24Chimie bioinorganique

Notre sang est rouge à cause du fer ; le sang d’une limule est incolore dans ses veines et bleuit à l’air, parce qu’il transporte le dioxygène sur du cuivre. Le vivant utilise une poignée d’ions métalliques pour les tâches qu’aucun groupe organique ne sait accomplir : fixer le dioxygène de façon réversible, transporter des électrons un par un, couper l’eau, réduire le diazote, rendre une molécule d’eau assez acide pour attaquer le dioxyde de carbone. Ce chapitre lit ces tâches avec les outils de la chimie de coordination : acides durs et mous, champ des ligands et états de spin, équilibres et lois de vitesse, et il se termine par les métaux utilisés comme médicaments.

Rappel

Le volume de deuxième année a traité des acides $\alpha$-aminés, des chaînes latérales et des peptides, des bases nucléiques et des nucléotides, des complexes de coordination, du champ des ligands, des états haut spin et bas spin, et des nucléophiles et électrophiles durs et mous ; le volume de première année, des constantes de complexation et de l’échelle de pL. Le Chapitre 18 et le Chapitre 19 ont donné les spectres, la théorie de Marcus et l’aquation du cisplatine, le Chapitre 13 la cinétique de Michaelis–Menten, et le Chapitre 8 le temps de relaxation $T_1$.

24.1 Les métaux en biologie

Définition 24.1 (Métalloprotéines)

Une métalloprotéine est une protéine qui contient des ions métalliques liés ; une métalloenzyme est une métalloprotéine qui catalyse une réaction. Un cofacteur est une espèce non protéique, ion métallique ou petite molécule, liée à une protéine et nécessaire à son activité.

Les métaux présents en quantité sont le sodium, le potassium, le magnésium et le calcium, qui portent surtout des charges et maintiennent des structures ; les métaux de transition fer, zinc, cuivre, manganèse, cobalt, molybdène et nickel n’existent qu’à l’état de traces mais assurent une grande partie de la chimie. Une protéine choisit son métal par les atomes donneurs qu’elle offre et par leur géométrie.

Définition 24.2 (Acides durs et mous)

Un acide dur est un acide de Lewis petit, très chargé et peu polarisable ($\ce{H+}$, $\ce{Mg^2+}$, $\ce{Ca^2+}$, $\ce{Fe^3+}$) ; un acide mou est un acide gros, polarisable et peu chargé ($\ce{Cu+}$, $\ce{Ag+}$, $\ce{Hg^2+}$, $\ce{Cd^2+}$). Le principe des acides et des bases durs et mous énonce que les acides durs se lient de préférence aux bases dures (donneurs oxygénés, fluorure) et les acides mous aux bases molles (donneurs soufrés, iodure).

Dans les protéines, les carboxylates et les phénolates sont durs, le thiolate de la cystéine et le thioéther de la méthionine mous, et l’imidazole de l’histidine intermédiaire. Le fer(III) se place parmi des donneurs oxygénés, le cuivre(I) parmi des donneurs soufrés, le zinc, acide intermédiaire, avec l’histidine et la cystéine ; le mercure et le cadmium sont toxiques en partie parce qu’ils s’emparent des cystéines des enzymes.

Définition 24.3 (Série d’Irving–Williams)

La série d’Irving–Williams est l’ordre de stabilité des complexes haut spin des ions divalents de la première série de transition avec un ligand donné : $\ce{Mn^2+} < \ce{Fe^2+} < \ce{Co^2+} < \ce{Ni^2+} < \ce{Cu^2+} > \ce{Zn^2+}$.

Proposition 24.4 (Ordre d’Irving–Williams)

La série est vérifiée pour presque tous les ligands (c’est une observation expérimentale) ; elle suit la diminution du rayon ionique du manganèse au cuivre, l’énergie de stabilisation du champ des ligands, nulle pour $d^5$, maximale pour $d^8$, et la distorsion de Jahn–Teller du cuivre(II), qui raccourcit quatre de ses liaisons.

Une conséquence que les cellules doivent gérer : le cuivre et le zinc supplanteraient les autres ions dans la plupart des sites, si bien que leurs concentrations libres sont maintenues extrêmement basses par des protéines de transport dédiées.

