याय की दोनों ऊर्जा-टंकियों (अध्याय 30) को आमने-सामने जोड़ देता है और अब तक बना सबसे तेज़ लोलक खोज निकालता है: आगे-पीछे झूलता आवेश, सेकंड में लाखों बार तक, और लय वही जो डायल चुन ले।

31.1 एक विद्युत लोलक: LC परिपथ

संधारित्र $C$ को $U_0$ के विभवांतर तक आवेशित कीजिए — तब उसकी पट्टियों पर $Q_0 = C U_0$ के साथ $\pm Q_0$ रहता है — और $t = 0$ पर उसे शून्य प्रतिरोध वाली आदर्श कुंडली $L$ पर जोड़ दीजिए। फंदे में कहीं कोई स्रोत नहीं: इसके बाद जो कुछ होगा, परिपथ अपने आप करेगा।

LC परिपथ: Q_0 तक आवेशित संधारित्र, एक स्विच, और एक आदर्श कुंडली। K बंद करते ही आवेश कुंडली से होकर छलक पड़ता है — और बदलाव से चिढ़ती कुंडली उसे रुकने नहीं देगी। — LC परिपथ: $Q_0$ तक आवेशित संधारित्र, एक स्विच, और एक आदर्श कुंडली। $K$ बंद करते ही आवेश कुंडली से होकर छलक पड़ता है — और बदलाव से चिढ़ती कुंडली उसे रुकने नहीं देगी।

प्रतिज्ञप्ति 31.1 (LC समीकरण)

आदर्श LC फंदे में ऊपरी पट्टी का आवेश $q(t)$ यह मानता है:

L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0, \qquad\text{अर्थात्}\qquad \frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q .

उपपत्ति. फंदे भर विभवांतर जुड़कर शून्य हो जाते हैं (प्रतिज्ञप्ति 12.4): $u_L + u_C = 0$ । संधारित्र $u_C = q/C$ देता है और कुंडली $u_L = L\,di/dt$ (परिभाषा 30.10), जहाँ $i = dq/dt$ ऊपरी पट्टी पर पहुँचता आवेश गिनता है (प्रतिज्ञप्ति 30.3); अब प्रतिस्थापित कीजिए। ∎

प्रमेय 31.2 (LC परिपथ के मुक्त दोलन)

$t = 0$ पर $q(0) = Q_0$ और $i(0) = 0$ के साथ छोड़ने पर परिपथ दोलन करने लगता है:

q(t) = Q_0 \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right), \qquad i(t) = -I_0 \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right), \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{LC},

और शिखर धारा $I_0 = 2\pi Q_0/T_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ होती है।

उपपत्ति. प्रतिस्थापन से जाँचिए। अवकलन करने पर $i = dq/dt = -\frac{2\pi}{T_0} Q_0 \sin(2\pi t/T_0)$ — यानी वही $i(t)$ जो कहा गया — और फिर $\frac{d^2q}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 q$ , जो $-q/(LC)$ के ठीक तभी बराबर होता है जब $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$ , यानी $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ । और $q(0) = Q_0$ , $i(0) = 0$ । और यह कि कोई दूसरा फलन इस समीकरण तथा इस शुरुआत पर नहीं बैठता, यह ठीक स्प्रिंग की तरह मान लिया गया है (टिप्पणी 28.9)। ∎

परिभाषा 31.3 (स्वाभाविक आवर्तकाल और आवृत्ति)

किसी LC परिपथ का स्वाभाविक आवर्तकाल $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ है; और उसकी स्वाभाविक आवृत्ति है

f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} .

