Física do ensino fundamental · Grades 1–9

64Peso e massa: medir forças

Cinco anos atrás, numa Lua de papel, você partiu “pesado” em dois: a massa para a matéria, o peso para o puxão. A separação era sabedoria; agora ela vira aritmética. As forças ganham a unidade delas — batizada com o nome do homem da maçã que cai —, o peso ganha a fórmula dele, e a balança de elástico da sua infância volta em traje profissional.

64.1 O newton

Definição 64.1 (O newton)

As forças — empurrões, puxões, pesos, a garra da gravitação — são medidas em newtons ( $\mathrm{N}$ ), em homenagem ao autor da lei da gravitação. Âncoras práticas: um newton é mais ou menos o peso de uma maçã pequena (a história sorri); a sua mochila pesa uns $50\,\mathrm{N}$ ; um aperto de mão firme espreme com uns $100\,\mathrm{N}$ ; o contrato de aluguel da Lua do capítulo passado chegava a $10^{20}$ .

Definição 64.2 (Dinamômetro)

Um dinamômetro é o medidor de força: uma mola calibrada dentro de uma caixa, que se estica em proporção à força aplicada, com o ponteiro lendo newtons diretamente. É a sua balança de elástico já crescida — e, como o voltímetro e o amperímetro antes dele, ele aposenta mais um pedaço do “parece forte” e o troca por números honestos.

Método 64.3 (Medir uma força)

escolha um dinamômetro cuja faixa sirva ao serviço — um instrumento de $2\,\mathrm{N}$ para estojos, um de $100\,\mathrm{N}$ para mochilas;
zere-o na posição de uso (pendurado, se a carga vai ficar pendurada — o próprio peso da mola desloca o zero);
aplique a força de modo firme, ao longo do eixo do instrumento, e leia na altura dos olhos;
registre com a unidade — e, como as forças têm direções, anote também a direção quando ela importar.

Nos esquemas, uma força medida vira uma seta desenhada numa escala declarada — “um centímetro por dez newtons” — apontando para onde a força aponta: as setas de força da infância, agora quantitativas.

64.2 A fórmula do peso

Proposição 64.4 (O peso é proporcional à massa)

Num dado lugar, o peso $P$ de um objeto (em $\mathrm{N}$ ) é proporcional à massa $m$ dele (em $\mathrm{kg}$ ):

P = m \times g ,

em que $g$ , a intensidade gravitacional do lugar, dá os newtons de puxão por quilograma de matéria. Perto da superfície da Terra,

g \approx 9.8\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}:

cada quilograma é puxado com pouco menos de dez newtons. A fórmula é a lei do capítulo passado em traje local: $g$ empacota a massa e o raio da Terra num número só para “aqui”.

O peso contra a massa, medido com um dinamômetro e um jogo de massas marcadas: uma reta pela origem cuja inclinação é o g do lugar. — O peso contra a massa, medido com um dinamômetro e um jogo de massas marcadas: uma reta pela origem cuja inclinação é o $g$ do lugar.

Exemplo 64.5 (A fórmula em ação)

Um estudante de $60\,\mathrm{kg}$ : $P = 60 \times 9.8 = 588\,\mathrm{N}$ . Uma bola de futebol de $450\,\mathrm{g}$ : $P = 0.45 \times 9.8 \approx 4.4\,\mathrm{N}$ — atenção aos quilogramas. De trás para a frente: um engradado que pesa $343\,\mathrm{N}$ tem massa $m = P/g = 343 \div 9.8 = 35\,\mathrm{kg}$ . E de cabeça para baixo: numa montanha em que uma mochila de $10\,\mathrm{kg}$ pesa $97.7\,\mathrm{N}$ , o $g$ local vale $97.7 \div 10 = 9.77\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — $g$ afina um pouquinho com a altitude, exatamente como o inverso do quadrado prometia.

Exemplo 64.6 (Uma mala, muitos pesos)

Cada mundo fixa o $g$ dele, e a velha história dos astronautas vira uma tabela. A sua fiel mala de $10\,\mathrm{kg}$ :

lugar	$g$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ )	peso da mala
Terra	$9.8$	$98\,\mathrm{N}$
Lua	$1.6$	$16\,\mathrm{N}$
Marte	$3.7$	$37\,\mathrm{N}$
Topo das nuvens de Júpiter	$24.8$	$248\,\mathrm{N}$

Dez quilogramas de matéria em todo lugar — e um peso diferente em cada mundo: a massa fica inalterada, enquanto o peso segue o $g$ local.

