Física de primaria y secundaria · Grades 1–9

63La gravitación

Una manzana se suelta de su rama y cae. La Luna, encima del mismo huerto, no. Durante miles de años estos parecieron dos hechos sin relación — hasta que una intuición genial los unió: la Luna está cayendo, sin parar, alrededor de la Tierra, sostenida por el mismísimo tirón que reclama a la manzana. Una sola ley para el huerto y para el cielo — la ecuación más atrevida que se había escrito hasta aquel día, y con ella se abre tu último año de este libro.

63.1 La atracción universal

Definición 63.1 (Gravitación)

La gravitación es la atracción mutua entre todas las masas: cada porción de materia del universo tira de todas las demás. Es la fuerza sin contacto que conociste hace años como “el tirón de la Tierra” — revelada ahora como universal: la Tierra tira de la manzana, la manzana tira de la Tierra, la Luna tira de los mares, el Sol tira de los planetas y dos libros de un estante tiran el uno del otro, debilísimamente, para siempre.

Proposición 63.2 (La ley de la gravitación universal)

Dos cuerpos de masas $m_A$ y $m_B$ (en $\mathrm{kg}$ ), con sus centros a una distancia $d$ (en $\mathrm{m}$ ), se atraen con fuerzas iguales y opuestas a lo largo de la recta que los une, de valor

F = G \times \frac{m_A \times m_B}{d^2},

con $F$ en newtons ( $\mathrm{N}$ ) — la unidad de fuerza cuya historia completa empieza en el capítulo siguiente — y con $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , la constante de gravitación, el mismo número en todo el universo. La fuerza crece con cada masa y muere con el cuadrado de la distancia: al doble de lejos, cuatro veces más débil; a diez veces la distancia, cien veces más débil.

La gravitación universal: dos masas, dos tirones iguales y opuestos a lo largo de la recta que las une — la manzana tira de la Tierra exactamente con la misma fuerza con que la Tierra tira de la manzana.

Ejemplo 63.3 (Leer la ley)

Todos los rasgos de la fórmula hablan. Las masas se multiplican: dobla cualquiera de las dos compañeras y doblarás la fuerza. La distancia va al cuadrado en el denominador: la gravedad es un susurro que se apaga a toda prisa — la dilución del inverso del cuadrado que volverás a encontrarte con la luz y con el sonido, pues es la geometría de todo lo que se reparte por el espacio. Y el tamaño minúsculo de $G$ — once ceros antes de su primera cifra — proclama a la gravitación la enclenque de las fuerzas de la naturaleza: gobierna el cosmos solo porque las masas de ahí arriba son monstruosas y nada la cancela.

Ejemplo 63.4 (Por qué los estantes no se aplastan)

Dos libros de $1\,\mathrm{kg}$ , con los centros a $0.1\,\mathrm{m}$ :

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{1 \times 1}{0.1^2} = 6.67 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}

— unas milmillonésimas de newton, el peso de la mota de polvo de una mota de polvo. Ahora la Tierra y la manzana: sustituye uno de los libros por $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ de planeta y la distancia por su radio de $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , y esa misma ley entrega el tirón familiar de una tarde en el huerto. Universal significa universal — solo las masas deciden quién se entera.

63.2 La Luna que cae

Ejemplo 63.5 (El cañón de la montaña)

El experimento mental de la propia intuición. Dispara horizontalmente una bala de cañón desde una cima alta: describe un arco y aterriza. Dispárala más rápido: aterriza más lejos — con el tirón de la Tierra doblándole el camino todo el rato. Ahora imagina dispararla tan rápido que, mientras cae, la superficie de la Tierra redonda se curve alejándose por debajo al mismo ritmo: la bala cae sin parar y no aterriza nunca — da vueltas al planeta. Esa caída perpetua tiene un nombre conocido: una órbita. Nada sujeta “arriba” a un cuerpo en órbita; está cayendo con estilo.

El cañón de la montaña: cada disparo más rápido cae más lejos alrededor de la Tierra curvada — hasta que la caída y la curvatura coinciden y la bala orbita.

Proposición 63.6 (Lo que gobierna la gravitación)

Una ley, el cielo entero: la Luna es la bala de cañón eterna de la Tierra, cayendo a nuestro alrededor una vez al mes; los planetas caen igual alrededor del Sol — los más cercanos más deprisa, como exige el inverso del cuadrado; los cometas se lanzan desde la oscuridad en largos bucles de caída; y todos los satélites artificiales — ojos meteorológicos, balizas de navegación, la estación tripulada que da una vuelta cada noventa minutos — montan en las matemáticas del cañón de la montaña. Nada está suspendido en los cielos. Todo cae, y falla el blanco.