विमीय जाँच: $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ और $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ , इसलिए $LC$ $\mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ ढोता है — यानी $\sqrt{LC}$ एक समय है, जैसा होना ही चाहिए।

उदाहरण 31.4 (पहली संख्याएँ)

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ के साथ $L = 10\,\mathrm{mH}$ : $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ , इसलिए $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ और $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ — यानी एक सुनाई देता स्वर। और $C = 100\,\mathrm{pF}$ के साथ $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — यानी एक रेडियो आवृत्ति। लय केवल गुणनफल $LC$ तय करता है।

टिप्पणी 31.5 (चौथाई आवर्तकाल की चूक)

धारा आवेश से चौथाई आवर्तकाल की कला पीछे रहती है: $q = \pm Q_0$ होने पर $i = 0$ (पट्टियाँ भरी, बहाव पलटता हुआ) और $q = 0$ होने पर $i = \pm I_0$ (पट्टियाँ ख़ाली, बहाव पूरे ज़ोर पर) — यानी ठीक वही लोलक, जो छोरों पर निश्चल और तल पर सबसे तेज़ रहता है।

मुक्त LC परिपथ का आवेश और धारा: हर बार जब आवेश शून्य पार करता है तब धारा चरम पर होती है, यानी चौथाई आवर्तकाल की चूक के साथ।

31.2 ऊर्जा का वाल्ट्ज़

प्रतिज्ञप्ति 31.6 (संचित ऊर्जा का संरक्षण)

आदर्श LC परिपथ में कुल संचित ऊर्जा (प्रतिज्ञप्ति 30.15)

E \;=\; E_C + E_L \;=\; \frac{q^2}{2C} + \tfrac12\,L i^2 \;=\; \frac{Q_0^2}{2C} \;=\; \tfrac12\,L I_0^2

अचर रहती है: $q = \pm Q_0$ होने पर पूरी की पूरी संधारित्र में, और $i = \pm I_0$ होने पर पूरी की पूरी कुंडली में।

उपपत्ति. अवकलन कीजिए: प्रतिज्ञप्ति 31.1 से $\frac{dE}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} + Li\frac{di}{dt} = i\left(\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2}\right) = 0$ । उसका मान $t = 0$ पर पढ़ा जाता है (पूरा संधारित्र), और फिर पूरी-धारा वाले क्षण $q = 0$ पर — जिससे $\tfrac12 L I_0^2 = Q_0^2/2C$ मिलता है और ऊर्जा भर से $I_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ फिर मिल जाता है। ∎

वाल्ट्ज़ का एक आवर्तकाल: ऊर्जा हर आवर्तकाल में दो बार पट्टियों से कुंडली तक और वापस छलकती है, जबकि योग Q_02/2C पर टँका रहता है — यानी स्प्रिंग–द्रव्यमान दोलित्र का हूबहू चित्र, बस नए नामों के साथ। — वाल्ट्ज़ का एक आवर्तकाल: ऊर्जा हर आवर्तकाल में दो बार पट्टियों से कुंडली तक और वापस छलकती है, जबकि योग $Q_0^2/2C$ पर टँका रहता है — यानी स्प्रिंग–द्रव्यमान दोलित्र का हूबहू चित्र, बस नए नामों के साथ।

उदाहरण 31.7 (वाल्ट्ज़, नापा हुआ)

$U_0 = 10\,\mathrm{V}$ तक आवेशित $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ , $L = 10\,\mathrm{mH}$ पर जोड़ा गया: ऊर्जा $E = \tfrac12 C U_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ , आवर्तकाल $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ , और स्विच बंद होने के चौथाई आवर्तकाल ( $0.16\,\mathrm{ms}$ ) बाद पहुँची शिखर धारा $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.10\,\mathrm{A}$ ।

31.3 असली परिपथ: अवमंदित दोलन

हर असली कुंडली प्रतिरोधी तार से लपेटी जाती है: इसलिए ईमानदार फंदा श्रेणीक्रम वाला RLC परिपथ है, और प्रतिरोध इस वाल्ट्ज़ पर कर लगा देता है।

परिभाषा 31.8 (छद्म-आवर्ती और अनावर्ती व्यवस्थाएँ)

श्रेणीक्रम वाले RLC परिपथ में प्रतिरोधक जूल-तापन से ऊर्जा क्षय कर देता है (अध्याय 12): इसलिए मुक्त दोलन अवमंदित होते हैं। दोलनदर्शी पर पढ़ी जा सकने वाली दो व्यवस्थाएँ:

