Física de primaria y secundaria · Grades 1–9

52Gráficas del movimiento y velocidad media

Hace dos años, la velocidad significaba “kilómetros recorridos en una hora”, contados con los dedos. Ahora, armada de letras y de gráficas, la idea saca los dientes: una fórmula que calcula en tres direcciones, un dibujo que enseña un viaje entero de un vistazo — y una trampa famosa sobre las medias que pilla a los adultos todos los días.

52.1 La fórmula

Definición 52.1 (La velocidad, por fórmula)

Para un viaje (o un tramo de viaje) recorrido a ritmo constante, la velocidad $v$ es la distancia $d$ dividida entre el tiempo de viaje $t$ :

v = \frac{d}{t}.

Con $d$ en kilómetros y $t$ en horas, $v$ habla en kilómetros por hora ( $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ); con metros y segundos, en metros por segundo ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) — la favorita de los científicos. Igual que la de la densidad, esta fórmula calcula en las tres direcciones: $v = d/t$ , $d = v \times t$ , $t = d/v$ .

Ejemplo 52.2 (Las recetas en funcionamiento)

Un tren recorre $240\,\mathrm{km}$ en $2$ horas: $v = 240 \div 2 = 120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . ¿Qué distancia recorre a ese ritmo en $5$ horas? $d = 120 \times 5 = 600\,\mathrm{km}$ . ¿Cuánto tarda en hacer $300\,\mathrm{km}$ ? $t = 300 \div 120 = 2.5$ horas — dos horas y treinta minutos (ojo con la rebelde: $0.5$ horas son $30$ minutos, nunca “ $50$ ”).

Ejemplo 52.3 (Dos unidades, una velocidad)

Un velocista corre $100\,\mathrm{m}$ en $10\,\mathrm{s}$ : $v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ¿Cuánto es eso en unidades de carretera? En una hora — $3600$ segundos — el velocista recorrería $10 \times 3600 = 36\,000\,\mathrm{m} = 36\,\mathrm{km}$ : así que $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . El cambio general: cada $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vale $3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — porque una hora tiene $3600$ segundos y un kilómetro solo $1000$ metros. Los $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ del sonido, en unidades de carretera: más de $1200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

52.2 El viaje convertido en dibujo

Proposición 52.4 (Las leyes de la gráfica)

Dibuja la distancia recorrida frente al tiempo y el movimiento escribe su autobiografía:

el movimiento uniforme dibuja una línea recta — distancias iguales en tiempos iguales, paso tras paso;
cuanto más empinada la línea, más rápido el movimiento: la pendiente es la velocidad hecha visible;
un tramo horizontal es una parada: pasa el tiempo, la distancia se queda quieta.

Las curvas hablan de cambio: si se curva hacia arriba, acelera; si se va aplanando, frena.

La mañana de un repartidor contada por una sola línea: pedaleo vivo, una parada de quince minutos y después un ritmo más suave. La gráfica es la autobiografía del viaje.

Método 52.5 (Leer una gráfica distancia–tiempo)

mira primero los ejes y sus unidades — minutos u horas, metros o kilómetros;
parte la línea por sus quiebros en tramos y etiqueta cada uno: recto y empinado, recto y suave, horizontal;
para cualquier tramo recto, lee lo que sube y lo que avanza — distancia ganada y tiempo empleado — y divide: la velocidad del tramo;
para la historia completa, lee la distancia total en el instante final — y no olvides que los tramos horizontales forman parte del tiempo total.

Ejemplo 52.6 (El repartidor, descifrado)

Aplica el método a la figura. Primer tramo: $10\,\mathrm{km}$ en $20$ minutos — un tercio de hora —, así que $v = 10 \div \tfrac{1}{3} = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Segundo: horizontal del minuto $20$ al $35$ — una parada de entrega. Tercero: $10\,\mathrm{km}$ en $25$ minutos, un pelín menos de $24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Total: $20\,\mathrm{km}$ en una hora — lo que nos sirve en bandeja la idea siguiente del capítulo.

52.3 La velocidad media — y su trampa famosa

Definición 52.7 (Velocidad media)

La velocidad media de un viaje entero es la distancia total dividida entre el tiempo total — paradas incluidas:

v_{\text{media}} = \frac{d_{\text{total}}}{t_{\text{total}}}.

