Física do ensino fundamental · Grades 1–9

40Descrever o movimento: trajetória e velocidade

Uma folha caindo, um trem de alta velocidade, um cavalinho de carrossel, uma cobrança de pênalti: o mundo nunca fica parado. Para estudar o movimento, a física faz duas perguntas organizadas a tudo o que se move: por qual caminho? e com que rapidez ao longo dele? Caminho e ritmo — trajetória e velocidade — são os óculos deste capítulo.

40.1 Trajetória: o caminho percorrido

Definição 40.1 (Trajetória)

A trajetória de um objeto em movimento é a linha traçada pela viagem dele — o caminho que ele desenha no espaço. Três formatos cobrem quase toda a vida diária: retilínea (o elevador, a maçã que cai), circular (o cavalinho de carrossel, a ponta do ponteiro de um relógio) e curva de jeitos mais livres (o arco da bola lançada, o mergulho da andorinha).

Três trajetórias do dia a dia: a subida retilínea, o círculo sem fim, o arco do lançamento.

Exemplo 40.2 (Trajetória de quem?)

Tome cuidado para dizer qual ponto você está acompanhando. O focinho do cavalinho de carrossel desenha um círculo; o centro do carrossel inteiro não desenha nada — ele fica parado. O eixo de uma roda que rola desliza em linha reta, enquanto um ponto da borda dela traça saltinhos graciosos. Uma máquina, muitas trajetórias: a física acompanha um ponto de cada vez.

Observação 40.3 (Em movimento em relação a quê?)

Um passageiro cochilando no trem não desenha trajetória nenhuma para o passageiro sentado à frente — e desenha uma linha de cem quilômetros no mapa para uma vaca que olha do pasto. As duas descrições são honestas: movimento é sempre movimento em relação a alguma coisa, e quem descreve precisa dizer em relação a quê. Por enquanto comparamos tudo caladinhos com o chão; toda a força de escolher outros pontos de vista é uma história célebre guardada para o volume do ensino médio.

Uma câmera deixada aberta à noite desenha trajetórias: cada farol traça exatamente o caminho que o seu carro percorreu.

40.2 Uniforme ou variado?

Definição 40.4 (Movimento uniforme e variado)

Um movimento é uniforme quando percorre distâncias iguais em tempos iguais — a caminhada firme de quem anda no ritmo de um metrônomo, o cruzeiro de um trem entre duas estações. Ele é variado quando o ritmo muda: acelerando (o velocista saindo dos blocos), freando (o ônibus parando) ou os dois alternadamente (o eterno anda-e-para do trânsito).

Proposição 40.5 (Lendo o filme pontilhado)

Fotografe um objeto em movimento em batidas iguais de tempo — muitos instantâneos rápidos numa mesma imagem — e o movimento assina o próprio nome em pontos:

pontos igualmente espaçados: movimento uniforme;
pontos se afastando ao longo do caminho: acelerando;
pontos se aglomerando: freando.

Há tempos iguais entre cada par de pontos, então os vãos entre os pontos comparam as distâncias — o diagnóstico inteiro num relance.

Três filmes pontilhados, um instantâneo por batida: espaçamento igual, afastando, aglomerando — uniforme, acelerado, freando.

Método 40.6 (Fazer um filme pontilhado)

Qualquer câmera de celular produz esses retratos:

filme o objeto em movimento — um colega passando de bicicleta, uma bola descendo uma rampa — segurando a câmera parada;
avance pelo vídeo, pausando em passos iguais (a cada meio segundo de reprodução, por exemplo);
em cada pausa, marque a posição do objeto num papel vegetal sobre a tela, ou anote-a em relação às estacas de uma cerca ao fundo;
alinhe as suas marcas numa fileira e leia-as com a Proposição 40.5.

Um aviso dos profissionais: segure a câmera parada — uma câmera que se desloca acrescenta o movimento dela ao filme e embaralha de quem é cada trajetória (exatamente o aviso da Observação 40.3).