Observação 64.7 (As duas balanças, julgadas de vez)

Agora os vereditos da infância se fecham com fórmulas. A balança de pratos compara $m_1 g$ com $m_2 g$ : o $g$ local multiplica os dois pratos e se cancela — as balanças de pratos medem massa, e são verdadeiras em qualquer mundo. A balança de mola lê $P = m g$ diretamente: ela mede peso, leal ao lugar dela. A balança de banheiro é uma balança de mola disfarçada, marcada de fábrica em quilogramas pela divisão do seu peso pelo $g$ da Terra — honesta em casa, bajuladora na Lua ( $10\,\mathrm{kg}$ marcados para cada $60\,\mathrm{kg}$ seus) e caluniadora em Júpiter.

64.3 As forças no papel

Exemplo 64.8 (O livro sobre a mesa, em newtons)

O equilíbrio mais antigo deste livro, enfim com números: um dicionário de $2\,\mathrm{kg}$ descansa sobre uma escrivaninha. O peso dele: $P = 2 \times 9.8 = 19.6\,\mathrm{N}$ , desenhado como uma seta de $2\,\mathrm{cm}$ numa escala de dez newtons por centímetro, apontando direto para baixo a partir do livro. O empurrão de sustentação da escrivaninha: $19.6\,\mathrm{N}$ direto para cima — uma seta igual, no sentido oposto. O empate é exato, e a imobilidade é a prova dele: a figura da infância, agora um orçamento medido.

Observação 64.9 (O que as forças fazem — a lei que falta)

Este capítulo mede forças; ele ainda não diz o que um excedente de força faz com o movimento. Os quatro serviços da infância — começar, parar, virar, deformar — esperam a lei exata deles, e ela é uma das maiores de toda a física: o volume do ensino médio abre a mecânica dele com ela. Este ano termina o alicerce: forças em newtons, pesos por fórmula, setas em escala — a gramática da frase que vem.

64.4 Exercícios

Exercício 64.1 ★

Diga o nome da unidade de força e do instrumento dela. Dê duas âncoras do dia a dia para um newton e para cem.

Solução

Solução de Exercício 64.1.

O newton ( $\mathrm{N}$ ), medido com o dinamômetro. Âncoras: um newton — o peso de uma maçã pequena; cem — um aperto de mão firme (ou o peso de uma mala de $10\,\mathrm{kg}$ ).

Exercício 64.2 ★

Escreva a fórmula do peso com as unidades, e o significado de $g$ em palavras.

Solução

Solução de Exercício 64.2.

$P = m \times g$ : peso em newtons, massa em quilogramas e $g$ — a intensidade gravitacional do lugar — os newtons de puxão que cada quilograma recebe ali ( $9.8\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ na Terra).

Exercício 64.3 ★

Calcule pesos terrestres: um cachorro de $25\,\mathrm{kg}$ ; um pão de $700\,\mathrm{g}$ ; você mesmo (escolha a sua massa).

Solução

Solução de Exercício 64.3.

Cachorro: $25 \times 9.8 = 245\,\mathrm{N}$ . Pão: $0.7 \times 9.8 \approx 6.9\,\mathrm{N}$ . Um leitor de $55\,\mathrm{kg}$ : cerca de $539\,\mathrm{N}$ .

Exercício 64.4 ★

Um melão pendurado estica o dinamômetro até $14.7\,\mathrm{N}$ . A massa dele?

Solução

Solução de Exercício 64.4.

$m = 14.7 \div 9.8 = 1.5\,\mathrm{kg}$ .

Exercício 64.5 ★

Leia o gráfico do capítulo: o que a inclinação dele quer dizer, e o que a reta faria na Lua?

Solução

Solução de Exercício 64.5.

A inclinação é o $g$ local — newtons por quilograma. Na Lua a reta continua reta e passando pela origem, mas desaba para uma inclinação suave de $1.6$ : mesma proporcionalidade, mundo mais fraco.

Exercício 64.6 ★

A mala de $10\,\mathrm{kg}$ faz o tour Terra, Lua, Marte, Júpiter. Que números da tabela nunca mudam, e quais mudam — e por quê?

Solução

Solução de Exercício 64.6.

A coluna da massa nunca muda — $10\,\mathrm{kg}$ de matéria viajam intactos. As colunas de $g$ e do peso mudam com o mundo: o peso é o pedágio local, $m \times g$ .

Exercício 64.7 ★

Por que uma balança de pratos diz a verdade em todos os mundos enquanto a balança de banheiro bajula na Lua? Fórmulas, não sentimentos.

Solução

Solução de Exercício 64.7.

