Física de primaria y secundaria · Grades 1–9

17Palancas y balanzas

El año pasado, en el balancín, descubrimos que cuentan tanto el peso como la distancia — y prometimos una regla precisa con números de verdad dentro. Va siendo hora de cumplir la promesa. Por el camino levantaremos piedras muchísimo más pesadas de lo que pueden nuestros brazos y conoceremos el instrumento que pesó las mercancías del mundo durante miles de años.

17.1 La palanca

Definición 17.1 (Palanca y punto de apoyo)

Una palanca es una barra rígida apoyada en un punto de sostén alrededor del cual puede bascular. Ese punto de sostén se llama punto de apoyo. Un balancín es una palanca; también lo son una barra de hierro debajo de una roca y la uña de un martillo sacando un clavo.

Ejemplo 17.2 (El multiplicador de fuerza)

Un jardinero desliza una barra de hierro larga por debajo de un pedrusco, la apoya sobre un tronco cerca del pedrusco y aprieta hacia abajo en el otro extremo — y el pedrusco, que no podrían levantar diez manos, vuelca suavemente. El secreto de la palanca es la distancia: aprieta lejos del punto de apoyo y tu empujoncito hará el trabajo de un gigante colocado cerca de él. Cuenta una vieja historia que un gran científico de la Antigüedad presumió: “Dadme un punto de apoyo y una palanca lo bastante larga y moveré la Tierra”.

La barra de hierro: un empujón pequeño lejos del punto de apoyo levanta una roca pesada colocada cerca de él.

La barra de hierro trabajando: un empujón pequeño lejos del punto de apoyo levanta un pedrusco que ninguna mano podría mover.

17.2 La regla de la palanca

Método 17.3 (El balancín de monedas)

Construye un balancín en miniatura para ir a la caza de la regla:

equilibra una regla sobre un lápiz colocado en su marca central;
usa monedas iguales como jinetes, puestas en marcas enteras: “una moneda en el $4$ ” significa a cuatro marcas del lápiz;
carga los dos lados y anota cuándo se equilibra la regla.

Pruébalo: una moneda en el $6$ equilibra a una moneda en el $6$ . Dos monedas apiladas en el $3$ equilibran a una moneda en el $6$ . Tres monedas en el $2$ — ¡otra vez equilibran a una en el $6$ !

Proposición 17.4 (La regla de la palanca)

Para cada lado de la palanca, multiplica el número de monedas por su distancia al punto de apoyo. La palanca se equilibra exactamente cuando los dos lados dan el mismo producto:

2 \text{ monedas} \times 3 \text{ marcas} = 6 \qquad\text{equilibra a}\qquad 1 \text{ moneda} \times 6 \text{ marcas} = 6 .

Si el producto de un lado es mayor, ese lado baja.

La regla de la palanca sobre una regla graduada: productos iguales, barra horizontal.

Ejemplo 17.5 (Usar la regla)

Cuatro monedas están en la marca $2$ : su producto es $4 \times 2 = 8$ . Para equilibrarlas con monedas en la marca $4$ , allí también hace falta un producto de $8$ : $8 = 2 \times 4$ , así que sirven dos monedas en el $4$ . ¿Y podría una sola moneda equilibrar a las cuatro? Tendría que colocarse en la marca $8$ : $1 \times 8 = 8$ . Cuanto más ligero es el jinete, más lejos tiene que sentarse — exactamente lo que nos enseñó el balancín de papá, ahora con números.

17.3 La balanza

Definición 17.6 (La balanza)

Una balanza es una palanca construida para ser justa: dos platillos colgados a distancias exactamente iguales del punto de apoyo. Con distancias iguales, los productos coinciden exactamente cuando coinciden los pesos — así que la balanza se inclina hacia el platillo más pesado y se queda horizontal cuando los dos platillos llevan cargas igual de pesadas.

Una balanza: una palanca con dos platillos a distancias iguales. Platillos horizontales significan cargas igual de pesadas.

Ejemplo 17.7 (Pesar comparando)

Durante miles de años, los comerciantes vendieron harina, oro y pimienta con balanzas: la mercancía en un platillo, pequeñas pesas de metal de referencia en el otro, añadiendo pesas hasta que los platillos quedaban horizontales. La balanza no sabe ningún número — solo responde “más pesado”, “más ligero” o “igual”. Pero comparar con pesas bien elegidas es todo lo que necesita un mercado justo — y, como enseñará el último capítulo de esta parte, es el camino hacia medir la masa misma.

Observación 17.8 (Comprueba la balanza vacía)

Una balanza justa tiene que quedarse horizontal cuando está vacía. Si un brazo es más largo o un platillo más pesado, los productos ya son distintos antes de que llegue la mercancía, y todas las pesadas posteriores hacen trampa. Los comerciantes honrados demostraban delante del cliente que su balanza vacía quedaba horizontal — una manera antigua y sin palabras de decir “juego limpio”.

17.4 Ejercicios

Ejercicio 17.1 ★

Señala la palanca y el punto de apoyo en: un balancín; una barra de hierro sobre un tronco; unas tijeras. (Las tijeras esconden dos palancas — ¿dónde está su punto de apoyo?)

Solución

Solución de Ejercicio 17.1.

Balancín: la tabla es la palanca y el soporte central, el punto de apoyo. Barra de hierro: la barra es la palanca y el tronco, el punto de apoyo. Tijeras: cada hoja con su mango es una palanca, y las dos tienen su punto de apoyo en el tornillo central.