24.2 Le transport du dioxygène

Définition 24.5 (Porphyrines et hème)

Une porphyrine est un grand macrocycle plan et aromatique formé de quatre cycles pyrrole reliés par des ponts méthine, dont les quatre azotes lient un ion métallique en son centre. L’hème est le complexe du fer de la protoporphyrine IX, cofacteur de l’hémoglobine, de la myoglobine et des cytochromes.

Dans la myoglobine et l’hémoglobine, le fer de l’hème porte un cinquième ligand sous le cycle, l’azote de l’histidine proximale, et un sixième site libre pour $\ce{O2}$. Le fer(II) de la forme désoxy est haut spin : un électron dans l’orbitale $d_{x^2-y^2}$, qui pointe vers les quatre azotes, le rend trop gros pour la cavité du cycle, et il se place hors du plan, du côté de l’histidine. En fixant $\ce{O2}$, il devient bas spin, plus petit, et se déplace dans le plan, entraînant avec lui l’histidine et l’hélice de la protéine.

Le dioxygène lié est mieux décrit comme un superoxyde sur un fer(III), $\ce{Fe^{III}-O2^-}$, que comme un $\ce{O2}$ neutre sur un fer(II) : le complexe est diamagnétique parce que les électrons non appariés des deux centres se couplent. La protéine empêche l’oxydation irréversible en fer(III) et en eau, que subit immédiatement un hème nu dans l’eau.

Définition 24.6 (Fixation coopérative)

La fixation sur une protéine à plusieurs sites est coopérative lorsque la fixation d’un ligand augmente l’affinité des sites restants. Le coefficient de Hill $n$ est la pente du diagramme de Hill, $\log\frac{\theta}{1 - \theta}$ en fonction de $\log p$, à demi-saturation ($\theta$ est la fraction des sites occupés).

Proposition 24.7 (Un seul site)

Pour une protéine à un seul site, $\mathrm{P + O_2 \rightleftharpoons PO_2}$, la fraction occupée vaut $\theta = p/(p_{50} + p)$, où $p_{50}$ est la constante de dissociation exprimée comme une pression.

Théorème 24.8 (Équation de Hill)

Pour une protéine à $n$ sites qui sont soit tous vides, soit tous occupés, $\mathrm{P + n\,O_2 \rightleftharpoons P(O_2)_n}$,

$$\theta = \frac{p^n}{p_{50}^n + p^n}, \qquad \log\frac{\theta}{1 - \theta} = n\log p - n\log p_{50}.$$

L’hémoglobine, à quatre sites, n’est pas totalement coopérative : son coefficient de Hill est nettement inférieur à 4, environ 3, et son diagramme de Hill a une pente de 1 aux deux extrémités, où elle se comporte comme une protéine désoxy ou oxy à sites indépendants. La coopérativité vient d’un changement de structure quaternaire : le mouvement du fer dans le plan du premier hème qui fixe $\ce{O2}$ est transmis aux autres sous-unités.

Méthode 24.9 (Lire un diagramme de Hill)

1. À partir de chaque saturation mesurée, calculer $\log(\theta/(1 - \theta))$ ; la tracer en fonction de $\log p$.
2. La pression où le tracé coupe zéro est $p_{50}$.
3. La pente en ce point est le coefficient de Hill : $n = 1$ signifie des sites indépendants, $n > 1$ une fixation coopérative.
4. Avec deux points seulement, $n = \Delta\log(\theta/(1 - \theta))/\Delta\log p$.

L’hémoglobine fixe aussi des protons et du dioxyde de carbone sur des sites éloignés de l’hème, ce qui décale sa courbe vers la droite là où ils abondent, dans les tissus actifs : l’effet Bohr libère davantage de dioxygène exactement là où il est nécessaire.

Proposition 24.10 (Compétition du monoxyde de carbone)

Si le monoxyde de carbone et le dioxygène se disputent les mêmes sites, avec $\mathrm{HbO_2 + CO \rightleftharpoons HbCO + O_2}$ de constante d’équilibre $M$, alors $[\mathrm{HbCO}]/[\mathrm{HbO_2}] = M\,p(\ce{CO})/p(\ce{O2})$.

