Física de primaria y secundaria · Grades 1–9

44La densidad: por qué flotan las cosas

En tu primer año, una monedita se hundía mientras un tronco enorme flotaba, y prometimos que el “porqué” era un tesoro de este curso. Te lo has ganado. La llave se forjó a lo largo de dos capítulos — la masa para la sustancia y el volumen para el sitio — y hoy las dos giran juntas dentro de la cerradura.

44.1 La masa de un centímetro cúbico

Ejemplo 44.1 (Por fin una comparación justa)

Comparar un tronco entero con una moneda entera no fue nunca justo: tamaños distintos, formas distintas. El certamen justo toma volúmenes iguales: un centímetro cúbico de cada concursante. Un $\mathrm{cm}^{3}$ de agua tiene una masa de $1\,\mathrm{g}$ . Un $\mathrm{cm}^{3}$ de roble: unos $0.6\,\mathrm{g}$ . De piedra: unos $2.5\,\mathrm{g}$ . De hierro: $7.9\,\mathrm{g}$ . Sitios iguales, sustancias desaforadamente desiguales — este es el número que estaba esperando el juego de la flotación.

Definición 44.2 (La densidad)

La densidad de una sustancia es la masa de un centímetro cúbico de ella, en gramos. La densidad del agua es de $1\,\mathrm{g}$ por $\mathrm{cm}^{3}$ ; la del roble, unos $0.6$ ; la del hierro, $7.9$ . Para hallar una densidad no hace falta ningún instrumento nuevo: mide la masa y el volumen de una muestra y divide — reparte los gramos por igual entre los centímetros cúbicos, y la respuesta es la parte que le toca a cada centímetro.

El certamen justo: el mismo sitio para todos, y cada sustancia enseña su masa característica.

Proposición 44.3 (La densidad es una firma)

La densidad de una sustancia pura es la misma en todos sus trozos, grandes o pequeños: una astilla de roble y una viga entera llevan las dos unos $0.6\,\mathrm{g}$ en cada centímetro cúbico. Por eso la densidad identifica sustancias, igual que hacen los puntos de fusión: mide la masa y el volumen de un objeto misterioso, divide y compara con la tabla — la sustancia confiesa a menudo en el acto.

Método 44.4 (Medir una densidad)

Para un guijarro — o para una corona:

mide su masa con la balanza: pongamos $75\,\mathrm{g}$ ;
mide su volumen por la subida del agua: pongamos $30\,\mathrm{cm}^{3}$ ;
divide los gramos entre los centímetros cúbicos: $75 \div 30 = 2.5$ — cada centímetro cúbico lleva $2.5\,\mathrm{g}$ ;
consulta la tabla: densidad $2.5$ — nuestro guijarro es piedra corriente.

44.2 La regla de la flotación

Proposición 44.5 (Por qué flotan las cosas)

Un objeto flota en el agua si su densidad es menor que la del agua — menos de $1\,\mathrm{g}$ por centímetro cúbico — y se hunde si su densidad es mayor. El agua, por así decirlo, compara al intruso consigo misma, sitio a sitio: quien pesa menos que yo por sitio viaja arriba; quien pesa más por sitio se va abajo. La misma regla gobierna en cualquier líquido, con su propia densidad de árbitro.

El hielo es solo un poco menos denso que el agua — así que un iceberg flota muy hundido y esconde casi todo su volumen bajo la línea de flotación.

Ejemplo 44.6 (Seis años de enigmas, zanjados)

El tronco ( $0.6$ ): flota, por enorme que sea — todos sus centímetros cúbicos pujan por debajo del agua. La moneda (de bronce, cerca de $9$ ): se hunde, por pequeña que sea. El patito de plástico, el corcho, el lápiz: por debajo de $1$ , todos flotadores. El hielo, en $0.9$ — el sólido hinchado de la propia agua —, flota en su propio líquido por los pelos, y por eso los estanques llevan tapa y los icebergs navegan. ¿Y el barco de plastilina? Con forma de cuenco, el paquete barco más aire guarda mucho aire por sitio ocupado: la densidad del paquete baja de $1$ , y abajo en los muelles el mismo truco bota barcos de acero de diez mil toneladas.

La letra de la densidad: los líquidos se apilan con el más denso abajo, y el hielo, en 0.9, navega con solo una décima parte de sí mismo por encima del agua. — La letra de la densidad: los líquidos se apilan con el más denso abajo, y el hielo, en $0.9$ , navega con solo una décima parte de sí mismo por encima del agua.

