Física de primaria y secundaria · Grades 1–9

58La resistencia y la ley de Ohm

Una pregunta ha ido siguiendo a toda la historia eléctrica: algunos componentes dejan que el desfile corra y otros lo estrangulan hasta dejarlo en un hilillo — las lámparas se reparten las tensiones de forma desigual, los cables finos se calientan y los gruesos se quedan fríos. La oposición en sí recibe ahora un nombre, una unidad y — coronando cuatro años de circuitos — la ley más útil de este libro: tres letras que atan el empujón, el desfile y la oposición en una sola línea de álgebra.

58.1 La resistencia

Definición 58.1 (Resistencia)

La resistencia $R$ de un componente mide con cuánta fuerza se opone a la corriente eléctrica: a una tensión dada, cuanto mayor es la resistencia, más débil es el desfile que deja pasar. Su unidad es el ohmio (símbolo $\Omega$ , la omega mayúscula griega), en honor del físico y maestro de escuela que encontró la ley de este capítulo con cables caseros y una paciencia heroica.

Definición 58.2 (Resistor)

Un resistor es un componente fabricado para tener una resistencia elegida y estable — un obstáculo calibrado, que se vende desde fracciones de ohmio hasta millones. Los circuitos usan resistores para fijar corrientes a propósito: para domar el desfile que quemaría una pieza delicada, para atenuar, para repartir, para ajustar. Sus bandas de colores deletrean su valor; su símbolo es un rectángulo liso.

Ejemplo 58.3 (Resistencias que te rodean)

Un metro de cable grueso de cobre: centésimas de ohmio — la carretera llana. Una bombilla de linterna encendida: unos cuantos ohmios. Un motor eléctrico pequeño: unos pocos ohmios. La resistencia calefactora de un hervidor: unos $25\,\Omega$ . La piel humana seca, de mano a mano: decenas de miles de ohmios — mojada, catastróficamente menos: la vieja regla de las manos húmedas es una afirmación sobre la resistencia. Un interruptor abierto: resistencia más allá de toda medida — el obstáculo infinito.

58.2 El experimento

Método 58.4 (Medir el retrato $U$ – $I$ de un componente)

Un resistor, una fuente regulable (o una cola cada vez más larga de pilas) y los dos aparatos:

conecta la fuente, el amperímetro y el resistor en serie; pinza el voltímetro sobre el resistor;
pon la tensión más pequeña; anota la pareja ( $U$ , $I$ );
sube la tensión paso a paso — una pila, dos, tres — anotando una pareja cada vez;
dibuja los puntos, $I$ en horizontal y $U$ en vertical, y mira.

Ejemplo 58.5 (La confesión de un resistor)

La tabla de una sesión, para un resistor:

$U$ ( $\mathrm{V}$ )	$1.5$	$3.0$	$4.5$	$6.0$
$I$ ( $\mathrm{A}$ )	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.40$

El doble de empujón, el doble de desfile; el triple, el triple: $U$ e $I$ son proporcionales, y todos los cocientes $U/I$ devuelven el mismo número: $15$ . Ese cociente constante no es casualidad — es la resistencia del resistor, $R = 15\,\Omega$ , enseñándose en todas las filas.

Proposición 58.6 (Ley de Ohm)

Para un resistor a temperatura estable, la tensión entre sus extremos y la corriente que lo recorre son proporcionales, y la constante de proporcionalidad es su resistencia:

U = R \times I ,

con $U$ en voltios, $I$ en amperios y $R$ en ohmios. Reordenada al gusto: $I = U/R$ (la corriente que un empujón mueve a través de un obstáculo) y $R = U/I$ (el obstáculo, desenmascarado por una pareja honrada de lecturas).

El retrato U–I del resistor: los puntos medidos sobre una recta que pasa por el origen — la proporcionalidad dibujada. Cuanto más empinada la recta, mayor la resistencia. — El retrato $U$ – $I$ del resistor: los puntos medidos sobre una recta que pasa por el origen — la proporcionalidad dibujada. Cuanto más empinada la recta, mayor la resistencia.

Ejemplo 58.7 (La ley lo calcula todo)

Una vez conocida $R$ , la ley responde en todas las direcciones. La resistencia del hervidor, $25\,\Omega$ en la red de $230\,\mathrm{V}$ : $I = U/R = 230 \div 25 = 9.2\,\mathrm{A}$ — explicado el aparato de diez amperios. Un resistor tiene que limitar a $0.02\,\mathrm{A}$ la corriente de una lámpara delicada a partir de $4.5\,\mathrm{V}$ : $R = U/I = 4.5 \div 0.02 = 225\,\Omega$ — elige el siguiente valor normalizado. Por $60\,\Omega$ circulan $0.05\,\mathrm{A}$ : la tensión entre sus extremos es $U = 60 \times 0.05 = 3\,\mathrm{V}$ . Una ley, tres recetas, el taller entero.