$M$ vaut quelques centaines pour l’hémoglobine humaine, si bien que quelques centaines de parties par million de monoxyde de carbone occupent une grande fraction des sites ; pire, les sites restés libres retiennent plus fortement leur dioxygène, car la coopérativité agit sur eux. L’hème libre fixe le monoxyde de carbone bien plus fortement encore : dans la protéine, une histidine distale située au-dessus du fer gêne la géométrie linéaire Fe–C–O que préfère le monoxyde de carbone, tandis qu’elle forme une liaison hydrogène avec le $\ce{O2}$ coudé. D’autres animaux utilisent d’autres métaux : les hémocyanines des mollusques et des arthropodes fixent $\ce{O2}$ entre deux ions cuivre sous forme de peroxyde, les hémérythrines de certains vers marins sur une paire d’ions fer.

Au laboratoire — Une courbe de fixation du dioxygène

Une solution d’hémoglobine en tampon est placée dans une cuve étanche aux gaz munie d’un ballon latéral. On la débarrasse d’abord du dioxygène par un balayage de diazote, puis on injecte des volumes connus d’air et on équilibre la solution en l’inclinant doucement. Après chaque ajout, on enregistre le spectre visible : les bandes de la forme désoxy (une bande vers $555\,\mathrm{nm}$) cèdent la place aux deux bandes de la forme oxy, et la saturation se lit sur l’absorbance à une longueur d’onde, entre ses limites désoxy et oxy.

24.3 Métalloenzymes

L’anhydrase carbonique accélère $\ce{CO2 + H2O <=> HCO3- + H+}$, qui prend quelques secondes dans l’eau seule, ce qui compte lors du bref passage du globule rouge dans un capillaire pulmonaire. Son ion zinc est tenu par trois histidines et une molécule d’eau. Petit cation très chargé, il abaisse le $\mathrm pK_a$ de cette eau d’environ 14 à environ 7 : au pH physiologique, une bonne partie de l’enzyme porte un hydroxyde lié au zinc, nucléophile puissant, maintenu juste à côté d’une poche qui fixe $\ce{CO2}$.

Proposition 24.11 (Une enzyme rapide)

La constante de spécificité $k_{\mathrm{cat}}/K_M$ de l’anhydrase carbonique approche la constante de vitesse de rencontre de $\ce{CO2}$ avec l’enzyme : presque chaque rencontre conduit à la réaction.

Les enzymes à cytochrome P450, dans le foie et dans de nombreuses autres cellules, hydroxylent des liaisons C–H de médicaments et d’hormones. Le fer de leur hème est tenu par un thiolate de cystéine ; avec $\ce{O2}$ et deux électrons, il forme un complexe fer(IV)-oxo portant un radical sur la porphyrine, appelé composé I, qui arrache un atome d’hydrogène au substrat et rend le groupe hydroxyle au radical carboné. La nitrogénase réduit $\ce{N2}$ en ammoniac à température ambiante sur un agrégat de sept atomes de fer, un de molybdène et neuf sulfures autour d’un atome de carbone central, le cofacteur FeMo, au prix de nombreuses molécules d’ATP. La vitamine $\mathrm{B_{12}}$ contient une liaison cobalt–carbone, l’une des très rares liaisons métal–carbone du vivant, dont l’homolyse déclenche des réarrangements radicalaires.

24.4 Transfert d’électrons et énergie

Les protéines qui ne font que transporter des électrons possèdent des centres métalliques de faible énergie de réorganisation (Chapitre 19) : les deux degrés d’oxydation ont presque la même géométrie, si bien que la barrière de Marcus est basse.

Définition 24.12 (Centres fer–soufre)

Un centre fer–soufre est un groupe d’ions fer pontés par des ions sulfure et liés à la protéine par des thiolates de cystéine : $\ce{[2Fe-2S]}$, $\ce{[3Fe-4S]}$ et le $\ce{[4Fe-4S]}$ de type cubane.

