Física de primaria y secundaria · Grades 1–9

40Describir el movimiento: trayectoria y velocidad

Una hoja que cae, un tren de alta velocidad, un caballito de tiovivo, un penalti: el mundo no se está nunca quieto. Para estudiar el movimiento, la física le hace dos preguntas ordenadas a todo lo que se mueve: ¿por qué camino? y ¿a qué ritmo por él? Camino y ritmo — trayectoria y velocidad — son las gafas de este capítulo.

40.1 La trayectoria: el camino recorrido

Definición 40.1 (La trayectoria)

La trayectoria de un objeto en movimiento es la línea que traza su viaje — el camino que dibuja por el espacio. Tres formas cubren casi toda la vida diaria: rectilínea (el ascensor, la manzana que cae), circular (el caballito del tiovivo, la punta de la aguja de un reloj) y curva de maneras más libres (el arco de una pelota lanzada, el picado de una golondrina).

Tres trayectorias de cada día: la subida rectilínea, el círculo sin fin y el arco del lanzamiento.

Ejemplo 40.2 (¿La trayectoria de quién?)

Ten cuidado de nombrar qué punto estás siguiendo. El morro del caballito del tiovivo dibuja un círculo; el centro del tiovivo entero no dibuja nada — se queda quieto. El eje de una rueda que rueda se desliza en línea recta mientras un punto de su llanta traza saltitos elegantes. Una sola máquina, muchas trayectorias: la física sigue un punto cada vez.

Observación 40.3 (¿En movimiento respecto a qué?)

Un pasajero que dormita en el tren no dibuja ninguna trayectoria para el pasajero de enfrente — y una línea de cien kilómetros sobre el mapa para una vaca que lo mira desde el prado. Las dos descripciones son honradas: el movimiento es siempre movimiento respecto a algo, y quien lo describe tiene que decir respecto a qué. Por ahora comparamos todo, calladamente, con el suelo; toda la potencia de elegir otros puntos de vista es una historia célebre que se guarda para el volumen de secundaria.

Una cámara dejada abierta de noche dibuja trayectorias: cada faro traza el camino exacto que siguió su coche.

40.2 ¿Uniforme o variado?

Definición 40.4 (Movimiento uniforme y variado)

Un movimiento es uniforme cuando recorre distancias iguales en tiempos iguales — el paso constante de quien camina al son de un metrónomo, la marcha de un tren entre paradas. Es variado cuando el ritmo cambia: acelerando (el velocista al salir de los tacos), frenando (el autobús al llegar) o las dos cosas por turnos (el interminable arrancar y parar del tráfico urbano).

Proposición 40.5 (Leer la película de puntos)

Fotografía un objeto en movimiento a intervalos iguales de tiempo — muchas instantáneas rápidas sobre una misma imagen — y su movimiento firmará con su propio nombre, en puntos:

puntos separados por igual: movimiento uniforme;
puntos que se van separando por el camino: acelerando;
puntos que se van apretando: frenando.

Entre cada par de puntos hay tiempos iguales, así que los huecos entre puntos comparan las distancias — el diagnóstico entero de un vistazo.

Tres películas de puntos, una instantánea por intervalo: separación regular, separación creciente, apretujamiento — uniforme, acelerado, frenando.

Método 40.6 (Hacer una película de puntos)

Cualquier cámara de teléfono puede producir estos retratos:

graba el objeto en movimiento — un amigo pasando en bici, una pelota bajando una rampa — sujetando la cámara quieta;
avanza por el vídeo parándote a intervalos iguales (cada medio segundo de reproducción, por ejemplo);
en cada parada, marca la posición del objeto sobre un papel de calco puesto en la pantalla, o anótala respecto a los postes de una valla del fondo;
pon tus marcas en fila y léelas con la Proposición 40.5.

Un aviso de los profesionales: sujeta la cámara quieta — una cámara que se mueve añade su propio movimiento a la película y enreda quién tiene qué trayectoria (exactamente el aviso de la Observación 40.3).

40.3 Poner números al ritmo

Ejemplo 40.7 (La velocidad por proporcionalidad)

Un tranvía en movimiento uniforme recorre $9\,\mathrm{km}$ en $20$ minutos. ¿Qué velocidad es esa, en los conocidos kilómetros por hora? La proporcionalidad responde sin ninguna maquinaria nueva: una hora son tres raciones de $20$ minutos, así que el tranvía recorre $3 \times 9 = 27\,\mathrm{km}$ en una hora — su velocidad es de $27$ kilómetros por hora. En una tabla:

minutos	$20$	$60$
kilómetros	$9$	$27$

El movimiento uniforme es proporcionalidad entre la distancia y el tiempo — tu curso de matemáticas y tu curso de física acaban de darse la mano.

