الفيزياء في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9
38الكتلة والحجم
كم من الليموناضة يسع في القنّينة، وكم يثقل صندوق القنّينات؟ سؤالان مختلفان — الحيّز والمادة — تخلطهما لغة الحياة اليومية راضيةً في كلمة واحدة: “كبير”. والعلم يفكّهما: الحجم للحيّز الذي يشغله الشيء، والكتلة للمادة التي يحملها. وأنت في قياس الثانية قديم الخبرة؛ واليوم نتعلّم قياس الأول — حتى لحصاة لا شكل لها تحبّه مسطرة.
38.1 الحجم: الحيّز الذي يشغله الشيء
تعريف 38.1 (الحجم)
حجم الشيء هو مقدار الحيّز الذي يشغله. وللأجسام الصلبة والسوائل والغازات حجم كلها: فالآجرّة تشغل حيّزها، والليموناضة تشغل داخل القنّينة، والهواء يشغل الباقي. ويُقاس الحجم بالسنتيمتر المكعّب () — وهو حيّز مكعّب صغير طول حرفه سنتيمتر واحد — وباللتر ().
قضية 38.2 (اللتر مكعّبات)
أسرتا وحدات الحجم أسرة واحدة:
فاللتر هو بالضبط الحيّز داخل مكعّب طول حرفه عشرة سنتيمترات: مكعّب صغير.
مثال 38.3 (أحجام تُحفظ عن ظهر قلب)
ملعقة الشاي تسع نحو ؛ وكأس الشرب نحو ، أي رُبع لتر؛ وعلبة الحليب ؛ وحوض الحمّام نحو ؛ ومكعّب السكّر يشغل نحو ؛ وحجر النرد نحو . ومراسٍ كهذه تجعل خطوة الحكم في كل قياس ممكنة.
38.2 كيل السوائل
طريقة 38.4 (كيف تقرأ المخبار المدرَّج)
إبريق المختبر هو المخبار المدرَّج: طويل ضيّق دقيق التدريج.
- ضع المخبار على طاولة مستوية — ولا تقرأه في يدك أبدًا؛
- وجِد قيمة التدريج، كما في كل سلّم؛
- واجعل عينك في مستوى سطح السائل: فالسطح ليس مستويًا بل منحنيًا قليلًا — سطحًا هلاليًّا — يتسلّق قليلًا على جدران الزجاج؛
- واقرأ عند أسفل الانحناء، أفقيًّا تمامًا.
فإن علت العين أو انخفضت كذب عليك الانحناء بخطوة أو خطوتين — وهو خطأ النظرة المائلة في زيّه المفضّل.
38.3 كيل الأجسام الصلبة — حتى المتكتّلة منها
الجسم الصلب على شكل آجرّة يستسلم للمسطرة: فالطول في العرض في الارتفاع يعطي حجمه بوحدة ، كما بيّن منهاج الرياضيات. فماذا عن حصاة أو مفتاح أو حبّة برقوق؟ لا مسطرة تلائم كتلة غير منتظمة. والجواب عمره ألفا سنة، وقد خرج من حوض حمّام.
قضية 38.5 (الإزاحة)
الجسم الصلب المغمور كله تحت الماء يزيح — أي يدفع جانبًا — حجمه هو من الماء بالضبط. وارتفاع مستوى الماء يقيس الداخل الجديد: متكتّلًا كان أم أملس، فالماء يتشكّل على كل غمّازة ونتوء.
طريقة 38.6 (الحجم بارتفاع الماء)
مثال 38.7 (التاج في حوض الحمّام)
الحكاية القديمة: ملك ارتاب في أن صائغه خلط ذهب التاج الملكي بفضّة، فطلب من العالِم أرخميدس أن يعرف من غير أن يُتلف التاج. وبينما كان أرخميدس ينزل في حمّام ممتلئ راقب الماء يفيض عن الحافة — فرأى في ومضة أن الفائض يقيس حجم جسمه هو بكل تكتّلاته. وتقول الأسطورة إنه ركض في الشوارع صائحًا “وجدتها!” أما كيف فضح حجمُ التاج الغشَّ فيحتاج إلى فكرة واحدة أخرى، بعد فصلين؛ لكن حوض الحمّام أعطاه حجم أي شيء.
38.4 الكتلة والحجم جوابان مختلفان
مثال 38.8 (الحجم نفسه وكتلة مختلفة)
املأ كأسين متماثلتين سعة ، إحداهما ماءً والأخرى عسلًا، وزِنهما (طارحًا الكأسين): تجد كأس العسل تحمل غرامات أكثر بوضوح في الحيّز نفسه بعينه. الحجم نفسه وكتلة مختلفة. ولتر الهواء يكاد لا يزن أكثر من غرام، في الحيّز الذي يزن فيه لتر الماء كيلوغرامًا كاملًا. فالحيّز والمادة محاسبان مختلفان حقًّا — فأمسك هذه الفكرة بقوة: فستصير قانونًا، له اسم، في آخر فصل من هذه السنة.