Définition 24.13 (Protéines à cuivre bleu)

Une protéine à cuivre bleu porte un ion cuivre lié par deux histidines, une cystéine et une méthionine faiblement liée dans un site tétraédrique déformé ; sa couleur bleue intense provient d’une bande de transfert de charge de la cystéine vers le cuivre(II).

Définition 24.14 (État entatique)

L’état entatique est un site métallique maintenu par la protéine dans une géométrie contrainte, intermédiaire entre les géométries préférées par ses deux degrés d’oxydation, ce qui abaisse l’énergie de réorganisation de ses réactions.

Seul, le cuivre(II) préfère un plan carré, le cuivre(I) un tétraèdre : dans le site à cuivre bleu, aucun des deux n’est satisfait, et le transfert d’électron est rapide.

Définition 24.15 (Complexe de dégagement du dioxygène)

Le complexe de dégagement du dioxygène du photosystème II est l’agrégat $\mathrm{Mn_4CaO_5}$ qui oxyde l’eau en dioxygène lors de la photosynthèse.

Proposition 24.16 (Quatre photons par dioxygène)

Oxyder deux molécules d’eau en une molécule de $\ce{O2}$ exige quatre photons absorbés par le photosystème II, l’agrégat passant par cinq états, de $\mathrm S_0$ à $\mathrm S_4$.

À l’autre bout de la chaîne énergétique, la cytochrome $c$ oxydase des mitochondries réduit $\ce{O2}$ en eau avec quatre électrons et quatre protons sur un fer d’hème et un ion cuivre qui se font face, sans libérer le superoxyde ou le peroxyde, partiellement réduits et nocifs.

24.5 Les métaux en médecine

Définition 24.17 (Métallomédicaments)

Un métallomédicament est un médicament dont l’activité repose sur un ion métallique ou un complexe métallique.

Le cisplatine, cis-$\ce{[PtCl2(NH3)2]}$, est stable dans le sang, où la concentration en chlorure est élevée ; dans les cellules, où elle est bien plus faible, il échange un chlorure contre de l’eau (Chapitre 19). L’aquacomplexe se lie à l’atome N7 d’une guanine, puis à une seconde guanine voisine sur le même brin : le pontage 1,2-GG courbe l’ADN, que la cellule ne sait pas réparer, et elle meurt. L’isomère trans ne peut pas ponter deux bases voisines et il est inactif. Le carboplatine, dont le dicarboxylate chélatant part lentement, a moins d’effets secondaires ; l’oxaliplatine, porteur d’un ligand diaminocyclohexane, agit sur des tumeurs résistantes au cisplatine.

Définition 24.18 (Agents de contraste)

Un agent de contraste pour l’imagerie par résonance magnétique est un composé paramagnétique qui raccourcit les temps de relaxation des protons de l’eau voisins. Sa relaxivité $r_1$ est l’augmentation de la vitesse de relaxation $1/T_1$ par unité de concentration de l’agent.

Proposition 24.19 (Vitesse de relaxation)

Avec un agent de relaxivité $r_1$ à la concentration $c$, la vitesse de relaxation des protons de l’eau vaut $1/T_1 = 1/T_{1,0} + r_1c$, où $T_{1,0}$ est la valeur sans agent.

Le gadolinium(III), $4f^7$, avec sept électrons non appariés et un spin électronique qui relaxe lentement, est le métal de choix. L’ion $\ce{Gd^3+}$ libre est toxique : on l’administre sous forme d’un complexe très stable d’un polyaminocarboxylate octadentate qui laisse un site libre pour une molécule d’eau ; celle-ci s’échange rapidement avec l’eau environnante et transmet la relaxation à toute la masse d’eau.

Définition 24.20 (Thérapie par chélation)

La thérapie par chélation est l’élimination d’un métal toxique de l’organisme par un ligand chélatant administré comme médicament, qui forme un complexe stable et soluble ensuite excrété.