छद्म-आवर्ती (छोटा $R$ ): परिपथ अब भी सिकुड़ते आवरण के भीतर दोलन करता है, और अवमंदन हलका हो तो दोहराव का समय — छद्म-आवर्तकाल — $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ के पास ही रहता है;
अनावर्ती (बड़ा $R$ ): आवेश बिना कभी छोर पार किए रेंगते हुए शून्य पर लौट आता है — यानी दोलन बिलकुल नहीं।

यह अवमंदित यांत्रिक दोलित्र (परिभाषा 28.12) का हूबहू दर्पण है।

असली RLC परिपथ की दो नियतियाँ: चरघातांकी आवरण (बिंदुदार) के भीतर मरते दोलन, या बिना किसी दोलन के शून्य तक रेंगना। हलके अवमंदन पर छद्म-आवर्तकाल T_0 ही बना रहता है। — असली RLC परिपथ की दो नियतियाँ: चरघातांकी आवरण (बिंदुदार) के भीतर मरते दोलन, या बिना किसी दोलन के शून्य तक रेंगना। हलके अवमंदन पर छद्म-आवर्तकाल $\approx T_0$ ही बना रहता है।

टिप्पणी 31.9 (दोलन बनाए रखना)

आयाम को जीवित रखने के लिए परिपथ को ठीक उतनी ऊर्जा खिलाइए जितनी प्रतिरोध जलाता है, हर चक्र में एक बार और झूले के क़दम से क़दम मिलाकर: प्रवर्धक RLC फंदे के लिए वही करता है जो निर्गम-तंत्र का धक्का लोलक के लिए (अध्याय 28)। हर क्वार्ट्ज़ घड़ी और हर रेडियो प्रेषक ऐसा ही पोषित दोलित्र है, जो अपनी स्वाभाविक आवृत्ति $f_0$ पर चलता है।

31.4 यांत्रिक जुड़वाँ

प्रतिज्ञप्ति 31.10 (विद्युत–यांत्रिक शब्दावली)

LC समीकरण शब्द-दर-शब्द स्प्रिंग–द्रव्यमान समीकरण (प्रतिज्ञप्ति 28.8) ही है:

LC परिपथ		स्प्रिंग–द्रव्यमान फिसलक
[2pt] आवेश $q$	$\longleftrightarrow$	स्थिति $x$
धारा $i = dq/dt$	$\longleftrightarrow$	वेग $v = dx/dt$
प्रेरकत्व $L$	$\longleftrightarrow$	द्रव्यमान $m$
व्युत्क्रम धारिता $1/C$	$\longleftrightarrow$	दृढ़ता $k$
प्रतिरोध $R$	$\longleftrightarrow$	घर्षण
$L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$	$\longleftrightarrow$	$m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$
[2pt] $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$	$\longleftrightarrow$	$T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$
[2pt] $E_C = q^2/2C$	$\longleftrightarrow$	$E_p = \tfrac12 kx^2$
$E_L = \tfrac12 Li^2$	$\longleftrightarrow$	$E_k = \tfrac12 mv^2$

वही समीकरण, वही हल: किसी भी दोलित्र के बारे में हर परिणाम तत्काल दूसरी भाषा में अनूदित हो जाता है।

उपपत्ति. प्रतिज्ञप्ति 31.1 की तुलना $m\,d^2x/dt^2 = -kx$ से कीजिए: $q \to x$ , $L \to m$ , $1/C \to k$ रखने पर एक दूसरे में बदल जाता है, और $LC \to m/k$ $2\pi\sqrt{LC}$ को $2\pi\sqrt{m/k}$ बना देता है। ∎

उदाहरण 31.11 (रेडियो सुर में बिठाना)

