माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

14विद्युत और गुरुत्वीय क्षेत्र

पृथ्वी सेब को छुए बिना खींचती कैसे है? दूरी पर होती क्रिया को स्वयं न्यूटन ने “इतनी बड़ी बेतुकी बात” कहा था कि उसका बचाव करने से इनकार कर दिया। आधुनिक उत्तर यह है: कोई द्रव्यमान या आवेश अपने चारों ओर की जगह को बदल देता है — वह एक क्षेत्र रचता है — और वहाँ जो कुछ रखा जाए, वह ठीक अपनी जगह के क्षेत्र के अनुसार प्रतिक्रिया करता है। हम दोनों बड़े उदाहरण साथ-साथ खड़े करेंगे, तब तक, जब तक यह सादृश्य रूप की पहचान न बन जाए।

14.1 दूरी पर क्रिया से क्षेत्र तक

परिभाषा 14.1 (क्षेत्र)

क्षेत्र अवकाश के हर बिंदु को एक सदिश सौंप देता है। कोई स्रोत (आवेश, द्रव्यमान) अपने चारों ओर हर जगह अपना क्षेत्र रचता है, चाहे उसे महसूस करने वाला वहाँ कुछ हो या न हो; और फिर कोई परीक्षण वस्तु केवल अपनी जगह के क्षेत्र से तय हुआ बल महसूस करती है। दो क़दमों का यही चित्र दूरी पर होती क्रिया की जगह ले लेता है।

टिप्पणी 14.2

क्षेत्र कोई बहीखाते की चाल नहीं है: वह ऊर्जा ढोता है, और स्रोत में हुए बदलाव उसी के भीतर से सीमित चाल पर बाहर की ओर चलते हैं — प्रकाश स्वयं ऐसा ही चलता हुआ क्षेत्र है (अध्याय 22)। यहाँ हम ऐसे क्षेत्र पढ़ेंगे जो समय के साथ नहीं बदलते।

14.2 विद्युत क्षेत्र

परिभाषा 14.3 (विद्युत क्षेत्र)

यदि बिंदु $M$ पर रखा छोटा परीक्षण आवेश $q$ विद्युत बल $\vect F$ महसूस करता है, तो $M$ पर विद्युत क्षेत्र है

\vect E = \frac{\vect F}{q} \qquad \text{($\mathrm{N}/\mathrm{C}$ में, इसे $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ भी लिखते हैं)}.

$\vect E$ केवल स्रोतों और $M$ पर निर्भर करता है, परीक्षण आवेश पर नहीं: $q$ दुगुना करने पर $\vect F$ भी दुगुना हो जाता है और भागफल वही रहता है।

प्रतिज्ञप्ति 14.4 (आवेश पर बल)

जहाँ क्षेत्र $\vect E$ है, वहाँ रखा आवेश $q$ बल $\vect F = q \vect E$ महसूस करता है: $q > 0$ हो तो $\vect E$ के अनुदिश, $q < 0$ हो तो $\vect E$ के विपरीत, और परिमाण $F = \abs{q}\,E$ ।

उपपत्ति. परिभाषा को फिर से लिखिए; चिह्न का नियम ऋणात्मक गुणज का बीजगणित भर है। ∎

उदाहरण 14.5 (क्षेत्र पढ़ना)

$M$ पर रखा परीक्षण आवेश $q = +2.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ पूरब की ओर संकेत करता $6.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}$ का बल महसूस करता है। $M$ पर क्षेत्र है $E = 6.0 \times 10^{-4} / 2.0 \times 10^{-8} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ , पूरब की ओर; उसी बिंदु पर रखा $q' = -1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ $F = 1.0 \times 10^{-8} \times 3.0 \times 10^{4} = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}$ महसूस करता है — पश्चिम की ओर।

प्रतिज्ञप्ति 14.6 (बिंदु आवेश का क्षेत्र)

बिंदु आवेश $Q$ दूरी $d$ पर आवेश और बिंदु को जोड़ती रेखा के अनुदिश एक क्षेत्र रचता है — $Q > 0$ हो तो $Q$ से बाहर की ओर, $Q < 0$ हो तो उसकी ओर — जिसका परिमाण है

E = k\,\frac{\abs{Q}}{d^2}, \qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.