40.3 Pondo números no ritmo

Exemplo 40.7 (Velocidade por proporcionalidade)

Um bonde em movimento uniforme percorre $9\,\mathrm{km}$ em $20$ minutos. Que velocidade é essa, nos quilômetros-por-hora de sempre? A proporcionalidade responde sem nenhuma maquinaria nova: uma hora são três porções de $20$ minutos, então o bonde percorre $3 \times 9 = 27\,\mathrm{km}$ em uma hora — a velocidade dele é de $27$ quilômetros por hora. Numa tabela:

minutos	$20$	$60$
quilômetros	$9$	$27$

O movimento uniforme é a proporcionalidade entre distância e tempo — o seu curso de matemática e o seu curso de física acabaram de se cumprimentar.

Exemplo 40.8 (O quadro dos ritmos)

Ritmos do dia a dia, para julgar qualquer resposta: passeando, cerca de $4$ quilômetros por hora; caminhando depressa, $6$ ; pedalando sem esforço, $15$ ; um ônibus urbano com paradas, $20$ ; um carro em estrada aberta, $90$ ; um trem de alta velocidade, até $300$ . Quando uma conta entrega a você um pedestre a $40$ quilômetros por hora, o quadro dos ritmos devolve a conta.

Observação 40.9 (Velocidade num instante)

Um movimento variado não tem uma única velocidade — o ônibus que freia está rápido, depois lento, depois parado. O ponteiro do velocímetro de um carro responde a uma pergunta mais sutil: quão rápido agora? Definir essa velocidade-de-agora com precisão é genuinamente profundo — ela precisa de uma matemática que você vai conhecer no último ano do ensino médio, e abriu um dos maiores capítulos de toda a ciência. Para este ano: os movimentos uniformes ganham um número honesto; os movimentos variados ganham uma história.

40.4 Exercícios

Exercício 40.1 ★

Diga o formato da trajetória: uma gota de chuva descendo por uma vidraça parada; a ponta do ponteiro dos minutos; um arremesso de basquete rumo à cesta; o slalom de um esquiador.

Solução

Solução de Exercício 40.1.

Retilínea (descendo a vidraça); circular; curva (um arco); curva (um S serpenteante).

Exercício 40.2 ★

Numa bicicleta rolando, que trajetória o eixo da roda desenha? E a válvula do pneu, na borda? (Uma palavra e um esboço para cada.)

Solução

Solução de Exercício 40.2.

O eixo: uma linha reta, deslizando paralela à rua. A válvula: uma curva de saltinhos graciosos — subindo, arqueando e tocando o chão a cada volta da roda.

Exercício 40.3 ★

Uniforme ou variado: um trem em cruzeiro entre estações; o mesmo trem saindo da plataforma; um paraquedista descendo a um ritmo constante; um disco deslizando e perdendo velocidade num gelo áspero?

Solução

Solução de Exercício 40.3.

Uniforme; variado (acelerando); uniforme; variado (freando).

Exercício 40.4 ★

Um filme pontilhado mostra vãos de $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ entre os instantâneos. Diagnostique o movimento. Outro mostra $1\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $4\,\mathrm{cm}$ , $7\,\mathrm{cm}$ : diagnostique esse também.

Solução

Solução de Exercício 40.4.

Vãos iguais: movimento uniforme. Vãos crescendo ( $1, 2, 4, 7$ ): acelerando — mais distância em cada batida igual.

Exercício 40.5 ★

Por que a câmera precisa ficar parada ao se fazer um filme pontilhado? Qual observação do capítulo está em jogo?

Solução

Solução de Exercício 40.5.

Uma câmera que se desloca acrescenta o movimento dela ao registro — os pontos então misturam a viagem do objeto com a da câmera. O movimento é sempre movimento em relação a alguma coisa, e o filme precisa fixar essa “alguma coisa”: é a observação sobre pontos de vista.

Exercício 40.6 ★

Uma balsa em movimento uniforme percorre $12\,\mathrm{km}$ em $30$ minutos. Monte a tabela de proporcionalidade e dê a velocidade dela em quilômetros por hora.

Solução

Solução de Exercício 40.6.

Tabela: $30$ min $\to$ $12\,\mathrm{km}$ , então $60$ min $\to$ $24\,\mathrm{km}$ : a velocidade da balsa é de $24$ quilômetros por hora.

Exercício 40.7 ★

Um ciclista afirma manter $14$ quilômetros por hora. Que distância ele percorre em $30$ minutos? E em $15$ minutos? (Tabelas, não fórmulas.)

Solução

Solução de Exercício 40.7.

$60$ min $\to$ $14\,\mathrm{km}$ ; $30$ min $\to$ $7\,\mathrm{km}$ ; $15$ min $\to$ $3.5\,\mathrm{km}$ .