ऐंटेना हर स्टेशन की एक फुसफुसाहट LC फंदे में डाल देता है, पर क़दम मिलाकर धक्का देकर बढ़ता केवल वही है जो $f_0$ के पास प्रसारित हो रहा हो — यानी अनुनाद (परिभाषा 28.13)। डायल एक परिवर्ती संधारित्र की पट्टियाँ घुमाता है: $C$ बदलने से $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ खिसक जाता है, और सुई कान को एक बार में एक स्टेशन थमा देती है। और प्रेषण की ओर पोषित दोलित्र (टिप्पणी 31.9) प्रसारण की आवृत्ति तय करता है; घड़ी में यही भूमिका क्वार्ट्ज़ का क्रिस्टल निभाता है — यानी अद्भुत दृढ़ता वाला एक यांत्रिक जुड़वाँ।

31.5 अभ्यास

अभ्यास 31.1 ★

इनके लिए $T_0$ और $f_0$ निकालिए: (क) $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ; (ख) $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{pF}$ । दोनों आवृत्तियाँ कितने गुना भिन्न हैं?

हल

हल — अभ्यास 31.1.

(क) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ , $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ । (ख) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — यानी $\sqrt{10^5} \approx 316$ गुना।

अभ्यास 31.2 ★

$1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ और $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ का उपयोग करते हुए मात्रक-दर-मात्रक दिखाइए कि $\sqrt{LC}$ एक समय है। $2\pi$ से कुछ क्यों नहीं बदलता?

हल

हल — अभ्यास 31.2.

$LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$ , इसलिए $\sqrt{LC}$ सेकंडों में है। $2\pi$ शुद्ध संख्या है — उसमें बदलने को कोई विमा ही नहीं।

अभ्यास 31.3 ★

$470\,\mathrm{nF}$ का संधारित्र $6.0\,\mathrm{V}$ तक आवेशित है। $Q_0$ और संचित ऊर्जा निकालिए; और बिना कोई गणना किए बताइए कि उसे आदर्श कुंडली पर जोड़ने के बाद क्या होता है।

हल

हल — अभ्यास 31.3.

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 = \tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx 8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$ । आवेश $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ पर दोलन करता है, धारा चौथाई आवर्तकाल की कला पीछे रहती है, ऊर्जा पट्टियों और कुंडली के बीच छलकती है, और कुल अचर रहता है।

अभ्यास 31.4 ★

कोई LC परिपथ माइक्रोकूलॉम में $q(t) = 2.0\cos(2\pi t/T_0)$ मानता है, जहाँ $T_0 = 4.0\,\mathrm{ms}$ । $Q_0$ पढ़िए; और $f_0$ , $q(T_0/2)$ , $i(0)$ तथा शिखर धारा $I_0 = 2\pi Q_0/T_0$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 31.4.

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$ ; $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $i(0) = 0$ ( $t=0$ पर कोज्या चपटी है); $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx 3.1\,\mathrm{mA}$ ।

अभ्यास 31.5 ★

चक्र के किन क्षणों पर ऊर्जा पूरी की पूरी संधारित्र में होती है? पूरी की पूरी कुंडली में? लोलक के लिए हर क्षण का यांत्रिक समकक्ष क्या है?

हल

हल — अभ्यास 31.5.

पूरी संधारित्र में तब जब $q = \pm Q_0$ , $i = 0$ ( $t = 0$ , $T_0/2$ , $T_0$ , …): यानी लोलक के छोर। और पूरी कुंडली में तब जब $q = 0$ , $i = \pm I_0$ ( $t = T_0/4$ , $3T_0/4$ , …): यानी लोलक का सबसे निचला, सबसे तेज़ बिंदु।

अभ्यास 31.6 ★★

प्रतिस्थापन से जाँचिए कि $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ को ठीक तभी संतुष्ट करता है जब $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ।

हल

हल — अभ्यास 31.6.

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$ , इसलिए हर $t$ के लिए $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ ठीक तभी बनता है जब $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$ , यानी $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ।

अभ्यास 31.7 ★★

कोई दीर्घ-तरंग स्टेशन $198\,\mathrm{kHz}$ पर प्रसारित करता है। $C = 220\,\mathrm{pF}$ के साथ उसे सुर में बिठाने के लिए कितना प्रेरकत्व चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 31.7.

