الفيزياء في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

57قانونا التيار والتوتر في الدارات

مقياسان، ومقداران — والآن، أخيرًا، الدستور. فكل دارة ستبنيها يومًا، من كشّاف يدوي إلى شبكة مدينة، تطيع أربعة قوانين قصيرة: اثنان في محاسبة التيار، واثنان في محاسبة التوتر. وبها وبقليل من الجبر تستطيع أن تحسب قراءات لم تقسها بعد — وأن تمسك أيّ قياس يكذب.

57.1 قانونا التيار

قضية 57.1 (قانون التيار في حلقة على التسلسل)

على امتداد حلقة واحدة، الشدّة هي نفسها في كل مكان:

I_{\text{البطارية}} = I_{\text{المصباح 1}} = I_{\text{المصباح 2}} = \dots

طريق واحد، ومسير واحد — نقاط مكس الفصل الماضي، وقد صارت قانونًا من الدستور.

قضية 57.2 (قانون العقد)

عند أيّ عقدة، تساوي الشدّات الداخلة مجتمعةً الشدّاتِ الخارجة مجتمعةً: فلطريق رئيسي ينشطر إلى فرعين،

I = I_1 + I_2 .

فالشحنة لا تُخلق ولا تفنى ولا تُخزَّن عند مفترق: فما يصل يغادر. (وهذا صحيح لأيّ عدد من الفروع — اجمع الوافدين، واجمع المغادرين، تتوازن الدفاتر.)

قانون العقد بالأعداد: 0.50\, A تصل إلى المفترق، و0.30 + 0.20 تغادر على الفرعين — ثم تلتئم 0.50\, A عند العقدة البعيدة. — قانون العقد بالأعداد: $0.50\,\mathrm{A}$ تصل إلى المفترق، و $0.30 + 0.20$ تغادر على الفرعين — ثم تلتئم $0.50\,\mathrm{A}$ عند العقدة البعيدة.

57.2 قانونا التوتر

قضية 57.3 (قانون التوتر في حلقة على التسلسل)

حول حلقة على التسلسل، يُقتسم توتر البطارية بين الأجهزة، وتجتمع الحصص بالضبط:

U_{\text{البطارية}} = U_1 + U_2 + \dots

وصورة الشلّال تمسك الدفاتر: فالبطارية ترفع المسير عبر ارتفاعها كاملًا، والأجهزة تنفق ذلك الارتفاع فيما بينها، قطرة قطرة — والأسلاك الجيّدة لا تنفق شيئًا.

قضية 57.4 (قانون التوتر للفروع على التفرع)

الأجهزة على التفرع تمتدّ كلها بين العقدتين نفسيهما — فيخدمها توتر واحد:

U_1 = U_2 = U_{\text{بين العقدتين}} .

فكل فرع يتمتّع بالدفعة كاملة بين العقدتين — ولهذا تسطع المصابيح على التفرع بسطوعها الاسمي كاملًا، ولهذا يعرض كل مأخذ في بيتك $230\,\mathrm{V}$ نفسها.

قانون التوتر على التسلسل بالأعداد: 4.5\, V للبطارية تُنفَق في حصّتين غير متساويتين — 2.1 + 2.4 = 4.5، إلى العُشر. — قانون التوتر على التسلسل بالأعداد: $4.5\,\mathrm{V}$ للبطارية تُنفَق في حصّتين غير متساويتين — $2.1 + 2.4 = 4.5$ ، إلى العُشر.

مثال 57.5 (لماذا الحصص غير متساوية؟)

مصباحان مختلفان على التسلسل يحملان التيار نفسه (القانون الأول) ومع ذلك يقتسمان التوتر اقتسامًا غير متساوٍ — $2.1\,\mathrm{V}$ في مقابل $2.4\,\mathrm{V}$ . والحصة الأكبر تذهب إلى المصباح الذي يقاوم المسير أكثر: فالعامل الأشقّ يأخذ الهبوط الأكبر. وأمّا ما تعنيه “يقاوم أكثر” بالضبط، وكيف تقيسه، فموضوع الفصل التالي كله — وقوانين هذا الفصل مسرحه.

