Física do ensino fundamental · Grades 1–9

17Alavancas e balanças de pratos

No ano passado, na gangorra, descobrimos que o peso e a distância contam os dois — e prometemos uma regra precisa, com números de verdade dentro dela. Está na hora de cumprir a promessa. No caminho vamos levantar pedras pesadas demais para os nossos braços e conhecer o instrumento que pesou as mercadorias do mundo durante milhares de anos.

17.1 A alavanca

Definição 17.1 (Alavanca e ponto de apoio)

Uma alavanca é uma barra rígida apoiada num ponto de sustentação em torno do qual ela pode pender. Esse ponto de sustentação se chama ponto de apoio. Uma gangorra é uma alavanca; um pé de cabra debaixo de uma pedra também é, e a garra de um martelo puxando um prego também.

Exemplo 17.2 (O multiplicador de força)

Um jardineiro enfia uma barra comprida de ferro debaixo de um pedregulho, apoia a barra numa tora perto do pedregulho e empurra para baixo a ponta distante — e o pedregulho, que dez mãos não conseguiam levantar, tomba mansinho. O segredo da alavanca é a distância: empurre longe do ponto de apoio, e o seu empurrão pequeno faz o trabalho de um gigante perto dele. Uma história antiga conta que um grande cientista da Antiguidade se gabou: “Deem-me um ponto de apoio e uma alavanca comprida o bastante, e moverei a Terra.”

O pé de cabra: um empurrão pequeno longe do ponto de apoio levanta uma pedra pesada que está perto dele.

O pé de cabra em ação: um empurrão pequeno longe do ponto de apoio levanta um pedregulho que mão nenhuma moveria.

17.2 A regra da alavanca

Método 17.3 (A gangorra de moedas)

Monte uma gangorra em miniatura para caçar a regra:

equilibre uma régua sobre um lápis, na marca do meio dela;
use moedas iguais como passageiras, colocadas em marcas de números inteiros: “uma moeda no $4$ ” quer dizer quatro marcas a partir do lápis;
carregue os dois lados e anote quando a régua se equilibra.

Experimente: uma moeda no $6$ equilibra uma moeda no $6$ . Duas moedas empilhadas no $3$ equilibram uma moeda no $6$ . Três moedas no $2$ — de novo equilibram uma no $6$ !

Proposição 17.4 (A regra da alavanca)

Para cada lado da alavanca, multiplique o número de moedas pela distância delas até o ponto de apoio. A alavanca se equilibra exatamente quando os dois lados têm o mesmo produto:

2 \text{ moedas} \times 3 \text{ marcas} = 6 \qquad\text{equilibra}\qquad 1 \text{ moeda} \times 6 \text{ marcas} = 6 .

Se o produto de um dos lados for maior, esse lado desce.

A regra da alavanca numa régua: produtos iguais, barra na horizontal.

Exemplo 17.5 (Usando a regra)

Quatro moedas estão na marca $2$ : o produto delas é $4 \times 2 = 8$ . Para equilibrá-las com moedas na marca $4$ , precisamos de um produto $8$ também desse lado: $8 = 2 \times 4$ , então duas moedas no $4$ resolvem. E será que uma única moeda equilibraria as quatro? Ela teria de ficar na marca $8$ : $1 \times 8 = 8$ . Quanto mais leve a passageira, mais longe ela precisa sentar — exatamente o que a gangorra do pai nos ensinou, agora com números.

17.3 A balança de pratos

Definição 17.6 (Balança de pratos)

Uma balança de pratos é uma alavanca construída para ser justa: dois pratos pendurados a distâncias exatamente iguais do ponto de apoio. Com distâncias iguais, os produtos coincidem exatamente quando os pesos coincidem — então a balança pende para o prato mais pesado e fica na horizontal quando os dois pratos carregam cargas igualmente pesadas.

Uma balança de pratos: uma alavanca com dois pratos a distâncias iguais. Pratos na horizontal querem dizer cargas igualmente pesadas.

Exemplo 17.7 (Pesar comparando)

Durante milhares de anos, os comerciantes venderam farinha, ouro e pimenta com balanças de pratos: a mercadoria num prato, pequenos blocos de metal de referência no outro, acrescentando blocos até os pratos ficarem na horizontal. A balança não conhece número nenhum — ela só responde “mais pesado”, “mais leve” ou “igual”. Mas comparar com blocos bem escolhidos é tudo de que uma feira justa precisa — e, como o último capítulo desta parte vai mostrar, é o caminho para medir a própria massa.

Observação 17.8 (Confira a balança vazia)

Uma balança justa tem de ficar na horizontal quando está vazia. Se um braço for mais comprido ou um prato mais pesado, os produtos já são diferentes antes mesmo de a mercadoria chegar, e toda pesagem dali em diante engana. Os comerciantes honestos provavam que a balança vazia estava nivelada na frente do freguês — um jeito antigo e sem palavras de dizer “jogo limpo”.

17.4 Exercícios

Exercício 17.1 ★

Aponte a alavanca e o ponto de apoio em: uma gangorra; um pé de cabra sobre uma tora; uma tesoura. (A tesoura esconde duas alavancas — onde fica o apoio delas?)

Solução

Solução de Exercício 17.1.