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times (1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$ ।

अभ्यास 31.8 ★★

$10\,\mathrm{V}$ तक आवेशित $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ $L = 10\,\mathrm{mH}$ में विसर्जित होता है। संचित ऊर्जा, शिखर धारा (ऊर्जा के संरक्षण से), और वह क्षण निकालिए जब वह पहली बार पहुँचती है।

हल

हल — अभ्यास 31.8.

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; $\tfrac12 LI_0^2 = E$ से $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$ मिलता है, जो पहली बार $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms} \approx 0.16\,\mathrm{ms}$ पर पहुँचता है।

अभ्यास 31.9 ★★

समझाइए कि $E_C$ और $E_L$ $f_0$ पर नहीं, $2f_0$ की आवृत्ति पर क्यों दोलन करते हैं। दिखाइए कि $t = T_0/8$ पर ( $q = Q_0$ से शुरू करने पर) ऊर्जा ठीक आधी-आधी बँट जाती है।

हल

हल — अभ्यास 31.9.

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$ , और $\cos^2$ हर आधे चक्कर पर दोहरा जाता है: यानी प्रति आवर्तकाल संधारित्र दो बार भरता है, इसलिए $2f_0$ । और $t = T_0/8$ पर कला $\pi/4$ है: $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$ , इसलिए $E_C = E_L = E/2$ ।

अभ्यास 31.10 ★★

किसी हलके अवमंदित RLC परिपथ के दोलनलेख पर क्रमागत उच्चिष्ठ पहले $4.0\,\mathrm{V}$ और फिर $3.0\,\mathrm{V}$ पढ़े जाते हैं। अनुपात के अचर रहने की कल्पना करते हुए $4.0\,\mathrm{V}$ वाले उच्चिष्ठ के बाद के छठे उच्चिष्ठ का पूर्वानुमान लगाइए। हर छद्म-आवर्तकाल में ऊर्जा का कितना अंश बचता है? और छद्म-आवर्तकाल ख़ुद के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

हल

हल — अभ्यास 31.10.

प्रति छद्म-आवर्तकाल अनुपात $3.0/4.0 = 0.75$ : छठा उच्चिष्ठ $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$ । ऊर्जा आयाम के वर्ग के $\propto$ है: हर आवर्तकाल में $0.75^2 \approx 56\%$ बचता है। और छद्म-आवर्तकाल $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ही बना रहता है: हलका अवमंदन आयाम सिकोड़ता है, लय मुश्किल से।

अभ्यास 31.11 ★★

किसी LC परिपथ में $L = 0.50\,\mathrm{H}$ और $C = 20\,\text{µ}\mathrm{F}$ हैं। $T_0$ निकालिए; फिर शब्दावली (प्रतिज्ञप्ति 31.10) का उपयोग करके वह दृढ़ता $k$ निकालिए जो $0.50\,\mathrm{kg}$ के फिसलक को वही आवर्तकाल दे, और उसे जाँच लीजिए।

हल

हल — अभ्यास 31.11.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times 3.16 \times 10^{-3} \approx 20\,\mathrm{ms}$ । शब्दावली: $k = m/(LC) = 0.50/1.0 \times 10^{-5} = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; जाँच $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — यानी वही $20\,\mathrm{ms}$ ।

अभ्यास 31.12 ★★★

कोई ट्यूनर $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ और $50\text{ to }500\,\mathrm{pF}$ तक बहता परिवर्ती संधारित्र इस्तेमाल करता है। दोनों छोर की आवृत्तियाँ निकालिए। दिखाइए कि $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ , इसलिए $C$ में दस गुना बदलाव आवृत्ति में केवल $\sqrt{10} \approx 3.2$ देता है।

हल

हल — अभ्यास 31.12.

