الفيزياء في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

46الحجم والكتلة والكثافة

في السنة الماضية فضحت صائغًا غشّاشًا بقسمة الغرامات على السنتيمترات المكعّبة. وهذه السنة سلّمك منهاج الرياضيات قوة جديدة: حروفًا تنوب عن الأعداد. والكثافة أفضل موضع تُنفق فيه — صيغة قصيرة واحدة ترصّ ثلاث وصفات وعُدّة محقّق وقاعدة الطفو كلها في خمسة رموز.

46.1 الصيغة

تعريف 46.1 (الكثافة، بالصيغة)

كثافة مادة، ويُرمز إليها بالحرف $\rho$ (وهو الحرف اليوناني رو)، هي كتلتها لكل وحدة حجم: فلعيّنة كتلتها $m$ وحجمها $V$ ،

\rho = \frac{m}{V}.

فإذا كان $m$ بالغرامات و $V$ بالسنتيمترات المكعّبة خرج $\rho$ بالغرام لكل سنتيمتر مكعّب ( $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ) — وهي “كتلة سنتيمتر مكعّب واحد” في السنة الماضية، بزيّها الرسمي الآن. وكثافة الماء: $\rho = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . ولأن اللتر $1000$ سنتيمتر مكعّب، فالعدد نفسه يصلح بالكيلوغرام لكل لتر: فالماء $1.0\,\mathrm{kg}$ لكل لتر.

مثال 46.2 (قراءة الحروف)

الصيغة جملة بالاختزال. والعلاقة $\rho = m/V$ تُقرأ: “لإيجاد الكثافة اقسم كتلة العيّنة على حجمها.” والحروف مواضع شاغرة — فلهذه الحصاة يصير $m$ هو $75\,\mathrm{g}$ ويصير $V$ هو $30\,\mathrm{cm}^{3}$ :

\rho = \frac{m}{V} = \frac{75}{30} = 2.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.

القسمة نفسها التي في السنة الماضية — لكن الصيغة تحفظ الوصفة لكل حصاة تأتي.

قضية 46.3 (ثلاث وصفات في صيغة واحدة)

لأن الكثافة تربط الكتلة والحجم بتناسب، تخدم صيغة واحدة ثلاث حاجات:

إيجاد كثافة: $\rho = m/V$ — اقسم الكتلة على الحجم؛
إيجاد كتلة: $m = \rho \times V$ — فكل سنتيمتر مكعّب يحمل $\rho$ من الغرامات، وعددها $V$ ؛
إيجاد حجم: $V = m/\rho$ — وزّع الكتلة حصصًا قدر كل حصة $\rho$ من الغرامات؛ فعدد الحصص هو عدد السنتيمترات المكعّبة.

مثال 46.4 (الوصفات في عملها)

الكتلة من الحجم: كم يزن $250\,\mathrm{cm}^{3}$ من الحديد ( $\rho = 7.9$ )؟ $m = 7.9 \times 250 = 1975\,\mathrm{g}$ — أي قرب كيلوغرامين في حجم فنجان قهوة. والحجم من الكتلة: أيّ حيّز يشغله $540\,\mathrm{g}$ من البلّوط ( $\rho = 0.6$ )؟ $V = 540 \div 0.6 = 900\,\mathrm{cm}^{3}$ . ورفيق السلامة: أجوبة الحديد يجب أن تكون ثقيلة صغيرة، وأجوبة الخشب خفيفة كبيرة — فجدول الكثافات خير صديق لخطوة الحكم.

جدول الكثافات أفقًا للمباني: من فلّين خفيف كالريشة عند 0.2 إلى ذهب شامخ عند 19.3. والماء عند 1.0 هو حدّ الطفو. — جدول الكثافات أفقًا للمباني: من فلّين خفيف كالريشة عند $0.2$ إلى ذهب شامخ عند $19.3$ . والماء عند $1.0$ هو حدّ الطفو.

46.2 قياس الكثافات

طريقة 46.5 (كثافة سائل)

السوائل لا تستقرّ على كفّة ميزان وحدها — فاستعِر حيلة التصفير:

ضع مخبارًا مدرَّجًا فارغًا على الميزان وصفّره؛
واسكب فيه حجمًا مريحًا — ولنقل $V = 80\,\mathrm{cm}^{3}$ من السائل الغامض، قارئًا السطح الهلالي على أصوله؛
فيُظهر الميزان الآن كتلة السائل وحدها: ولنقل $m = 68\,\mathrm{g}$ ؛
واقسم: $\rho = 68 \div 80 = 0.85\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — أخفّ من الماء: فهو زيت على الأرجح.

