Física de primaria y secundaria · Grades 1–9

46Volumen, masa y densidad

El año pasado desenmascaraste a un orfebre fraudulento dividiendo gramos entre centímetros cúbicos. Este año, tu curso de matemáticas te ha entregado un poder nuevo: letras que representan números. La densidad es el sitio perfecto para gastarlo — una fórmula corta que empaqueta tres recetas, un maletín de detective y la regla entera de la flotación en cinco símbolos.

46.1 La fórmula

Definición 46.1 (La densidad, en fórmula)

La densidad $\rho$ (la letra griega ro) de una sustancia es su masa por unidad de volumen: para una muestra de masa $m$ y volumen $V$ ,

\rho = \frac{m}{V}.

Con $m$ en gramos y $V$ en centímetros cúbicos, $\rho$ sale en gramos por centímetro cúbico ( $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ) — la “masa de un centímetro cúbico” del año pasado, ahora de uniforme. La densidad del agua: $\rho = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . Y, como un litro son $1000$ centímetros cúbicos, el mismo número sirve también como kilogramos por litro: el agua es $1.0\,\mathrm{kg}$ por litro.

Ejemplo 46.2 (Leer las letras)

Una fórmula es una frase en taquigrafía. $\rho = m/V$ se lee: “para hallar la densidad, divide la masa de la muestra entre su volumen”. Las letras son huecos que se rellenan — para este guijarro, $m$ se convierte en $75\,\mathrm{g}$ y $V$ en $30\,\mathrm{cm}^{3}$ :

\rho = \frac{m}{V} = \frac{75}{30} = 2.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.

La misma división que el año pasado — pero la fórmula se acuerda de la receta para todos los guijarros que estén por venir.

Proposición 46.3 (Tres recetas en una fórmula)

Como la densidad ata la masa y el volumen en proporción, una sola fórmula sirve para tres necesidades:

hallar una densidad: $\rho = m/V$ — divide la masa entre el volumen;
hallar una masa: $m = \rho \times V$ — cada centímetro cúbico lleva $\rho$ gramos, y hay $V$ de ellos;
hallar un volumen: $V = m/\rho$ — reparte la masa en raciones de $\rho$ gramos; el número de raciones es el número de centímetros cúbicos.

Ejemplo 46.4 (Las recetas trabajando)

La masa a partir del volumen: ¿cuánto pesan $250\,\mathrm{cm}^{3}$ de hierro ( $\rho = 7.9$ )? $m = 7.9 \times 250 = 1975\,\mathrm{g}$ — casi dos kilogramos en el volumen de una taza de café. El volumen a partir de la masa: ¿cuánto sitio ocupan $540\,\mathrm{g}$ de roble ( $\rho = 0.6$ )? $V = 540 \div 0.6 = 900\,\mathrm{cm}^{3}$ . Compañera de sensatez: las respuestas del hierro deben salir pesadas y pequeñas, y las de la madera, ligeras y grandes — la tabla de densidades es la mejor amiga del paso de juzgar.

La tabla de densidades como un perfil de rascacielos: desde el 0.2 ligerísimo del corcho hasta el monumental 19.3 del oro. El 1.0 del agua es la frontera de la flotación. — La tabla de densidades como un perfil de rascacielos: desde el $0.2$ ligerísimo del corcho hasta el monumental $19.3$ del oro. El $1.0$ del agua es la frontera de la flotación.

46.2 Medir densidades

Método 46.5 (Densidad de un líquido)

Los líquidos no se sostienen solos en el platillo de una balanza — así que toma prestado el truco de la tara:

coloca una probeta vacía en la balanza y tárala a cero;
echa dentro un volumen cómodo — pongamos $V = 80\,\mathrm{cm}^{3}$ del líquido misterioso —, leyendo bien el menisco;
la balanza enseña ahora solo la masa del líquido: pongamos $m = 68\,\mathrm{g}$ ;
divide: $\rho = 68 \div 80 = 0.85\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — más ligero que el agua: probablemente un aceite.