Observación 58.8 (La muleta del triángulo)

Algunos estudiantes dibujan a lápiz $U$ encima de $R$ e $I$ en un triangulito y tapan la letra buscada para leer la receta. Inofensivo como muleta — pero tu álgebra ya reordena $U = R I$ con honradez en una línea, y la manera honrada viaja a todas las fórmulas que te encuentres en la vida, haya triángulo o no. Apóyate en la muleta este año si te hace falta; hazte el propósito de andar.

58.3 Lo que explica la resistencia

Ejemplo 58.9 (Viejos misterios en una sola factura)

El reparto desigual de tensión del capítulo de las leyes: las lámparas en serie comparten una sola $I$ , así que por $U = R I$ la $R$ mayor se lleva la $U$ mayor — el salto más grande del trabajador más duro, ahora calculable. La rama estrangulada del capítulo del paralelo: el cable largo y fino añadió resistencia, e $I = U/R$ encogió la parte de esa rama. El cortocircuito: un desvío de $R$ casi nula, así que $I = U/R$ explota — la estampida siempre fue una división por casi cero. Cuatro años de saber cualitativo sobre circuitos, en la factura de una sola ley.

Ejemplo 58.10 (Los cables, al metro)

La resistencia de un cable crece con su longitud y encoge con su grosor — un cable largo y fino es una carretera de montaña estrecha; uno corto y grueso, una autopista. De ahí los cables gordos del electricista para los aparatos hambrientos, la aleación resistiva deliberadamente larga y fina de una resistencia calefactora — y la razón de que la misma ley que enciende una lámpara caliente un tostador: la resistencia es donde el desfile gasta su empujón, y el empujón gastado, como confirmará el año que viene el capítulo de la energía, se convierte en calor.

Observación 58.11 (Dónde acaba la jurisdicción de la ley)

La ley de Ohm es una ley de los resistores, no un derecho universal. Mide el retrato de una lámpara de filamento y los puntos se apartan de la recta: el filamento se calienta a medida que crece la corriente, y el metal caliente resiste más — $R$ se niega a quedarse quieta. Los diodos, los motores y la piel viva también doblan sus retratos, cada uno a su manera. La recta que pasa por el origen es la firma del resistor, no la de la materia — pídele siempre su retrato a un componente antes de confiarle la ley.

58.4 Ejercicios

Ejercicio 58.1 ★

¿Qué mide la resistencia? Da su unidad y su símbolo, y escribe la ley de Ohm con sus tres reordenaciones.

Solución

Solución de Ejercicio 58.1.

Con cuánta fuerza se opone un componente a la corriente; unidad el ohmio, símbolo $\Omega$ . $U = R I$ ; $I = U/R$ ; $R = U/I$ .

Ejercicio 58.2 ★

Completa cada pareja para un resistor de $30\,\Omega$ : $U = 6\,\mathrm{V}$ , $I = {?}$ ; $I = 0.5\,\mathrm{A}$ , $U = {?}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 58.2.

$I = 6 \div 30 = 0.2\,\mathrm{A}$ ; $U = 30 \times 0.5 = 15\,\mathrm{V}$ .

Ejercicio 58.3 ★

Un componente enseña $U = 4.5\,\mathrm{V}$ con $I = 0.09\,\mathrm{A}$ . ¿Su resistencia?

Solución

Solución de Ejercicio 58.3.

$R = 4.5 \div 0.09 = 50\,\Omega$ .

Ejercicio 58.4 ★

En el experimento del retrato, ¿qué forma dibujan los puntos de un resistor de verdad, y qué significa una recta más empinada?

Solución

Solución de Ejercicio 58.4.

Una recta que pasa por el origen — proporcionalidad. Una recta más empinada significa más voltios necesarios por amperio: mayor resistencia.

Ejercicio 58.5 ★

Con la tabla del capítulo, comprueba $R$ a partir de la segunda fila y de la cuarta. ¿Por qué obtener el mismo número las dos veces es justamente lo importante?

Solución

Solución de Ejercicio 58.5.

$3.0 \div 0.20 = 15$ ; $6.0 \div 0.40 = 15$ . Que el cociente sea el mismo en todas las filas es la ley: que una sola constante $R$ sirva para todas las lecturas es lo que convierte a “la resistencia” en una propiedad del componente.

Ejercicio 58.6 ★

La resistencia de un hervidor es de $25\,\Omega$ ; la de un segundo hervidor, de $35\,\Omega$ . Con la misma red, ¿cuál absorbe la corriente más fuerte — y cuánto absorbe cada uno (un decimal)?

Solución

Solución de Ejercicio 58.6.

La resistencia más pequeña bebe más: $230 \div 25 = 9.2\,\mathrm{A}$ frente a $230 \div 35 \approx 6.6\,\mathrm{A}$ .

