Física do ensino fundamental · Grades 1–9

65O movimento: uniforme e variado

Dois anos atrás você diagnosticava o movimento no olho: pontos igualmente espaçados, uniforme; pontos se afastando, acelerando. Neste ano os pontos ganham marcações de milímetro e o diagnóstico ganha números — intervalo por intervalo, velocidade por velocidade. E no fim do capítulo está uma frase discreta sobre a força e o movimento que um dia vai carregar metade da física nas costas.

65.1 O registro do movimento

Definição 65.1 (Registro cronometrado de posições)

Um registro cronometrado de posições de um movimento marca as posições do objeto em movimento a cada tique igual de tempo — quadros de vídeo passados um a um, uma fotografia com lampejos de estroboscópio ou o marcador de pontos do laboratório carimbando uma fita de papel puxada pelo objeto, cinquenta pontos por segundo. Entre duas marcas vizinhas quaisquer fica um tique de viagem: o registro transforma o movimento em segmentos mensuráveis.

Método 65.2 (Ler um registro com números)

Para um registro com tique de duração $\tau$ (digamos $0.02\,\mathrm{s}$ para cinquenta por segundo, ou uns confortáveis $0.1\,\mathrm{s}$ vindos do vídeo):

meça cada intervalo entre marcas vizinhas com a régua milimetrada;
divida cada intervalo pelo tique: $v = d/\tau$ dá a velocidade (média) naquele intervalinho — em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ se os intervalos estiverem em metros;
ponha as velocidades lado a lado e leia a história: números estáveis, movimento uniforme; subindo, acelerado; afundando, retardado;
cite a velocidade de qualquer intervalo como a velocidade “no” instante correspondente: num tique tão curto, a média e a instantânea se dão as mãos.

Três fitas do marcador de pontos, um ponto por tique. Neste ano os intervalos são medidos, e cada um deles vira uma velocidade.

Exemplo 65.3 (Uma fita, resolvida)

A fita de um carrinho, tiques de $0.1\,\mathrm{s}$ , intervalos em centímetros: $2.0$ , $3.0$ , $4.0$ , $5.0$ , $6.0$ . Velocidades, intervalo por intervalo: $0.02 \div 0.1 = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , depois $0.3$ , $0.4$ , $0.5$ , $0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Veredito: acelerado — e de maneira lindamente regular: a velocidade cresce exatamente $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a cada tique. Os movimentos cuja velocidade sobe em passos iguais em tempos iguais têm um nome especial e um grande futuro — uniformemente acelerados, a assinatura das causas constantes.

Exemplo 65.4 (O mais famoso dos movimentos acelerados)

Solte uma pedra e filme: os intervalos se esticam tique a tique — a queda livre é acelerada. Medida, a velocidade dela cresce cerca de $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a cada segundo de queda: depois de um segundo, $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; depois de dois, quase $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Que esse ritmo de crescimento seja igual ao $g$ do lugar não é coincidência — é a rima mais profunda da física deste ano, e o volume do ensino médio constrói a mecânica dele sobre ela. Anote, sublinhe e deixe esperar.

65.2 A velocidade instantânea, com honestidade

Definição 65.5 (Velocidade instantânea)

A velocidade instantânea de um movimento em certo instante é a velocidade média num intervalo muito curto em torno desse instante — tão curto que o movimento não tem espaço para mudar de ritmo dentro dele. É o número do velocímetro e o do radar: os dois, aliás, medem exatamente como o Método 65.2 manda, com tiques de um piscar de olhos. (O que “muito curto” quer dizer com todo o rigor é a grande pergunta que o último ano da matemática do ensino médio responde — e a resposta criou a ciência moderna.)

Exemplo 65.6 (Média e instantânea, lado a lado)

Uma corrida de metrô entre estações: velocidade média — a distância total sobre o tempo total — $35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Velocidade instantânea: $0$ nas duas plataformas, $70\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ no meio do túnel. No movimento uniforme, e só nele, as duas noções se fundem num único número constante: o movimento uniforme é precisamente o movimento que faz da velocidade uma grandeza única, honesta e independente de intervalos.