उपपत्ति. कूलॉम का नियम (अध्याय 13) दूरी $d$ पर रखे परीक्षण आवेश $q$ पर लगता बल देता है: परिमाण $k \abs{qQ} / d^2$ , जोड़ती रेखा के अनुदिश, और समान चिह्नों के लिए प्रतिकर्षी। $q$ से भाग दीजिए और प्रतिज्ञप्ति 14.4 लगा दीजिए। ∎

उदाहरण 14.7 (एक आवेशित गोला)

वान डे ग्राफ़ का गोला $Q = +5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}$ रखता है (छोटा आवेशित गोला अपने केंद्र पर रखे बिंदु आवेश जैसा बरतता है)। $d = 0.50\,\mathrm{m}$ पर:

E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-7} / 0.50^2 \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C},

जो गोले से त्रिज्यीय दिशा में बाहर की ओर संकेत करता है। $1.0\,\mathrm{m}$ पर वह गिरकर इसका चौथाई रह जाता है: बल का $1/d^2$ क्षेत्र में भी बचा रहता है।

परिभाषा 14.8 (क्षेत्र रेखाएँ)

क्षेत्र रेखा वह वक्र है जो हर जगह क्षेत्र के स्पर्शी हो, और उस पर लगा तीर क्षेत्र की दिशा बताता है। तीन नियम:

वे धनात्मक आवेशों से निकलती हैं और ऋणात्मक आवेशों पर पहुँचती हैं;
जहाँ रेखाएँ सटती हैं वहाँ क्षेत्र प्रबल है; जहाँ फैलती हैं, दुर्बल;
दो रेखाएँ कभी नहीं कटतीं: हर बिंदु पर क्षेत्र की एक ही दिशा होती है।

बिंदु आवेश की क्षेत्र रेखाएँ: + से त्रिज्यीय दिशा में बाहर, - में भीतर; आवेश के पास रेखाओं का सटना क्षेत्र की 1/d2 वृद्धि का चित्र है। — बिंदु आवेश की क्षेत्र रेखाएँ: $+$ से त्रिज्यीय दिशा में बाहर, $-$ में भीतर; आवेश के पास रेखाओं का सटना क्षेत्र की $1/d^2$ वृद्धि का चित्र है।

14.3 संधारित्र का एकसमान क्षेत्र

परिभाषा 14.9 (समांतर-पट्ट संधारित्र)

आमने-सामने रखी धातु की दो समांतर पट्टियाँ, जो पास-पास हों और विपरीत आवेश रखती हों, संधारित्र बनाती हैं। पट्टियों के बीच क्षेत्र एकसमान रहता है: हर जगह वही परिमाण और वही दिशा — पट्टियों के लंबवत, धनात्मक पट्टी से ऋणात्मक पट्टी की ओर।

प्रतिज्ञप्ति 14.10 (पट्टियों के बीच का क्षेत्र)

यदि पट्टियों के बीच का विभवांतर (अध्याय 12) $U$ हो और उनके बीच का अंतराल $d$ , तो उनके बीच क्षेत्र का परिमाण है

E = \frac{U}{d} \qquad \text{($\mathrm{V}/\mathrm{m}$ में)}.

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 14.11

एकसमानता और $E = U/d$ दोनों वर्ष 1 के खंड में ईमानदारी से निकाले गए हैं; सूत्र से मात्रक $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ समझ में आ जाता है। पतले अंतराल प्रबल क्षेत्र बनाते हैं: एक मिलीमीटर पर $100\,\mathrm{V}$ ही $10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ है।

उदाहरण 14.12 (इलेक्ट्रॉन-पुंज को मोड़ना)

दोलनदर्शी में पुंज ऐसी पट्टियों के बीच से गुज़रता है जिन पर $U = 100\,\mathrm{V}$ और $d = 5.0\,\mathrm{mm}$ हैं: $E = 100 / 5.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , और हर इलेक्ट्रॉन धनात्मक पट्टी की ओर $F = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{4} = 3.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{N}$ महसूस करता है — यानी $8.9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}$ वाले अपने भार का $4 \times 10^{14}$ गुना, इसलिए पुंज साफ़ दिखता हुआ मुड़ जाता है (मुड़े हुए पथ का हिसाब अध्याय 25 का काम है)।

संधारित्र का एकसमान क्षेत्र: + पट्टी से - पट्टी तक बराबर दूरी पर खिंची समांतर रेखाएँ, E = U/d; धनात्मक आवेश क्षेत्र के अनुदिश धकेला जाता है, ऋणात्मक उसके विरुद्ध। — संधारित्र का एकसमान क्षेत्र: $+$ पट्टी से $-$ पट्टी तक बराबर दूरी पर खिंची समांतर रेखाएँ, $E = U/d$ ; धनात्मक आवेश क्षेत्र के अनुदिश धकेला जाता है, ऋणात्मक उसके विरुद्ध।