Es el único ritmo constante que habría recorrido el mismo camino en el mismo tiempo global — los $20\,\mathrm{km}$ del repartidor en una hora: media de $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , aunque las ruedas no giraran ni una sola vez a esa velocidad.

Proposición 52.8 (La trampa)

La velocidad media de un viaje no es, en general, el punto medio de sus velocidades. Los tramos lentos se comen más tiempo que los rápidos, así que pesan más en la media. Solo la receta completa — distancia total entre tiempo total — es de fiar; promediar los números de velocidad en sí es el paso en falso más seductor del capítulo.

Ejemplo 52.9 (La trampa, saltada)

Una ciclista hace $60\,\mathrm{km}$ de ida a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y los mismos $60\,\mathrm{km}$ de vuelta a $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . ¿“Media: $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ”? Compruébalo con honradez. Ida: $t = 60 \div 30 = 2$ horas. Vuelta: $t = 60 \div 20 = 3$ horas. Viaje entero: $120\,\mathrm{km}$ en $5$ horas — $v_{\text{media}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . La mitad lenta se quedó con tres de las cinco horas y arrastró la media por debajo del punto medio. Cuanto más rápido vas en una mitad, menos tiempo existe siquiera esa mitad.

Observación 52.10 (Lo que sabe el velocímetro)

La velocidad media describe un viaje entero; la aguja del velocímetro responde a otra pregunta — a qué velocidad ahora mismo. En la gráfica, ese “ahora mismo” vive en la pendiente de la línea en un solo punto — fácil de ver en un tramo recto, sutil allí donde la línea se curva. Hacer precisa la “pendiente en un punto” es uno de los mayores inventos de las matemáticas, y te espera al final del bachillerato. Hasta entonces: los tramos rectos se llevan números; las curvas, historias.

52.4 Ejercicios

Ejercicio 52.1 ★

Escribe la fórmula de la velocidad y sus dos unidades de andar por casa. ¿Qué receta encuentra una distancia? ¿Y un tiempo?

Solución

Solución de Ejercicio 52.1.

$v = d/t$ ; unidades $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Distancia: $d = v \times t$ ; tiempo: $t = d/v$ .

Ejercicio 52.2 ★

Un transbordador recorre $45\,\mathrm{km}$ en $3$ horas; una liebre corre $100\,\mathrm{m}$ en $8\,\mathrm{s}$ . Calcula las dos velocidades, cada una en su unidad natural.

Solución

Solución de Ejercicio 52.2.

Transbordador: $45 \div 3 = 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Liebre: $100 \div 8 = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 52.3 ★

Convierte, con el cambio: $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ a $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 52.3.

$5 \times 3.6 = 18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $72 \div 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 52.4 ★

Enuncia las tres leyes de la gráfica. ¿Qué cuenta un quiebro que se va aplanando poco a poco?

Solución

Solución de Ejercicio 52.4.

Línea recta: movimiento uniforme; más empinada: más rápido; horizontal: parado. Un quiebro que se va aplanando poco a poco cuenta que el movimiento frena.

Ejercicio 52.5 ★

En la gráfica del repartidor: ¿entre qué minutos es más suave el ritmo (sin llegar a cero)? ¿Cómo se ve sin calcular nada?

Solución

Solución de Ejercicio 52.5.

Del minuto $35$ al $60$ — el tercer tramo: es el menos empinado de los tramos que suben, y se lee directamente en su inclinación más suave.

Ejercicio 52.6 ★

La gráfica de una caminante enseña una línea recta que pasa por los puntos ( $30$ min, $2\,\mathrm{km}$ ) y ( $60$ min, $4\,\mathrm{km}$ ). ¿Uniforme o variado? ¿Velocidad en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 52.6.

Uniforme — una sola línea recta. Gana $2\,\mathrm{km}$ cada media hora: $v = 4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Ejercicio 52.7 ★

Define la velocidad media. Una excursión: $12\,\mathrm{km}$ en $4$ horas incluyendo una hora de picnic. ¿Velocidad media — y velocidad media mientras se camina?

Solución

Solución de Ejercicio 52.7.