Ejemplo 63.7 (Las mareas: la Luna tira de vuelta)

La mutualidad tiene una firma escrita en el agua. El tirón de la Luna sobre la Tierra es más fuerte en el océano que la mira y más débil en el lado opuesto — así que los mares se amontonan suavemente hacia la Luna y en dirección contraria a la vez, y, mientras la Tierra gira por debajo de los montones, las costas ven subir y bajar el agua: las mareas, dos veces casi todos los días. El Sol echa una mano — alineado en luna nueva y en luna llena para las grandes mareas vivas. Los pescadores llevan milenios leyendo la Luna; la ley se la lee a ella.

Observación 63.8 (Lo que la ley no dice)

La gran ecuación calcula la fuerza con una exquisita exactitud y no explica ni una pizca de cómo se agarran dos cuerpos a través de la nada vacía — su propio autor declaró la pregunta abierta y la dejó, magníficamente, sin responder. Existen respuestas más profundas — los años de universidad de este curso alcanzan la moderna, en la que la masa curva la mismísima geometría que habita —, pero todos los físicos honrados desde entonces han repetido la lección que puedes llevarte de esta página: una ley puede ser perfectamente útil, perfectamente comprobada y guardar aún su secreto último.

La caída libre, vivida a diario: la estación espacial y todo lo que hay dentro caen juntos alrededor de la Tierra, así que nada aprieta contra nada — las cámaras, los bolígrafos, las manzanas y el agua flotan.

63.3 Ejercicios

Ejercicio 63.1 ★

Enuncia la ley de la gravitación universal — fórmula, unidades y los dos rasgos (masas y distancia) con palabras.

Solución

Solución de Ejercicio 63.1.

$F = G \, m_A m_B / d^2$ , con las masas en kilogramos, $d$ en metros entre los centros, $F$ en newtons y $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ . Con palabras: el tirón crece con cada masa y muere con el cuadrado de la distancia — y actúa por igual sobre las dos compañeras, en sentidos opuestos.

Ejercicio 63.2 ★

La Tierra tira de la manzana con $1\,\mathrm{N}$ . ¿Con qué fuerza tira la manzana de la Tierra? ¿Por qué solo uno de los dos acelera de forma visible?

Solución

Solución de Ejercicio 63.2.

Con exactamente $1\,\mathrm{N}$ — los tirones de la ley vienen siempre en parejas iguales y opuestas. La manzana acelera de forma visible porque su masa es minúscula; ese mismo $1\,\mathrm{N}$ aplicado a $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ de planeta lo remueve de manera inconmensurablemente pequeña.

Ejercicio 63.3 ★

Dos satélites orbitan a distancias $d$ y $2d$ del centro de la Tierra. Compara las fuerzas gravitatorias sobre ellos (con masas iguales). ¿Y a $10 d$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 63.3.

A $2d$ : la cuarta parte de la fuerza que hay a $d$ — el cuadrado de dos. A $10d$ : la centésima parte.

Ejercicio 63.4 ★

Calcula la atracción entre dos bailarines de $80\,\mathrm{kg}$ separados $0.5\,\mathrm{m}$ — y comenta el romance frente a la gravitación.

Solución

Solución de Ejercicio 63.4.

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 80 \times 80 \div 0.25 = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ — menos de dos millonésimas de newton: sea lo que sea lo que junta a los bailarines, no es la gravitación.

Ejercicio 63.5 ★

En la historia del cañón de la montaña, ¿qué dos ritmos coinciden exactamente para el disparo que orbita? ¿Qué es una órbita, en tres palabras?

Solución

Solución de Ejercicio 63.5.

El ritmo al que cae la bala y el ritmo al que la superficie de la Tierra redonda se curva alejándose por debajo. Una órbita: caer fallando el blanco.

Ejercicio 63.6 ★

“Los astronautas flotan porque ahí arriba no hay gravedad”. Demuele esto con la bala de cañón: ¿qué están haciendo la estación y la tripulación?

Solución

Solución de Ejercicio 63.6.

A la altitud de la estación, la gravedad conserva casi toda su fuerza de superficie — es lo que mantiene a la estación en su círculo. La estación y la tripulación están las dos cayendo, juntas, alrededor de la Tierra: los compañeros de caída no aprietan contra nada, y flotar es la sensación de una caída libre compartida.

Ejercicio 63.7 ★

¿Por qué gobierna el cosmos la gravitación, la enclenque de la naturaleza? Dos razones del capítulo.