مثال 46.6 (كثافة جسم صلب من البداية إلى النهاية)

ميدالية تدّعي أنها من فضة ( $\rho = 10.5$ ). الميزان: $m = 84\,\mathrm{g}$ . والمخبار: يصعد الماء من $60.0\,\mathrm{cm}^{3}$ إلى $68.0\,\mathrm{cm}^{3}$ ، ومنه $V = 8.0\,\mathrm{cm}^{3}$ . ثم $\rho = 84 \div 8.0 = 10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — فالتوقيع مطابق: وقد تكون فضة حقًّا. (ومعدن أرخص مكسوّ بطبقة فضة كان سيفضح نفسه هنا — إلا أن يُختار بدهاء، كما ستبيّن مسألة نهاية الأسبوع.)

ملاحظة 46.7 (الوحدات في الصيغ)

لا تكون الصيغة أمينة إلا إذا اتّفقت وحداتها. فمع $m$ بالغرامات و $V$ بوحدة $\mathrm{cm}^{3}$ يتكلّم $\rho$ بوحدة $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ؛ وأطعِمها كيلوغرامات ولترات تجب بوحدة $\mathrm{kg}/\mathrm{L}$ — ولحسن الحظّ بالعدد نفسه لأي مادة. لكن اخلط الغرامات باللترات فتسلّم الصيغةُ، بلا شكوى، هراءً. وقاعدة المحترفين: استعرض الوحدات قبل الحساب، واكتبها في الجواب بعده.

46.3 التفكير بالكثافة

مثال 46.8 (السبائك وما بينهما)

امزج مادّتين فتحطّ كثافة المزيج بين توقيعيهما — أقرب إلى المكوّن الأسخى. فالبرونز (نحاس $9.0$ مع قليل من القصدير) يوقّع قرب $8.8$ ؛ وخليط التاج من ذهب وفضة وقّع بين $10.5$ و $19.3$ ؛ وماء البحر، وهو ملح مذاب في ماء، يرتقي إلى نحو $1.03$ . والبينيّة نفسها قرينة: فقراءة $12$ من سبيكة “ذهب خالص” اعتراف بصحبة.

مثال 46.9 (الكثافة تحسم عالَم الطفو)

قاعدة الطفو، بزيّها الرسمي الآن: يطفو الجسم في سائل حين يكون $\rho_{\text{الجسم}} < \rho_{\text{السائل}}$ . فالبلّوط ( $0.6$ ) على الماء ( $1.0$ ): يطفو. والثلج ( $0.9$ ) في زيت ( $0.85$ ): يغرق — فراجع الجدول لا حدسك. وسبّاح ( $\approx 1.0$ ) في البحيرات الشديدة الملوحة المشهورة ( $\approx 1.2$ ): يطفو كالفلّينة، وجريدته في يده. متراجحة واحدة، والمرفأ كله.

ملاحظة 46.10 (انتبه للحشد لا للطرد)

$\rho = m/V$ تصف الموادّ؛ أما السفن وسترات النجاة المنتفخة فهي طرود — مادة مع هواء محبوس — والذي يواجه قاعدة الطفو هو $m/V$ الكلّي للطرد. والصيغة تعالج الاثنين إن أطعمتها $m$ و $V$ الصحيحين: كثافة الفولاذ نفسه للمادة، وكتلة البدن كله على حجم البدن كله للطرد. وأكثر “مفارقات” الطفو ليست إلا خلطًا بين الحسابين.

46.4 تمارين

تمرين 46.1 ★

اكتب صيغة الكثافة، وسمِّ كل حرف، وأعطِ الوحدة التي تصاحب الغرامات والسنتيمترات المكعّبة.

حل

حل التمرين 46.1.

$\rho = m/V$ : حيث $\rho$ الكثافة، و $m$ كتلة العيّنة، و $V$ حجمها. ومع الغرامات والسنتيمترات المكعّبة يخرج $\rho$ بوحدة $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ .

تمرين 46.2 ★

احسب الكثافة: $m = 270\,\mathrm{g}$ ، $V = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ . فأيّ معدن من معادن بيان الكثافات هذا؟

حل

حل التمرين 46.2.

$\rho = 270 \div 100 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : الألمنيوم.

تمرين 46.3 ★

استعمل الوصفة الصحيحة: كتلة $40\,\mathrm{cm}^{3}$ من النحاس ( $\rho = 9.0$ )؛ وحجم $1930\,\mathrm{g}$ من الذهب ( $\rho = 19.3$ ).

حل

حل التمرين 46.3.

$m = 9.0 \times 40 = 360\,\mathrm{g}$ من النحاس. و $V = 1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ من الذهب — وهو عدد قضية التاج نفسه.