Ejemplo 44.7 (La torre de líquidos)

Vierte con suavidad, por la pared de un vaso alto, primero miel, después agua teñida con tinta y por último aceite: tres capas, con la miel ( $1.4$ ) en el fondo y el aceite ( $0.9$ ) arriba, negándose a mezclar sus rangos. Echa dentro invitados: una uva ( $1.05$ ) se hunde por el aceite, se hunde por el agua y se posa sobre la miel — más densa que dos pisos y más ligera que el tercero. La torre es la regla de la flotación representada como teatro.

Observación 44.8 (Leer el iceberg)

El $0.9$ del hielo frente al $1.0$ del agua hace más que hacer flotar el iceberg: fija la línea de flotación. Nueve décimas partes del volumen de un iceberg viajan por debajo de la superficie — la famosa masa escondida que hundió barcos orgullosos. Por qué exactamente la fracción sumergida coincide con la razón de densidades es una ley preciosa del propio científico de la bañera antigua, demostrada con honradez en el volumen de secundaria; la tabla de densidades ya susurra la respuesta.

44.3 La corona, por fin

Ejemplo 44.9 (Arquímedes cierra el caso)

Termina ahora la historia empezada hace dos capítulos. La masa de la corona: fácil, la da la balanza. Su volumen: imposible para una obra maestra llena de bultos — hasta que la lección de la bañera dio el método de la subida. La masa dividida entre el volumen: la densidad de la corona — y la densidad es una firma. El oro puro firma $19.3$ ; la plata firma $10.5$ ; una mezcla secreta firma algo intermedio. Cuenta la leyenda que la corona del orfebre confesó una densidad muy lejos de la del oro, y el fraude quedó al descubierto sin un solo arañazo en la corona. El problema de fin de semana te entrega sus números.

44.4 Ejercicios

Ejercicio 44.1 ★

¿Qué es la densidad de una sustancia? Da la del agua y enuncia la regla de la flotación.

Solución

Solución de Ejercicio 44.1.

La masa de un centímetro cúbico de la sustancia, en gramos; la del agua es $1\,\mathrm{g}$ por $\mathrm{cm}^{3}$ . La regla: lo menos denso que el agua flota y lo más denso se hunde.

Ejercicio 44.2 ★

Predice si flota o se hunde en agua: el roble ( $0.6$ ); la piedra ( $2.5$ ); el corcho ( $0.2$ ); el hierro ( $7.9$ ); el hielo ( $0.9$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 44.2.

El roble flota; la piedra se hunde; el corcho flota; el hierro se hunde; el hielo flota — por los pelos.

Ejercicio 44.3 ★

Un bloque tiene una masa de $120\,\mathrm{g}$ y un volumen de $80\,\mathrm{cm}^{3}$ . Halla su densidad. ¿Flota o se hunde?

Solución

Solución de Ejercicio 44.3.

$120 \div 80 = 1.5$ : densidad $1.5$ — más denso que el agua, así que se hunde.

Ejercicio 44.4 ★

Un trozo misterioso: masa $158\,\mathrm{g}$ , subida en la probeta $20\,\mathrm{cm}^{3}$ . ¿Su densidad y, con los números del capítulo, su sustancia más probable?

Solución

Solución de Ejercicio 44.4.

$158 \div 20 = 7.9$ : la firma del hierro.

Ejercicio 44.5 ★

¿Por qué es la densidad de una astilla de roble la misma que la de una viga entera de roble? ¿Para qué sirve esta propiedad?

Solución

Solución de Ejercicio 44.5.

La densidad pertenece a la sustancia, no al trozo: todos los centímetros cúbicos de roble llevan la misma ración de gramos, sean de una astilla o de una viga. Eso convierte a la densidad en un carné de identidad para sustancias desconocidas.

Ejercicio 44.6 ★

En la torre de líquidos, ¿por qué se sienta la miel en el fondo y el aceite arriba? ¿Dónde acaba posándose una uva de densidad $1.05$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 44.6.

Los líquidos se apilan por densidad, con el más denso abajo: la miel $1.4$ debajo del agua $1.0$ y esta debajo del aceite $0.9$ . La uva ( $1.05$ ) se hunde por el aceite y por el agua y se posa en el suelo de miel — más densa que los dos pisos de arriba y menos densa que la miel.