14.4 गुरुत्वीय क्षेत्र

परिभाषा 14.13 (गुरुत्वीय क्षेत्र)

यदि किसी बिंदु पर रखा परीक्षण द्रव्यमान $m$ गुरुत्वाकर्षण बल (यानी भार) $\vect P$ महसूस करता है, तो वहाँ गुरुत्वीय क्षेत्र है

\vect g = \frac{\vect P}{m} \qquad \text{($\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ में)},

और उलटे, $\vect P = m \vect g$ । पिछले किसी अध्याय ने संख्या $g$ दी थी; $\vect g$ उसमें वह दिशा जोड़ देता है जिधर छोड़ा हुआ पत्थर चलना शुरू करता है।

प्रतिज्ञप्ति 14.14 (पृथ्वी का क्षेत्र)

पृथ्वी के केंद्र (द्रव्यमान $M$ ) से दूरी $d$ पर गुरुत्वीय क्षेत्र केंद्र की ओर संकेत करता है और उसका परिमाण है

g = G\,\frac{M}{d^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.

उपपत्ति. सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण (अध्याय 4) परीक्षण द्रव्यमान $m$ पर लगता बल देता है: परिमाण $G M m / d^2$ , केंद्र की ओर; $m$ से भाग दीजिए। सतह पर $d = R$ होता है और यही पिछले अध्याय का $g = GM/R^2 \approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ है। ∎

उदाहरण 14.15 (जहाँ चंद्रमा रहता है, वहाँ का क्षेत्र)

चंद्रमा की दूरी $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ पर:

g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (3.84 \times 10^{8})^2 \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.

पृथ्वी का क्षेत्र कहीं ख़त्म नहीं होता — वह बस पतला पड़ता जाता है, $1/d^2$ के हिसाब से; यही क्षेत्र चंद्रमा को उसकी कक्षा पर थामे रखता है।

टिप्पणी 14.16 (सतह के पास एकसमान)

प्रयोगशाला भर पर, बल्कि पहाड़ भर पर भी, $d$ $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ की तुलना में मुश्किल से बदलता है, इसलिए $\vect g$ बहुत अच्छी परिशुद्धता तक एकसमान है: ऊर्ध्वाधर रेखाएँ, अचर $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — पृथ्वी का क्षेत्र संधारित्र जैसा दिखने लगता है, ठीक जैसे गोल पृथ्वी बग़ीचे से चपटी दिखती है।

पृथ्वी का गुरुत्वीय क्षेत्र: त्रिज्यीय, केंद्र की ओर संकेत करता, परिमाण GM/d2 — ऋणात्मक बिंदु आवेश के क्षेत्र का हूबहू चित्र। — पृथ्वी का गुरुत्वीय क्षेत्र: त्रिज्यीय, केंद्र की ओर संकेत करता, परिमाण $GM/d^2$ — ऋणात्मक बिंदु आवेश के क्षेत्र का हूबहू चित्र।

14.5 एक विचार, दो बल

इस अध्याय के दोनों क्षेत्र दो पोशाकों में एक ही गणित हैं:

	विद्युत	गुरुत्वीय
स्रोत	आवेश $Q$	द्रव्यमान $M$
क्षेत्र	$\vect E = \vect F / q$	$\vect g = \vect P / m$
मात्रक	$\mathrm{N}/\mathrm{C}$ = $\mathrm{V}/\mathrm{m}$	$\mathrm{N}/\mathrm{kg}$
बिंदु स्रोत	$E = k \abs{Q} / d^2$	$g = G M / d^2$
अचर	$k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$	$G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$
परीक्षण वस्तु पर बल	$\vect F = q \vect E$	$\vect P = m \vect g$
क्षेत्र रेखाएँ	$+$ से बाहर, $-$ में भीतर	सदा द्रव्यमान की ओर

बाईं ओर का हर सूत्र $q \leftrightarrow m$ , $\vect E \leftrightarrow \vect g$ , $k \leftrightarrow G$ की शब्दावली रखते ही दाईं ओर वाला बन जाता है।

टिप्पणी 14.17 (सादृश्य कहाँ टूटता है)