تمرين 46.4 ★

في الطريقة 46.5، لماذا يُصفَّر المخبار أولًا؟ وأيّ قراءتين تُطعَمان الصيغة بعد ذلك؟

حل

حل التمرين 46.4.

التصفير ينزع كتلة المخبار نفسه فيبلّغ الميزان السائل وحده — وهي قاعدة الصفر الأمين. ثم تُطعَم الصيغة كتلةَ الميزان $m$ وقراءةَ السطح الهلالي $V$ .

تمرين 46.5 ★

سائل: $V = 50\,\mathrm{cm}^{3}$ ، $m = 70\,\mathrm{g}$ . فما كثافته؟ وهل يطفو فيه مكعّب ثلج ( $0.9$ ) أم يغرق؟

حل

حل التمرين 46.5.

$\rho = 70 \div 50 = 1.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — شبيه بالعسل. والثلج عند $0.9$ أقلّ كثافة بكثير: فيطفو فيه مرتفعًا.

تمرين 46.6 ★

لماذا تكون كثافة الماء العدد نفسه بوحدة $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ وبالكيلوغرام لكل لتر؟ وأيّ تحذير تُلحقه الملاحظة 46.7 بخلط الغرامات باللترات؟

حل

حل التمرين 46.6.

الوحدتان تتغيّران معًا: فاللتر $1000$ $\mathrm{cm}^{3}$ والكيلوغرام $1000$ غرام، فيتلاشى الألفان — ويخدم عدد واحد الاثنين. أما خلط الغرامات باللترات فيتخطّى ذلك التلاشي ويسلّم عددًا خاطئًا بألف مرة.

تمرين 46.7 ★

سوار عليه علامة “ذهب خالص” كتلته $m = 58\,\mathrm{g}$ وحجمه $V = 5.0\,\mathrm{cm}^{3}$ . احسب كثافته وأعطِ حكمك، والجدول شاهدك.

حل

حل التمرين 46.7.

$\rho = 58 \div 5.0 = 11.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — قرب كثافة الرصاص $11.3$ ، وبعيد عن كثافة الذهب $19.3$ بعدًا شديدًا. والحكم: ليس ذهبًا خالصًا؛ بل على الأرجح منتحل قلبه رصاص في ثياب ذهب.

تمرين 46.8 ★★

المتر المكعّب مكعّب أبعاده $100 \times 100 \times 100$ سنتيمتر. فكم $\mathrm{cm}^{3}$ هو — وما كتلة متر مكعّب من الماء بالكيلوغرامات؟ (والجواب يفسّر لماذا تقلق أسرّةُ الماء أصحابَ البنايات.)

حل

حل التمرين 46.8.

$100 \times 100 \times 100 = 1000000$ $\mathrm{cm}^{3}$ — أي مليون. وبمعدّل $1\,\mathrm{g}$ لكل واحد يكون ذلك $1\,000\,000\,\mathrm{g}$ $=$ $1000\,\mathrm{kg}$ : أي طنًّا كاملًا لكل متر مكعّب من الماء — ولهذا يكون سرير الماء الكبير أثاثًا للطابق الأرضي.

تمرين 46.9 ★★

كأس “فضّية”: $m = 420\,\mathrm{g}$ ، وارتفاع الماء من $200\,\mathrm{cm}^{3}$ إلى $260\,\mathrm{cm}^{3}$ . فما الكثافة؟ وبين أيّ مادّتين من الجدول تقع — وبمَ تهمس البينيّة؟

حل

حل التمرين 46.9.

$V = 260 - 200 = 60\,\mathrm{cm}^{3}$ ؛ و $\rho = 420 \div 60 = 7.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — بين الألمنيوم ( $2.7$ ) والحديد ( $7.9$ )، وأقرب إلى ما دون الحديد. والبينيّة تهمس: خليط أو منتحل مكسوّ، وليست فضة $10.5$ قطعًا.

تمرين 46.10 ★★

قنّينة فارغة تزن $380\,\mathrm{g}$ ؛ ومملوءة حتى علامة $75\,\mathrm{cL}$ بسائل غامض تزن $1010\,\mathrm{g}$ . جِد كثافة السائل بوحدة $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ واقترح هويّته.

حل

حل التمرين 46.10.

كتلة السائل: $1010 - 380 = 630\,\mathrm{g}$ ؛ وحجمه: $75\,\mathrm{cL} = 750\,\mathrm{cm}^{3}$ ؛ ومنه $\rho = 630 \div 750 = 0.84\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — زيت.