57.3 الحساب قبل القياس

طريقة 57.6 (حلّ دارة بالقوانين الأربعة)

لدارة معلوم بعض قراءاتها:

ارسم المخطّط وعلّم كل $I$ وكل $U$ معلوم؛
اكتب القوانين المنطبقة معادلاتٍ — مجاميع العقد للتيارات، ومجاميع الحلقة للتوترات، وتساوي $I$ على التسلسل وتساوي $U$ على التفرع؛
حُلّ للمجاهيل (فمعادلات منهج الجبر عندك تكسب قوتها هنا)؛
تحقّق من المعقولية: فلا مصباح ينال أكثر مما تعرضه البطارية، ولا تيار فرع يتجاوز تيار الطريق الرئيسي.

مثال 57.7 (مثال محلول: الدارة المختلطة)

بطارية $6\,\mathrm{V}$ تغذّي المصباح $A$ على التسلسل مع زوج على التفرع ( $B$ و $C$ ). والمقيس: $I_{\text{البطارية}} = 0.5\,\mathrm{A}$ ، و $I_B = 0.3\,\mathrm{A}$ ، و $U_A = 2.5\,\mathrm{V}$ . احسب الباقي. قانون العقد: $I_C = 0.5 - 0.3 = 0.2\,\mathrm{A}$ . وقانون التيار على التسلسل: المصباح $A$ يحمل $0.5\,\mathrm{A}$ كاملة. وقانون توتر الحلقة: ينال الزوج $U_{\text{الزوج}} = 6 - 2.5 = 3.5\,\mathrm{V}$ ؛ وقانون التوتر على التفرع: $U_B = U_C = 3.5\,\mathrm{V}$ . فكل قراءة مقياس في الدارة صارت معلومة — أربعة قوانين، وسطر جبر لكل واحد.

مثال 57.8 (القوانين كاشفةَ كذب)

يزعم تقرير مختبر: البطارية $4.5\,\mathrm{V}$ ؛ ومصباحان على التسلسل عند $2.1\,\mathrm{V}$ و $2.9\,\mathrm{V}$ . فقانون الحلقة يجمع الحصص: $5.0\,\mathrm{V}$ منفقة من كيس $4.5\,\mathrm{V}$ — محال؛ فقد أساء أحدهم قراءة قرص. وتقرير آخر: عقدة يدخلها $0.40\,\mathrm{A}$ ، ويخرج من فرعيها $0.25\,\mathrm{A}$ و $0.20\,\mathrm{A}$ — فالمفترق “يخلق” $0.05\,\mathrm{A}$ : مرفوض. وقبل القوانين كانت القراءات الخاطئة تبدو حسنة كالصائبة؛ أمّا الآن فالدستور يدقّق كل صفحة.

ملاحظة 57.9 (البطاريات تحت القوانين نفسها)

قاعدة “رأسًا بعقب” هي قانون التوتر على التسلسل بأقدم ثيابه: فالبطاريات على التسلسل تجمع توتراتها ( $1.5 + 1.5 + 1.5 = 4.5\,\mathrm{V}$ — سرّ البطارية المسطّحة)، والخلية المعكوسة تطرح، وقد أُنفقت دفعتها في مقاتلة الأخريات. فالقوانين تحكم المعطين والمنفقين سواءً؛ ولا يختلف إلا إشارة إسهامهم.

57.4 تمارين

تمرين 57.1 ★

اذكر القوانين الأربعة — اثنين للتيار واثنين للتوتر — كلًّا في سطر واحد.

حل

حل التمرين 57.1.