Méthode 24.21 (Choisir un médicament chélatant)

1. Comparer les constantes de stabilité du chélatant avec le métal toxique et avec les métaux essentiels présents en grande quantité ($\ce{Ca^2+}$, $\ce{Mg^2+}$, $\ce{Zn^2+}$).
2. Calculer le niveau de métal libre $\mathrm{pM} = -\log[\mathrm M]$ que laisse le chélatant aux concentrations et au pH de l’organisme : plus pM est élevé pour le métal toxique et bas pour les métaux essentiels, mieux c’est.
3. Administrer le chélatant déjà chargé de l’ion essentiel concurrent (le complexe calcique de l’EDTA pour le plomb), de sorte qu’il échange au lieu d’arracher le calcium du sang.
4. Vérifier la correspondance dur–mou (donneurs soufrés pour le mercure et le plomb, donneurs oxygénés durs pour le fer(III)) et que le complexe est bien excrété.

Sécurité

Cisplatine : mortel en cas d’ingestion, peut provoquer le cancer et des anomalies génétiques, peut nuire à la fertilité, provoque des lésions oculaires graves et des réactions allergiques ; il n’est manipulé que sous forme de solution médicamenteuse préparée, avec des gants, dans une enceinte ventilée.

Histoire des sciences — Une structure de protéine et un médicament accidentel

Max Perutz travailla plus de vingt ans sur la structure par diffraction des rayons X de l’hémoglobine, résolue à basse résolution en 1959 ; avec John Kendrew, qui résolut la myoglobine, il reçut le prix Nobel de chimie 1962. En 1965, Barnett Rosenberg, faisant passer un courant entre des électrodes de platine dans une culture de bactéries, les vit croître en longs filaments sans se diviser ; la cause n’était pas le courant mais un complexe ammine du platine formé à partir des électrodes. Il devint le cisplatine, qui reste l’un des anticancéreux les plus utilisés.

24.6 Exercices

Exercice 24.1 ★

Une protéine est saturée à 20 % sous $2.1\,\mathrm{kPa}$ de dioxygène et à 80 % sous $5.9\,\mathrm{kPa}$. Calculer son coefficient de Hill.

Solution

Solution de Exercice 24.1.

$\log(\theta/(1 - \theta))$ passe de $\log 0.25 = -0.602$ à $\log 4 = +0.602$ tandis que $\log p$ augmente de $\log(5.9/2.1) = 0.449$ : $n = 1.204/0.449 = 2.7$.

Exercice 24.2 ★

Classer $\ce{Zn^2+}$, $\ce{Mn^2+}$, $\ce{Cu^2+}$, $\ce{Fe^2+}$, $\ce{Ni^2+}$ et $\ce{Co^2+}$ selon la stabilité de leurs complexes avec un ligand donné, et expliquer la place du zinc.

Solution

Solution de Exercice 24.2.

$\ce{Mn^2+} < \ce{Fe^2+} < \ce{Co^2+} < \ce{Ni^2+} < \ce{Cu^2+} > \ce{Zn^2+}$. Le zinc ($d^{10}$) n’a ni stabilisation de champ des ligands ni distorsion de Jahn–Teller : il retombe au-dessous du cuivre.

Exercice 24.3 ★

Prévoir les donneurs protéiques préférés (carboxylate, thiolate de cystéine, imidazole d’histidine) de $\ce{Ca^2+}$, $\ce{Fe^3+}$, $\ce{Cu+}$, $\ce{Zn^2+}$ et $\ce{Hg^2+}$.

Solution

Solution de Exercice 24.3.

$\ce{Ca^2+}$ et $\ce{Fe^3+}$, durs : carboxylates (et phénolates pour le fer). $\ce{Cu+}$ et $\ce{Hg^2+}$, mous : thiolates de cystéine. $\ce{Zn^2+}$, intermédiaire : histidine et cystéine.

Exercice 24.4 ★

Combien d’électrons sont retirés, et combien de photons absorbés par le photosystème II, par molécule de $\ce{O2}$ dégagée ? Par mole ?

Solution

Solution de Exercice 24.4.

$\ce{2H2O -> O2 + 4H+ + 4e-}$ : quatre électrons, quatre photons par $\ce{O2}$ ; quatre moles de photons par mole de $\ce{O2}$.

Exercice 24.5 ★★

Avec les courbes modèles du chapitre ($p_{50} = 0.37\,\mathrm{kPa}$ pour la myoglobine ; $3.5\,\mathrm{kPa}$ et $n = 2.7$ pour l’hémoglobine), calculer la fraction de son dioxygène que chaque protéine cède entre $13\,\mathrm{kPa}$ (poumons) et $5\,\mathrm{kPa}$ (tissus).