تمرين 46.11 ★★

عوّامة ألمنيوم مجوّفة حجمها الكلّي $4000\,\mathrm{cm}^{3}$ وكتلتها الكلّية $1200\,\mathrm{g}$ . احسب كثافة الطرد وتوقّع الطفو أو الغرق — ثم اشرح، بما في الملاحظة 46.10، لماذا كانت كثافة الألمنيوم نفسه $2.7$ هي العدد الخاطئ الذي يُرجع إليه.

حل

حل التمرين 46.11.

كثافة الطرد: $1200 \div 4000 = 0.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — دون كثافة الماء $1.0$ بكثير: فتطفو العوّامة مرتفعة. أما $2.7$ للألمنيوم فتصف قشرة المعدن وحدها؛ والطرد أكثره هواء محصور، والذي يواجه قاعدة الطفو هو الطرد — الكتلة الكلّية على الحجم الكلّي.

تمرين 46.12 ★★★

صمّم بروتوكولًا كاملًا لتقرّر أسلسلة من نحاس خالص أم لا: أحصِ كل قياس، والوصفة المطبَّقة، والعدد المتوقَّع للخلوص، وسببين أمينين قد يبقى معهما حكمك خاطئًا (فكّر في حلقات مجوّفة، وفي خلائط داهية تحطّ كثافتها قرب كثافة النحاس). وأيّ اختبار إضافي يشدّ القضية؟

حل

حل التمرين 46.12.

البروتوكول: زِن السلسلة ( $m$ )؛ وقِس حجمها بطريقة الارتفاع، مغمورة كلها بلا فقاعات ( $V$ )؛ واحسب $\rho = m/V$ ؛ والخلوص يتوقّع نحو $9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . والشكوك الأمينة: أن الحلقات المجوّفة تحبس هواءً فتنفخ $V$ ، فتزوّر كثافة منخفضة؛ وأن خليطًا داهيًا (أو نواة مكسوّة) قد يحطّ قرب $9.0$ ولا نحاس خالص فيه البتة. والاختبار الشادّ: أعِد قياس الحجم بعد إغراق الحلقات (وهزّ الفقاعات خارجًا)، وأضِف توقيعًا مستقلًّا — مثل المغناطيس (فنواة الفولاذ تفضح نفسها في الحال) أو، في ورشة، سلوك انصهار مقيس.

46.5 مسألة: محقّق ساحة الخردة

مسألة 46.1

مسألة نهاية الأسبوع — عصريّة مع محقّق معادن ساحة الخردة؛ أربع دفعات غامضة، وسبيكة منتحلة، وحدود اختبار الكثافة

تشتري ساحة الخردة المعدن بما هو، لا بما يبدو، ويعمل محقّق الساحة بميزان وإناء مدرَّج كبير وجدول الكثافات. وأنت المتدرّب. (مقتطف من الجدول: الألمنيوم $2.7$ ؛ والحديد $7.9$ ؛ والنحاس $9.0$ ؛ والرصاص $11.3$ ؛ والذهب $19.3$ ؛ والتنغستن $19.3$ .)

الجزء الأول — أربع دفعات.

الدفعة A، سبيكة رمادية: $m = 5400\,\mathrm{g}$ ، والإزاحة $V = 2000\,\mathrm{cm}^{3}$ . فما الكثافة والهوية؟
والدفعة B، لفّة سلك: $m = 1800\,\mathrm{g}$ ، $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ . فما الكثافة والهوية؟
والدفعة C، لوح ثقيل باهت: $m = 4520\,\mathrm{g}$ ، $V = 400\,\mathrm{cm}^{3}$ . فما الكثافة والهوية — ولماذا يجب أن تُعالَج الدفعة C بقفّازين وباحترام؟
والدفعة D، كيس خردة شاحبة مختلطة: $m = 8100\,\mathrm{g}$ ، $V = 1500\,\mathrm{cm}^{3}$ . بيّن أن كثافة الدفعة D تحطّ بين معدنين من الجدول، وقل ما الذي يحويه الكيس على الأرجح.

الجزء الثاني — الأسعار والتوقّعات. تدفع الساحة بالكتلة وتخطّط للنقل بالحجم.