Ejemplo 46.6 (Densidad de un sólido, de principio a fin)

Una medalla dice ser de plata ( $\rho = 10.5$ ). Balanza: $m = 84\,\mathrm{g}$ . Probeta: el agua sube de $60.0\,\mathrm{cm}^{3}$ a $68.0\,\mathrm{cm}^{3}$ , así que $V = 8.0\,\mathrm{cm}^{3}$ . Entonces $\rho = 84 \div 8.0 = 10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — la firma coincide: bien podría ser plata. (Un metal más barato vestido con un baño de plata se habría delatado aquí — salvo que estuviera elegido con astucia, como enseñará el problema de fin de semana.)

Observación 46.7 (Las unidades en las fórmulas)

Una fórmula solo es honrada si sus unidades coinciden. Con $m$ en gramos y $V$ en $\mathrm{cm}^{3}$ , $\rho$ habla en $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ; aliméntala con kilogramos y litros y responderá en $\mathrm{kg}/\mathrm{L}$ — y, por fortuna, con el mismo número para cualquier sustancia. Pero mezcla gramos con litros y la fórmula, sin quejarse, entregará un disparate. Regla de los profesionales: antes de calcular, pasa revista a las unidades; después de calcular, escríbelas en la respuesta.

46.3 Pensar en densidades

Ejemplo 46.8 (Aleaciones e intermedios)

Mezcla dos sustancias y la densidad de la mezcla aterriza entre sus firmas — más cerca de la del ingrediente más generoso. El bronce (cobre $9.0$ con un poco de estaño) firma cerca de $8.8$ ; la mezcla de oro y plata de la corona firmaba entre $10.5$ y $19.3$ ; el agua del mar, sal disuelta en agua, se sube hasta alrededor de $1.03$ . Estar en medio es en sí mismo una pista: una lectura de $12$ en un lingote de “oro puro” es una confesión de compañía.

Ejemplo 46.9 (La densidad decide el mundo de la flotación)

La regla de la flotación, ya de uniforme: un objeto flota en un líquido cuando $\rho_{\text{objeto}} < \rho_{\text{líquido}}$ . El roble ( $0.6$ ) sobre el agua ( $1.0$ ): flota. El hielo ( $0.9$ ) en aceite ( $0.85$ ): se hunde — consulta la tabla, no tus instintos. Un nadador ( $\approx 1.0$ ) en los famosos lagos ultrasalados ( $\approx 1.2$ ): flota como un corcho, con el periódico en la mano. Una sola desigualdad, el puerto entero.

Observación 46.10 (Fíjate en la multitud, no en el paquete)

$\rho = m/V$ describe sustancias; los barcos y los chalecos salvavidas hinchados son paquetes — sustancia más aire atrapado —, y es el $m/V$ global del paquete el que se enfrenta a la regla de la flotación. La fórmula sirve para los dos casos si la alimentas con la $m$ y la $V$ correctas: la densidad propia del acero para la sustancia, y la masa del casco entero entre el volumen del casco entero para el paquete. Casi todas las “paradojas” de la flotación no son más que las dos contabilidades confundidas.

46.4 Ejercicios

Ejercicio 46.1 ★

Escribe la fórmula de la densidad, nombra cada letra y da la unidad que acompaña a los gramos y a los centímetros cúbicos.

Solución

Solución de Ejercicio 46.1.

$\rho = m/V$ : $\rho$ es la densidad, $m$ la masa de la muestra y $V$ su volumen. Con gramos y centímetros cúbicos, $\rho$ sale en $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ .

Ejercicio 46.2 ★

Calcula la densidad: $m = 270\,\mathrm{g}$ , $V = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ . ¿Qué metal del gráfico de rascacielos es este?

Solución

Solución de Ejercicio 46.2.

$\rho = 270 \div 100 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : aluminio.

