الفيزياء في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9
52مخطّطات الحركة والسرعة المتوسّطة
قبل سنتين كانت السرعة تعني “الكيلومترات المقطوعة في ساعة واحدة”، معدودة على الأصابع. أما الآن، وأنت مسلّح بالحروف والمخطّطات، فتنبت للفكرة أنياب: صيغة تحسب في ثلاثة اتّجاهات، وصورة تُظهر رحلة كاملة في نظرة واحدة — وفخّ مشهور في المتوسّطات يقع فيه الكبار كل يوم.
52.1 الصيغة
تعريف 52.1 (السرعة، بالصيغة)
لرحلة (أو لجزء منها) تُقطع بوتيرة ثابتة، السرعة هي المسافة مقسومة على زمن السير :
فإن كانت بالكيلومترات و بالساعات، نطقت بالكيلومتر في الساعة ()؛ وبالأمتار والثواني، بالمتر في الثانية () — وهي المفضّلة عند العالِم. وهذه الصيغة، كصيغة الكثافة، تحسب في الاتّجاهات الثلاثة كلها: ، و، و.
مثال 52.2 (الوصفات في العمل)
قطار يقطع في ساعة: . وكم يقطع بهذه الوتيرة في ساعات؟ . وكم يستغرق ؟ ساعة — ساعتان وثلاثون دقيقة (وانتبه للمتمرّد: ساعة هي دقيقة، لا “” أبدًا).
مثال 52.3 (وحدتان، وسرعة واحدة)
عدّاء يجري في : . فكم تساوي بوحدات الطريق؟ في ساعة واحدة — ثانية — يقطع العدّاء : أي . وسعر الصرف العامّ: كل تساوي — لأن الساعة تحمل ثانية والكيلومتر لا يحمل إلا متر. وأمّا للصوت، بوحدات الطريق: فأكثر من .
52.2 الرحلة صورةً
قضية 52.4 (قوانين المخطّط)
مثّل المسافة المقطوعة في مقابل الزمن، تكتب الحركةُ سيرتها الذاتية:
- الحركة المنتظمة ترسم خطًّا مستقيمًا — مسافات متساوية في أزمنة متساوية، خطوة بعد خطوة؛
- وكلما كان الخطّ أشدّ ميلًا كانت الحركة أسرع: فالميل هو السرعة مرئيةً؛
- والجزء المستوي توقّف: يمضي الزمن وتقف المسافة.
والانحناءات تحدّث عن التغيّر: فالانحناء صعودًا تسارع، والاستواء التدريجي تباطؤ.
طريقة 52.5 (قراءة مخطّط المسافة والزمن)
- تحقّق من المحورين ووحدتيهما أولًا — دقائق أم ساعات، أمتار أم كيلومترات؛
- قسّم الخطّ عند انحناءاته إلى أجزاء، وسمِّ كل جزء: مستقيم شديد الميل، مستقيم ليّن الميل، مستوٍ؛
- ولأيّ جزء مستقيم، اقرأ ارتفاعه وامتداده — المسافة المكتسبة والزمن المستغرق — ثم اقسم: فتلك سرعة الجزء؛
- وللقصة كلها، اقرأ المسافة الكلّية عند الزمن الأخير — وتذكّر أن الأجزاء المستوية جزء من الزمن الكلّي.
مثال 52.6 (الساعي، مفكوك الشيفرة)
طبّق الطريقة على الشكل. الجزء الأول: في دقيقة — ثلث ساعة — أي . والثاني: مستوٍ من الدقيقة إلى — توقّف تسليم. والثالث: في دقيقة، أي دون بقليل. والمجموع: في ساعة واحدة — وهو ما يقدّم لنا فكرة الفصل التالية على طبق.