Exercício 40.8 ★

Diante do quadro dos ritmos do Exemplo 40.8, julgue estas afirmações: um passeante percorrendo $12\,\mathrm{km}$ em uma hora; um ônibus urbano percorrendo $10\,\mathrm{km}$ em $30$ minutos; um trem de alta velocidade percorrendo $75\,\mathrm{km}$ em $15$ minutos.

Solução

Solução de Exercício 40.8.

Um passeante a $12$ quilômetros por hora: rejeitado — três vezes o ritmo de passeio. O ônibus: $10$ km em $30$ min dá $20$ quilômetros por hora — exatamente o ritmo de ônibus urbano, aceito. O trem: $75$ km em $15$ min dá $300$ quilômetros por hora — topo do quadro, mas plausível para um trem de alta velocidade: aceito.

Exercício 40.9 ★★

O passageiro cochilando da Observação 40.3: descreva o movimento dele — trajetória e ritmo — primeiro para o passageiro sentado à frente e depois para a vaca no pasto. Por que as duas descrições são honestas?

Solução

Solução de Exercício 40.9.

Para o passageiro à frente: nenhum movimento — nenhuma trajetória, ritmo zero. Para a vaca: uma longa trajetória retilínea no ritmo completo do trem. As duas descrições são honestas: cada uma descreve o passageiro que cochila em relação ao próprio ponto de vista, e movimento é sempre movimento em relação a alguma coisa.

Exercício 40.10 ★★

Uma linha de metrô tem $9\,\mathrm{km}$ de ponta a ponta. O horário prevê $18$ minutos, incluindo seis paradas de um minuto em estações. Durante o tempo em que o metrô realmente anda, o ritmo médio dele está acima ou abaixo de $45$ quilômetros por hora? (Descubra primeiro o tempo de deslocamento e depois use uma tabela.)

Solução

Solução de Exercício 40.10.

Tempo de deslocamento: $18 - 6 = 12$ minutos para $9\,\mathrm{km}$ . Tabela: $12$ min $\to$ $9$ km, então $60$ min $\to$ $45$ km — exatamente $45$ quilômetros por hora: nem acima nem abaixo, mas certinho.

Exercício 40.11 ★★

Projete um filme pontilhado para resolver uma discussão em família: o cachorro corre a um ritmo constante quando busca a bolinha, ou ele dispara e depois desliza? Liste os seus passos, o que você vai medir e que veredito cada padrão de pontos daria.

Solução

Solução de Exercício 40.11.

Filme a busca da bolinha com a câmera parada; pause a cada meio segundo; marque as posições do cachorro em relação às estacas da cerca; meça os vãos. Vãos iguais o tempo todo: ritmo constante. Vãos que se abrem e depois encolhem (ou que alternam largos e estreitos): dispara e desliza. Os pontos entregam o veredito, não importa o que a família tenha gritado.

Exercício 40.12 ★★★

Uma bola rola até a beirada de uma mesa e cai. Esboce a trajetória dela da beirada da mesa até o chão, vista por alguém em pé na sala. Depois argumente — pontos de vista de novo! — que trajetória veria um observador minúsculo montado num carrinho que rolasse por baixo da bola em queda, exatamente no ritmo do avanço dela. (Um dos dois vê uma curva; o outro vê algo bem mais simples. Este quebra-cabeça volta, resolvido, no volume do ensino médio.)

Solução

Solução de Exercício 40.12.

Da sala: uma curva — a bola arqueia para a frente e para baixo, da beirada da mesa até o chão. Do carrinho que rola no ritmo do avanço da bola: a bola não ganha nem perde terreno — ela parece cair em linha reta para baixo. A mesma queda, dois pontos de vista, e a vista mais simples pertence ao observador em movimento: uma semente de uma grande ideia.

40.5 Problema: O filme pontilhado da Linha 7

Problema 40.1

Problema de fim de semana — uma engenheira de transportes lê os filmes pontilhados de uma linha de bonde; diagnosticar a viagem, cronometrar a linha, pegar a mentira do horário

Uma engenheira de transportes filmou viagens de bonde com uma câmera de beira de rua que marca a posição do bonde a cada batida (uma batida $=$ $10$ segundos) e entrega os filmes a você.