Ejercicio 58.7 ★

Explica con $U = R I$ por qué, de dos lámparas en serie que comparten una corriente, la de mayor resistencia se lleva la tensión más grande.

Solución

Solución de Ejercicio 58.7.

Las lámparas en serie comparten una sola $I$ ; la tensión de cada lámpara es $U = R I$ con la misma $I$ — así que la $R$ mayor multiplica hasta dar la $U$ mayor: el que más se opone se lleva la parte más grande.

Ejercicio 58.8 ★

Traduce al lenguaje de la resistencia: la estampida del cortocircuito; el bloqueo total del interruptor abierto.

Solución

Solución de Ejercicio 58.8.

Cortocircuito: $R$ casi nula, así que $I = U/R$ explota — la estampida es una división por casi nada. Interruptor abierto: $R$ más allá de toda medida, así que $I = U/R$ se derrumba hasta cero — el bloqueo total.

Ejercicio 58.9 ★★

Una lamparita indicadora delicada aguanta $20\,\mathrm{mA}$ . ¿Qué resistor en serie la protege con una pila de $9\,\mathrm{V}$ , si la propia lámpara se lleva unos $2\,\mathrm{V}$ de la parte? (Primero la parte del resistor; después, $R$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 58.9.

El resistor tiene que llevarse $9 - 2 = 7\,\mathrm{V}$ a $0.02\,\mathrm{A}$ : $R = 7 \div 0.02 = 350\,\Omega$ .

Ejercicio 58.10 ★★

El retrato medido de una lámpara de filamento: ( $1\,\mathrm{V}$ , $0.25\,\mathrm{A}$ ), ( $4\,\mathrm{V}$ , $0.5\,\mathrm{A}$ ). Demuestra que ninguna $R$ única encaja con los dos puntos y cuenta la historia física que hay detrás de la curvatura.

Solución

Solución de Ejercicio 58.10.

Primer punto: $R = 1 \div 0.25 = 4\,\Omega$ ; segundo: $4 \div 0.5 = 8\,\Omega$ — ningún valor único encaja. La historia: la corriente que crece calienta el filamento, y el metal caliente resiste más; el retrato se curva porque el componente cambia mientras trabaja.

Ejercicio 58.11 ★★

Dos resistores en serie, de $10\,\Omega$ y $20\,\Omega$ , con $6\,\mathrm{V}$ . Usando las leyes de la serie más la ley de Ohm en cada uno: halla la corriente del lazo y la tensión de cada resistor. (Pista: hay una única corriente $I$ que cumple $6 = 10 I + 20 I$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 58.11.

Un lazo, una $I$ : los dos saltos suman el empujón de la pila, $6 = 10 I + 20 I = 30 I$ , así que $I = 0.2\,\mathrm{A}$ . Entonces $U_{10} = 10 \times 0.2 = 2\,\mathrm{V}$ y $U_{20} = 20 \times 0.2 = 4\,\mathrm{V}$ — que suman $6\,\mathrm{V}$ , como exige la ley del lazo.

Ejercicio 58.12 ★★★

Los mismos dos resistores, ahora en paralelo con $6\,\mathrm{V}$ . Halla la corriente de cada rama, el total de la pila y después — el final elegante — la resistencia $R$ única que absorbería ese mismo total con $6\,\mathrm{V}$ . Compárala con los dos resistores y explica, en lenguaje de carreteras, por qué el equipo de dos resiste menos que cualquiera de sus miembros por separado.

Solución

Solución de Ejercicio 58.12.

Cada rama abarca $6\,\mathrm{V}$ : $I_{10} = 6 \div 10 = 0.6\,\mathrm{A}$ , $I_{20} = 6 \div 20 = 0.3\,\mathrm{A}$ ; total $0.9\,\mathrm{A}$ . La sustituta: $R = 6 \div 0.9 \approx 6.7\,\Omega$ — menos que cualquiera de los dos miembros. En lenguaje de carreteras: dos carreteras entre los mismos pueblos llevan más tráfico que cualquiera de ellas sola; cada carretera en paralelo que se añade facilita el paso, así que la oposición del equipo cae por debajo de la de su miembro más flojo.

58.5 Problema: el banco de control de calidad

Problema 58.1

Problema de fin de semana — día de inspección en la fábrica de resistores; retratos, tolerancias y un componente que no es resistor en absoluto

El banco de calidad de la fábrica prueba la producción del día — y a un impostor. Tú manejas los aparatos.

Parte I — Calibrar el banco.