A balança de pratos compara $m_1 g$ com $m_2 g$ : o $g$ multiplica os dois pratos e se cancela — massa, com verdade, em qualquer lugar. A balança de banheiro mede $P = m g_{\text{aqui}}$ mas divide por $g_{\text{Terra}}$ para imprimir quilogramas: na Lua ela imprime $m \times 1.6/9.8$ — um sexto da verdade.

Exercício 64.8 ★

Desenhe (ou descreva) as duas setas de força do dicionário de $2\,\mathrm{kg}$ a um centímetro por cinco newtons: comprimentos, sentidos e o veredito do orçamento.

Solução

Solução de Exercício 64.8.

Peso: $19.6\,\mathrm{N}$ para baixo — uma seta de cerca de $3.9\,\mathrm{cm}$ a cinco newtons por centímetro, saindo do livro para baixo. Sustentação: uma seta igual de $3.9\,\mathrm{cm}$ para cima. Comprimentos iguais, sentidos opostos: orçamento fechado, livro parado.

Exercício 64.9 ★★

Uma companhia aérea permite $23\,\mathrm{kg}$ por mala. Um passageiro argumenta: “Na Lua isso pesaria só uns poucos newtons!” Por que o limite da companhia — combustível e resistência do piso à parte — diz respeito com razão à massa, e que instrumento deveria conferi-lo num aeroporto lunar?

Solução

Solução de Exercício 64.9.

O avião precisa carregar, levantar e frear a matéria da mala — a massa dela — e $23\,\mathrm{kg}$ de matéria são $23\,\mathrm{kg}$ em qualquer mundo. O balcão lunar precisa de uma balança de pratos com massas marcadas: a única balança que sobrevive à mudança de $g$ .

Exercício 64.10 ★★

Em Marte, o braço de um jipe robô pesa $111\,\mathrm{N}$ . A massa dele? E quanto o mesmo braço pesaria de volta no galpão de montagem, na Terra?

Solução

Solução de Exercício 64.10.

$m = 111 \div 3.7 = 30\,\mathrm{kg}$ ; na Terra ele pesa $30 \times 9.8 = 294\,\mathrm{N}$ .

Exercício 64.11 ★★

Um dinamômetro zerado deitado na horizontal e depois usado pendurado mente um pouquinho — para que lado, e por quê? (Que peso a mais se junta ao da carga?)

Solução

Solução de Exercício 64.11.

Ele lê para mais: pendurada, a mola carrega também o próprio peso (e o do gancho dela), que o zero na horizontal nunca incluiu — o instrumento acrescenta um excedente constante. Zere-o pendurado, e o excedente é subtraído antes de a carga chegar.

Exercício 64.12 ★★★

Projete a experiência que desenha o gráfico do capítulo e extrai $g$ : equipamento, tabela de medidas, o gráfico e como a inclinação é lida. Depois explique o que o mesmo protocolo, rodado num laboratório da Lua, entregaria — que números mudam, que método sobrevive intocado.

Solução

Solução de Exercício 64.12.

Equipamento: dinamômetro, jogo de massas marcadas ( $1$ a $5\,\mathrm{kg}$ ), gancho. Pendure cada massa, anote os pares ( $m$ , $P$ ), marque $P$ contra $m$ : os pontos se alinham passando pela origem, e a inclinação — a subida em newtons sobre o avanço em quilogramas — é $g \approx 9.8\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ . Na Lua: protocolo idêntico, retidão idêntica, inclinação nova de $1.6$ — o método mede o mundo em que estiver pisando; só o número é local.

64.5 Problema: Os equipadores interplanetários

Problema 64.1

Problema de fim de semana — o provador dos equipadores interplanetários; um corpo, quatro mundos; balanças, dinamômetros e o balcão de bagagens

Os equipadores preparam viajantes para os portos do Sistema Solar ( $g$ , em $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : Terra $9.8$ ; Lua $1.6$ ; Marte $3.7$ ; convés de nuvens de Júpiter $24.8$ ). O provador fica com você.

Parte I — A prova de roupa. Uma viajante de $70\,\mathrm{kg}$ de massa se apresenta.

O peso dela em cada um dos quatro portos?
Em qual porto a clássica balança de banheiro (marcada em quilogramas, calibrada para a Terra) lê corretamente a massa dela — e o que ela lê nos outros três? (Divida cada peso pelo $g$ da Terra.)
A balança honesta dos equipadores é uma balança de pratos com massas marcadas. O que ela informa em cada porto, e por quê?
As botas da viajante nunca podem fazer pressão no chão com mais de $2000\,\mathrm{N}$ (os pisos das estações são finos). Há algum porto em que botas mais corpo ( $70\,\mathrm{kg}$ no total) quebrem a regra?