52.3 السرعة المتوسّطة — وفخّها المشهور
تعريف 52.7 (السرعة المتوسّطة)
السرعة المتوسّطة لرحلة كاملة هي المسافة الكلّية مقسومة على الزمن الكلّي — بما فيه التوقّفات:
وهي الوتيرة الثابتة الوحيدة التي كانت ستقطع الطريق نفسه في الزمن الإجمالي نفسه — للساعي في ساعة واحدة: متوسّط ، وإن لم تدر العجلات مرة واحدة بتلك السرعة.
قضية 52.8 (الفخّ)
السرعة المتوسّطة لرحلة ليست، على العموم، منتصف سرعاتها. فالأجزاء البطيئة تلتهم من الزمن أكثر مما تلتهم السريعة، فتثقل في المتوسّط أكثر. ولا يُوثق إلا بالوصفة الكاملة — المسافة الكلّية على الزمن الكلّي؛ وأمّا حساب متوسّط أعداد السرعة نفسها فأشدّ الخطوات الخاطئة إغراءً في هذا الفصل.
مثال 52.9 (الفخّ، منقضًّا)
درّاج يقطع ذهابًا بسرعة ، ثم نفسها عودةً بسرعة . “المتوسّط: ”؟ تحقّق بأمانة. الذهاب: ساعة. والعودة: ساعات. والرحلة كلها: في ساعات — . فالنصف البطيء طالب بثلاث ساعات من الخمس، وجرّ المتوسّط دون المنتصف. وكلما أسرعت في نصف، قلّ الزمن الذي يوجد فيه ذلك النصف أصلًا.
ملاحظة 52.10 (ما يعرفه عدّاد السرعة)
السرعة المتوسّطة تصف رحلة كاملة؛ أما إبرة عدّاد السرعة فتجيب عن سؤال آخر — كم السرعة الآن. وعلى المخطّط، “الآن” يسكن في ميل الخطّ عند نقطة واحدة — سهل الرؤية على جزء مستقيم، دقيق حيث ينحني الخطّ. وجعل “الميل عند نقطة” دقيقًا هو من أعظم اختراعات الرياضيات، وهو ينتظرك في آخر الثانوية. وحتى ذلك الحين: الأجزاء المستقيمة تنال أعدادًا، والانحناءات تنال حكايات.
52.4 تمارين
تمرين 52.1 ★
اكتب صيغة السرعة ووحدتيها اليوميّتين. وأيّ وصفة تجد مسافة؟ وأيّها تجد زمنًا؟
حل
حل التمرين 52.1.
؛ والوحدتان و. المسافة: ؛ والزمن: .
تمرين 52.2 ★
عبّارة تقطع في ساعات؛ وأرنب برّي يجري في . احسب السرعتين، كلًّا بوحدتها الطبيعية.
حل
حل التمرين 52.2.
العبّارة: . والأرنب: .
تمرين 52.3 ★
حوّل بسعر الصرف: إلى ؛ و إلى .
حل
حل التمرين 52.3.
؛ و.
تمرين 52.4 ★
اذكر قوانين المخطّط الثلاثة. وعلامَ يدلّ انحناء يستوي تدريجيًّا؟
حل
حل التمرين 52.4.
الخطّ المستقيم: حركة منتظمة؛ والأشدّ ميلًا: أسرع؛ والمستوي: متوقّف. وأمّا الانحناء الذي يستوي تدريجيًّا فيدلّ على تباطؤ.
تمرين 52.5 ★
على مخطّط الساعي: بين أيّ دقيقتين تكون الوتيرة ألين (من غير أن تكون صفرًا)؟ وكيف تعرف ذلك بلا حساب؟
حل
حل التمرين 52.5.
من الدقيقة إلى — الجزء الثالث: فهو أقلّ الأجزاء الصاعدة ميلًا، يُقرأ مباشرة من ميله الألين.
تمرين 52.6 ★
مخطّط ماشٍ يُظهر خطًّا مستقيمًا يمرّ بالنقطتين ( دقيقة، ) و( دقيقة، ). أمنتظمة الحركة أم متغيّرة؟ وما السرعة بوحدة ؟
حل
حل التمرين 52.6.