Ejercicio 44.7 ★

El hielo flota en el agua — ¿por qué es raro esto en un sólido y qué vieja proposición sobre el agua que se congela explica el $0.9$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 44.7.

Casi todos los sólidos son más densos que su propio líquido y se hunden en él. El hielo flota porque el agua se hincha al congelarse — la misma sustancia en una décima parte más de sitio da una densidad de $0.9 < 1$ .

Ejercicio 44.8 ★

El tronco enorme y la monedita de tu primer año: da la respuesta final y completa, con los números del capítulo.

Solución

Solución de Ejercicio 44.8.

La madera firma unos $0.6$ : todos los centímetros cúbicos del tronco pujan por debajo del $1\,\mathrm{g}$ del agua, así que el tronco flota por enorme que sea. El bronce firma cerca de $9$ : todos los centímetros cúbicos de la moneda pujan por encima del agua, así que se hunde por pequeña que sea. El tamaño no importó nunca; la masa por sitio ocupado importó siempre.

Ejercicio 44.9 ★★

Un litro de cierto líquido tiene una masa de $800\,\mathrm{g}$ . ¿Cuál es su densidad en gramos por centímetro cúbico? ¿Flotará o se hundirá en él un cubito de hielo ( $0.9$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 44.9.

$1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm}^{3}$ , así que $800 \div 1000 = 0.8$ gramos por centímetro cúbico. El hielo, con $0.9$ , es más denso que este líquido: el cubito se hunde en él.

Ejercicio 44.10 ★★

El acero firma $7.9$ y, sin embargo, los barcos de acero flotan. Resuelve la paradoja con la idea del paquete del Ejemplo 44.6 — ¿qué forma parte del paquete barco además del acero y cuál tiene que ser su densidad global? ¿Cuándo deja de cumplir la regla un barco con una vía de agua?

Solución

Solución de Ejercicio 44.10.

El paquete que flota es el casco entero: la cáscara de acero más el enorme volumen de aire que encierra. Promediada sobre todo ese sitio, la densidad del paquete cae por debajo de $1$ , y la regla dice flotar. Una vía de agua deja que el agua sustituya al aire: la densidad del paquete sube hacia la del propio acero, pasa de $1$ — y la regla, impasible, dice hundirse.

Ejercicio 44.11 ★★

El agua del mar es un poco más densa que el agua dulce — alrededor de $1.03$ . Explica por qué los nadadores flotan claramente mejor en el mar y predice qué le pasa a la línea de flotación de un barco cuando navega del mar salado a un río de agua dulce.

Solución

Solución de Ejercicio 44.11.

El árbitro ha cambiado: frente al $1.03$ del agua de mar, el cuerpo de un nadador, cercano a $1$ , queda cómodamente del lado de la flotación, así que el mar te lleva más alto. Al entrar en agua dulce ( $1.0$ ), el barco pierde ese margen y se hunde más: su línea de flotación sube por el casco.

Ejercicio 44.12 ★★★

Una esfera metálica hueca flota exactamente medio sumergida en agua. Razona la densidad del paquete esfera completo (la cáscara de metal más el aire de dentro). Argumenta después hacia dónde se mueve si se le va colando agua dentro poco a poco y en qué momento empieza a hundirse — la regla y el paquete, trabajando juntos.

Solución

Solución de Ejercicio 44.12.

Medio sumergida, la esfera se hunde en el agua exactamente lo que debería hundirse un paquete con la mitad de la densidad del agua: la cáscara más el aire promedian alrededor de $0.5$ gramos por centímetro cúbico — y quien más aligera es el aire escondido. Según entra agua, esta sustituye al aire, la densidad media del paquete sube y la esfera se hunde cada vez más; en el momento en que esa media pasa del $1.0$ del agua, la regla de la flotación cambia de bando y la esfera se va al fondo.

44.5 Problema: la corona del rey

Problema 44.1

Problema de fin de semana — el caso de la corona del rey, reabierto con tus instrumentos; el juicio del orfebre, resuelto por una división

Reabre el caso de fraude más famoso de la Antigüedad con números modernos. Firmas: oro $19.3$ , plata $10.5$ (gramos por centímetro cúbico).

Parte I — Las pruebas. El rey le dio al orfebre $1930\,\mathrm{g}$ de oro puro. La corona terminada, en la balanza: $1930\,\mathrm{g}$ exactamente.