Ejemplo 40.8 (El tablero de ritmos)

Ritmos de cada día, para juzgar cualquier respuesta: pasear, unos $4$ kilómetros por hora; caminar a buen paso, $6$ ; ir en bici sin esfuerzo, $15$ ; un autobús urbano con paradas, $20$ ; un coche por carretera abierta, $90$ ; un tren de alta velocidad, hasta $300$ . Cuando un cálculo te entregue un paseante a $40$ kilómetros por hora, el tablero de ritmos lo devuelve.

Observación 40.9 (La velocidad en un instante)

Un movimiento variado no tiene una única velocidad — el autobús que frena va rápido, después despacio y después parado. La aguja del velocímetro de un coche responde a una pregunta más sutil: ¿a qué velocidad ahora mismo? Definir con precisión esa velocidad instantánea es genuinamente profundo — necesita unas matemáticas que conocerás en el último año de secundaria, y abrió uno de los capítulos más grandiosos de toda la ciencia. Por este año: los movimientos uniformes reciben un número honrado; los movimientos variados reciben un relato.

40.4 Ejercicios

Ejercicio 40.1 ★

Di la forma de la trayectoria: una gota de lluvia bajando por un cristal quieto; la punta del minutero; el tiro de un balón de baloncesto hacia la canasta; el eslalon de un esquiador.

Solución

Solución de Ejercicio 40.1.

Rectilínea (bajando por el cristal); circular; curva (un arco); curva (una ese que serpentea).

Ejercicio 40.2 ★

En una bicicleta que rueda, ¿qué trayectoria dibuja el eje de la rueda? ¿Y la válvula de la llanta? (Una palabra y un dibujito para cada una.)

Solución

Solución de Ejercicio 40.2.

El eje: una línea recta que se desliza paralela a la carretera. La válvula: una curva de saltitos elegantes — sube, describe un arco y toca el suelo en cada vuelta de la rueda.

Ejercicio 40.3 ★

¿Uniforme o variado: un tren en marcha entre paradas; ese mismo tren arrancando del andén; un paracaidista bajando a ritmo constante; un disco que se desliza y frena sobre hielo áspero?

Solución

Solución de Ejercicio 40.3.

Uniforme; variado (acelerando); uniforme; variado (frenando).

Ejercicio 40.4 ★

Una película de puntos enseña huecos de $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ y $2\,\mathrm{cm}$ entre instantáneas. Diagnostica el movimiento. Otra enseña $1\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $4\,\mathrm{cm}$ , $7\,\mathrm{cm}$ : diagnostica esa.

Solución

Solución de Ejercicio 40.4.

Huecos iguales: movimiento uniforme. Huecos que crecen ( $1, 2, 4, 7$ ): acelerando — más distancia en cada intervalo igual.

Ejercicio 40.5 ★

¿Por qué tiene que quedarse quieta la cámara al hacer una película de puntos? ¿Qué observación del capítulo está en juego?

Solución

Solución de Ejercicio 40.5.

Una cámara que se mueve añade su propio movimiento al registro — los puntos mezclan entonces el viaje del objeto con el de la cámara. El movimiento es siempre movimiento respecto a algo, y la película tiene que fijar su “algo”: la observación sobre los puntos de vista.

Ejercicio 40.6 ★

Un transbordador en movimiento uniforme recorre $12\,\mathrm{km}$ en $30$ minutos. Construye la tabla de proporcionalidad y da su velocidad en kilómetros por hora.

Solución

Solución de Ejercicio 40.6.

Tabla: $30$ min $\to$ $12\,\mathrm{km}$ , así que $60$ min $\to$ $24\,\mathrm{km}$ : la velocidad del transbordador es de $24$ kilómetros por hora.

Ejercicio 40.7 ★

Un ciclista dice mantener $14$ kilómetros por hora. ¿Cuánto recorre en $30$ minutos? ¿Y en $15$ minutos? (Tablas, no fórmulas.)

Solución

Solución de Ejercicio 40.7.