منتظمة — خطّ مستقيم واحد. وتكسب كل نصف ساعة: .
تمرين 52.7 ★
عرّف السرعة المتوسّطة. نزهة: في ساعات، منها ساعة نزهة طعام. ما السرعة المتوسّطة — وما السرعة المتوسّطة أثناء المشي؟
حل
حل التمرين 52.7.
المسافة الكلّية على الزمن الكلّي، بما فيه التوقّفات. النزهة كلها: . والمشي وحده: .
تمرين 52.8 ★★
لماذا يكون الجزء البطيء “أثقل” في المتوسّط من جزء سريع بطوله؟ أجب بلغة الزمن، لا بالصيغ.
حل
حل التمرين 52.8.
على مسافتين متساويتين، يدوم الجزء البطيء أطول ببساطة — فيُقضى من ساعة الرحلة نصيب أكبر عيشًا بالوتيرة البطيئة، فتتكلّم الوتيرة البطيئة بحصة أكبر من صوت الرحلة.
تمرين 52.9 ★★
أعِد تمثيل الفخّ: ذهابًا بسرعة ، و عودةً بسرعة . ما المنتصف المتوقَّع، وما المتوسّط الأمين — وأيّ نصفَي الرحلة ملك معظم الساعة؟
حل
حل التمرين 52.9.
تخمين المنتصف: . وبأمانة: الذهاب ساعة، والعودة ساعة؛ والمجموع في ساعات: . فالنصف البطيء ملك ساعتين من الثلاث.
تمرين 52.10 ★★
ارسم (أو صِف بدقّة) مخطّط هذه الرحلة: حركة منتظمة بسرعة نصف ساعة؛ ثم توقّف ربع ساعة؛ ثم حركة منتظمة بسرعة ربع ساعة. ثم احسب السرعة المتوسّطة للرحلة.
حل
حل التمرين 52.10.
المخطّط: مستقيم إلى (، )؛ ثم استواء حتى الدقيقة ؛ ثم مستقيم أشدّ ميلًا إلى (، ). والمتوسّط: في ساعة واحدة — .
تمرين 52.11 ★★
عدّ العاصفة، مرقّى: يصل الرعد بعد الوميض . وبسرعة صوت مقدارها ، استعمل لإيجاد مسافة العاصفة — ثم تحقّق من قاعدة “اقسم على ثلاثة تحصل على الكيلومترات” القديمة في ضوء صيغتك.
حل
حل التمرين 52.11.
— نحو . والقاعدة القديمة: كيلومتر — فتتّفق معها، لأن تعني كيلومترًا كل ثلاث ثوانٍ تقريبًا.
تمرين 52.12 ★★★
لغز قديم يستحقّ كل دقيقة: سائق يقطع النصف الأول من المسافة في رحلة بسرعة ، ويريد متوسّطًا إجماليًّا مقداره . بيّن — بوصفة المسافة الكلّية على الزمن الكلّي في رحلة طولها — أن النصف الثاني يجب أن يُقطع في زمن صفر: فالأمنية مستحيلة، لا صعبة فحسب.
52.5 مسألة: جمعة الساعي
مسألة 52.1
مسألة نهاية الأسبوع — ساعي درّاجة واحد، وجمعة مدينة واحدة؛ مخطّط المرسِل، والفخّ في ورقة المكافأة
يسجّل المرسِل جمعة الساعية لينا على مخطّط مسافة وزمن، ويحسم أجرها منه. وأنت تدقّق الورقة.
القسم الأول — الصباح، من المخطّط. يُظهر المخطّط: صعودًا مستقيمًا من ( دقيقة، ) إلى ( دقيقة، )؛ ثم استواءً حتى الدقيقة ؛ ثم مستقيمًا من هناك إلى ( دقيقة، )؛ ثم استواءً حتى الدقيقة .
- احكِ قصة الصباح بالكلام: الأجزاء، والتوقّفات، وما كانت التوقّفات على الأرجح.