$C = 500\,\mathrm{pF}$ : $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ ; $C = 50\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$ । नियत $L$ पर $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ : $C$ दस गुना, पर $f_0$ में केवल $\sqrt{10} \approx 3.2$ — जैसा मिला।

अभ्यास 31.13 ★★★

कोई असली कुंडली परिपथ को हर छद्म-आवर्तकाल में उसकी ऊर्जा का $5.0\%$ गँवा देती है। कितने आवर्तकालों के बाद ऊर्जा आधी रह जाती है? तब आयाम शुरुआत के कितने अंश के बराबर है? $f_0 = 1.0\,\mathrm{MHz}$ पर यह माइक्रोसेकंडों में कितना है?

हल

हल — अभ्यास 31.13.

$0.95^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$ , इसलिए लगभग $14$ आवर्तकाल। आयाम $\propto \sqrt{E}$ : यानी शुरुआत का $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ । $1.0\,\mathrm{MHz}$ पर $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : लगभग $14\,\text{µ}\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 31.14 ★★★

घड़ी का कोई दोलित्र $E = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J}$ संचित रखता है और $f_0 = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ पर प्रति चक्र उसका $2.0\%$ गँवा देता है। पोषक परिपथ को औसतन कितनी शक्ति देनी होगी? धक्के को दोलन के क़दम से क़दम मिलाकर ही क्यों आना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 31.14.

प्रति चक्र हानि $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ , और प्रति सेकंड $32\,768$ चक्र: $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11} \approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — यानी एक माइक्रोवाट से भी कम, और किसी बटन-सेल पर सालों। क़दम मिलाकर इसलिए, कि ऊर्जा केवल ठीक कला पर आया धक्का ही जोड़ता है (अनुनाद); क़दम से उतरा धक्का झूले पर ब्रेक लगा देता।

अभ्यास 31.15 ★★★

किसी वर्गाकार संकेत के हर किनारे के बाद प्रयोगकर्ता की तारबंदी $25\,\mathrm{MHz}$ पर “झनझनाती” है; और आवारा प्रेरकत्व लगभग $1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ है। ज़िम्मेदार आवारा धारिता का अनुमान लगाइए। श्रेणीक्रम में जोड़ा गया कोई छोटा प्रतिरोधक परिपथ को किस व्यवस्था में धकेलना चाहिए, और उससे झनझनाहट का इलाज क्यों हो जाता है?

हल

हल — अभ्यास 31.15.

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times (2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$ । प्रतिरोधक को फंदे को अनावर्ती व्यवस्था में धकेलना चाहिए: तब आवेश बिना छोर पार किए बैठ जाता है — न दोलन, न झनझनाहट।

31.6 समस्या: क्रिस्टल रेडियो बनाना

समस्या 31.1

सप्ताहांत समस्या — क्रिस्टल रेडियो बनाना: एक कुंडली, एक परिवर्ती संधारित्र, एक डायोड और एक कान का यंत्र — न बैटरी, न प्रवर्धक, और शाम का समाचार ख़ुद तरंग की ऊर्जा पर चला आता है

दादा-दादी की अटारी से मिली एक किट: गत्ते की नली पर लपेटी $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ की कुंडली, ऐसा परिवर्ती संधारित्र जिसकी पट्टियाँ $20\,\mathrm{pF}$ से $480\,\mathrm{pF}$ तक घूमती हैं, एक क्रिस्टल डायोड, कान का एक यंत्र, और $20\,\mathrm{m}$ ऐंटेना का तार। पकड़े जाने वाले स्टेशन $530\,\mathrm{kHz}$ और $1700\,\mathrm{kHz}$ के बीच प्रसारित करते हैं।

भाग I — सुर बिठाने वाला फंदा।

आवेशित संधारित्र को कुंडली में विसर्जित होने दिया जाता है: फंदा-नियम लिखिए और उसे $q(t)$ के अवकल समीकरण में बदलिए।
प्रतिस्थापन से जाँचिए कि $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ उसे हल कर देता है, बशर्ते $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ।
विमीय विश्लेषण से जाँचिए कि $\sqrt{LC}$ एक समय है।
डायल $C = 330\,\mathrm{pF}$ पर: $T_0$ और $f_0$ निकालिए। क्या फंदा उस पट्टी के भीतर सुर में है?
वह धारिता निकालिए जो ठीक $1.00\,\mathrm{MHz}$ पर सुर बिठा दे।