Solution

Solution de Exercice 24.5.

Myoglobine : $\theta = 13/13.37 = 0.972$ et $5/5.37 = 0.931$ : elle cède $(0.972 - 0.931)/0.972 = 4$ % de son dioxygène. Hémoglobine : $\theta = 0.972$ et $0.724$ : elle en cède 26 %.

Exercice 24.6 ★★

De l’air contenant $50\,\mathrm{ppm}$ de monoxyde de carbone est respiré assez longtemps pour atteindre l’équilibre. Avec $M = 230$ (données de l’exercice) et le rapport $p(\ce{O2})/p(\ce{CO})$ de l’air (20.95 % de dioxygène), quelle fraction de l’hémoglobine porte du CO ?

Solution

Solution de Exercice 24.6.

$[\mathrm{HbCO}]/[\mathrm{HbO_2}] = 230 \times 50 \times 10^{-6}/0.2095 = 0.055$ ; fraction $0.055/1.055 = 5.2$ %.

Exercice 24.7 ★★

Donner les degrés d’oxydation formels des ions fer dans les agrégats $\ce{[Fe2S2(SR)4]^2-}$, $\ce{[Fe2S2(SR)4]^3-}$ et $\ce{[Fe4S4(SR)4]^2-}$ (SR : cystéinate, S : sulfure).

Solution

Solution de Exercice 24.7.

Sulfures $-2$ chacun, cystéinates $-1$ chacun. $\ce{[Fe2S2(SR)4]^2-}$ : somme des fers $-2 + 4 + 4 = +6$ : deux Fe(III). $\ce{[Fe2S2(SR)4]^3-}$ : $+5$, un Fe(III) et un Fe(II) (valence mixte). $\ce{[Fe4S4(SR)4]^2-}$ : $-2 + 8 + 4 = +10$, deux Fe(III) et deux Fe(II), soit $+2.5$ en moyenne par fer.

Exercice 24.8 ★★

Écrire la première aquation du cisplatine, et expliquer pourquoi elle est lente dans le sang et plus rapide dans les cellules. Quel atome de l’ADN le platine lie-t-il, et pourquoi l’isomère trans est-il inactif ?

Solution

Solution de Exercice 24.8.

$\ce{[PtCl2(NH3)2] + H2O -> [PtCl(H2O)(NH3)2]+ + Cl-}$. La forte concentration en chlorure du sang ramène l’équilibre en arrière ; dans les cellules, le chlorure est bien moins concentré, et l’aquacomplexe se forme. Le platine se lie à l’atome N7 de la guanine. Dans l’isomère trans, les deux sites labiles sont opposés et ne peuvent pas atteindre deux bases adjacentes d’un même brin.

Exercice 24.9 ★★

Un tissu a $T_1 = 1.2\,\mathrm{s}$. Un agent au gadolinium de relaxivité $4.0\,\mathrm{L}\,\mathrm{mmol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ y atteint $0.10\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$ (données de l’exercice). Calculer le nouveau $T_1$.

Solution

Solution de Exercice 24.9.

$1/T_1 = 1/1.2\,\mathrm{s} + 4.0\,\mathrm{L}\,\mathrm{mmol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1} \times 0.10\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L} = 0.833 + 0.400 = 1.23\,\mathrm{s}^{-1}$ : $T_1 = 0.81\,\mathrm{s}$.

Exercice 24.10 ★★★

Un chélatant L a $\log K = 18.0$ avec $\ce{Pb^2+}$ et $10.7$ avec $\ce{Ca^2+}$ (données de l’exercice). Calculer la constante d’équilibre de $\ce{Pb^2+ + [CaL]^2- <=> [PbL]^2- + Ca^2+}$ et expliquer pourquoi on administre le complexe calcique plutôt que le ligand libre.

Solution

Solution de Exercice 24.10.

