Física de primaria y secundaria · Grades 1–9

38Masa y volumen

¿Cuánta limonada cabe en la botella y cuánto pesa la caja de botellas? Dos preguntas distintas — sitio y sustancia — que el habla de cada día enreda alegremente en una sola palabra: “grande”. La ciencia las desenreda: el volumen para el sitio que ocupa una cosa y la masa para la sustancia que contiene. Medir la segunda ya lo dominas; hoy aprendemos a medir la primera — incluso para un guijarro sin ninguna forma que una regla pueda querer.

38.1 El volumen: el sitio que ocupa una cosa

Definición 38.1 (El volumen)

El volumen de una cosa es la cantidad de sitio que ocupa. Los sólidos, los líquidos y los gases tienen todos volumen: el ladrillo ocupa su sitio, la limonada ocupa el interior de la botella y el aire ocupa lo que queda. El volumen se mide en centímetros cúbicos ( $\mathrm{cm}^{3}$ ) — el sitio de un cubito de un centímetro de arista — y en litros ( $\mathrm{L}$ ).

Proposición 38.2 (El litro en cubitos)

Las dos familias de unidades de volumen son una sola familia:

1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm}^{3}, \qquad 1\,\mathrm{mL} = 1\,\mathrm{cm}^{3}.

Un litro es exactamente el sitio que hay dentro de un cubo de diez centímetros de arista: $10 \times 10 \times 10 = 1000$ cubitos.

Un litro, desempaquetado: mil cubitos de centímetro apilados diez por diez por diez.

Ejemplo 38.3 (Volúmenes que conviene saberse)

Una cucharilla contiene unos $5\,\mathrm{mL}$ ; un vaso de beber, unos $25\,\mathrm{cL}$ , un cuarto de litro; el cartón de leche, $1\,\mathrm{L}$ ; una bañera, alrededor de $150\,\mathrm{L}$ ; un terrón de azúcar ocupa unos $3\,\mathrm{cm}^{3}$ ; un dado, unos $4\,\mathrm{cm}^{3}$ . Anclas como estas son las que hacen posible el paso de juzgar de cualquier medida.

38.2 Medir líquidos

Método 38.4 (Leer una probeta)

La jarra del laboratorio es la probeta: alta, estrecha y finamente graduada.

pon la probeta sobre una mesa plana — no la leas nunca en la mano;
busca el valor de la división, como en cualquier escala;
pon el ojo a la altura de la superficie del líquido: la superficie no es plana, sino ligeramente curva — un menisco — y trepa un poco por las paredes de vidrio;
lee en el fondo de la curva, mirando de frente.

Con el ojo demasiado alto o demasiado bajo, la curva te miente por uno o dos pasos — el error de la vista de lado con su disfraz favorito.

El menisco: los líquidos trepan un poco por el vidrio. La lectura honrada está en el fondo de la curva, a la altura del ojo.

El menisco de cerca: se lee la parte plana del centro de la curva, con el ojo a su altura.

38.3 Medir sólidos — incluso los llenos de bultos

Un sólido con forma de ladrillo se rinde ante la regla: largo por ancho por alto da su volumen en $\mathrm{cm}^{3}$ , como enseñó tu curso de matemáticas. Pero ¿y un guijarro, una llave, una ciruela? A un bulto no hay regla que le sirva. La respuesta tiene dos mil años y salió de una bañera.

Proposición 38.5 (El desplazamiento)

Un sólido sumergido por completo aparta — desplaza — exactamente su propio volumen de agua. La subida del nivel del agua mide al intruso: liso o lleno de bultos, el agua se amolda a cada hueco y a cada saliente.

Método 38.6 (El volumen por la subida del agua)

echa agua en una probeta — la suficiente para cubrir el objeto — y lee el volumen: pongamos $120\,\mathrm{mL}$ ;
ata un hilo al objeto y bájalo con suavidad hasta que quede completamente sumergido, sin salpicar y sin tocar las paredes;
vuelve a leer: pongamos $145\,\mathrm{mL}$ ;
resta: $145 - 120 = 25$ — el volumen del objeto es $25\,\mathrm{cm}^{3}$ (mililitros de subida, centímetros cúbicos de piedra: lo mismo).

El método de la subida: el agua sube exactamente el volumen del guijarro — 145 - 120 = 25\, cm3 de guijarro. — El método de la subida: el agua sube exactamente el volumen del guijarro — $145 - 120 = 25\,\mathrm{cm}^{3}$ de guijarro.