आवेश दो चिह्नों में आता है; द्रव्यमान एक ही में। इसलिए विद्युत क्षेत्र काटे जा सकते हैं: धातु के डिब्बे के आवेश फिर से जमकर उसके भीतर हर बाहरी क्षेत्र को मिटा देते हैं (यही फैराडे पिंजरा है — इसीलिए लिफ़्ट में आपके फ़ोन का संकेत मर जाता है), और थोक पदार्थ, जिसमें $+$ और $-$ बराबर हैं, विद्युत् की दृष्टि से चुप रहता है। गुरुत्व को न ढका जा सकता है न उदासीन किया जा सकता है: हर किलोग्राम अपना खिंचाव जोड़ देता है — और इसीलिए $10^{39}$ गुना कमज़ोर बल (अभ्यास 14.10) बड़े पैमानों पर ब्रह्मांड को चलाता है।

14.6 अभ्यास

अभ्यास 14.1 ★

बिंदु $M$ पर रखा परीक्षण आवेश $q = +2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ उत्तर की ओर संकेत करता $5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$ का बल महसूस करता है। $M$ पर क्षेत्र (परिमाण और दिशा) बताइए, फिर $M$ पर रखे $q' = -4.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ पर लगता बल।

हल

हल — अभ्यास 14.1.

$E = 5.0 \times 10^{-3} / 2.0 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ , उत्तर की ओर। $q'$ पर: $F = 4.0 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{3} = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}$ , दक्षिण की ओर ( $q' < 0$ )।

अभ्यास 14.2 ★

बिंदु आवेश $Q = +5.0\,\mathrm{nC}$ $O$ पर रखा है।

$d = 30\,\mathrm{cm}$ पर क्षेत्र निकालिए: परिमाण, दिशा।
किस दूरी पर क्षेत्र आधा रह जाता है?

हल

हल — अभ्यास 14.2.

1. $E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-9} / 0.30^2 \approx 5.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ , $O$ से दूर की ओर ( $Q > 0$ )।

2. $k\abs{Q}/d^2$ आधा करने के लिए $d^2$ दुगुना चाहिए: $d' = 0.30\sqrt{2} \approx 0.42\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 14.3 ★

किसी संधारित्र की $3.0\,\mathrm{mm}$ दूर रखी पट्टियों पर $U = 600\,\mathrm{V}$ है। क्षेत्र निकालिए, फिर वहाँ एक इलेक्ट्रॉन पर लगता बल ( $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ )।

हल

हल — अभ्यास 14.3.

$E = 600 / 3.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $F = eE = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{5} = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ ।

अभ्यास 14.4 ★

मंगल पर $250\,\mathrm{kg}$ के किसी यान का भार $930\,\mathrm{N}$ है। मंगल की सतह का क्षेत्र $g_{\text{मंगल}}$ निकालिए, फिर वहाँ $80\,\mathrm{kg}$ के अंतरिक्ष यात्री का भार।

हल

हल — अभ्यास 14.4.

$g_{\text{मंगल}} = P/m = 930/250 = 3.7\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ । अंतरिक्ष यात्री: $P = 80 \times 3.72 \approx 3.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ (पृथ्वी पर लगभग $780\,\mathrm{N}$ )।

अभ्यास 14.5 ★

सही या ग़लत, हर एक के लिए एक कारण के साथ: (क) जहाँ क्षेत्र प्रबल हो, वहाँ दो क्षेत्र रेखाएँ कट सकती हैं; (ख) क्षेत्र रेखाएँ ऋणात्मक आवेशों से निकलती हैं और धनात्मक आवेशों पर पहुँचती हैं; (ग) सटी हुई क्षेत्र रेखाएँ प्रबल क्षेत्र का संकेत हैं।

हल

हल — अभ्यास 14.5.

(क) ग़लत: हर बिंदु पर क्षेत्र की एक ही दिशा होती है, इसलिए रेखाएँ कभी नहीं कटतीं। (ख) ग़लत: वे $+$ से निकलती हैं और $-$ पर पहुँचती हैं। (ग) सही: सटना ही प्रबलता का संकेत है।

अभ्यास 14.6 ★★

अंतरराष्ट्रीय अंतरिक्ष स्थानक $420\,\mathrm{km}$ की ऊँचाई पर कक्षा में घूमता है ( $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ )।

स्थानक पर $g$ निकालिए; यह सतह के मान का कितना अंश है?
अंतरिक्ष यात्री तैरते हैं। एक वाक्य में अपने उत्तर से इसका मेल बिठाइए।

हल

हल — अभ्यास 14.6.