$K = K_{\mathrm{PbL}}/K_{\mathrm{CaL}} = 10^{18.0 - 10.7} = 10^{7.3} = 2 \times 10^{7}$ : le plomb déplace totalement le calcium. Le ligand libre fixerait aussi le calcium du sang et abaisserait dangereusement sa concentration ; le complexe calcique s’échange avec le plomb et laisse le taux de calcium inchangé.

Exercice 24.11 ★★★

L’anhydrase carbonique a $k_{\mathrm{cat}}/K_M \approx 1 \times 10^{8}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ (données de l’exercice), une enzyme typique environ $1 \times 10^{5}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. Pour $[\ce{CO2}] = 1.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$, bien inférieure à $K_M$, comparer le temps nécessaire à chacune pour convertir la moitié du substrat avec une concentration en enzyme de $1.0\,\text{µ}\mathrm{mol}/\mathrm{L}$.

Solution

Solution de Exercice 24.11.

Bien au-dessous de $K_M$, la réaction est du premier ordre : $k' = (k_{\mathrm{cat}}/K_M)[\mathrm E]$, $t_{1/2} = \ln 2/k'$. Anhydrase carbonique : $k' = 100\,\mathrm{s}^{-1}$, $t_{1/2} = 6.9\,\mathrm{ms}$. Enzyme typique : $k' = 0.10\,\mathrm{s}^{-1}$, $t_{1/2} = 6.9\,\mathrm{s}$, mille fois plus long, trop lent pour la seconde que passe un globule rouge dans un capillaire pulmonaire.

Exercice 24.12 ★★★

Avec $M = 230$, quelle pression de monoxyde de carbone occupe la moitié des sites en présence d’air à $0.2095\,\mathrm{bar}$ de dioxygène ? L’exprimer en ppm d’un gaz à $1\,\mathrm{bar}$.

Solution

Solution de Exercice 24.12.

La moitié des sites occupés par CO signifie $[\mathrm{HbCO}] = [\mathrm{HbO_2}]$ : $p(\ce{CO}) = p(\ce{O2})/M = 0.2095/230 = 9.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{bar}$, soit environ $910\,\mathrm{ppm}$.

24.7 Problème : quelle quantité de dioxygène le sang délivre-t-il ?

Problème 24.1

Problème du week-end — quelle quantité de dioxygène le sang délivre-t-il ? Courbes de Hill de l’hémoglobine et de la myoglobine, dioxygène transporté par un litre de sang, effet Bohr, et ce que le monoxyde de carbone retire

Données modèles du problème : hémoglobine $p_{50} = 3.5\,\mathrm{kPa}$ et $n = 2.7$ à pH 7.4, $p_{50} = 4.0\,\mathrm{kPa}$ au pH plus bas des tissus actifs ; myoglobine $p_{50} = 0.37\,\mathrm{kPa}$ ; le sang contient $150\,\mathrm{g}/\mathrm{L}$ d’hémoglobine, de masse molaire $64.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{mol}$, à quatre sites par molécule ; $p(\ce{O2})$ vaut $13\,\mathrm{kPa}$ dans les poumons et $5.0\,\mathrm{kPa}$ dans les tissus ; le cœur pompe $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ au repos ; $M = 230$ pour le monoxyde de carbone. Volumes gazeux à $273.15\,\mathrm{K}$ et $101.325\,\mathrm{kPa}$.

Partie I — Les courbes.

1. Calculer la saturation de l’hémoglobine dans les poumons.
2. La calculer dans les tissus à pH 7.4.
3. Calculer la saturation de la myoglobine sous $5.0\,\mathrm{kPa}$.
4. Pourquoi la myoglobine peut-elle prendre le dioxygène de l’hémoglobine dans un muscle ?
5. Quel coefficient de Hill donneraient quatre sites indépendants ?
6. Expliquer en une phrase d’où vient la coopérativité.

Partie II — Un litre de sang.

7. Calculer la concentration de l’hémoglobine en mol/L.
8. Calculer la concentration des sites de fixation du dioxygène.
9. Calculer le dioxygène transporté par litre dans les poumons, en mmol.
10. Calculer le dioxygène délivré par litre aux tissus à pH 7.4.
11. Le convertir en millilitres de gaz.
12. Quelle fraction du dioxygène transporté cela représente-t-il ?

Partie III — L’effet Bohr.