Distancia total entre tiempo total, paradas incluidas. Excursión entera: $12 \div 4 = 3\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Solo caminando: $12 \div 3 = 4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Ejercicio 52.8 ★★

¿Por qué pesa más en una media un tramo lento que uno rápido de la misma longitud? Responde con el tiempo, no con fórmulas.

Solución

Solución de Ejercicio 52.8.

A distancias iguales, el tramo lento simplemente dura más — se consume más reloj del viaje viviendo al ritmo lento, así que el ritmo lento habla con más voz del viaje.

Ejercicio 52.9 ★★

Repite la trampa: $30\,\mathrm{km}$ de ida a $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y $30\,\mathrm{km}$ de vuelta a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Punto medio previsto, media honrada — ¿y qué mitad del viaje se quedó con la mayor parte del reloj?

Solución

Solución de Ejercicio 52.9.

Punto medio previsto: $22.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Con honradez: ida $30 \div 15 = 2$ horas, vuelta $30 \div 30 = 1$ hora; total $60\,\mathrm{km}$ en $3$ horas: $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . La mitad lenta se quedó con dos de las tres horas.

Ejercicio 52.10 ★★

Dibuja (o describe con precisión) la gráfica de este trayecto: $40\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ uniformes durante media hora; parado un cuarto de hora; $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ uniformes durante un cuarto de hora. Después calcula la velocidad media del trayecto.

Solución

Solución de Ejercicio 52.10.

Gráfica: recta hasta ( $30\,\mathrm{min}$ , $20\,\mathrm{km}$ ); horizontal hasta el minuto $45$ ; recta y más empinada hasta ( $60\,\mathrm{min}$ , $35\,\mathrm{km}$ ). Media: $35\,\mathrm{km}$ en una hora — $35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Ejercicio 52.11 ★★

Contar la tormenta, versión mejorada: el trueno llega $6\,\mathrm{s}$ después del relámpago. Con el sonido a $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , usa $d = v \times t$ para la distancia de la tormenta — y contrasta con tu fórmula la vieja regla de “divide entre tres para tener kilómetros”.

Solución

Solución de Ejercicio 52.11.

$d = 340 \times 6 = 2040\,\mathrm{m}$ — unos $2\,\mathrm{km}$ . La vieja regla: $6 \div 3 = 2$ kilómetros — coincide, porque $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ significa casi exactamente un kilómetro cada tres segundos.

Ejercicio 52.12 ★★★

Un clásico que vale cada minuto: un conductor recorre la primera mitad de la distancia de un trayecto a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y quiere una media global de $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Demuestra — con la receta de distancia total entre tiempo total sobre un trayecto de $60\,\mathrm{km}$ — que la segunda mitad habría que recorrerla en un tiempo nulo: el deseo es imposible, no simplemente difícil.

Solución

Solución de Ejercicio 52.12.

Primera mitad: $30\,\mathrm{km}$ a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ cuesta exactamente $1$ hora. Una media global de $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $60\,\mathrm{km}$ permite un total de exactamente $1$ hora — ya gastada hasta el último segundo. Los $30\,\mathrm{km}$ que quedan tendrían que llevar $0$ horas: ninguna velocidad, por heroica que sea, alcanza la media; el presupuesto se acabó.

52.5 Problema: el viernes del repartidor

Problema 52.1

Problema de fin de semana — una repartidora en bicicleta, un viernes de ciudad; la gráfica del jefe de reparto y la trampa de la hoja de primas

El jefe de reparto anota el viernes de la repartidora Lena en una gráfica distancia–tiempo y le liquida el sueldo a partir de ella. Tú auditas la hoja.

Parte I — La mañana, según la gráfica. La gráfica enseña: una subida recta de ( $0$ min, $0\,\mathrm{km}$ ) a ( $30$ min, $9\,\mathrm{km}$ ); horizontal hasta el minuto $45$ ; recta desde ahí hasta ( $75$ min, $15\,\mathrm{km}$ ); horizontal hasta el minuto $90$ .

Cuenta con palabras la historia de la mañana: tramos, paradas y qué fueron presumiblemente esas paradas.
¿Velocidad en el primer tramo, en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
¿Velocidad en el segundo tramo de pedaleo?
¿Velocidad media de Lena en los $90$ minutos enteros de la mañana, paradas incluidas?