يريد مشترٍ $540\,\mathrm{g}$ من الألمنيوم تُقطع من الدفعة A. فأيّ حجم من السبيكة هو ذلك؟
ولفّة النحاس في الدفعة B ستُصهر مكعّبات حجم كل واحد $25\,\mathrm{cm}^{3}$ . فما كتلة المكعّب الواحد، وكم مكعّبًا كاملًا تعطي اللفّة؟
وصندوق يحمل $20\,\mathrm{kg}$ على الأكثر. فكم مكعّبًا من مكعّبات النحاس تلك يجوز أن يحمل؟
وحوض الشاحنة يسع $3000\,\mathrm{cm}^{3}$ أخرى من خردة الحديد. فأيّ كتلة إضافية، بالكيلوغرامات، يُسمح للمحقّق بتحميلها؟

الجزء الثالث — المنتحل. يصل بائع بسبيكة “ذهب” لامعة: $m = 3860\,\mathrm{g}$ ، والإزاحة $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ .

احسب كثافة السبيكة. أتطابق توقيع الذهب؟
ولا يتأثّر المحقّق، بل يراجع آخر سطر في الجدول ويتنهّد. فأيّ معدن أرخص يلبس كثافة الذهب بالضبط — وماذا يعلّمنا هذا عن حدود اختبار الكثافة؟
وأيّ جهازَي الساحة هُزم هنا: الميزان أم الإناء أم كلاهما أم لا هذا ولا ذاك؟ قل بدقّة ما الذي أثبته اختبار الكثافة بأمانة عن السبيكة.
واقترح اختبارًا فيزيائيًّا آخر من سنوات سابقة في هذا المنهاج يميّز الذهب من قرينه من غير إتلاف السبيكة. (فدرجتا انصهارهما مختلفتان اختلافًا هائلًا — الذهب قرب $1064\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، وقرينه فوق كل فرن هنا بكثير — لكن لا ساحة تصهر كنزًا محتملًا: فجِد دليلًا أرفق، ولعلّه حكم المغناطيس على النوى الحديدية، أو رنين قضيب مضروب، ودافع عن اختيارك بأمانة.)

الجزء الرابع — صنعة المحقّق.

اكتب عقيدة المحقّق في ثلاثة أسطر: ما الذي تستطيع الكثافة أن تثبته، وما الذي لا تستطيع إلا أن توحي به، وما الذي لا تستطيعه وحدها أبدًا.

حل

حل المسألة 46.1.

1. $5400 \div 2000 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : الألمنيوم. 2. $1800 \div 200 = 9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : النحاس. 3. $4520 \div 400 = 11.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : الرصاص — كثيف ليّن وسامّ لمن يهمل في مناولته: فالقفّازان. 4. $8100 \div 1500 = 5.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — بين الألمنيوم ( $2.7$ ) والحديد ( $7.9$ ): فهو كيس مختلط منهما، مناصفةً بالحجم تقريبًا. 5. $V = 540 \div 2.7 = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ . 6. المكعّب الواحد: $m = 9.0 \times 25 = 225\,\mathrm{g}$ . و $1800\,\mathrm{g}$ في اللفّة تعطي $1800 \div 225 = 8$ مكعّبات كاملة. 7. $20\,\mathrm{kg} = 20\,000\,\mathrm{g}$ ؛ و $20000 \div 225 = 88.9$ : أي $88$ مكعّبًا. 8. $m = 7.9 \times 3000 = 23\,700\,\mathrm{g} \approx 23.7\,\mathrm{kg}$ . 9. $3860 \div 200 = 19.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — مطابقة تامّة لتوقيع الذهب. 10. التنغستن — وكثافته $19.3$ ، التوقيع نفسه حتى المنزلة العشرية. فاختبار الكثافة يعيّن المشتبه بهم؛ ولا يستطيع أن يفرّق بين مادّتين يصادف أنهما تتقاسمان توقيعًا واحدًا. 11. لم يُهزم أي جهاز: فالكتلة والحجم صحيحان، والقسمة كذلك. وقد أثبت الاختبار بأمانة أن السبيكة إمّا ذهب وإمّا شيء له كثافة الذهب بالضبط — فضيّق المشتبه بهم إلى اثنين. 12. من الاختيارات التي يمكن الدفاع عنها: رنين القضيب المضروب وملمسه (فالتنغستن أقسى بكثير — ومبرد أو اختبار قساوة في زاوية مخفيّة يفرّق بينهما سريعًا)، أو قياس معتمَد لكيفية نقل القضيب للحرارة أو للتيار (فالذهب من أفضل النواقل، والتنغستن وراءه بكثير) — وهو أرفق من أي فرن، وحاسم مع الكثافة. 13. مثلًا: “تستطيع الكثافة أن تثبت أن مادة ليست ما تدّعيه. ولا تستطيع إلا أن توحي بما هي — فالتواقيع تضيّق المشتبه بهم. ووحدها لا تستطيع أن تدين أبدًا: فالهوية تريد شاهدين مستقلّين.”

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

الكثافة، بالصيغة

عرض كل المصطلحات (431) في المسرد