قانون التيار على التسلسل: حلقة واحدة، وشدّة واحدة في كل مكان. وقانون العقد: التيارات الداخلة تساوي التيارات الخارجة. وقانون التوتر على التسلسل: توتر البطارية يساوي مجموع حصص الأجهزة حول الحلقة. وقانون التوتر على التفرع: الفروع الممتدّة بين العقدتين نفسيهما تتقاسم توترًا واحدًا بعينه.

تمرين 57.2 ★

عقدة تستقبل $0.8\,\mathrm{A}$ وترسل $0.55\,\mathrm{A}$ في أحد الفرعين. فكم يحمل الفرع الآخر؟

حل

حل التمرين 57.2.

$0.8 - 0.55 = 0.25\,\mathrm{A}$ .

تمرين 57.3 ★

بطارية $9\,\mathrm{V}$ تغذّي ثلاثة مصابيح على التسلسل؛ يأخذ اثنان منها $2.5\,\mathrm{V}$ و $3.8\,\mathrm{V}$ . فما حصة الثالث؟

حل

حل التمرين 57.3.

$9 - 2.5 - 3.8 = 2.7\,\mathrm{V}$ .

تمرين 57.4 ★

مصباحان على التفرع على بطارية $12\,\mathrm{V}$ : ما توتر كل مصباح؟ وأيّ حقيقة يومية عن مآخذ البيت هي القانون نفسه؟

حل

حل التمرين 57.4.

$12\,\mathrm{V}$ لكل واحد — قانون التوتر على التفرع. والقانون نفسه يضع $230\,\mathrm{V}$ عينها على كل مأخذ في تمديدات البيت المتفرّعة.

تمرين 57.5 ★

في الدارة المختلطة المحلولة، أيّ قياس إضافي واحد كان سيكون فائضًا، ولماذا؟ (اختر أيّها شئت، وبرّر بقانون.)

حل

حل التمرين 57.5.

مثلًا $I_C$ : فمتى عُلم $I_{\text{البطارية}}$ و $I_B$ ، ثبّت قانون العقد $I_C = 0.2\,\mathrm{A}$ — وأيّ مقياس يُرسَل إلى هناك لا يملك إلا التأكيد (وكذلك $U_C$ ، يثبّته قانون التوتر على التفرع متى عُلم $U_B$ ).

تمرين 57.6 ★

مصباحان مختلفان على التسلسل يحملان التيار نفسه لكنهما يقتسمان التوتر $1.8$ في مقابل $2.7\,\mathrm{V}$ . فأيّ مصباح يقاوم المسير أكثر؟ وأيّ فصل قادم يقيس تلك المقاومة؟

حل

حل التمرين 57.6.

مصباح $2.7\,\mathrm{V}$ : فعند تساوي التيار، تدلّ حصة التوتر الأكبر على المقاوم الأقوى. والفصل التالي يقيس تلك المقاومة — المقاومة الكهربائية.

تمرين 57.7 ★

تدقيق: البطارية $6\,\mathrm{V}$ ؛ ومصابيح على التسلسل مقيسة $2.2\,\mathrm{V}$ و $1.9\,\mathrm{V}$ و $1.4\,\mathrm{V}$ . أتتوازن الدفاتر في حدود أمانة المقياس؟

حل

حل التمرين 57.7.

$2.2 + 1.9 + 1.4 = 5.5\,\mathrm{V}$ في مقابل كيس $6\,\mathrm{V}$ : نصف فولت ضائع — وهو أبعد من تبعثر المقاييس الأمين عند قراءات كهذه؛ فقد أُسيئت قراءة قرص (أو بقيت حصة بلا قياس).

تمرين 57.8 ★

تدقيق: الطريق الرئيسي $0.9\,\mathrm{A}$ ؛ وثلاثة فروع $0.4\,\mathrm{A}$ و $0.3\,\mathrm{A}$ و $0.3\,\mathrm{A}$ . ما الحكم؟

حل

حل التمرين 57.8.