Dibuja (o describe) el circuito de prueba: fuente, amperímetro, el componente que se prueba, voltímetro — ¿quién va en serie y quién cruzado?
La muestra uno, a $4.5\,\mathrm{V}$ , deja pasar $0.15\,\mathrm{A}$ . ¿Su resistencia?
La etiqueta declara $33\,\Omega$ , con una tolerancia del cinco por ciento. Calcula la banda aceptable y dictamina sobre la muestra uno. (Primero, el cinco por ciento de $33$ .)
La muestra dos, etiquetada con $150\,\Omega$ : predice su corriente a $4.5\,\mathrm{V}$ , para que el banco sepa qué esperar (un decimal, en $\mathrm{mA}$ ).

Parte II — Retratos completos.

Tabla de la muestra tres: $(1.5, 0.05)$ , $(3.0, 0.10)$ , $(4.5, 0.15)$ , $(6.0, 0.20)$ — voltios, amperios. Ajusta $R$ , citando el rasgo de los números que permite un valor único.
Tabla de la muestra cuatro: $(1.5, 0.30)$ , $(3.0, 0.45)$ , $(4.5, 0.54)$ , $(6.0, 0.60)$ . Destapa al impostor: ninguna $R$ única, y el sentido de la deriva.
La muestra cuatro es, de hecho, una lamparita de filamento de la línea de producción de al lado. Cuenta la historia de su curvatura — y por qué la prueba de la recta del banco es exactamente un detector de resistores.
El reglamento del banco dice: “todos los retratos deben tomarse a temperatura estable”. ¿Qué cláusula de la ley de Ohm está protegiendo la regla?

Parte III — Departamento de aplicaciones.

Un pedido solicita un resistor que limite la corriente a $30\,\mathrm{mA}$ con una fuente de $12\,\mathrm{V}$ (la parte de la propia carga, despreciable). Calcula el valor que hay que presupuestar.
Un cliente se queja de que su resistencia calefactora de $25\,\Omega$ “solo” absorbe $9.2\,\mathrm{A}$ cuando el fusible permite $10$ . Calcula qué tensión de alimentación implica su queja y tranquilízalo con la aritmética.
El laboratorio de prototipos pide el puente de cobre más grueso y más corto de la fábrica, “con tan cerca de cero ohmios como sea posible”. ¿Para qué papel en el circuito ha nacido ese puente — y cerca de qué villano cotidiano lo coloca su resistencia casi nula si se usa mal?
Cierra el diario de inspección: tres frases — la ley, su retrato y la única condición bajo la cual puede firmarla un componente.

Solución

Solución de Problema 58.1.

1. La fuente, el amperímetro y el componente en un solo lazo en serie — el peaje en la carretera; el voltímetro cruzado sobre el componente — el topógrafo, a un lado. 2. $R = 4.5 \div 0.15 = 30\,\Omega$ . 3. El cinco por ciento de $33$ es aproximadamente $1.65$ : aceptable de $31.35$ a $34.65\,\Omega$ . Los $30\,\Omega$ de la muestra uno se quedan fuera: rechazada. 4. $I = 4.5 \div 150 = 0.03\,\mathrm{A} = 30.0\,\mathrm{mA}$ . 5. Todas las filas devuelven $R = U/I = 30\,\Omega$ ( $1.5 \div 0.05$ , $3.0 \div 0.10$ , …): cociente constante, retrato en línea recta — un solo valor sirve para todo: $30\,\Omega$ . 6. Los cocientes van $5$ , $6.7$ , $8.3$ , $10\,\Omega$ : suben en cada paso — resistencia que crece a medida que crece la corriente; no existe ninguna $R$ única. 7. A medida que crece la corriente, el filamento se calienta hasta ponerse al rojo, y el metal caliente resiste más — el retrato se curva hacia arriba. La prueba de la recta del banco admite entonces exactamente a los componentes cuya $R$ se queda quieta: es, por construcción, un detector de resistores. 8. La cláusula de la temperatura estable: la ley de Ohm promete proporcionalidad a temperatura estable — calienta un componente a mitad del retrato y hasta un resistor honrado se desvía. 9. $R = 12 \div 0.03 = 400\,\Omega$ . 10. $U = R I = 25 \times 9.2 = 230\,\mathrm{V}$ — exactamente la red: la resistencia absorbe precisamente lo que la ley de Ohm le asigna, y el margen del fusible está funcionando como se diseñó. No hay ningún “solo”; todo es aritmética. 11. El puente ha nacido para ser un cable de conexión — la carretera llana, que no gasta empujón. Mal usado entre los bornes de una fuente, sus ohmios casi nulos lo convierten en el cortocircuito perfecto: el villano siempre fue, simplemente, un cable muy bueno en el sitio equivocado. 12. Por ejemplo: “La ley: $U = R I$ , empujón igual a oposición por desfile. Su retrato: una recta que pasa por el origen, más empinada cuanto más se opone el componente. Y solo puede firmarla un componente a temperatura estable — el calor reescribe la resistencia, y los retratos tomados con fiebre no demuestran nada”.

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