65.3 A frase discreta

Proposição 65.7 (Forças equilibradas não mudam o movimento)

Quando as forças sobre um corpo se cancelam — ou quando não age nenhuma —, o movimento do corpo não muda: em repouso ele continua em repouso, e em movimento ele segue em linha reta com velocidade constante. A mudança do movimento — acelerar, frear, virar — acontece apenas enquanto alguma força desequilibrada age. Essa frase, enunciada aqui e honestamente adiada, é a lei de abertura de toda a mecânica; o volume do ensino médio começa com ela e nunca mais a larga.

Exemplo 65.8 (Ler o mundo com a frase)

O disco no gelo liso desliza reto e constante — forças equilibradas (peso para baixo, gelo para cima), movimento inalterado: empurrão nenhum é preciso para continuar indo. O carro que freia desacelera: uma força desequilibrada, a garra da estrada nos pneus, agindo para trás. O ciclista que faz a curva: força desequilibrada para o lado, fornecida pelos pneus inclinados. E o avião de linha em cruzeiro constante a $900\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : o empuxo equilibrando o arrasto, a sustentação equilibrando o peso — quatro forças, empate perfeito, movimento uniforme. A imobilidade e o cruzeiro são, para a física, o mesmo estado pacífico.

Observação 65.9 (Por que a frase surpreende)

O dia a dia parece protestar: pare de pedalar e a bicicleta perde velocidade — então o movimento não precisa de força? Mas a bicicleta que perde velocidade não está livre de forças: o atrito e o ar empurram para trás, desequilibrados, e é exatamente por isso que o ritmo decai. Tire esses dois — a pista de gelo, o vazio do espaço — e o movimento segue por inércia para sempre: as sondas espaciais lançadas antes de os seus avós se conhecerem continuam deslizando agora, com os motores frios. A humanidade precisou de dois mil anos para enxergar através do disfarce do atrito; você tem a vantagem das pistas de gelo e das sondas espaciais.

65.4 Exercícios

Exercício 65.1 ★

O que é um registro cronometrado de posições? Diga duas maneiras de fazer um.

Solução

Solução de Exercício 65.1.

Marcas das posições do objeto a cada tique igual de tempo. Duas maneiras de fazer: passar quadros de vídeo um a um; o marcador de pontos carimbando uma fita de papel puxada (ou uma fotografia com estroboscópio).

Exercício 65.2 ★

Uma fita com tiques de $0.1\,\mathrm{s}$ mostra intervalos de $4.0\,\mathrm{cm}$ , $4.0$ , $4.0$ , $4.0$ . Diagnostique o movimento e dê a velocidade dele em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Solução

Solução de Exercício 65.2.

Intervalos iguais: uniforme. $v = 0.04 \div 0.1 = 0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercício 65.3 ★

Outra fita: intervalos $1.0$ , $2.5$ , $4.5$ , $7.0\,\mathrm{cm}$ . Diagnostique — e calcule as velocidades do primeiro e do último intervalo.

Solução

Solução de Exercício 65.3.

Intervalos crescendo: acelerado. Primeiro intervalo: $0.01 \div 0.1 = 0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; último: $0.07 \div 0.1 = 0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercício 65.4 ★

Distinga a velocidade média da instantânea no trajeto até a escola: qual delas o radar do portão lê, e qual delas os “vinte minutos de porta a porta” da família calculam?

Solução

Solução de Exercício 65.4.

O radar lê a velocidade instantânea — o ritmo no instante do portão. Os “vinte minutos de porta a porta” calculam a média — a distância total sobre o tempo total, com paradas e disparadas misturadas.

Exercício 65.5 ★

Em que movimentos a velocidade média e a instantânea coincidem? Por que ali e só ali?

Solução

Solução de Exercício 65.5.

Nos movimentos uniformes: o ritmo nunca muda, então todo intervalo — longo ou de um piscar de olhos — devolve o mesmo número, e as duas noções desabam numa só.

Exercício 65.6 ★

Quanto a velocidade de uma pedra em queda livre cresce a cada segundo, e a que número local esse crescimento é igual?

Solução

Solução de Exercício 65.6.

Cerca de $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a cada segundo — numericamente o $g$ local, $9.8\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : a rima mais profunda do ano.

Exercício 65.7 ★

Enuncie a frase discreta. O que ela diz sobre um corpo sem força nenhuma — e sobre o empate a quatro do avião em cruzeiro?

Solução

Solução de Exercício 65.7.