13. Calculer la saturation dans les tissus au pH plus bas.
14. Calculer le dioxygène délivré par litre avec ce décalage.
15. De quel facteur le décalage augmente-t-il l’apport ?
16. Qu’est-ce qui abaisse le pH d’un muscle actif ?
17. Calculer le dioxygène délivré par minute au repos, en mmol.
18. Le convertir en litres de gaz par minute.

Partie IV — Le monoxyde de carbone.

19. Calculer $[\mathrm{HbCO}]/[\mathrm{HbO_2}]$ pour de l’air contenant $100\,\mathrm{ppm}$ de CO.
20. Calculer la fraction des sites perdus au profit de CO.
21. Pourquoi la perte de dioxygène délivré est-elle pire que cette fraction ?
22. Pourquoi le dioxygène pur est-il le premier traitement ?
23. Pourquoi l’histidine distale compte-t-elle pour la survie ?
24. Énoncer le résultat : les litres de dioxygène délivrés par minute au repos.

Solution

Solution de Problème 24.1.

1. $\theta = 13^{2.7}/(3.5^{2.7} + 13^{2.7}) = 0.972$.

2. $\theta(5.0\,\mathrm{kPa}) = 0.724$.

3. $5.0/(0.37 + 5.0) = 0.931$.

4. Son $p_{50}$ est dix fois plus faible : aux pressions d’un muscle actif, elle est bien plus saturée que l’hémoglobine à la même pression, si bien que le dioxygène passe de l’hémoglobine à la myoglobine.

5. $n = 1$.

6. La fixation sur un hème fait entrer son fer dans le plan et tire l’histidine et son hélice ; les sous-unités basculent ensemble vers une forme de plus haute affinité pour les autres sites.

7. $150\,\mathrm{g}/\mathrm{L}/64\,500\,\mathrm{g}/\mathrm{mol} = 2.33 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$.

8. $4 \times 2.33 \times 10^{-3} = 9.30 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$.

9. $9.30\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L} \times 0.972 = 9.04\,\mathrm{mmol}$.

10. $9.30\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L} \times (0.972 - 0.724) = 2.31\,\mathrm{mmol}$.

11. $2.31 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol} \times 22.41\,\mathrm{L}/\mathrm{mol} = 52\,\mathrm{mL}$.

12. $0.248/0.972 = 26$ %.

13. $5.0^{2.7}/(4.0^{2.7} + 5.0^{2.7}) = 0.646$.

14. $9.30\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L} \times (0.972 - 0.646) = 3.03\,\mathrm{mmol}$.

15. $3.03/2.31 = 1.31$ : trente pour cent de plus.

16. Le dioxyde de carbone produit par la respiration, hydraté en acide carbonique par l’anhydrase carbonique, et l’acide lactique lors d’un effort intense.

17. $3.03\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L} \times 5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min} = 15.1\,\mathrm{mmol}/\mathrm{min}$.

18. $15.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}/\mathrm{min} \times 22.41\,\mathrm{L}/\mathrm{mol} = 0.34\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$.

19. $230 \times 100 \times 10^{-6}/0.2095 = 0.110$.

20. $0.110/1.110 = 0.099$ : environ 10 % des sites.

21. Les sites qui portent encore du dioxygène, dans une molécule qui porte aussi du CO, sont sous la forme de haute affinité : la courbe se décale vers la gauche et ils libèrent moins de leur dioxygène dans les tissus.

22. D’après la relation de compétition, le rapport $[\mathrm{HbCO}]/[\mathrm{HbO_2}]$ diminue proportionnellement à $p(\ce{O2})$ : respirer du dioxygène pur, à une pression presque cinq fois plus élevée que dans l’air, déplace plus vite le monoxyde de carbone.

23. En gênant la fixation linéaire de CO et en formant une liaison hydrogène avec $\ce{O2}$, elle maintient $M$ à quelques centaines au lieu de la valeur bien plus grande de l’hème libre ; sinon, même le monoxyde de carbone produit par l’organisme bloquerait une grande partie de l’hémoglobine.

24. Au repos, le sang délivre environ $0.34\,\mathrm{L}$ de dioxygène par minute.