Gangorra: a prancha é a alavanca, o suporte do meio é o ponto de apoio. Pé de cabra: a barra é a alavanca, a tora é o ponto de apoio. Tesoura: cada lâmina com o seu cabo é uma alavanca, e as duas se apoiam no parafuso central.

Exercício 17.2 ★

Para levantar uma pedra pesada com um pé de cabra, você deve empurrar perto do ponto de apoio ou longe dele? Por quê, em uma frase?

Solução

Solução de Exercício 17.2.

Longe do ponto de apoio: quanto mais longe o empurrão, maior o produto dele — um empurrão pequeno lá longe vence uma pedra pesada que está perto.

Exercício 17.3 ★

Na gangorra de moedas, calcule o produto para: $3$ moedas na marca $4$ ; $2$ moedas na marca $5$ ; $1$ moeda na marca $6$ . Quais pares entre esses se equilibram?

Solução

Solução de Exercício 17.3.

$3 \times 4 = 12$ ; $2 \times 5 = 10$ ; $1 \times 6 = 6$ . Nenhum desses produtos é igual a outro, então nenhum par entre eles se equilibra.

Exercício 17.4 ★

Uma moeda está na marca $8$ do lado esquerdo. Onde você precisa pôr $2$ moedas do lado direito para equilibrar? E $4$ moedas?

Solução

Solução de Exercício 17.4.

O produto da esquerda é $1 \times 8 = 8$ . Duas moedas precisam de $8 = 2 \times 4$ : marca $4$ . Quatro moedas precisam de $8 = 4 \times 2$ : marca $2$ .

Exercício 17.5 ★

Lado esquerdo: $3$ moedas na marca $3$ . Lado direito: $2$ moedas na marca $4$ . Calcule os dois produtos. Qual lado desce?

Solução

Solução de Exercício 17.5.

Esquerda: $3 \times 3 = 9$ . Direita: $2 \times 4 = 8$ . O produto do lado esquerdo é maior, então o lado esquerdo desce.

Exercício 17.6 ★

Por que os dois pratos de uma balança de pratos ficam pendurados a distâncias exatamente iguais do ponto de apoio? O que um braço esquerdo mais comprido faria com todas as pesagens?

Solução

Solução de Exercício 17.6.

Com braços iguais, pratos na horizontal querem dizer pesos iguais — a comparação é justa. Um braço esquerdo mais comprido multiplicaria a carga da esquerda por uma distância maior, e a balança mentiria a favor daquele lado em toda pesagem.

Exercício 17.7 ★

Uma balança de pratos fica na horizontal com um saquinho de bolinhas de gude num prato e $6$ blocos iguais no outro. O que aprendemos sobre o saquinho? O que a balança responde se tirarmos um bloco?

Solução

Solução de Exercício 17.7.

O saquinho pesa exatamente o mesmo que os $6$ blocos. Tirando um bloco, o prato do saquinho fica mais pesado e a balança pende para o lado do saquinho.

Exercício 17.8 ★

Numa gangorra: Tom pesa o mesmo que $2$ sacos e senta na marca $3$ ; a irmãzinha dele pesa o mesmo que $1$ saco. Em que marca ela precisa sentar para equilibrá-lo?

Solução

Solução de Exercício 17.8.

O produto de Tom: $2 \times 3 = 6$ . A irmã dele precisa de $1 \times 6 = 6$ : ela tem de sentar na marca $6$ .

Exercício 17.9 ★

A garra do martelo puxa um prego: a sua mão empurra a ponta do cabo, longe do lugar em que a cabeça do martelo se apoia na madeira. Qual é o ponto de apoio, e por que o prego — que os seus dedos nunca conseguiriam puxar — sai?

Solução

Solução de Exercício 17.9.

O ponto de apoio é o lugar em que a cabeça do martelo se apoia na madeira. A sua mão empurra na ponta distante do cabo — uma distância grande, então um produto grande — enquanto o prego resiste bem pertinho do ponto de apoio: a alavanca transforma o seu empurrão confortável no puxão de um gigante.

Exercício 17.10 ★★

O avô (pesado como $4$ sacos) quer brincar de gangorra com a pequena Zoe (pesada como $1$ saco). A gangorra tem marcas de $1$ a $8$ de cada lado. Encontre duas maneiras diferentes de sentá-los para que a gangorra fique equilibrada.

Solução

Solução de Exercício 17.10.

O equilíbrio exige $4 \times (\text{marca do avô}) = 1 \times (\text{marca de Zoe})$ . Duas maneiras: o avô no $1$ com Zoe no $4$ ( $4 = 4$ ), ou o avô no $2$ com Zoe no $8$ ( $8 = 8$ ).

Exercício 17.11 ★★

Um comerciante trapaceiro deixa às escondidas um dos braços da balança um pouquinho mais comprido, e sempre põe a mercadoria do lado do braço comprido. Os fregueses levam mais mercadoria do que pagam ou menos? Explique com a regra da alavanca — e com a Observação 17.8.

Solução

Solução de Exercício 17.11.

Menos. No braço comprido, até uma carga leve dá um produto grande, então os pratos se nivelam quando a mercadoria pesa menos que os blocos honestos do braço curto. A conferência da balança vazia o denuncia: sem nada nos pratos, a balança dele já pende para o lado do braço comprido.

Termos definidos neste capítulo

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