Parte II — O balcão de bagagens.

O baú com destino a Marte tem $40\,\mathrm{kg}$ de massa. Calcule o peso dele na partida (Terra) e na chegada (Marte).
O sindicato dos carregadores limita o peso carregado à mão em $200\,\mathrm{N}$ em todos os portos. Que massa máxima um carregador pode levar em cada um?
Um engradado etiquetado “ $150\,\mathrm{N}$ na Lua” precisa passar pela alfândega da Terra pela massa. Faça a conversão.
O dinamômetro do balcão lê uma bolsa pendurada em $294\,\mathrm{N}$ na Terra. A massa e o peso lunar dela para o manifesto?

Parte III — Reclamações e curiosidades.

Um fisiculturista volta da Lua furioso: “Ganhos de força de seis vezes, perdidos de uma noite para a outra!” Console-o com a fórmula: o que de fato mudou em cada porto, e o que nunca mudou?
Um chef do convés de Júpiter reclama que bater claras parece levantar bigornas, embora o batedor “tenha meros $200\,\mathrm{g}$ de massa”. Calcule o peso do batedor no convés e julgue.
A loja de presentes vende “um newton de chocolate, em qualquer lugar”. Em qual porto o comprador leva mais matéria de chocolate, e quanta massa em cada um de Terra, Lua e Júpiter?
Escreva o lema dos equipadores: uma frase separando o que viaja com você do que cada mundo cobra.

Solução

Solução de Problema 64.1.

1. Terra $70 \times 9.8 = 686\,\mathrm{N}$ ; Lua $112\,\mathrm{N}$ ; Marte $259\,\mathrm{N}$ ; convés de Júpiter $1736\,\mathrm{N}$ . 2. Correta na Terra: $70\,\mathrm{kg}$ . Lua: $112 \div 9.8 \approx 11.4\,\mathrm{kg}$ ; Marte: $259 \div 9.8 \approx 26.4\,\mathrm{kg}$ ; Júpiter: $1736 \div 9.8 \approx 177\,\mathrm{kg}$ — bajulação e calúnia por fórmula. 3. $70\,\mathrm{kg}$ em todos os portos: a comparação da balança de pratos cancela o $g$ local. 4. Só o convés de Júpiter: os $1736\,\mathrm{N}$ se aproximam do limite mas ficam abaixo — porto nenhum quebra os $2000\,\mathrm{N}$ para esta viajante (um colega mais pesado, de $90\,\mathrm{kg}$ , quebraria lá: $90 \times 24.8 = 2232\,\mathrm{N}$ ). 5. Partida: $40 \times 9.8 = 392\,\mathrm{N}$ ; chegada: $40 \times 3.7 = 148\,\mathrm{N}$ . 6. $m = 200/g$ : Terra $20.4\,\mathrm{kg}$ ; Lua $125\,\mathrm{kg}$ ; Marte $54\,\mathrm{kg}$ ; Júpiter $8.1\,\mathrm{kg}$ — os newtons fixos do sindicato compram massas muito diferentes. 7. $m = 150 \div 1.6 = 93.75\,\mathrm{kg}$ — cerca de $94\,\mathrm{kg}$ de engradado para a alfândega. 8. $m = 294 \div 9.8 = 30\,\mathrm{kg}$ ; peso lunar $30 \times 1.6 = 48\,\mathrm{N}$ . 9. Os músculos e a massa voltaram para casa sem mudança; só o adversário mudou. Na Lua, cada quilograma custava $1.6\,\mathrm{N}$ para ser levantado; em casa a cobrança volta a ser $9.8\,\mathrm{N}$ . Os ganhos eram o desconto da Lua, não o crescimento do corpo — $P = m g$ , com $m$ leal e $g$ volúvel. 10. $0.2 \times 24.8 \approx 5\,\mathrm{N}$ — bigorna não é: na Terra o batedor pesava $2\,\mathrm{N}$ , então bater claras no convés é duas vezes e meia mais pesado, cansativo para um pulso mas longe de trabalho de forja. Reclamação: parcialmente acolhida. 11. Um newton de chocolate é $m = 1/g$ : Terra, cerca de $102\,\mathrm{g}$ ; Lua, $625\,\mathrm{g}$ ; Júpiter, $40\,\mathrm{g}$ . Compre os seus newtons na Lua. 12. Por exemplo: “A massa viaja com você; o peso é o pedágio que cada mundo cobra sobre ela — leve quilogramas na mala, e deixe os portos cobrarem os newtons deles.”

Termos definidos neste capítulo

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