1. $d = 6.37 \times 10^{6} + 4.2 \times 10^{5} = 6.79 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , इसलिए $g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (6.79 \times 10^{6})^2 \approx 8.6\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — सतह के मान का $88\%$ ।

2. वे इसलिए तैरते हैं कि स्थानक और यात्री साथ-साथ गिर रहे हैं (मुक्त पतन), इसलिए नहीं कि गुरुत्व नहीं है।

अभ्यास 14.7 ★★

किस परिमाण का क्षेत्र एक इलेक्ट्रॉन के भार ( $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ) को संतुलित कर देगा? उदाहरण 14.12 के $2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ से तुलना कीजिए; और इलेक्ट्रॉन की भौतिकी में गुरुत्व की जगह पर निष्कर्ष लिखिए।

हल

हल — अभ्यास 14.7.

$E = m_e g / e = 9.11 \times 10^{-31} \times 9.81 / 1.60 \times 10^{-19} \approx 5.6 \times 10^{-11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ : दोलनदर्शी के क्षेत्र से लगभग $4 \times 10^{14}$ गुना कमज़ोर। इलेक्ट्रॉन की भौतिकी में गुरुत्व पूरी तरह नगण्य है।

अभ्यास 14.8 ★★

$2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान का धूल का एक कण $2.0\,\mathrm{cm}$ दूर रखी क्षैतिज पट्टियों के बीच विराम में तैरता है, और पट्टियों पर $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ है।

क्षेत्र निकालिए, फिर कण के आवेश का परिमाण।
कण का आवेश धनात्मक है: कौन-सी पट्टी धनात्मक है?
कण कितने मूल आवेश रखता है?

हल

हल — अभ्यास 14.8.

1. $E = 5.0 \times 10^{3} / 2.0 \times 10^{-2} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; विराम में $qE = mg$ , इसलिए $q = 2.0 \times 10^{-6} \times 9.81 / 2.5 \times 10^{5} \approx 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}$ ।

2. धनात्मक कण पर बल ऊपर की ओर होना चाहिए, इसलिए $\vect E$ ऊपर की ओर है: नीचे वाली पट्टी धनात्मक है।

3. $n = 7.85 \times 10^{-11} / 1.60 \times 10^{-19} \approx 4.9 \times 10^{8}$ मूल आवेश।

अभ्यास 14.9 ★★

आवेश $+Q$ और $+4Q$ $30\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर हैं। उन्हें जोड़ते रेखाखंड पर किस जगह कुल क्षेत्र शून्य है? पहले समझाइए कि वह बिंदु दोनों आवेशों के बीच ही क्यों होगा, और छोटे वाले के पास क्यों।

हल

हल — अभ्यास 14.9.

रेखाखंड के बाहर दोनों क्षेत्र एक ही ओर संकेत करते हैं; बीच में वे एक-दूसरे के विरुद्ध हैं — और संतुलन के लिए वह बिंदु कमज़ोर स्रोत $+Q$ के पास चाहिए। $+Q$ तक की दूरी को $x$ मानने पर: $kQ/x^2 = 4kQ/(0.30 - x)^2$ , इसलिए $0.30 - x = 2x$ और $+Q$ से $x = 0.10\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 14.10 ★★

हाइड्रोजन के परमाणु में प्रोटॉन ( $m_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , आवेश $+e$ ) और इलेक्ट्रॉन ( $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , आवेश $-e$ ) $d = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ की दूरी पर हैं। उनके बीच का विद्युत बल और गुरुत्वाकर्षण बल तथा उनका अनुपात निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 14.10.

$F_e = ke^2/d^2 = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ ; $F_g = G m_p m_e / d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31} / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}$ । अनुपात $F_e / F_g \approx 2.3 \times 10^{39}$ ।

अभ्यास 14.11 ★★

बिंदु $M$ पर अकेला एक स्रोत पूरब की ओर $300\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ का क्षेत्र बनाता; दूसरा अकेला, उत्तर की ओर $400\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ का। क्षेत्र सदिशों की तरह जुड़ते हैं: $M$ पर कुल क्षेत्र (परिमाण और दिशा) बताइए, फिर वहाँ रखे $q = -2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ पर लगता बल।

हल

हल — अभ्यास 14.11.

$E = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ , पूरब से $\tan^{-1}(400/300) \approx 53{}^{\circ}$ उत्तर की ओर। $q < 0$ पर: $F = 2.0 \times 10^{-6} \times 500 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$ , क्षेत्र के विपरीत — पश्चिम से $53{}^{\circ}$ दक्षिण की ओर।

अभ्यास 14.12 ★★★

किस ऊँचाई पर पृथ्वी का क्षेत्र गिरकर सतह के मान का आधा रह जाता है? और $h = R$ की ऊँचाई पर कितना अंश?