भाग II — परिवर्ती संधारित्र।

$530\,\mathrm{kHz}$ के लिए ज़रूरी धारिता निकालिए।
$1700\,\mathrm{kHz}$ के लिए ज़रूरी धारिता निकालिए।
किट के $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ वाले संधारित्र से असल में मिलती दोनों आवृत्तियाँ निकालिए। क्या वह पूरी पट्टी ढक लेता है?
दिखाइए कि नियत $L$ पर $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ ; $f_0$ दुगुना करने के लिए $C$ को कितने गुना बदलना पड़ेगा?
पट्टियाँ रैखिक रूप से खुलती हैं, इसलिए डायल घूमने के साथ $C$ एकसार गिरता है। समझाइए कि तब स्टेशन डायल के एक ही सिरे पर क्यों भीड़ लगा लेते हैं — और किस सिरे पर।

भाग III — ऊर्जा और अवमंदन। $1.00\,\mathrm{MHz}$ ( $C = 127\,\mathrm{pF}$ ) पर सुर में बिठाने पर ऐंटेना पल भर के लिए संधारित्र को $U_0 = 20\,\mathrm{mV}$ तक आवेशित कर देता है।

आवेश $Q_0$ और संचित ऊर्जा $E$ निकालिए।
ऊर्जा के संरक्षण से शिखर धारा $I_0$ निकालिए।
कुंडली का प्रतिरोध प्रति चक्र संचित ऊर्जा का $4.0\%$ क्षय कर देता है: कितने चक्रों के बाद ऊर्जा आधी रह जाती है?
यह माइक्रोसेकंडों में कितना है? अकेली यह “झनझनाहट” शाम का समाचार क्यों नहीं बजा सकती?
समझाइए कि आती हुई तरंग फंदे को केवल तभी झुलाए रखती है जब वह उसी स्टेशन पर सुर में हो — और प्रेषक पर दोलन को कौन बनाए रखता है (टिप्पणी 31.9)।

भाग IV — यांत्रिक जुड़वाँ।

शब्दावली (प्रतिज्ञप्ति 31.10) और द्रव्यमान $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ के फिसलक के साथ वह दृढ़ता $k$ निकालिए जो सुर में बिठाए गए परिपथ से मेल खाए।
कार की किसी कड़ी स्प्रिंग का $k \approx 5 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ होता है। टिप्पणी कीजिए: क्या मेज़ पर रखा कोई स्प्रिंग–द्रव्यमान निकाय मेगाहर्ट्ज़ पर दोलन कर सकता है?
इसके बजाय एक तर्कसंगत $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ रखिए: $1.00\,\mathrm{MHz}$ पर कौन-सा द्रव्यमान दोलन करेगा?
इतना हलका और इतना कड़ा यांत्रिक दोलित्र असल में कौन-सी चीज़ है, और इसी वर्ष आप उससे पहले कहाँ मिले थे (अध्याय 28)?
विवरण-पत्रक, एक वाक्य में: आपका रेडियो कौन-सी पट्टी बुहारता है, कौन-सी धारिता $1.00\,\mathrm{MHz}$ चुनती है, अकेली एक झनझनाहट कितनी देर टिकती है, और फिर भी समाचार बजता कैसे है।

हल

हल — समस्या 31.1.

1. फंदा-नियम: $u_L + u_C = 0$ , जहाँ $u_C = q/C$ , $u_L = L\,di/dt$ , $i = dq/dt$ : $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ ।

2. $d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2 q$ , इसलिए समीकरण $q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ पढ़ता है, जो हर $t$ के लिए ठीक तभी सही है जब $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ।

3. $LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — यानी $\sqrt{LC}$ एक समय है।

4. $LC = 6.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $T_0 = 2\pi \times 2.57 \times 10^{-7} \approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 620\,\mathrm{kHz}$ — यानी $530\text{ to }1700\,\mathrm{kHz}$ के भीतर।