Ejercicio 46.3 ★

Usa la receta adecuada: la masa de $40\,\mathrm{cm}^{3}$ de cobre ( $\rho = 9.0$ ); el volumen de $1930\,\mathrm{g}$ de oro ( $\rho = 19.3$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 46.3.

$m = 9.0 \times 40 = 360\,\mathrm{g}$ de cobre. $V = 1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ de oro — el número propio del caso de la corona.

Ejercicio 46.4 ★

En el Método 46.5, ¿por qué se tara primero la probeta? ¿Qué dos lecturas alimentan después la fórmula?

Solución

Solución de Ejercicio 46.4.

Tarar quita la masa propia de la probeta para que la balanza informe solo del líquido — la regla del cero honrado. La fórmula se alimenta después con la masa $m$ de la balanza y la lectura $V$ del menisco.

Ejercicio 46.5 ★

Un líquido: $V = 50\,\mathrm{cm}^{3}$ , $m = 70\,\mathrm{g}$ . ¿Su densidad? ¿Flota o se hunde en él un cubito de hielo ( $0.9$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 46.5.

$\rho = 70 \div 50 = 1.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — parecido a la miel. El hielo, con $0.9$ , es muchísimo menos denso: flota bien alto en él.

Ejercicio 46.6 ★

¿Por qué es la densidad del agua el mismo número en $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ y en kilogramos por litro? ¿Qué aviso le añade la Observación 46.7 a mezclar gramos con litros?

Solución

Solución de Ejercicio 46.6.

Las dos unidades escalan a la vez: un litro son $1000$ $\mathrm{cm}^{3}$ y un kilogramo son $1000$ gramos, así que los dos miles se cancelan — un solo número sirve para las dos. Mezclar gramos con litros se salta esa cancelación y entrega un número mil veces equivocado.

Ejercicio 46.7 ★

Una pulsera marcada como “oro puro” tiene $m = 58\,\mathrm{g}$ y $V = 5.0\,\mathrm{cm}^{3}$ . Calcula su densidad y da tu veredicto, con la tabla como testigo.

Solución

Solución de Ejercicio 46.7.

$\rho = 58 \div 5.0 = 11.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — cerca del $11.3$ del plomo y ni de lejos del $19.3$ del oro. Veredicto: no es oro puro; probablemente un impostor de corazón de plomo vestido de oro.

Ejercicio 46.8 ★★

Un metro cúbico es un cubo de $100 \times 100 \times 100$ centímetros. ¿Cuántos $\mathrm{cm}^{3}$ son — y cuál es la masa de un metro cúbico de agua, en kilogramos? (La respuesta explica por qué las camas de agua preocupan a los caseros.)

Solución

Solución de Ejercicio 46.8.

$100 \times 100 \times 100 = 1000000$ $\mathrm{cm}^{3}$ — un millón. A $1\,\mathrm{g}$ cada uno, eso son $1\,000\,000\,\mathrm{g}$ $=$ $1000\,\mathrm{kg}$ : una tonelada entera por metro cúbico de agua — y por eso una cama de agua grande es mueble de planta baja.

Ejercicio 46.9 ★★

Un trofeo de “plata”: $m = 420\,\mathrm{g}$ , subida del agua de $200\,\mathrm{cm}^{3}$ a $260\,\mathrm{cm}^{3}$ . ¿Densidad? ¿Entre qué dos sustancias de la tabla cae — y qué susurra ese estar en medio?

Solución

Solución de Ejercicio 46.9.

$V = 260 - 200 = 60\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $\rho = 420 \div 60 = 7.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — entre el aluminio ( $2.7$ ) y el hierro ( $7.9$ ), justo por debajo del hierro. El estar en medio susurra: una mezcla o un impostor con baño, y desde luego no el $10.5$ de la plata.

Ejercicio 46.10 ★★

Una botella vacía pesa $380\,\mathrm{g}$ ; llena hasta su marca de $75\,\mathrm{cL}$ con un líquido misterioso pesa $1010\,\mathrm{g}$ . Halla la densidad del líquido en $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ y propón su identidad.