ملاحظة 38.9 (وزن ما لا يقف وحده)
كيف تزن طحينًا من غير أن تزن وعاءه؟ للموازين الحديثة زرّ لذلك: ضع الوعاء الفارغ على الكفّة، واضغط — فتعود الشاشة إلى الصفر — ثم اسكب: فيُبلّغ الميزان الآن الطحين وحده. وتُسمّى المناورة التصفير. وبلا الزرّ: زِن مرتين واطرح: الوعاء مع الطحين ناقصًا الوعاء الفارغ. وفي الحالتين هي قاعدة البداية العادلة من جديد: ابدأ من صفر أمين.
38.5 تمارين
تمرين 38.1 ★
عن أيّ سؤال يجيب الحجم، وعن أيّ سؤال تجيب الكتلة؟ أعطِ الوحدتين الرئيسيتين لكل واحد.
حل
حل التمرين 38.1.
الحجم: كم حيّزًا يشغل الشيء — ووحدتاه واللتر. والكتلة: كم مادة يحمل — ووحدتاها الغرام والكيلوغرام.
تمرين 38.2 ★
حوّل: إلى ؛ إلى ؛ إلى لترات؛ نصف لتر إلى مليلترات.
حل
حل التمرين 38.2.
؛ ؛ ؛ .
تمرين 38.3 ★
لماذا يجب أن يُقرأ المخبار المدرَّج والعين في مستواه، وهو على الطاولة، وعند أسفل السطح الهلالي؟ سمِّ الخطأ الذي تمنعه كل قاعدة.
حل
حل التمرين 38.3.
على الطاولة: فالمخبار المائل يميل بالسطح. والعين في المستوى: فالعين العالية أو المنخفضة تزيح العلامة الظاهرة (وهو خطأ النظرة المائلة). وأسفل السطح الهلالي: فالسائل يتسلّق الجدران، ولا يقف عند الحجم الحقيقي إلا أسفل الانحناء.
تمرين 38.4 ★
يقرأ مخبار ؛ ومع إنزال حبّة برقوق فيه يقرأ . فما حجم البرقوقة بوحدة ؟
تمرين 38.5 ★
لماذا تنجح طريقة الارتفاع حتى مع حصاة متكتّلة، بينما لا تستطيع أي مسطرة قياسها؟ وأيّ قضية تجيب؟
حل
حل التمرين 38.5.
الماء يتشكّل على كل غمّازة ونتوء، فيساوي الماء المدفوع جانبًا حجمَ الحصاة بالضبط — وهي قضية الإزاحة. فالمسطرة تحتاج إلى حواف مستقيمة؛ والماء لا يحتاج إلى شيء.
تمرين 38.6 ★
ممحاة على شكل آجرّة أبعادها في في . فما حجمها؟ وخطّة التحقّق: كيف تؤكّده بطريقة الارتفاع؟
حل
حل التمرين 38.6.
. والتحقّق: أنزِلها في مخبار — فينبغي أن ترتفع القراءة بالضبط.
تمرين 38.7 ★
لوزن الأرزّ: الوعاء الفارغ ؛ والوعاء مع الأرزّ . فكم مقدار الأرزّ؟ وأيّ زرّ يؤدّي العمل نفسه في خطوة واحدة؟
حل
حل التمرين 38.7.
من الأرزّ. وزرّ التصفير: صفّر الميزان والوعاء الفارغ عليه، ثم اسكب.
تمرين 38.8 ★
أيّهما أكبر حجمًا، كيلوغرام من الريش أم كيلوغرام من الحديد؟ وأيّهما أكبر كتلةً؟ (أجب عن الاثنين بعناية.)
تمرين 38.9 ★★
تفشل طريقة الارتفاع مع الفلّينة: فهي تطفو. اقترح حلًّا يظلّ يستعمل المخبار — وقل ما الذي يجب طرحه إن استعمل حلّك جسمًا مساعدًا.
حل
حل التمرين 38.9.
أغرِق الفلّينة عن قصد: ادفعها تحت الماء بسيخ رفيع (واقرأ الارتفاع والفلّينة وحدها مغمورة)، أو اربطها بمُثقِل — فقِس ارتفاع المُثقِل وحده أولًا، ثم الاثنين معًا، واطرح حصة المُثقِل.