Solución

Solución de Ejercicio 63.7.

Porque los cielos manejan masas monstruosas — los planetas y las estrellas multiplican el enclenque $G$ hasta convertirlo en fuerzas poderosas — y porque la gravitación no se cancela nunca: solo atrae, así que cada masa añadida ahonda el tirón.

Ejercicio 63.8 ★

¿De dónde vienen las mareas y por qué hay dos casi todos los días? ¿Cuándo llegan las más grandes?

Solución

Solución de Ejercicio 63.8.

El tirón de la Luna amontona los mares tanto hacia ella (el agua más cercana, la más tirada) como en dirección contraria (el agua más lejana, la menos tirada); la Tierra al girar lleva cada día a cada costa por debajo de los dos montones — dos mareas. Las mayores, en luna nueva y en luna llena, cuando la mano del Sol se alinea con la de la Luna: las mareas vivas.

Ejercicio 63.9 ★★

La Luna ( $7.3 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ ) orbita a $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ de la Tierra ( $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ). Calcula su atracción, en notación científica de principio a fin — y admira cuántas cifras lleva la potencia de diez de la respuesta.

Solución

Solución de Ejercicio 63.9.

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times (7.3 \times 10^{22} \times 5.97 \times 10^{24}) \div (3.8 \times 10^{8})^2 \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ — un $2$ seguido de veinte ceros de newtons que mantienen a la Luna en su correa.

Ejercicio 63.10 ★★

En la superficie de la Luna, tu peso encogía hasta una sexta parte (acuérdate de los astronautas dando saltitos). Con los dos mandos de la ley — la masa menor de la Luna y su radio menor —, explica cómo puede salir una sexta parte de un cuerpo ochenta veces más ligero que la Tierra.

Solución

Solución de Ejercicio 63.10.

Dos mandos giran uno contra el otro: la masa de la Luna, unas ochenta veces menor, recorta el tirón ochenta veces; pero su radio, casi cuatro veces menor, impulsa el tirón en la superficie por cuatro al cuadrado — unas catorce veces. Ochenta abajo, catorce arriba: queda cerca de una sexta parte.

Ejercicio 63.11 ★★

Mercurio le da la vuelta al Sol en $88$ días; Neptuno, en $165$ años. Lee esta pauta a partir del inverso del cuadrado: ¿qué le hace al agarre del Sol el que la gravedad se apague con la distancia, y qué le hace por tanto al ritmo de la familia exterior?

Solución

Solución de Ejercicio 63.11.

El inverso del cuadrado adelgaza el agarre del Sol con la distancia, y un agarre más débil solo puede sostener una caída-alrededor más lenta: los planetas exteriores llevan la correa floja y pasean, los interiores están agarrados fuerte y corren — el sprint de Mercurio y el paseo de 164 años de Neptuno son la misma ley leída a dos distancias.

Ejercicio 63.12 ★★★

Un satélite geoestacionario cuelga aparentemente inmóvil sobre un punto del ecuador — las antenas parabólicas no se mueven nunca. Concilia la apariencia con la Proposición 63.6: ¿cuál tiene que ser su periodo orbital, en qué sentido tiene que dar vueltas y por qué “colgar” significa aquí “caer en perfecta sincronía con la Tierra que gira”?

Solución

Solución de Ejercicio 63.12.

Su periodo tiene que ser exactamente de un día, dando vueltas hacia el este — el sentido de giro de la propia Tierra. Entonces el satélite y la antena giran en perfecta sincronía: la parabólica que “cuelga” está mirando una bala de cañón que cae alrededor del planeta exactamente al ritmo al que el planeta gira por debajo — inmóvil solo a los ojos del observador que gira.

63.4 Problema: la herencia de la bala de cañón

Problema 63.1

Problema de fin de semana — del huerto a la órbita; la manzana, el cañón y la Luna auditados con una sola ley; el tablero de lanzamiento de satélites

Una tarde en la mesa de divulgación de la agencia espacial: una sola ley, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , masa de la Tierra $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ y radio de la Tierra $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ .

Parte I — La auditoría de la manzana.

Calcula el tirón de la Tierra sobre una manzana de $0.1\,\mathrm{kg}$ en la superficie (con los centros separados un radio terrestre).
¿Con qué fuerza tira la manzana de la Tierra? Di la palabra que usa la ley para esta contabilidad de doble sentido.
Levanta la manzana hasta el doble del radio terrestre desde el centro. ¿Qué le pasa al tirón?
Un visitante pregunta por qué la fórmula usa la distancia al centro de la Tierra y no al suelo. Ofrécele la respuesta corta y honrada (tira el planeta entero, y sus tirones repartidos suman como si vinieran del centro — un teorema que el gran autor necesitó años para demostrar).