$60$ min $\to$ $14\,\mathrm{km}$ ; $30$ min $\to$ $7\,\mathrm{km}$ ; $15$ min $\to$ $3.5\,\mathrm{km}$ .

Ejercicio 40.8 ★

Con el tablero de ritmos del Ejemplo 40.8, juzga estas afirmaciones: un paseante que recorre $12\,\mathrm{km}$ en una hora; un autobús urbano que recorre $10\,\mathrm{km}$ en $30$ minutos; un tren de alta velocidad que recorre $75\,\mathrm{km}$ en $15$ minutos.

Solución

Solución de Ejercicio 40.8.

Un paseante a $12$ kilómetros por hora: rechazado — el triple del ritmo de paseo. El autobús: $10$ km en $30$ min son $20$ kilómetros por hora — exactamente el ritmo de un autobús urbano, aceptado. El tren: $75$ km en $15$ min son $300$ kilómetros por hora — lo más alto del tablero, pero verosímil para un tren de alta velocidad: aceptado.

Ejercicio 40.9 ★★

El pasajero dormido de la Observación 40.3: describe su movimiento — trayectoria y ritmo — primero para el pasajero de enfrente y después para la vaca del prado. ¿Por qué son honradas las dos descripciones?

Solución

Solución de Ejercicio 40.9.

Para el pasajero de enfrente: ningún movimiento — ninguna trayectoria, ritmo cero. Para la vaca: una larga trayectoria rectilínea al ritmo completo del tren. Las dos son honradas: cada una describe al dormido respecto a su propio punto de vista, y el movimiento es siempre movimiento respecto a algo.

Ejercicio 40.10 ★★

Una línea de metro recorre $9\,\mathrm{km}$ de punta a punta. El horario concede $18$ minutos, incluidas seis paradas de un minuto en las paradas. Durante el tiempo real de marcha, ¿el ritmo medio del metro está por encima o por debajo de $45$ kilómetros por hora? (Busca primero el tiempo de marcha y usa después una tabla.)

Solución

Solución de Ejercicio 40.10.

Tiempo de marcha: $18 - 6 = 12$ minutos para $9\,\mathrm{km}$ . Tabla: $12$ min $\to$ $9$ km, así que $60$ min $\to$ $45$ km — exactamente $45$ kilómetros por hora: ni por encima ni por debajo, sino clavado.

Ejercicio 40.11 ★★

Diseña una película de puntos para zanjar una discusión familiar: ¿corre el perro a ritmo constante cuando va a buscar la pelota o hace esprint y luego se deja llevar? Enumera tus pasos, qué vas a medir y qué veredicto daría cada patrón de puntos.

Solución

Solución de Ejercicio 40.11.

Se graba la carrera con una cámara quieta; se pausa cada medio segundo; se marcan las posiciones del perro respecto a los postes de una valla; se miden los huecos. Huecos iguales todo el rato: ritmo constante. Huecos que se separan y después se aprietan (o que alternan anchos y estrechos): esprint y luego dejarse llevar. Los puntos dan el veredicto, grite lo que grite la familia.

Ejercicio 40.12 ★★★

Una pelota rueda hasta el borde de una mesa y cae. Dibuja su trayectoria desde el borde de la mesa hasta el suelo, tal como la ve alguien de pie en la habitación. Razona después — ¡otra vez los puntos de vista! — qué trayectoria vería un observador diminuto montado en un carrito que rueda por debajo de la pelota que cae, justo al mismo ritmo de avance que ella. (Uno de los dos ve una curva; el otro, algo mucho más sencillo. Este enigma vuelve, resuelto, en el volumen de secundaria.)

Solución

Solución de Ejercicio 40.12.

Desde la habitación: una curva — la pelota describe un arco hacia delante y hacia abajo desde el borde de la mesa hasta el suelo. Desde el carrito que rueda al mismo ritmo de avance que la pelota: la pelota no se adelanta ni se retrasa — parece caer recta hacia abajo. La misma caída, dos puntos de vista, y la vista más sencilla es la del observador en movimiento: la semilla de una gran idea.

40.5 Problema: la película de puntos de la línea 7

Problema 40.1

Problema de fin de semana — una ingeniera de transportes lee las películas de puntos de una línea de tranvía; diagnosticar el trayecto, cronometrar la línea y pillar la mentira del horario

Una ingeniera de transportes ha grabado trayectos de tranvía con una cámara de carretera que marca la posición del tranvía en cada intervalo (un intervalo $=$ $10$ segundos) y te entrega las películas.