Ejemplo 38.7 (La corona en la bañera)

La vieja historia: un rey sospechaba que su orfebre había rebajado con plata el oro de la corona real, y le pidió al científico Arquímedes que lo averiguara sin dañar la corona. Al meterse en un baño lleno, Arquímedes vio el agua desbordarse por el borde — y comprendió de golpe que ese desbordamiento medía el volumen de su propio cuerpo, con bultos y todo. Cuenta la leyenda que salió corriendo por las calles gritando “¡Eureka!” — ¡lo he encontrado! Cómo desenmascaró el fraude el volumen de la corona necesita una idea más, dos capítulos por delante; la bañera le dio el volumen de cualquier cosa.

38.4 La masa y el volumen son respuestas distintas

Ejemplo 38.8 (Mismo volumen, distinta masa)

Llena dos vasos iguales de $25\,\mathrm{cL}$ , uno con agua y otro con miel, y pésalos (restando los vasos): el vaso de miel guarda claramente más gramos en el mismísimo sitio. Mismo volumen, distinta masa. Y un litro de aire pesa apenas más de un gramo en el mismo sitio en el que un litro de agua pesa un kilogramo entero. El sitio y la sustancia llevan de verdad contabilidades distintas — agárrate bien a esa idea: se convierte en una ley, con nombre propio, en el último capítulo de este año.

Observación 38.9 (Pesar lo que no se sostiene solo)

¿Cómo se pesa la harina sin pesar su cuenco? Las balanzas modernas tienen un botón para eso: se pone el cuenco vacío en el platillo, se aprieta — la pantalla se pone a cero — y después se echa la harina: la balanza informa ahora solo de la harina. La maniobra se llama tarar. Sin botón, se pesa dos veces y se resta: el cuenco con harina menos el cuenco vacío. De una manera o de otra, es otra vez la regla del arranque justo: empezar desde un cero honrado.

38.5 Ejercicios

Ejercicio 38.1 ★

¿A qué pregunta responde el volumen y a cuál responde la masa? Da las dos unidades principales de cada uno.

Solución

Solución de Ejercicio 38.1.

El volumen: cuánto sitio ocupa una cosa — $\mathrm{cm}^{3}$ y litros. La masa: cuánta sustancia contiene — gramos y kilogramos.

Ejercicio 38.2 ★

Convierte: $2\,\mathrm{L}$ a $\mathrm{cm}^{3}$ ; $350\,\mathrm{mL}$ a $\mathrm{cm}^{3}$ ; $1500\,\mathrm{cm}^{3}$ a litros; medio litro a mililitros.

Solución

Solución de Ejercicio 38.2.

$2000\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $350\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $1.5\,\mathrm{L}$ ; $500\,\mathrm{mL}$ .

Ejercicio 38.3 ★

¿Por qué hay que leer una probeta a la altura del ojo, sobre la mesa y en el fondo del menisco? Nombra el error que evita cada regla.

Solución

Solución de Ejercicio 38.3.

Sobre la mesa: una probeta inclinada inclina la superficie. A la altura del ojo: un ojo alto o bajo desplaza la marca aparente (el error de la vista de lado). En el fondo del menisco: el líquido trepa por las paredes, y solo el fondo de la curva está en el volumen verdadero.

Ejercicio 38.4 ★

Una probeta marca $200\,\mathrm{mL}$ ; con una ciruela dentro, marca $265\,\mathrm{mL}$ . ¿Cuál es el volumen de la ciruela, en $\mathrm{cm}^{3}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 38.4.

$265 - 200 = 65$ : el volumen de la ciruela es $65\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Ejercicio 38.5 ★

¿Por qué funciona el método de la subida incluso con un guijarro lleno de bultos, cuando ninguna regla podría medirlo? ¿Qué proposición responde?

Solución

Solución de Ejercicio 38.5.

El agua se amolda a cada hueco y a cada saliente, así que el agua apartada es exactamente el volumen del guijarro — la proposición del desplazamiento. La regla necesita aristas rectas; el agua no necesita ninguna.

Ejercicio 38.6 ★

Una goma de borrar con forma de ladrillo mide $5\,\mathrm{cm}$ por $2\,\mathrm{cm}$ por $1\,\mathrm{cm}$ . ¿Su volumen? Plan de comprobación: ¿cómo lo confirmarías con el método de la subida?

Solución

Solución de Ejercicio 38.6.