تمرين 38.10 ★★
علبة عصير تدّعي . وحين تُسكب تملأ كأسًا سعتها ثلاث مرات، وتملأ الكأس الرابعة حتى علامة فقط. أكان الادّعاء أمينًا؟ وبكم؟
تمرين 38.11 ★★
أُنزلت قلادة في مخبار يقرأ ؛ فارتفع إلى . ويدّعي الصائغ أن في القلادة من الذهب. أيمكن أن يكون الادّعاء صحيحًا؟ وما الذي قاسه الماء بالضبط؟
تمرين 38.12 ★★★
صمّم تحقّقًا على طريقة حوض الحمّام من القضية 38.5 نفسها، باستعمال جسم على شكل آجرّة تعرف المسطرة حجمه أصلًا. صِف الخطوات، وتوقّع قراءتَي المخبار لقالب أبعاده سنتيمتر يُنزل في ، واذكر أيّ نتيجة كانت ستثبت خطأ القضية.
حل
حل التمرين 38.12.
المسطرة تعد بالحجم . فأنزِل القالب (بخيط، بلا رشقة، مغمورًا كله، غير ملامس للجدران) في : والتوقّع ارتفاع من إلى . فلو ارتفع الماء بغير — خارج خطوة المخبار الأمينة أو خطوتين — لكانت قضية الإزاحة قد دُحضت. (ولم تُدحض قطّ.)
38.6 مسألة: يوم التعبئة في البستان
مسألة 38.1
مسألة نهاية الأسبوع — يوم العصر في البستان؛ لترات إلى قنّينات، وصناديق على الموازين؛ الحصاة في الإبريق
يعصر البستان تفّاحه اليوم، وينال كل معين عملًا في القياس.
الجزء الأول — العصير باللتر. ملأت المعصرة برميلًا سعته .
- كم سنتيمترًا مكعّبًا هي ؟
- ويُعبّأ العصير في قنّينات سعة . فكم قنّينة ممتلئة يعطي البرميل؟
- وكم يبقى من العصير بعد آخر قنّينة ممتلئة، بالسنتيلترات؟
- ويُسكب الباقي في كؤوس سعة . فكم كأسًا يملأ؟
الجزء الثاني — الصناديق على الميزان.
- كتلة القنّينة الفارغة . باستعمال الجزء الأول، ما كتلة العصير في قنّينة ممتلئة واحدة، إذا كانت كتلة لتر العصير نحو ؟ (اعمل بالغرامات.)
- فكم تزن قنّينة ممتلئة واحدة إذن كلها؟
- وصندوق خشبي يزن فارغًا ويحمل ستّ قنّينات ممتلئة. فما الكتلة الكلّية لصندوق محمّل؟
- والشاحنة الصغيرة تستطيع حمل من الصناديق. فكم صندوقًا محمّلًا تأخذ؟ (صناديق كاملة فقط.)
الجزء الثالث — الحصاة في الإبريق. يُسقط توم الصغير حصاة في إبريق عصير ممتلئ سعته ، فيفيض العصير على الطاولة.
- الفائض الممسوح يكيل . فما الذي قاسه الانسكاب عن الحصاة، وبأيّ قضية؟
- وبعد انتشال الحصاة، كم يبقى من العصير في الإبريق؟
- ويحتجّ توم: “الحصاة صغيرة — انظروا، تختبئ في قبضتي!” فتجيبه أخته بمخبار مدرَّج: تضع الحصاة في من الماء. فأيّ قراءة تثبت أن الانسكاب قال الصدق؟
- محاسبة إضافية: تزن الحصاة على ميزان المطبخ. أتستطيع، من غير أي فكرة جديدة، أن تقول أيّهما أثقل، مادة الحصاة أم مادة العصير، للحيّز نفسه المشغول؟ قارن من الحصاة في بالكتلة التي يملأ بها العصير نفسها — واحتفظ بنتيجتك دافئة لفصل الكثافة.
حل
حل المسألة 38.1.
1. . 2. ؛ و قنّينة ممتلئة (مع باقٍ). 3. ، فيبقى . 4. كأسان، بالضبط. 5. ، واللتر يزن نحو : فالعصير نحو . 6. — أي . 7. من القنّينات مع من الصندوق: أي . 8. : فعدد صندوقًا يزن ، و تزن — وهو أكثر ممّا يجوز. فتأخذ الشاحنة صندوقًا. 9. الانسكاب هو العصير الذي أزاحته الحصاة: فحجم الحصاة ، بقضية الإزاحة. 10. من العصير تبقى. 11. ينبغي أن يصعد المخبار من إلى — أي ارتفاعًا قدره ، مطابقًا للانسكاب. فالقبضات لا تقيس شيئًا؛ والماء يقول الصدق. 12. تلك ، مملوءةً عصيرًا، تحمل نحو من العصير — والحصاة تحشو في الحيّز نفسه: فمادة الحصاة أثقل من مادة العصير للحيّز المتساوي، بأكثر من مرتين. وسيمنح فصل الكثافة هذه المقارنة اسمها وعددها على أصولهما.