Forças equilibradas (ou ausentes) não mudam o movimento: o repouso continua repouso, e o movimento reto e constante continua. O corpo sem forças desliza para sempre; o empate a quatro do avião — empuxo contra arrasto, sustentação contra peso — é exatamente por que os $900\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dele se mantêm constantes.

Exercício 65.8 ★

“O movimento precisa de força para continuar.” Condene esse erro antigo com a sonda espacial que desliza por inércia e com o disfarce do atrito.

Solução

Solução de Exercício 65.8.

A sonda, sem forças no vazio, desliza há décadas com os motores frios — movimento que não precisa de força nenhuma para continuar. A bicicleta que “prova” o contrário perde velocidade por causa do atrito e do ar, forças desequilibradas para trás, disfarçadas; no gelo, com o disfarce mais fino, ela desliza longe.

Exercício 65.9 ★★

Uma fita (tiques de $0.1\,\mathrm{s}$ ) marca, em centímetros: $6.0$ , $5.0$ , $4.0$ , $3.0$ , $2.0$ . Diagnostique; calcule a velocidade de cada intervalo; e preveja o futuro da fita se o padrão continuar.

Solução

Solução de Exercício 65.9.

Intervalos encolhendo: retardado. Velocidades: $0.6$ , $0.5$ , $0.4$ , $0.3$ , $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — caindo $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por tique. Se o padrão continuar, mais dois tiques ( $1.0\,\mathrm{cm}$ e depois nada) trazem a fita ao repouso.

Exercício 65.10 ★★

O carrinho resolvido ganhava $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por tique de $0.1\,\mathrm{s}$ . Expresse esse crescimento por segundo — e compare o ganho do carrinho com o da queda livre.

Solução

Solução de Exercício 65.10.

$0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por $0.1\,\mathrm{s}$ são $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ganhos por segundo — cerca de um décimo dos $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por segundo da queda livre: um empurrão suave ao lado do da Terra.

Exercício 65.11 ★★

Um paraquedista cai cada vez mais depressa — e então, com o paraquedas aberto, a constantes $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Leia as duas fases com a frase discreta: o que está desequilibrado no começo, e que empate se formou no fim?

Solução

Solução de Exercício 65.11.

Primeira fase: o peso vence a jovem resistência do ar — força desequilibrada para baixo, e a velocidade cresce. Paraquedas aberto: o arrasto do ar desabrocha e cresce até empatar exatamente com o peso — forças equilibradas, e a queda se assenta nos constantes $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ que a frase promete.

Exercício 65.12 ★★★

Projete o veredito completo de laboratório sobre um carrinho de brinquedo solto de uma rampa sobre um carpete: o registro a tomar, os números a calcular, o diagnóstico esperado em dois atos (qual ato na rampa, qual no carpete) e a leitura de cada ato pela frase das forças.

Solução

Solução de Exercício 65.12.

Registro: filme a soltada e passe os quadros a cada $0.1\,\mathrm{s}$ (ou prenda o carrinho ao marcador de pontos); meça intervalo após intervalo, rampa abaixo e carpete afora. Números: as velocidades de cada intervalo, listadas em ordem. Veredito esperado: ato um, intervalos crescendo — acelerado na rampa (a parcela desequilibrada do peso ao longo do declive); ato dois, intervalos encolhendo — retardado no carpete (a força desequilibrada do atrito para trás). Um brinquedo, as duas faces da frase discreta.

65.5 Problema: O escritório das fitas

Problema 65.1

Problema de fim de semana — uma tarde no escritório de análise de movimentos; quatro fitas, quatro vereditos; a rima do inspetor

O escritório analisa registros cronometrados para escolas, clubes esportivos e tribunais. Os tiques são de $0.1\,\mathrm{s}$ o tempo todo; os intervalos chegam em centímetros. A régua fica com você.

Parte I — Vereditos de rotina.

Fita A (alguém andando num corredor): $8.0$ , $8.0$ , $8.0$ , $8.0$ , $8.0$ . Veredito e velocidade — em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Fita B (a largada de um velocista): $2.0$ , $4.0$ , $6.0$ , $8.0$ , $10.0$ . Veredito, primeira e última velocidades, e o crescimento da velocidade por segundo.
Fita C (uma bola rolando que encontra areia): $10.0$ , $7.0$ , $4.5$ , $2.5$ , $1.0$ . Veredito — e a prestação de contas da areia pela frase das forças.
Fita D (um mistério): $5.0$ , $5.0$ , $5.0$ , $7.5$ , $10.0$ . Conte a história em dois atos de D, e marque o tique em que alguma coisa aconteceu.