$5 \times 2 \times 1 = 10\,\mathrm{cm}^{3}$ . Comprobación: se baja a una probeta — la lectura debería subir exactamente $10\,\mathrm{mL}$ .

Ejercicio 38.7 ★

Para pesar arroz: cuenco vacío, $280\,\mathrm{g}$ ; cuenco con arroz, $745\,\mathrm{g}$ . ¿Cuánto arroz hay? ¿Qué botón hace lo mismo en un solo paso?

Solución

Solución de Ejercicio 38.7.

$745 - 280 = 465\,\mathrm{g}$ de arroz. El botón de tara: se pone a cero la balanza con el cuenco vacío encima y después se echa el arroz.

Ejercicio 38.8 ★

¿Qué tiene mayor volumen, un kilogramo de plumas o un kilogramo de hierro? ¿Y mayor masa? (Responde con cuidado a las dos preguntas.)

Solución

Solución de Ejercicio 38.8.

Masas iguales — un kilogramo cada uno. Las plumas ocupan muchísimo más sitio: mucho más volumen para la misma sustancia.

Ejercicio 38.9 ★★

El método de la subida falla con un corcho: flota. Propón un arreglo que siga usando la probeta — y di qué hay que restar si tu arreglo usa un objeto ayudante.

Solución

Solución de Ejercicio 38.9.

Hundir el corcho a propósito: empujarlo bajo el agua con una brocheta fina (leyendo la subida cuando solo está sumergido el corcho) o atarlo a un lastre pesado — primero se mide la subida del lastre solo, después la de la pareja junta, y se resta la parte del lastre.

Ejercicio 38.10 ★★

Un cartón de zumo dice contener $1\,\mathrm{L}$ . Al vaciarlo, llena tres veces un vaso de $250\,\mathrm{mL}$ , y el cuarto vaso solo hasta la marca de $200\,\mathrm{mL}$ . ¿Era honrada la etiqueta? ¿Por cuánto?

Solución

Solución de Ejercicio 38.10.

Lo vaciado: $3 \times 250 + 200 = 950\,\mathrm{mL}$ . La etiqueta falló por $50\,\mathrm{mL}$ — le faltaba una vigésima parte de litro.

Ejercicio 38.11 ★★

Se baja un collar a una probeta que marca $80.0\,\mathrm{mL}$ ; el nivel sube hasta $83.5\,\mathrm{mL}$ . El joyero afirma que el collar contiene $5\,\mathrm{cm}^{3}$ de oro. ¿Puede ser cierta la afirmación? ¿Qué es exactamente lo que midió el agua?

Solución

Solución de Ejercicio 38.11.

La subida es $83.5 - 80.0 = 3.5\,\mathrm{mL}$ : el volumen entero del collar es $3.5\,\mathrm{cm}^{3}$ . El agua mide el volumen total, con metal, cierre y todo — así que una afirmación de $5\,\mathrm{cm}^{3}$ de oro no puede ser cierta: no hay ni $5\,\mathrm{cm}^{3}$ de collar.

Ejercicio 38.12 ★★★

Diseña una comprobación estilo bañera de la propia Proposición 38.5, usando un objeto con forma de ladrillo cuyo volumen ya conoce la regla. Describe los pasos, predice las dos lecturas de la probeta para un bloque de $4 \times 3 \times 2$ centímetros bajado a $150\,\mathrm{mL}$ y di qué resultado demostraría que la proposición es falsa.

Solución

Solución de Ejercicio 38.12.

La regla promete $4 \times 3 \times 2 = 24\,\mathrm{cm}^{3}$ . Se baja el bloque (con hilo, sin salpicar, completamente sumergido y sin tocar las paredes) a $150\,\mathrm{mL}$ : la predicción es una subida de $150\,\mathrm{mL}$ a $174\,\mathrm{mL}$ . Si el agua subiera cualquier otra cosa distinta de $24\,\mathrm{mL}$ — fuera del paso honrado de la probeta o de dos —, la proposición del desplazamiento quedaría refutada. (No ha ocurrido nunca.)

38.6 Problema: día de embotellado en la huerta

Problema 38.1

Problema de fin de semana — día de prensado en la huerta; litros en botellas, cajas en la báscula; el guijarro en la jarra

Hoy en la huerta se prensan las manzanas, y a cada ayudante le toca un trabajo de medida.

Parte I — Zumo por litros. La prensa ha llenado un barril de $20\,\mathrm{L}$ .