Ejercicio 17.2 ★

Para levantar una roca pesada con una barra de hierro, ¿hay que apretar cerca del punto de apoyo o lejos de él? ¿Por qué, en una frase?

Solución

Solución de Ejercicio 17.2.

Lejos del punto de apoyo: cuanto más lejos actúa el empujón, mayor es su producto — un empujón pequeño bien lejos gana a una roca pesada colocada cerca.

Ejercicio 17.3 ★

En el balancín de monedas, calcula el producto de: $3$ monedas en la marca $4$ ; $2$ monedas en la marca $5$ ; $1$ moneda en la marca $6$ . ¿Qué parejas de estas se equilibran entre sí?

Solución

Solución de Ejercicio 17.3.

$3 \times 4 = 12$ ; $2 \times 5 = 10$ ; $1 \times 6 = 6$ . Ninguno de estos productos es igual a otro, así que no hay dos que se equilibren.

Ejercicio 17.4 ★

Una moneda está en la marca $8$ del lado izquierdo. ¿Dónde hay que poner $2$ monedas en el lado derecho para equilibrarla? ¿Y $4$ monedas?

Solución

Solución de Ejercicio 17.4.

El producto de la izquierda es $1 \times 8 = 8$ . Dos monedas necesitan $8 = 2 \times 4$ : la marca $4$ . Cuatro monedas necesitan $8 = 4 \times 2$ : la marca $2$ .

Ejercicio 17.5 ★

Lado izquierdo: $3$ monedas en la marca $3$ . Lado derecho: $2$ monedas en la marca $4$ . Calcula los dos productos. ¿Qué lado baja?

Solución

Solución de Ejercicio 17.5.

Izquierda: $3 \times 3 = 9$ . Derecha: $2 \times 4 = 8$ . El producto del lado izquierdo es mayor, así que baja el lado izquierdo.

Ejercicio 17.6 ★

¿Por qué se cuelgan los dos platillos de una balanza a distancias exactamente iguales del punto de apoyo? ¿Qué le haría a cada pesada un brazo izquierdo más largo?

Solución

Solución de Ejercicio 17.6.

Con brazos iguales, platillos horizontales significan pesos iguales — la comparación es justa. Un brazo izquierdo más largo multiplicaría la carga de la izquierda por una distancia mayor, así que la balanza mentiría a favor de ese lado en todas las pesadas.

Ejercicio 17.7 ★

Una balanza se queda horizontal con una bolsa de canicas en un platillo y $6$ pesas iguales en el otro. ¿Qué aprendemos sobre la bolsa? ¿Qué responde la balanza si quitamos una pesa?

Solución

Solución de Ejercicio 17.7.

La bolsa pesa exactamente lo mismo que las $6$ pesas. Si se quita una pesa, el platillo de la bolsa es el más pesado y la balanza se inclina hacia la bolsa.

Ejercicio 17.8 ★

Un balancín: Tom pesa lo mismo que $2$ sacos y se sienta en la marca $3$ ; su hermana pequeña pesa lo mismo que $1$ saco. ¿En qué marca tiene que sentarse ella para equilibrarlo?

Solución

Solución de Ejercicio 17.8.

El producto de Tom: $2 \times 3 = 6$ . Su hermana necesita $1 \times 6 = 6$ : tiene que sentarse en la marca $6$ .

Ejercicio 17.9 ★

La uña del martillo saca un clavo: tu mano aprieta el extremo del mango, lejos del sitio donde la cabeza del martillo se apoya en la madera. ¿Cuál es el punto de apoyo y por qué sale el clavo, que tus dedos no podrían sacar jamás?

Solución

Solución de Ejercicio 17.9.

El punto de apoyo es el sitio donde la cabeza del martillo descansa sobre la madera. Tu mano aprieta en el extremo lejano del mango — una distancia grande, o sea un producto grande — mientras el clavo se resiste muy cerca del punto de apoyo: la palanca convierte tu cómodo empujón en el tirón de un gigante.

Ejercicio 17.10 ★★

El abuelo (que pesa como $4$ sacos) quiere jugar al balancín con la pequeña Zoe (que pesa como $1$ saco). El balancín tiene marcas del $1$ al $8$ en cada lado. Encuentra dos maneras distintas de sentarlos para que el balancín se equilibre.

Solución

Solución de Ejercicio 17.10.

El equilibrio pide $4 \times (\text{marca del abuelo}) = 1 \times (\text{marca de Zoe})$ . Dos maneras: el abuelo en el $1$ con Zoe en el $4$ ( $4 = 4$ ), o el abuelo en el $2$ con Zoe en el $8$ ( $8 = 8$ ).

Ejercicio 17.11 ★★

Un comerciante tramposo alarga a escondidas un poco uno de los brazos de su balanza y pone siempre la mercancía en el lado del brazo largo. ¿Reciben los clientes más mercancía de la que pagan o menos? Explícalo con la regla de la palanca — y con la Observación 17.8.

Solución

Solución de Ejercicio 17.11.

Menos. En el brazo largo, incluso una carga ligera da un producto grande, así que los platillos quedan horizontales cuando la mercancía pesa menos que las pesas honradas del brazo corto. La comprobación de la balanza vacía lo pilla: sin nada en los platillos, su balanza ya se inclina hacia el brazo largo.

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