Parte II — A mesa de física do escritório.

Um cliente insiste que a motoneta de entregas dele “estava a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , seu guarda, na média”. O radar registrou $55\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ no cruzamento. Explique ao cliente por que os dois números podem ser verdadeiros e qual deles a lei lê.
O velocista da fita B ganha velocidade em passos iguais. Que palavra única o escritório carimba num movimento assim, e o que a constância do crescimento sugere sobre a força que empurra?
Quem anda no corredor da fita A, diz a frase das forças, anda sob forças equilibradas. Diga qual é o equilíbrio de um caminhante constante (o que empurra, o que resiste).
A fita da queda de uma pedra mostra velocidades de intervalo de $0.98$ , $1.96$ , $2.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Confira o crescimento por segundo e diga o nome do número que ele reproduz.

Parte III — O caso no tribunal. Um skate rolou de uma rampa pelo pátio da escola até um canteiro de flores; o zelador culpa a “velocidade imprudente”, o skatista alega “eu vinha freando o tempo todo”. A câmera do pátio entrega os intervalos: saída da rampa $12.0$ , depois $11.5$ , $11.0$ , $10.5$ , $10.0$ até o canteiro.

Veredito sobre a alegação do skatista — com as velocidades de intervalo.
A velocidade de saída e a velocidade de entrada no canteiro em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : alguma delas era “imprudente” ao lado dos $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ de um ciclista apressado?
O zelador pergunta por que o skate não parou simplesmente no chão plano “como as coisas naturalmente fazem”. A resposta do escritório, em uma frase na linguagem das forças.
Encerre o processo com a rima do inspetor — duas linhas: o que intervalos iguais querem dizer, e o que intervalos que mudam exigem (uma causa, pela frase discreta).

Solução

Solução de Problema 65.1.

1. Uniforme; $v = 0.08 \div 0.1 = 0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 2.9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — um passeio. 2. Acelerado: de $0.02 \div 0.1 = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; ganhando $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por tique — $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por segundo. 3. Retardado, e com força. A areia fornece uma grande força desequilibrada para trás — atrito profundo — e as velocidades despencam: $1.0$ , $0.7$ , $0.45$ , $0.25$ , $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . 4. Três tiques de deslize uniforme a $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e então aceleração — os intervalos saltando para $7.5$ e $10.0\,\mathrm{cm}$ : entre o terceiro e o quarto tique alguma coisa começou a empurrar (um declive, um empurrão). O evento mora no fim do terceiro intervalo. 5. Os dois podem ser verdadeiros: a média mistura espera e condução ao longo da viagem inteira; o radar lê o instante do cruzamento. A lei de trânsito lê o radar — os limites governam a velocidade instantânea, e média mansa nenhuma desculpa um instante veloz. 6. Uniformemente acelerado. Passos iguais de velocidade em tempos iguais apontam para um empurrão resultante constante e inalterado — causa constante, crescimento constante. 7. O empurrão para a frente que o chão dá nos sapatos do caminhante empata com os arrastos para trás do ar e do chão sobre o corpo: equilibrados, daí os constantes $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . 8. Crescimento: $0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por tique de $0.1\,\mathrm{s}$ — $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por segundo: o $g$ local, reproduzido pela fita de uma pedra em queda. 9. A alegação se sustenta: velocidades $1.2$ , $1.15$ , $1.10$ , $1.05$ , $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — freando, de leve, o tempo todo. 10. Saída $1.2 \times 3.6 = 4.3\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; entrada $3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — as duas muito abaixo da referência do ciclista: imprudência absolvida; a direção, talvez, seja outra história. 11. “Em chão plano, nada para um skate que rola a não ser um atrito desequilibrado para trás — pátios lisos fornecem pouco, e por isso o skate guarda quase todo o movimento dele, exatamente como a lei das forças equilibradas manda.” 12. Por exemplo: “Espaços iguais, um ritmo em paz — força resultante nenhuma o desfaz. Espaços que mudam exigem razão: alguma força desequilibrada em ação.”

Termos definidos neste capítulo

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