Parte II — La tarde, según la fórmula.

Primer trayecto de la tarde: $12\,\mathrm{km}$ a $24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ constantes. ¿Cuánto tardó, en minutos?
Segundo trayecto: una entrega en la parte alta, $20\,\mathrm{minutes}$ a $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . ¿Cuántos kilómetros?
Tercer trayecto: la larga vuelta al almacén, $10\,\mathrm{km}$ , hecha en $25$ minutos. ¿Velocidad a ritmo constante en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Total de la tarde: suma las distancias y los tiempos (solo los trayectos, sin descansos): ¿qué velocidad media mantuvieron las ruedas mientras rodaban?

Parte III — La trampa de la hoja de primas. La regla de la prima: “una velocidad media superior a $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en una ronda completa da derecho a la prima de repartidor rápido”.

El viernes completo de Lena: $37\,\mathrm{km}$ en $3$ horas (todas las paradas incluidas). ¿Se gana la prima?
Su compañero Max la reclama: “He hecho la mitad de mi ronda a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y la mitad a $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — eso da una media de $22.5$ ”. El jefe lo comprueba: las dos mitades medían $12\,\mathrm{km}$ . Calcula la media verdadera de Max y resuelve lo de su prima.
Explícale a Max, en lenguaje de tiempo, dónde se le torció el $22.5$ .
Lena propone una regla de prima más justa para los repartidores — una que no castigue las paradas de entrega. Sugiere una (la gráfica sabe cómo) y di qué velocidad mide.

Parte IV — La lección del jefe de reparto.

Repaso del viernes: escribe las tres frases del jefe — qué significan en la gráfica un tramo recto, un tramo horizontal y un tramo más empinado — y la única advertencia sobre promediar velocidades.

Solución

Solución de Problema 52.1.

1. Un pedaleo vivo ( $30$ min), una parada de $15$ minutos (entrega), un pedaleo más suave ( $30$ min) y una segunda parada de $15$ minutos — dos carreras, dos visitas. 2. $9\,\mathrm{km}$ en media hora: $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 3. $15 - 9 = 6\,\mathrm{km}$ en media hora: $12\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 4. $15\,\mathrm{km}$ en $1.5$ horas: $10\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 5. $t = 12 \div 24 = 0.5$ horas: $30$ minutos. 6. $20$ minutos son un tercio de hora: $d = 18 \times \tfrac{1}{3} = 6\,\mathrm{km}$ . 7. $25$ minutos son $\tfrac{25}{60}$ horas; $v = 10 \div \tfrac{25}{60} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 8. Distancias: $12 + 6 + 10 = 28\,\mathrm{km}$ ; tiempos: $30 + 20 + 25 = 75$ minutos $= 1.25$ horas; media rodando: $28 \div 1.25 = 22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 9. $37 \div 3 \approx 12.3\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — muy por debajo de $20$ : sin prima (sus paradas son trabajo honrado, pero la regla las cuenta). 10. Max: mitad rápida $12 \div 30 = 0.4$ h; mitad lenta $12 \div 15 = 0.8$ h; total $24\,\mathrm{km}$ en $1.2$ h: exactamente $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — no por encima de $20$ : sin prima. 11. Su $22.5$ promedió los dos números, como si cada ritmo se quedara con la mitad del reloj. En realidad la mitad lenta se quedó con $0.8$ de sus $1.2$ horas — dos tercios de la voz del viaje — y arrastró la media verdadera hasta $20$ . 12. Por ejemplo: pagar la prima según la velocidad media de rodadura — distancia total dividida entre el tiempo de pedaleo solamente, excluidos los tramos horizontales de la gráfica. Mide el ritmo que llevan de verdad las ruedas, y premia el pedalear rápido en lugar de las entregas saltadas. 13. “Un tramo recto es un ritmo constante; un tramo horizontal es una parada con el reloj en marcha; un tramo más empinado es un ritmo más rápido — la pendiente es la velocidad. Y nunca promedies números de velocidad: promedia el viaje — distancia total entre tiempo total — o las horas lentas dejarán la hoja en ridículo”.

Términos definidos en este capítulo

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