¿Cuántos centímetros cúbicos son $20\,\mathrm{L}$ ?
El zumo se embotella en botellas de $75\,\mathrm{cL}$ . ¿Cuántas botellas llenas da el barril?
¿Cuánto zumo sobra después de la última botella llena, en centilitros?
Lo que sobra se sirve en vasos de $25\,\mathrm{cL}$ . ¿Cuántos vasos llena?

Parte II — Cajas en la báscula.

Una botella vacía tiene una masa de $450\,\mathrm{g}$ . Usando la Parte I, ¿cuál es la masa del zumo de una botella llena, si un litro de zumo tiene una masa de aproximadamente $1\,\mathrm{kg}$ ? (Trabaja en gramos.)
Entonces, ¿cuánto pesa en total una botella llena?
Una caja de madera pesa $2\,\mathrm{kg}$ vacía y lleva seis botellas llenas. ¿Masa total de una caja cargada?
La furgoneta puede llevar $200\,\mathrm{kg}$ de cajas. ¿Cuántas cajas cargadas puede llevar? (Solo cajas enteras.)

Parte III — El guijarro en la jarra. El pequeño Tom deja caer un guijarro en una jarra de $1\,\mathrm{L}$ llena de zumo, y el zumo se desborda sobre la mesa.

Lo que se ha recogido del desbordamiento mide $40\,\mathrm{mL}$ . ¿Qué midió el derrame sobre el guijarro y por qué proposición?
Después de pescar el guijarro, ¿cuánto zumo queda en la jarra?
Tom protesta: “¡El guijarro es pequeño — mira, se me esconde en el puño!”. Su hermana le responde con una probeta: mete el guijarro en $100\,\mathrm{mL}$ de agua. ¿Qué lectura demuestra que el derrame decía la verdad?
Contabilidad extra: el guijarro pesa $104\,\mathrm{g}$ en la báscula de cocina. Sin ninguna idea nueva, ¿puedes decir ya si la sustancia del guijarro es más pesada o más ligera que la del zumo para el mismo sitio ocupado? Compara $104\,\mathrm{g}$ de guijarro en $40\,\mathrm{cm}^{3}$ con la masa de zumo que llenaría esos mismos $40\,\mathrm{cm}^{3}$ — y guarda tu conclusión calentita para el capítulo de la densidad.

Solución

Solución de Problema 38.1.

1. $20 \times 1000 = 20\,000\,\mathrm{cm}^{3}$ . 2. $20\,\mathrm{L} = 2000\,\mathrm{cL}$ ; $2000 \div 75 = 26$ botellas llenas (con resto). 3. $26 \times 75 = 1950\,\mathrm{cL}$ , así que quedan $2000 - 1950 = 50\,\mathrm{cL}$ . 4. $50 \div 25 = 2$ vasos, exactamente. 5. $75\,\mathrm{cL} = 0.75\,\mathrm{L}$ , y un litro pesa unos $1000\,\mathrm{g}$ : el zumo pesa unos $750\,\mathrm{g}$ . 6. $750 + 450 = 1200\,\mathrm{g}$ — $1.2\,\mathrm{kg}$ . 7. $6 \times 1.2 = 7.2\,\mathrm{kg}$ de botellas más $2\,\mathrm{kg}$ de caja: $9.2\,\mathrm{kg}$ . 8. $200 \div 9.2$ : $21$ cajas serían $193.2\,\mathrm{kg}$ y $22$ serían $202.4\,\mathrm{kg}$ — demasiado. La furgoneta se lleva $21$ cajas. 9. El derrame es el zumo que desplazó el guijarro: el volumen del guijarro es $40\,\mathrm{cm}^{3}$ , por la proposición del desplazamiento. 10. Quedan $1000 - 40 = 960\,\mathrm{mL}$ de zumo. 11. La probeta debería subir de $100\,\mathrm{mL}$ a $140\,\mathrm{mL}$ — una subida de $40\,\mathrm{mL}$ , que coincide con el derrame. Los puños no miden nada; el agua dice la verdad. 12. Esos $40\,\mathrm{cm}^{3}$ , llenos de zumo, contendrían unos $40\,\mathrm{g}$ de zumo — el guijarro mete $104\,\mathrm{g}$ en el mismo sitio: la sustancia del guijarro es más pesada que la del zumo a igualdad de sitio, más del doble. El capítulo de la densidad le pondrá a esta comparación su nombre y su número como es debido.

Términos definidos en este capítulo

El volumen

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