Parte II — El tablero de lanzamiento.

El satélite de hoy tiene una masa de $2000\,\mathrm{kg}$ . ¿Su peso en la superficie, según la ley? (O según el atajo que nombra el capítulo siguiente: unos $9.8\,\mathrm{N}$ por kilogramo.)
En su órbita de trabajo a $1.28 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ del centro — dos radios terrestres —, ¿qué fracción de su peso en la superficie sigue ejerciendo sobre él la gravedad?
“¿Entonces ahí arriba sigue habiendo gravedad de verdad?”. Confírmalo con el número — y explica qué está haciendo el satélite con ese tirón en lugar de estrellarse.
El comentario del lanzamiento dice que “la velocidad orbital tiene que igualar a la caída”. Vuelve a contar en dos frases la historia del cañón de la montaña para el folleto de los visitantes.

Parte III — El libro de cuentas de la Luna.

Con la Luna a $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , ¿a cuántos radios terrestres viaja? (Un decimal.)
Por el inverso del cuadrado, ¿a qué fracción aproximada de su fuerza en la superficie se ha apagado allí la gravedad? (Eleva al cuadrado tu respuesta anterior.)
La gran intuición, vuelta a contar: la manzana del huerto cae unos cinco metros en su primer segundo; la Luna, cada segundo, “cae” hacia la Tierra apenas un milímetro — y sin embargo no llega nunca. Conecta los dos hechos con tus respuestas 9 y 10: ¿por qué es miles de veces más suave la caída de la Luna, y por qué es sin fin?
Cierra la tarde de divulgación: una ley, tres intérpretes — manzana, satélite y Luna. Escribe la frase de cierre del tablero que los une.

Solución

Solución de Problema 63.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times (0.1 \times 5.97 \times 10^{24}) \div (6.4 \times 10^{6})^2 \approx 0.97\,\mathrm{N}$ — llámalo un newton: el tirón del huerto, calculado con la constante del universo. 2. $0.97\,\mathrm{N}$ igualmente — mutualidad: los tirones de la ley vienen solo en parejas iguales y opuestas. 3. Doblar la distancia entre centros deja el tirón en la cuarta parte: unos $0.24\,\mathrm{N}$ . 4. Todas las migajas del planeta tiran de la manzana — las montañas cercanas, el núcleo profundo, las antípodas lejanas — y la suma de todos esos tirones sale exactamente como si toda la masa estuviera en el centro: un teorema, no una suposición, y su autor retrasó años la publicación hasta poder demostrarlo. 5. Unos $2000 \times 9.8 \approx 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}$ — veinte mil newtons (la ley con $d$ igual a un radio terrestre da lo mismo). 6. A dos radios, el inverso del cuadrado deja una cuarta parte: unos $4900\,\mathrm{N}$ frente a sus $19\,600\,\mathrm{N}$ de peso en la superficie. 7. Sí — una cuarta parte de la gravedad completa no es un vacío sin peso. El satélite se gasta ese tirón en curvar su camino: cae alrededor de la Tierra fallando el blanco para siempre, exactamente como enseñaba el cañón de la montaña. 8. “Disparada lo bastante rápido, la caída de una bala de cañón iguala a la curvatura de la Tierra y la bala da vueltas para siempre — cayendo sin aterrizar. Todos los satélites son esa bala de cañón, lanzada de lado lo bastante rápido para seguir fallando el suelo”. 9. $3.8 \times 10^{8} \div 6.4 \times 10^{6} \approx 59.4$ radios terrestres. 10. Aproximadamente $1 \div 59.4^2 \approx 1/3500$ de la fuerza en la superficie. 11. Suave porque la gravedad a sesenta radios está diluida tres mil quinientas veces — la caída de cinco metros del primer segundo encoge hasta cerca de un milímetro. Sin fin porque ese milímetro de caída iguala exactamente al milímetro en que la superficie de la Tierra se curva alejándose por debajo del deslizamiento lateral de la Luna: la caída no gana terreno nunca. 12. Por ejemplo: “La manzana, el satélite y la Luna obedecen a una sola frase: todas las masas caen hacia todas las demás según $G m_A m_B / d^2$ — la manzana aterriza, el satélite y la Luna siguen fallando el blanco, y la única diferencia es la velocidad lateral”.

Términos definidos en este capítulo

Gravitación

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