$0.4 + 0.3 + 0.3 = 1.0\,\mathrm{A}$ خارجة في مقابل $0.9\,\mathrm{A}$ واصلة: فالمفترق “يخلق” $0.1\,\mathrm{A}$ — مُدان بقانون العقد.

تمرين 57.9 ★★

بطارية $4.5\,\mathrm{V}$ ، والمصباح د على التسلسل مع قاطعة — ثم، على التفرع مع المصباح د، يُظهر مقياس توتر $4.5\,\mathrm{V}$ على طرفَي القاطعة المفتوحة و $0\,\mathrm{V}$ على طرفَي د. بيّن أن القراءتين تطيعان قانون توتر الحلقة.

حل

حل التمرين 57.9.

يجب أن يبلغ إنفاق الحلقة توتر البطارية $4.5\,\mathrm{V}$ : القاطعة المفتوحة $4.5\,\mathrm{V}$ $+$ المصباح العاطل $0\,\mathrm{V}$ $= 4.5$ — متوازن. (وبعد النقرة تتبادل الحصص: القاطعة قرب الصفر، والمصباح قرب $4.5\,\mathrm{V}$ — متوازن ثانية.)

تمرين 57.10 ★★

ثلاث خلايا متماثلة رأسًا بعقب تضيء مصباحًا؛ ثم تنضمّ رابعة معكوسة إلى الطابور. ما التوتر الكلّي قبل وبعد، بقانون التسلسل مع الإشارات؟ وماذا يفعل المصباح؟

حل

حل التمرين 57.10.

قبل: $3 \times 1.5 = 4.5\,\mathrm{V}$ . وبعد: $4.5 - 1.5 = 3.0\,\mathrm{V}$ — فالخلية المعكوسة تطرح. ويخفت المصباح من توهّج $4.5\,\mathrm{V}$ إلى توهّج $3\,\mathrm{V}$ .

تمرين 57.11 ★★

دارة بفرعين: الفرع الأول يحمل المصباحين $E$ و $F$ على التسلسل؛ والفرع الثاني يحمل المصباح $G$ وحده. والبطارية $6\,\mathrm{V}$ ؛ و $U_E = 2.2\,\mathrm{V}$ . احسب $U_F$ و $U_G$ ، مستشهدًا بقانون لكل خطوة.

حل

حل التمرين 57.11.

الفرع الأول يمتدّ على البطارية: $U_E + U_F = 6\,\mathrm{V}$ (قانون التوتر على التسلسل على امتداد الفرع)، ومنه $U_F = 6 - 2.2 = 3.8\,\mathrm{V}$ . والفرع الثاني يمتدّ بين العقدتين نفسيهما: $U_G = 6\,\mathrm{V}$ (قانون التوتر على التفرع).

تمرين 57.12 ★★★

التدقيق الكامل: بطارية $6\,\mathrm{V}$ ؛ والمصباح $P$ على التسلسل مع عقدة؛ والفرعان $Q$ و $R$ يلتئمان ويعودان. والمقيس: $I_P = 0.6\,\mathrm{A}$ ، و $I_Q = 0.45\,\mathrm{A}$ ، و $U_Q = 2.3\,\mathrm{V}$ . احسب كل تيار وكل توتر متبقٍّ في الدارة ( $I_R$ و $U_P$ و $U_R$ )، ذاكرًا القانون وراء كل سطر — ثم اخترع “قياسًا” إضافيًّا واحدًا قد يبلّغ عنه طالب مهمل ويدينه حلّك المنجَز في الحال.

حل

حل التمرين 57.12.

$I_R = 0.6 - 0.45 = 0.15\,\mathrm{A}$ (قانون العقد). و $U_R = U_Q = 2.3\,\mathrm{V}$ (قانون التوتر على التفرع). و $U_P = 6 - 2.3 = 3.7\,\mathrm{V}$ (قانون التوتر على التسلسل). ومن الإضافات القابلة للإدانة: “ $I_R = 0.2\,\mathrm{A}$ ” — فدفاتر العقدة ستُظهر $0.45 + 0.2 = 0.65 \neq 0.6$ ؛ أو “ $U_R = 2.6\,\mathrm{V}$ ” — فالفروع على التفرع لا يجوز أن تختلف.