Parte I — Leer las películas. La película A, entre dos paradas, enseña huecos (en metros): $50, 50, 50, 50, 50$ .

Diagnostica el movimiento de la película A.
¿Cuánto recorrió el tranvía durante los $50$ segundos de la película A?
La película B, saliendo de una parada, enseña huecos $10, 25, 40, 50, 50$ . Cuenta con palabras la historia del trayecto.
En la película B, ¿durante qué intervalos es (casi) uniforme el movimiento?

Parte II — El ritmo verdadero de la línea.

En su tramo uniforme, el tranvía recorre $50\,\mathrm{m}$ cada $10$ segundos. Construye la tabla hasta un minuto: ¿cuánto recorre por minuto?
Sigue hasta la hora: ¿cuál es la velocidad de marcha del tranvía en kilómetros por hora?
La línea entera mide $12\,\mathrm{km}$ . A velocidad de marcha y sin paradas, ¿cuántos minutos de punta a punta?
El horario concede $50$ minutos de punta a punta. ¿Cuántos minutos pierde la línea de verdad en paradas, semáforos y zonas lentas, todo junto?

Parte III — El anuncio, en el banquillo. El cartel de la empresa presume: “Línea 7 — de punta a punta de la ciudad a $18$ kilómetros por hora, ¡el doble del mejor paso de un caminante!”.

Comprueba la aritmética del cartel con el horario: $12\,\mathrm{km}$ en $50$ minutos — construye la tabla hasta una hora. ¿Es honrado “ $18$ kilómetros por hora” para el viaje entero?
Un pedante objeta: “Ningún número de esos aparece jamás en el velocímetro — ¡el tranvía o va a $18$ o está parado a $0$ !”. Explica qué describe en realidad una velocidad de viaje entero y por qué sigue siendo el número justo para un viaje de muchos ritmos.
La ingeniera propone saltarse dos paradas para ahorrar cuatro minutos. ¿Cuál sería el nuevo tiempo de punta a punta y — otra vez con tabla — la nueva velocidad de viaje entero en kilómetros por hora? (Redondea con sensatez.)
Escribe el informe de una sola frase de la ingeniera: ¿de qué número deberían fiarse los viajeros para hacer planes, de la velocidad de marcha o de la velocidad de viaje entero, y por qué?

Solución

Solución de Problema 40.1.

1. Huecos iguales de $50\,\mathrm{m}$ : movimiento uniforme. 2. $5 \times 50 = 250\,\mathrm{m}$ . 3. El tranvía arranca desde parado: huecos cortos que crecen — acelerando durante los tres primeros intervalos — y después se asienta en huecos constantes de $50\,\mathrm{m}$ : velocidad de marcha. 4. Los dos últimos intervalos, de $50\,\mathrm{m}$ cada uno. 5. $10$ s $\to$ $50\,\mathrm{m}$ , así que $60$ s $\to$ $300\,\mathrm{m}$ por minuto. 6. $60$ min $\to$ $60 \times 300 = 18\,000\,\mathrm{m}$ : velocidad de marcha de $18$ kilómetros por hora. 7. Tabla: $18\,\mathrm{km}$ por $60$ min, así que $12\,\mathrm{km}$ en $40$ minutos. 8. $50 - 40 = 10$ minutos perdidos en paradas y zonas lentas. 9. $50$ min $\to$ $12\,\mathrm{km}$ , así que $60$ min $\to$ $12 \times 60 \div 50 = 14.4\,\mathrm{km}$ : el viaje entero va a unos $14$ kilómetros por hora — los $18$ del cartel son honrados solo para los tramos de marcha, no para “de punta a punta de la ciudad”. 10. Una velocidad de viaje entero describe el trayecto como si fuera uniforme: el único ritmo constante que cubriría esos mismos $12\,\mathrm{km}$ en esos mismos $50$ minutos. Ningún velocímetro la enseña y, aun así, es el número justo para hacer planes, porque ya contiene todas las paradas y todas las zonas lentas. 11. $50 - 4 = 46$ minutos; $12 \times 60 \div 46 \approx 15.7\,\mathrm{km}$ por hora — digamos unos $16$ . 12. Por ejemplo: “Los viajeros deberían planificar con la velocidad de viaje entero — hoy unos $14$ kilómetros por hora — porque es el único número que incluye las esperas; los $18$ de marcha halagan a la línea y se saltan todas las paradas”.

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