हल

हल — अभ्यास 14.12.

$GM/(R+h)^2 = \tfrac12\,GM/R^2$ से $R + h = R\sqrt{2}$ मिलता है, इसलिए $h = (\sqrt{2} - 1)R \approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (लगभग $2600\,\mathrm{km}$ )। $h = R$ पर $d = 2R$ : सतह के मान का चौथाई।

अभ्यास 14.13 ★★★

$+2.0\,\mathrm{nC}$ के आवेश $A$ और $B$ पर रखे हैं, आपस में $6.0\,\mathrm{cm}$ दूर। $M$ $[AB]$ के लंब समद्विभाजक पर है, उसके मध्यबिंदु से $4.0\,\mathrm{cm}$ दूर।

दूरी $AM$ निकालिए, फिर $M$ पर हर आवेश द्वारा बने क्षेत्र का परिमाण।
दोनों क्षेत्रों को सदिशों की तरह जोड़िए (सममिति का उपयोग कीजिए) और $M$ पर कुल क्षेत्र का परिमाण तथा दिशा बताइए।

हल

हल — अभ्यास 14.13.

1. $AM = \sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{cm}$ ; हर आवेश $E_1 = 8.99 \times 10^{9} \times 2.0 \times 10^{-9} / 0.050^2 \approx 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ बनाता है।

2. $AB$ के अनुदिश घटक सममिति से कट जाते हैं; समद्विभाजक के अनुदिश हर क्षेत्र $E_1 \times 4/5$ का योगदान देता है, रेखाखंड से दूर की ओर: $E = 2 \times 7.19 \times 10^{3} \times 0.80 \approx 1.2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ , समद्विभाजक के अनुदिश, $[AB]$ से दूर।

अभ्यास 14.14 ★★★

आवेश के दो चिह्नों के सहारे समझाइए कि धातु के डिब्बे के मुक्त आवेश उसके भीतर हर जगह बाहरी विद्युत क्षेत्र को कैसे काट देते हैं — और द्रव्यमानों की कोई सजावट गुरुत्व के लिए वही काम क्यों नहीं कर सकती। गुरुत्व-ढाल के लिए कौन-सी असंभव सामग्री चाहिए होगी?

हल

हल — अभ्यास 14.14.

डिब्बे के मुक्त आवेश बाहरी क्षेत्र के नीचे खिसक जाते हैं: एक फलक पर $+$ जमा होता है, दूसरे पर $-$ , और ये खिसके हुए आवेश भीतर एक ऐसा क्षेत्र बनाते हैं जो बाहरी क्षेत्र के विरुद्ध है। वे तब तक खिसकते रहते हैं जब तक भीतर कुल क्षेत्र ठीक शून्य न हो जाए — तभी साम्यावस्था आती है। गुरुत्व के पास स्रोत का एक ही चिह्न है: हर द्रव्यमान एक आकर्षी क्षेत्र जोड़ता है, कोई उसका विरोध नहीं कर सकता। गुरुत्व-ढाल के लिए ऋणात्मक द्रव्यमान चाहिए होगा, जो होता ही नहीं।

अभ्यास 14.15 ★★★

एक छोटी गेंद ( $m = 0.50\,\mathrm{g}$ , $q = +2.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}$ ) धागे से लटकी है और क्षैतिज एकसमान क्षेत्र $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ में है। विराम में धागा ऊर्ध्वाधर से $\theta$ का कोण बनाता है।

तीनों बल गिनाइए; समझाइए कि $\tan\theta = qE / (mg)$ क्यों।
$\theta$ निकालिए, फिर धागे का तनाव।

हल

हल — अभ्यास 14.15.

1. भार $m\vect g$ (नीचे), तनाव $\vect T$ (धागे के अनुदिश), विद्युत बल $q\vect E$ (क्षैतिज)। विराम में $T\sin\theta = qE$ और $T\cos\theta = mg$ ; भाग देने पर $\tan\theta = qE/(mg)$ ।

2. $\tan\theta = 2.0 \times 10^{-7} \times 1.0 \times 10^{4} / (5.0 \times 10^{-4} \times 9.81) \approx 0.41$ , इसलिए $\theta \approx 22{}^{\circ}$ ; $T = mg/\cos\theta \approx 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$ ।