57.5 مسألة: الصناديق المختومة الغامضة

مسألة 57.1

مسألة نهاية الأسبوع — تحدّي الصناديق المختومة في نادي الإلكترونيات؛ أربعة قوانين في مواجهة أربعة ألغاز؛ التدقيق الكبير

يختم النادي دارات بسيطة داخل صناديق، ولا يترك إلا مآخذ للمقاييس. وعلى الفرق أن تستنتج الداخل — والدستور في اليد. وبطارية المنضدة $6\,\mathrm{V}$ في كل مكان.

القسم الأول — الصندوق أ: مأخذان، ومصباحان. تعترف اللافتة: مصباحان متماثلان ولا شيء غيرهما، إمّا على التسلسل وإمّا على التفرع.

موصولًا بالبطارية، يسحب الصندوق أ $0.2\,\mathrm{A}$ ؛ ومعلوم أن مصباحًا واحدًا كهذا وحده على $6\,\mathrm{V}$ يسحب نحو $0.4\,\mathrm{A}$ . أعلى التسلسل هو أم على التفرع؟ استدلّ بقانون تيار.
تنبّأ بما كان الصندوق سيسحبه في الترتيب الآخر.
وأيّ توتر ينال كل مصباح داخلي في الترتيب الفعلي، وبأيّ قانون توتر؟
وفي أيّ ترتيب كانت المصابيح المخفيّة ستسطع بسطوعها الاسمي كاملًا — ولماذا لا تفعل ذلك، بشهادة العين من كوّة الصندوق؟

القسم الثاني — الصندوق ب: لغز المصابيح الثلاثة. يعترف الصندوق ب: مصباح واحد ( $X$ ) على التسلسل مع زوج على التفرع ( $Y$ و $Z$ — وليسا متماثلين بالضرورة).

يقيس الفريق $I_{\text{البطارية}} = 0.5\,\mathrm{A}$ ، وعند مأخذ اختبار $Y$ نفسه $I_Y = 0.35\,\mathrm{A}$ . جِد $I_Z$ و $I_X$ ، مستشهدًا بالقوانين.
مقياس توتر على طرفَي $X$ : $2.8\,\mathrm{V}$ . جِد توتر الزوج على التفرع — وكلًّا من $U_Y$ و $U_Z$ .
$Y$ و $Z$ يحملان تيارين مختلفين عند التوتر نفسه. فعلامَ يدلّ هذا في شأن المصباحين، بلغة المثال 57.5؟
يفكّ الفريق $Y$ من فتحة. تنبّأ باتجاه تغيّر $I_{\text{البطارية}}$ الجديد (ارتفاع أم هبوط أم ثبات)، مستدلًّا بالطرق ومقاومتها.

القسم الثالث — الصندوق ج: الغشّ.

يبلّغ باني الصندوق ج: “البطارية $6\,\mathrm{V}$ ؛ ومصباحان على التسلسل في الداخل عند $2.5\,\mathrm{V}$ و $4.1\,\mathrm{V}$ ؛ وعقدة في الداخل تستقبل $0.3\,\mathrm{A}$ وترسل $0.2\,\mathrm{A}$ و $0.15\,\mathrm{A}$ .” أدِن التقرير مرتين، بقانون لكل إدانة.
ويتبيّن لاحقًا أن إحدى قراءتَي التوتر المبلَّغ عنهما أمينة. فإذا كانت هي $2.5\,\mathrm{V}$ ، فماذا يجب أن تكون شريكتها حقًّا؟
ويعترف الباني بأن أعداد العقدة “قُرّبت بسخاء”. فإذا كانت قراءتا الفرعين $0.2\,\mathrm{A}$ و $0.15\,\mathrm{A}$ أمينتين، فماذا يجب أن يحمل الطريق الرئيسي حقًّا؟
ولماذا تجعل القوانين الأربعة الغشّ في الصناديق المختومة لعبة خاسرة؟ جملة واحدة.