La masa coincide a la perfección. ¿Por qué no demuestra eso, por sí solo, nada sobre el fraude? (¿Qué podría haber hecho el orfebre y seguir cuadrando?)
¿Qué volumen deberían ocupar $1930\,\mathrm{g}$ de oro puro? (Reparte los gramos: ¿cuántos centímetros cúbicos a $19.3\,\mathrm{g}$ cada uno?)
Arquímedes sumerge la corona en un recipiente lleno hasta el borde y recoge lo que se desborda: $130\,\mathrm{cm}^{3}$ . ¿Cuál es el volumen verdadero de la corona?
Compara los dos volúmenes. ¿Qué está gritando ya esa comparación?

Parte II — La firma.

Calcula la densidad de la corona a partir de su masa y de su volumen medido (basta con un decimal).
Pon las tres firmas una al lado de la otra: el oro, la corona y la plata. ¿Dónde cae la corona?
Explícale al rey en una sola frase por qué la corona no puede ser de oro puro.
El orfebre protesta: “¡A lo mejor se equivocó la balanza!”. Concédele un error generoso de $30\,\mathrm{g}$ en cualquiera de los dos sentidos. ¿Salva alguna masa entre $1900\,\mathrm{g}$ y $1960\,\mathrm{g}$ a una corona de oro puro de volumen $130\,\mathrm{cm}^{3}$ ? (Comprueba el intervalo de densidades.)

Parte III — ¿Cuánto se robó? Supón que el orfebre se quedó con algo de oro y lo sustituyó, gramo a gramo, por plata.

¿Por qué sustituir oro por plata, gramo a gramo, mantiene bien la masa pero hincha el volumen?
Pon a prueba una conjetura: una corona de $965\,\mathrm{g}$ de oro $+$ $965\,\mathrm{g}$ de plata. ¿Volumen de la parte de oro? ¿Y de la parte de plata? (Un decimal.)
Suma el volumen de la corona conjeturada y juzga la conjetura frente a los $130\,\mathrm{cm}^{3}$ medidos: ¿demasiada plata o demasiado poca?
El tribunal necesita una frase de veredicto: di qué quedó probado sin ninguna duda (oro puro o no), cuál fue el método y por qué no hizo falta dañar la corona — el verdadero triunfo de Arquímedes.

Solución

Solución de Problema 44.1.

1. Nada: cambiar oro por una masa igual de plata mantiene contenta a la balanza — la masa por sí sola no puede ver la sustitución. 2. $1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ . 3. $130\,\mathrm{cm}^{3}$ — lo desbordado es el volumen de la corona, por desplazamiento. 4. La corona ocupa $30\,\mathrm{cm}^{3}$ más de sitio del que debería ocupar el oro puro de su masa: dentro se esconde algo más voluminoso que el oro. 5. $1930 \div 130 \approx 14.8$ . 6. Oro $19.3$ — corona $14.8$ — plata $10.5$ : la corona cae entre las dos firmas. 7. “Majestad, cada centímetro cúbico de oro puro lleva $19.3\,\mathrm{g}$ ; vuestra corona lleva solo unos $15$ — de oro puro no es”. 8. El intervalo da densidades desde $1900 \div 130 \approx 14.6$ hasta $1960 \div 130 \approx 15.1$ — ni de lejos $19.3$ : ningún error verosímil de la balanza salva al orfebre. 9. La plata es menos densa: cada gramo de oro robado devolvió un gramo de plata que necesita más sitio — la sustitución gramo a gramo conserva la masa e infla el volumen. 10. Parte de oro: $965 \div 19.3 = 50.0\,\mathrm{cm}^{3}$ ; parte de plata: $965 \div 10.5 \approx 91.9\,\mathrm{cm}^{3}$ . 11. Total $\approx 142\,\mathrm{cm}^{3}$ — más que los $130$ medidos: la conjetura mitad y mitad usó demasiada plata; el robo verdadero fue menor (el volumen medido queda entre $100$ y $142$ ). 12. “Probado: la corona no es de oro puro. Método: su masa repartida entre su volumen medido con agua da una densidad muy por debajo de la firma inmutable del oro. Y la corona no necesitó ni un arañazo: el agua leyó su secreto desde fuera — ese es el triunfo”.

Términos definidos en este capítulo

La densidad

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