14.7 समस्या: मिलिकन की बूँद

समस्या 14.1

सप्ताहांत समस्या — इलेक्ट्रॉन का आवेश तौलना: दो पट्टियों के बीच हवा में ठहरी तेल की एक बूँद दिखा देती है कि आवेश $1.60 \times 10^{-19}$ कूलॉम के अविभाज्य क़दमों में आता है

सन 1909 में रॉबर्ट मिलिकन ने किसी संधारित्र की क्षैतिज पट्टियों के बीच तेल की बूँदें छिड़कीं। विभवांतर को तब तक सुर में बिठाकर, जब तक चुनी हुई बूँद निश्चल न लटक जाए — यानी विद्युत बल ठीक भार को काट दे — वे उसका आवेश तौल सकते थे। हमारी बूँद का द्रव्यमान $m = 4.90 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ है (क्षेत्र बंद रखकर उसके धीमे गिरने से नापा गया; हम उसे दिया हुआ मान लेते हैं); पट्टियाँ $d = 8.0\,\mathrm{mm}$ दूर हैं, ऊपर वाली धनात्मक है; और बूँद का आवेश ऋणात्मक है।

भाग I — मंच।

पट्टियों के बीच के क्षेत्र का वर्णन कीजिए; “एकसमान” होने से क्या मिल जाता है?
$U = 800\,\mathrm{V}$ के लिए $E$ निकालिए।
बूँद पर लगता विद्युत बल किस दिशा में है? ऊपर वाली पट्टी को ही धनात्मक क्यों होना पड़ा?
बूँद का भार निकालिए।
विराम की शर्त को दो बल-परिमाणों की समता के रूप में लिखिए।

भाग II — तराज़ू।

उसी से $\abs{q}$ को $m$ , $g$ , $d$ और $U$ के पदों में लिखिए।
बूँद $U = 800\,\mathrm{V}$ पर विराम में लटकी रहती है: $\abs{q}$ निकालिए।
$e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ से भाग दीजिए। बूँद पर कितने अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन हैं?
विभवांतर को थोड़ा बढ़ाकर $900\,\mathrm{V}$ कर दिया जाता है। अब कुल बल किस दिशा में है?
दिखाइए कि संतुलन का विभवांतर $U = mgd/\abs{q}$ है: आवेश जितना बड़ा, विभवांतर उतना छोटा।

भाग III — क़दम। विकिरण का एक झोंका बूँद पर इलेक्ट्रॉन चढ़ा या उतार सकता है; हर बदलाव के बाद मिलिकन संतुलन के लिए विभवांतर फिर से सुर में बिठाते हैं।

एक झोंके के बाद संतुलन के लिए $U = 1200\,\mathrm{V}$ चाहिए। नया $\abs{q}$ निकालिए। बूँद ने इलेक्ट्रॉन पाया या खोया?
क्रमशः संतुलन $U = 1200$ , $800$ , $600$ , $480$ और $400\,\mathrm{V}$ पर मिलते हैं। पाँचों आवेश निकालिए।
दिखाइए कि पाँचों एक ही राशि के पूर्णांक गुणज हैं; उसका मान दीजिए।
लगातार दो संतुलनों के बीच आवेश कितना बदलता है? व्याख्या कीजिए।
समझाइए कि चाहे जितने धीरज से सुर बिठाया जाए, यह बूँद $U = 700\,\mathrm{V}$ पर विराम में कभी क्यों नहीं लटक सकती।
मिलिकन ने यही सैकड़ों बूँदों पर दोहराया: हर मापा गया आवेश उसी एक मान का पूर्णांक गुणज निकला। निष्कर्ष लिखिए, और मापी गई राशि का नाम बताइए।

भाग IV — गुरुत्वीय मिलिकन क्यों नहीं होता।

इस अध्याय की शब्दावली में, भाग II के संतुलन में $q$ , $E$ और $qE$ की भूमिकाएँ कौन निभाता है?
क्या इसके बदले ऊपर रखा कोई द्रव्यमान बूँद को थामे रख सकता था? बूँद से $1.0\,\mathrm{m}$ ऊपर रखे $1000\,\mathrm{kg}$ के सीसे के गोले का क्षेत्र, बूँद पर लगता बल निकालिए और उसके भार से तुलना कीजिए।
संतुलन के लिए ऊपर की ओर इतना खिंचाव चाहिए कि वह पूरी पृथ्वी से लड़ सके। आवेश वाली पट्टी वह क्यों दे सकती है और द्रव्यमानों की कोई सजावट क्यों नहीं?
बूँद का द्रव्यमान भी क़दमों में बदलता है (तेल का एक अणु: लगभग $5 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ )। एक इलेक्ट्रॉन के आ बैठने पर $m$ और $\abs{q}$ में हुई सापेक्ष छलाँगों की तुलना कीजिए और निष्कर्ष निकालिए: यह तराज़ू बिजली के परमाणु तो देख लेता है पर तेल के अणु क्यों नहीं? और अंतिम चोट: आवेश क्वांटित है, और उसका परमाणु $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ है।

हल

हल — समस्या 14.1.