القسم الرابع — الدستور.

اكتب ميثاق النادي: القوانين الأربعة في أربعة أسطر، ولكل واحد صورته اليومية التي تحمله (الطرق، ونقاط المكس، والشلّالات، والمفترقات).

حل

حل المسألة 57.1.

1. على التسلسل. فعلى التسلسل يقاوم المصباحان المسير واحدًا بعد الآخر: فيهبط تيار الحلقة دون $0.4\,\mathrm{A}$ الخاصّة بمصباح واحد بكثير — و $0.2\,\mathrm{A}$ المقيسة تلائم ذلك. (أمّا التفرع فكان سيجمع فرعين كاملين.) 2. على التفرع: فرعان بنحو $0.4\,\mathrm{A}$ لكل واحد — أي نحو $0.8\,\mathrm{A}$ من البطارية. 3. قانون التوتر على التسلسل يقسم $6\,\mathrm{V}$ بين مصباحين متماثلين: نحو $3\,\mathrm{V}$ لكل واحد. 4. على التفرع — فكان كل مصباح سيمتدّ على $6\,\mathrm{V}$ كاملة. ومن الكوّة يتوهّج الزوج المتسلسل خافتًا: فكل واحد ناقص التغذية عند نصف دفعته المعتادة. 5. $I_Z = 0.5 - 0.35 = 0.15\,\mathrm{A}$ (قانون العقد)؛ و $I_X = 0.5\,\mathrm{A}$ — فالمصباح $X$ يجلس على الطريق غير المنقسم (قانون التيار على التسلسل). 6. $U_{\text{الزوج}} = 6 - 2.8 = 3.2\,\mathrm{V}$ (قانون الحلقة)؛ و $U_Y = U_Z = 3.2\,\mathrm{V}$ (قانون التفرع). 7. الدفعة نفسها، والمسيران مختلفان: فالمصباحان يقاومان التيار على غير سواء — و $Z$ ، وهو يحمل أقلّ عند التوتر نفسه، هو المقاوم الأقوى (الطريق الأشقّ). 8. هبوط: ففقد فرع $Y$ يزيل طريقًا؛ وطريق $Z$ الباقي يقاوم أكثر مما كان الفرعان يقاومانه معًا، فتسوق البطارية تيارًا كلّيًّا أقلّ. 9. الإدانة الأولى، بقانون الحلقة: $2.5 + 4.1 = 6.6\,\mathrm{V}$ منفقة من كيس $6\,\mathrm{V}$ . والإدانة الثانية، بقانون العقد: داخل $0.3\,\mathrm{A}$ ، وخارج $0.2 + 0.15 = 0.35\,\mathrm{A}$ . 10. $6 - 2.5 = 3.5\,\mathrm{V}$ . 11. $0.2 + 0.15 = 0.35\,\mathrm{A}$ . 12. لأن القوانين الأربعة تُفرِط في تحديد كل دارة أمينة: فكل قراءة يجب أن توافق مجاميع أخواتها، فلا بدّ لعدد مخترَع أن يكذب على قانون واحد على الأقلّ — فيُدان بالحساب وحده. 13. مثلًا: “طريق واحد، ومسير واحد — قانون التيار على التسلسل. وعند كل مفترق تتوازن المسايير، فالداخل يساوي الخارج — قانون العقد. وحول أيّ حلقة يُنفق شلّال البطارية إلى آخر قطرة على العمّال — قانون التوتر على التسلسل. والفروع المعلّقة بين العقدتين نفسيهما تشرب من الارتفاع نفسه — قانون التوتر على التفرع.”