Solución

Solución de Ejercicio 46.10.

Masa del líquido: $1010 - 380 = 630\,\mathrm{g}$ ; volumen: $75\,\mathrm{cL} = 750\,\mathrm{cm}^{3}$ ; así que $\rho = 630 \div 750 = 0.84\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — un aceite.

Ejercicio 46.11 ★★

Una boya hueca de aluminio tiene un volumen total de $4000\,\mathrm{cm}^{3}$ y una masa total de $1200\,\mathrm{g}$ . Calcula la densidad del paquete y predice si flota o se hunde — y explica después, con la Observación 46.10, por qué el $2.7$ propio del aluminio era el número equivocado que consultar.

Solución

Solución de Ejercicio 46.11.

Densidad del paquete: $1200 \div 4000 = 0.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — muy por debajo del $1.0$ del agua: la boya flota bien alta. El $2.7$ del aluminio describe solo la piel de metal; el paquete es casi todo aire encerrado, y es el paquete — masa total entre volumen total — el que se enfrenta a la regla de la flotación.

Ejercicio 46.12 ★★★

Diseña un protocolo completo para decidir si una cadena es de cobre puro: enumera todas las medidas, la receta aplicada, el número esperado si es pura y dos razones honradas por las que tu veredicto podría estar equivocado de todos modos (piensa en eslabones huecos y en mezclas astutas cuya densidad aterrice cerca de la del cobre). ¿Qué prueba adicional apretaría el caso?

Solución

Solución de Ejercicio 46.12.

Protocolo: pesar la cadena ( $m$ ); medir su volumen por el método de la subida, completamente sumergida y sin burbujas ( $V$ ); calcular $\rho = m/V$ ; la pureza espera unos $9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . Dudas honradas: los eslabones huecos atrapan aire e hinchan $V$ , fingiendo una densidad baja; y una mezcla astuta (o un núcleo con baño) puede aterrizar cerca de $9.0$ sin contener nada de cobre puro. Prueba que aprieta el caso: repetir la medida del volumen después de inundar los eslabones (sacudiendo las burbujas) y añadir una firma independiente — por ejemplo el imán (un núcleo de acero se delata al instante) o, en un taller, un comportamiento de fusión medido.

46.5 Problema: el detective de la chatarrería

Problema 46.1

Problema de fin de semana — una tarde con la detective de metales de la chatarrería; cuatro lotes misteriosos, un lingote impostor; los límites de la prueba de la densidad

La chatarrería compra el metal por lo que es, no por lo que parece, y la detective del patio trabaja con una balanza, un recipiente graduado grande y la tabla de rascacielos. Tú eres el aprendiz. (Extracto de la tabla: aluminio $2.7$ ; hierro $7.9$ ; cobre $9.0$ ; plomo $11.3$ ; oro $19.3$ ; wolframio $19.3$ .)

Parte I — Cuatro lotes.

Lote A, un lingote gris: $m = 5400\,\mathrm{g}$ , desplazamiento $V = 2000\,\mathrm{cm}^{3}$ . ¿Densidad e identidad?
Lote B, una bobina de hilo: $m = 1800\,\mathrm{g}$ , $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ . ¿Densidad e identidad?
Lote C, una placa mate y pesada: $m = 4520\,\mathrm{g}$ , $V = 400\,\mathrm{cm}^{3}$ . ¿Densidad e identidad — y por qué hay que manejar el lote C con guantes y respeto?
Lote D, un saco de chatarra pálida mezclada: $m = 8100\,\mathrm{g}$ , $V = 1500\,\mathrm{cm}^{3}$ . Demuestra que la densidad del lote D cae entre dos metales de la tabla y di qué contiene el saco con mayor probabilidad.

Parte II — Precios y predicciones. El patio paga por masa pero planifica el transporte por volumen.