1. एकसमान, पट्टियों के लंबवत, नीचे की ओर संकेत करता ( $+$ ऊपरी पट्टी से $-$ निचली पट्टी की ओर); एकसमान होने का अर्थ है कि बूँद जहाँ भी बहे, उस पर लगता बल वही रहेगा। 2. $E = U/d = 800 / 8.0 \times 10^{-3} = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ । 3. आवेश ऋणात्मक है, इसलिए बल $\vect E$ के विपरीत है: ऊपर की ओर। केवल $+$ पट्टी ऊपर होने पर ही $\vect E$ नीचे की ओर होता है और विद्युत बल भार से लड़ पाता है। 4. $P = mg = 4.90 \times 10^{-15} \times 9.81 \approx 4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ । 5. $\abs{q}E = mg$ । 6. $\abs{q} = mg/E = mgd/U$ । 7. $\abs{q} = 4.81 \times 10^{-14} \times 8.0 \times 10^{-3} / 800 \approx 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ । 8. $n = 4.8 \times 10^{-19} / 1.60 \times 10^{-19} = 3$ अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन। 9. $E$ बढ़ता है, इसलिए $\abs{q}E > mg$ : कुल बल ऊपर की ओर है। 10. $\abs{q}\,U/d = mg$ से $U = mgd/\abs{q}$ — यानी आवेश के व्युत्क्रमानुपाती। 11. $\abs{q} = mgd/U = 3.85 \times 10^{-16}/1200 \approx 3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 2e$ : $3e$ से नीचे, यानी बूँद ने एक इलेक्ट्रॉन खोया है। 12. $\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/U$ : $3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $6.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $8.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $9.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ । 13. वे $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ के साथ $2e, 3e, 4e, 5e, 6e$ हैं। 14. हर क़दम $\abs{q}$ को ठीक $1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ बदलता है: एक बार में एक ही इलेक्ट्रॉन आ बैठता है। 15. उसके लिए $\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/700 \approx 5.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3.4\,e$ चाहिए होगा — और यह इलेक्ट्रॉनों की पूरी संख्या नहीं है, इसलिए विकिरण का कोई झोंका उसे कभी नहीं बना सकता। 16. आवेश क्वांटित है: वह मूल आवेश $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ के पूर्णांक गुणजों में आता है — और यही वह राशि है जो मिलिकन ने नापी। 17. $q \leftrightarrow m$ , $E \leftrightarrow g$ और $\abs{q}E \leftrightarrow mg$ : यानी स्वयं भार। 18. $g_{\text{गोला}} = GM/d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1000 / 1.0^2 = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ; बूँद पर बल $4.90 \times 10^{-15} \times 6.7 \times 10^{-8} \approx 3.3 \times 10^{-22}\,\mathrm{N}$ — उसके भार से लगभग $1.5 \times 10^{8}$ गुना छोटा। बात बनने वाली नहीं। 19. क्योंकि $G$ इतना छोटा है कि पृथ्वी के खिंचाव की बराबरी ऊपर रखा कोई ग्रह जितना बड़ा द्रव्यमान ही कर सकता है — और कोई द्रव्यमान प्रतिकर्षित नहीं करता। विशाल $k$ और आवेश के दो चिह्न मिलकर मेज़ पर रखी एक पट्टी को ग्रह से दोनों दिशाओं में जीत जाने देते हैं। 20. एक इलेक्ट्रॉन: $\Delta\abs{q}/\abs{q} = e/3e \approx 33\%$ ; तेल का एक अणु: $\Delta m/m = 5 \times 10^{-25} / 4.90 \times 10^{-15} \approx 10^{-10}$ । आवेश की सीढ़ी संतुलन के विभवांतर को सैकड़ों वोल्ट खिसका देती है; द्रव्यमान की सीढ़ी किसी भी विभवांतर पर दिखती ही नहीं। इसीलिए यह तराज़ू बिजली के परमाणु — $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ — को अलग-अलग पहचान लेता है, जबकि तेल के अणु धुँधलाकर एक सतत धारा बन जाते हैं।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

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