5. $C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times 1.0 \times 10^{12} \times 2.0 \times 10^{-4}} \approx 127\,\mathrm{pF}$ ।

6. $530\,\mathrm{kHz}$ पर वही सूत्र: $C \approx 451\,\mathrm{pF}$ ।

7. $1700\,\mathrm{kHz}$ पर: $C \approx 44\,\mathrm{pF}$ ।

8. $C = 480\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 514\,\mathrm{kHz}$ ; $C = 20\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 2.5\,\mathrm{MHz}$ — यानी पूरी पट्टी, और दोनों सिरों पर हाशिया भी।

9. $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1}C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ ; $f_0$ दुगुना करने के लिए $C$ को $4$ से भाग देना पड़ेगा।

10. चूँकि $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ , $C$ के बराबर क़दम बड़े $C$ पर $f_0$ को धीरे और छोटे $C$ पर तेज़ खिसकाते हैं: इसलिए स्टेशनों के बीच का दिया हुआ अंतर डायल पर थोड़ी-सी ही यात्रा लेता है — और वे ऊँची आवृत्ति वाले (कम $C$ वाले) सिरे पर भीड़ लगा लेते हैं।

11. $Q_0 = CU_0 = 1.27 \times 10^{-10} \times 0.020 \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$ ।

12. $\tfrac12 LI_0^2 = E$ : $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.020\sqrt{6.35 \times 10^{-7}} \approx 16\,\text{µ}\mathrm{A}$ ।

13. $0.96^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.96\rvert \approx 17$ चक्र।

14. $1.00\,\mathrm{MHz}$ पर $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : यानी झनझनाहट लगभग $17\,\text{µ}\mathrm{s}$ में आधी रह जाती है। अकेली झनझनाहट माइक्रोसेकंडों में मर जाती है; संगीत के लिए फंदे को लगातार खिलाना पड़ता है।

15. तरंग प्रति सेकंड लाखों बार धक्का देती है; पर उसकी आवृत्ति $f_0$ से मिलती हो तभी वे धक्के क़दम मिलाकर आते हैं और झूला बढ़ता है — यानी अनुनाद; सुर से हटे स्टेशन उसके पक्ष में जितनी बार धकेलते हैं, विपक्ष में भी उतनी बार। और प्रेषक पर कोई प्रवर्धक हर चक्र में क्षय हुई ऊर्जा लौटा देता है: यानी पोषित दोलित्र।

16. $LC = 2.54 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $k = m/(LC) = 0.20/2.54 \times 10^{-14} \approx 7.9 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ।

17. कार की स्प्रिंग का लगभग $10^8$ गुना: मेज़ पर रखा कोई स्प्रिंग–द्रव्यमान निकाय मेगाहर्ट्ज़ तक नहीं पहुँचता — रोज़मर्रा की दृढ़ताएँ और द्रव्यमान निराशाजनक रूप से सुस्त हैं।

18. $m = \dfrac{k}{(2\pi f_0)^2} = \dfrac{100} {(6.28 \times 10^{6})^2} \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ — यानी कुछ नैनोग्राम, धूल का एक कण।

19. क्वार्ट्ज़ का क्रिस्टल: पंख-सा हलका, बेहद कड़ा एक पत्तर जो अपनी स्वाभाविक आवृत्ति पर गाता है — यानी वही समय-रक्षक जिससे इसी वर्ष पहले भेंट हुई थी।

20. $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ और $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ के साथ फंदा लगभग $0.51\text{ to }2.5\,\mathrm{MHz}$ बुहारता है और पूरी पट्टी ढक लेता है; $C \approx 127\,\mathrm{pF}$ $1.00\,\mathrm{MHz}$ चुनता है; अकेली छोड़ी गई झनझनाहट $\approx 17\,\text{µ}\mathrm{s}$ में आधी रह जाती है, पर स्टेशन की अपनी तरंग अनुनाद में क़दम मिलाकर फंदे को फिर-फिर भरती रहती है — और समाचार ख़ुद तरंग की ऊर्जा पर बजता रहता है।