Un comprador quiere $540\,\mathrm{g}$ de aluminio cortados del lote A. ¿Qué volumen de lingote es eso?
La bobina de cobre del lote B se va a fundir en cubos de $25\,\mathrm{cm}^{3}$ cada uno. ¿Cuál es la masa de un cubo y cuántos cubos enteros da la bobina?
Una caja puede cargar como mucho $20\,\mathrm{kg}$ . ¿Cuántos de esos cubos de cobre puede llevar legalmente?
El hueco del depósito del camión admite $3000\,\mathrm{cm}^{3}$ más de chatarra de hierro. ¿Qué masa adicional, en kilogramos, puede cargar la detective?

Parte III — El impostor. Llega un vendedor con un reluciente lingote de “oro”: $m = 3860\,\mathrm{g}$ , desplazamiento $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Calcula la densidad del lingote. ¿Coincide con la firma del oro?
La detective, impasible, consulta la última línea de la tabla y suspira. ¿Qué metal más barato lleva exactamente la densidad del oro — y qué enseña esto sobre los límites de la prueba de la densidad?
¿Cuál de los dos instrumentos del patio ha sido derrotado aquí: la balanza, el recipiente, los dos o ninguno? Di con precisión qué estableció sí con honradez la prueba de la densidad sobre el lingote.
Sugiere otra prueba física de años anteriores de este curso que distinga el oro de su doble sin dañar el lingote. (Sus puntos de fusión son enormemente distintos — el del oro cerca de $1064\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y el del doble muy por encima de cualquier horno de aquí —, pero ninguna chatarrería funde un posible tesoro: busca pruebas más suaves, quizá el veredicto del imán sobre los núcleos de hierro o el tañido de una barra golpeada, y defiende tu elección con honradez.)

Parte IV — El oficio de la detective.

Escribe el credo de tres líneas de la detective: qué puede demostrar la densidad, qué solo puede sugerir y qué no puede hacer nunca ella sola.

Solución

Solución de Problema 46.1.

1. $5400 \div 2000 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : aluminio. 2. $1800 \div 200 = 9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : cobre. 3. $4520 \div 400 = 11.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : plomo — denso, blando y venenoso si se maneja sin cuidado: guantes. 4. $8100 \div 1500 = 5.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — entre el aluminio ( $2.7$ ) y el hierro ( $7.9$ ): un saco mezclado de los dos, más o menos mitad y mitad por volumen. 5. $V = 540 \div 2.7 = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ . 6. Un cubo: $m = 9.0 \times 25 = 225\,\mathrm{g}$ . Los $1800\,\mathrm{g}$ de la bobina dan $1800 \div 225 = 8$ cubos enteros. 7. $20\,\mathrm{kg} = 20\,000\,\mathrm{g}$ ; $20000 \div 225 = 88.9$ : $88$ cubos. 8. $m = 7.9 \times 3000 = 23\,700\,\mathrm{g} \approx 23.7\,\mathrm{kg}$ . 9. $3860 \div 200 = 19.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — una coincidencia perfecta con el oro. 10. El wolframio — densidad $19.3$ , la misma firma hasta el decimal. La prueba de la densidad identifica candidatos; no puede distinguir sustancias que dan la casualidad de compartir firma. 11. No falló ningún instrumento: la masa y el volumen son correctos, y la división también. La prueba estableció con honradez que el lingote es o bien oro o bien algo con la densidad exacta del oro — redujo los sospechosos a dos. 12. Opciones defendibles: el tañido y el tacto de la barra golpeada (el wolframio es muchísimo más duro — una lima o una prueba de dureza en una esquina escondida los distingue enseguida), o una medida aceptada por los expertos de cómo conduce la barra el calor o la corriente (el oro está entre los mejores conductores y el wolframio queda muy por detrás) — más suave que cualquier horno y decisiva junto con la densidad. 13. Por ejemplo: “La densidad puede demostrar que una sustancia no es lo que dice ser. Solo puede sugerir lo que es — las firmas reducen los sospechosos. Y ella sola no puede condenar nunca: la identidad quiere dos testigos independientes”.

Términos definidos en este capítulo

La densidad, en fórmula

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