Parte I — Lendo os filmes. O filme A, entre duas estações, mostra os vãos (em metros): $50, 50, 50, 50, 50$ .

Diagnostique o movimento do filme A.
Que distância o bonde percorreu durante os $50$ segundos do filme A?
O filme B, saindo de uma estação, mostra os vãos $10, 25, 40, 50, 50$ . Conte a história da viagem em palavras.
No filme B, em quais intervalos entre batidas o movimento é (quase) uniforme?

Parte II — O ritmo verdadeiro da linha.

No trecho uniforme, o bonde percorre $50\,\mathrm{m}$ a cada $10$ segundos. Monte a tabela até um minuto: que distância por minuto?
Continue até a hora: qual é a velocidade de cruzeiro do bonde em quilômetros por hora?
A linha inteira tem $12\,\mathrm{km}$ . Na velocidade de cruzeiro, sem paradas, quantos minutos de ponta a ponta?
O horário prevê $50$ minutos de ponta a ponta. Quantos minutos a linha real perde, ao todo, com estações, sinais vermelhos e trechos lentos?

Parte III — O anúncio em julgamento. O cartaz da empresa se gaba: “Linha 7 — atravesse a cidade a $18$ quilômetros por hora, o dobro do melhor ritmo de um pedestre!”

Confira a aritmética do cartaz contra o horário: $12\,\mathrm{km}$ em $50$ minutos — monte a tabela até uma hora. “ $18$ quilômetros por hora” é honesto para a viagem inteira?
Um sabichão objeta: “Um número desses nunca aparece no velocímetro — o bonde ou está em cruzeiro a $18$ ou está parado no $0$ !” Explique o que uma velocidade de viagem inteira realmente descreve, e por que ela ainda é o número justo para uma viagem de muitos ritmos.
A engenheira propõe pular duas estações para economizar quatro minutos. Qual seria o novo tempo de ponta a ponta e — tabela de novo — a nova velocidade de viagem inteira, em quilômetros por hora? (Arredonde com bom senso.)
Escreva o relatório de uma frase da engenheira: em qual número os passageiros devem confiar para se planejar, na velocidade de cruzeiro ou na velocidade de viagem inteira, e por quê?

Solução

Solução de Problema 40.1.

1. Vãos iguais de $50\,\mathrm{m}$ : movimento uniforme. 2. $5 \times 50 = 250\,\mathrm{m}$ . 3. O bonde arranca do repouso: vãos curtos que vão crescendo — acelerando nas três primeiras batidas — e depois se acomodam em vãos constantes de $50\,\mathrm{m}$ : cruzeiro. 4. Nos dois últimos intervalos, de $50\,\mathrm{m}$ cada. 5. $10$ s $\to$ $50\,\mathrm{m}$ , então $60$ s $\to$ $300\,\mathrm{m}$ por minuto. 6. $60$ min $\to$ $60 \times 300 = 18\,000\,\mathrm{m}$ : velocidade de cruzeiro de $18$ quilômetros por hora. 7. Tabela: $18\,\mathrm{km}$ por $60$ min, então $12\,\mathrm{km}$ em $40$ minutos. 8. $50 - 40 = 10$ minutos perdidos com paradas e trechos lentos. 9. $50$ min $\to$ $12\,\mathrm{km}$ , então $60$ min $\to$ $12 \times 60 \div 50 = 14.4\,\mathrm{km}$ : a viagem inteira corre a cerca de $14$ quilômetros por hora — os $18$ do cartaz são honestos só para os trechos de cruzeiro, e não para “atravessar a cidade”. 10. Uma velocidade de viagem inteira descreve o percurso como se ele fosse uniforme: o único ritmo constante que cobriria os mesmos $12\,\mathrm{km}$ nos mesmos $50$ minutos. Velocímetro nenhum a mostra e, ainda assim, ela é o número justo para o planejamento, porque já contém cada parada e cada trecho lento. 11. $50 - 4 = 46$ minutos; $12 \times 60 \div 46 \approx 15.7\,\mathrm{km}$ por hora — digamos uns $16$ . 12. Por exemplo: “Os passageiros devem se planejar pela velocidade de viagem inteira — cerca de $14$ quilômetros por hora hoje — porque ela é o único número que inclui as esperas; os $18$ de cruzeiro bajulam a linha e ignoram todas as paradas.”

Termos definidos neste capítulo

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