- ما السرعة على الجزء الأول، بوحدة ؟
- وما السرعة على جزء السير الثاني؟
- وما متوسّط سرعة لينا على صباح الدقائق التسعين كله، بما فيه التوقّفات؟
القسم الثاني — بعد الظهر، من الصيغة.
- مرحلة ما بعد الظهر الأولى: بوتيرة ثابتة مقدارها . كم استغرقت، بالدقائق؟
- المرحلة الثانية: تسليم في أعالي المدينة، بسرعة . كم كيلومترًا؟
- المرحلة الثالثة: السير الطويل إلى المستودع، ، أُنجز في دقيقة. ما سرعة الوتيرة الثابتة بوحدة ؟
- مجموع ما بعد الظهر: اجمع المسافات والأزمنة (المراحل وحدها، بلا استراحات): أيّ سرعة متوسّطة حفظتها العجلات وهي دائرة؟
القسم الثالث — فخّ ورقة المكافأة. قاعدة المكافأة: “السرعة المتوسّطة على جولة كاملة فوق تكسب مكافأة الرّاكب السريع.”
- جمعة لينا كاملة: في ساعات (بكل التوقّفات). أتكسب المكافأة؟
- ويطالب بها زميلها ماكس: “ركبت نصف جولتي بسرعة ونصفها بسرعة — فالمتوسّط !” فيتحقّق المرسِل: النصفان كلاهما . احسب متوسّط ماكس الحقيقي واحكم في مكافأته.
- اشرح لماكس، بلغة الزمن، أين أخطأ عدده .
- تقترح لينا قاعدة مكافأة أعدل للسعاة — قاعدة لا تعاقب على توقّفات التسليم. اقترح واحدة (فالمخطّط يعرف كيف)، وقل أيّ سرعة تقيسها.
القسم الرابع — درس المرسِل.
- مراجعة الجمعة: اكتب جمل المرسِل الثلاث — ماذا يعني كل من الجزء المستقيم والجزء المستوي والجزء الأشدّ ميلًا على المخطّط — والتحذير الواحد من حساب متوسّط السرعات.
حل
حل المسألة 52.1.
1. سير نشيط ( دقيقة)، فتوقّف دقيقة (تسليم)، فسير ألين ( دقيقة)، فتوقّف ثانٍ مدّته دقيقة — جولتان وطلبان. 2. في نصف ساعة: . 3. في نصف ساعة: . 4. في ساعة: . 5. ساعة: دقيقة. 6. دقيقة ثلث ساعة: . 7. دقيقة هي ساعة؛ و. 8. المسافات: ؛ والأزمنة: دقيقة ساعة؛ ومتوسّط الدوران: . 9. — أدنى من بكثير: فلا مكافأة (وتوقّفاتها عمل شريف، لكن القاعدة تعدّها). 10. ماكس: النصف السريع ساعة؛ والنصف البطيء ساعة؛ والمجموع في ساعة: بالضبط — لا فوق : فلا مكافأة. 11. عدده حسب متوسّط العددين، كأنّ كل وتيرة تملك نصف الساعة. وفي الحقيقة ملك النصفُ البطيء من ساعاته البالغة — ثلثَي صوت الرحلة — فجرّ المتوسّط الحقيقي إلى . 12. مثلًا: تُدفع المكافأة على السرعة المتوسّطة أثناء الدوران — المسافة الكلّية مقسومة على زمن السير وحده، باستثناء أجزاء المخطّط المستوية. فهي تقيس الوتيرة التي تحفظها العجلات فعلًا، فتكافئ السير السريع لا التسليمات المتخطّاة. 13. “الجزء المستقيم وتيرة ثابتة؛ والجزء المستوي توقّف والساعة ما زالت تدور؛ والجزء الأشدّ ميلًا وتيرة أسرع — فالميل هو السرعة. ولا تحسب أبدًا متوسّط أعداد السرعة: بل احسب متوسّط الرحلة — المسافة الكلّية على الزمن الكلّي — وإلا سخرت الساعات البطيئة من الورقة.”