Física do ensino fundamental · Grades 1–9

57As leis da corrente e da tensão nos circuitos

Dois aparelhos, duas grandezas — e agora, enfim, a constituição. Todo circuito que você vier a montar, da lanterna à rede de uma cidade, obedece a quatro leis curtas: duas sobre a contabilidade da corrente, duas sobre a da tensão. Armado com elas e um pouco de álgebra, você consegue calcular leituras que ainda não mediu — e pegar qualquer medida que minta.

57.1 As leis da corrente

Proposição 57.1 (Lei da corrente numa volta em série)

Ao longo de uma única volta, a intensidade é a mesma em todo lugar:

I_{\text{pilha}} = I_{\text{lâmpada 1}} = I_{\text{lâmpada 2}} = \dots

Uma estrada, uma marcha — os pedágios do capítulo passado, agora uma lei da constituição.

Proposição 57.2 (A lei dos nós)

Em qualquer nó, as intensidades que chegam juntas são iguais às intensidades que saem juntas: para uma estrada principal que se divide em dois ramos,

I = I_1 + I_2 .

Carga nenhuma é criada, destruída ou estocada numa bifurcação: tudo o que chega, sai. (Vale para qualquer número de ramos — some as chegadas, some as partidas, e as contas fecham.)

A lei dos nós com números: 0.50\, A chegam à bifurcação, 0.30 + 0.20 saem pelos ramos — e 0.50\, A se remontam no nó lá do outro lado. — A lei dos nós com números: $0.50\,\mathrm{A}$ chegam à bifurcação, $0.30 + 0.20$ saem pelos ramos — e $0.50\,\mathrm{A}$ se remontam no nó lá do outro lado.

57.2 As leis da tensão

Proposição 57.3 (Lei da tensão numa volta em série)

Ao longo de uma volta em série, a tensão da pilha é repartida entre os aparelhos, e as parcelas somam exatamente:

U_{\text{pilha}} = U_1 + U_2 + \dots

A imagem da cachoeira faz a contabilidade: a pilha levanta a marcha pela altura inteira dela, e os aparelhos gastam essa altura entre si, gota a gota — com os bons fios não gastando nada.

Proposição 57.4 (Lei da tensão em ramos paralelos)

Aparelhos em paralelo se estendem todos entre os mesmos dois nós — então uma única tensão serve todos eles:

U_1 = U_2 = U_{\text{entre o par de nós}} .

Cada ramo desfruta do empurrão inteiro entre os nós — e é por isso que lâmpadas em paralelo brilham no brilho nominal cheio e que cada tomada da sua casa oferece os mesmos $230\,\mathrm{V}$ .

A lei da tensão em série com números: os 4.5\, V da pilha são gastos em duas parcelas desiguais — 2.1 + 2.4 = 4.5, até o décimo. — A lei da tensão em série com números: os $4.5\,\mathrm{V}$ da pilha são gastos em duas parcelas desiguais — $2.1 + 2.4 = 4.5$ , até o décimo.

Exemplo 57.5 (Por que parcelas desiguais?)

Duas lâmpadas diferentes em série carregam a mesma corrente (lei um) e mesmo assim dividem a tensão de forma desigual — $2.1\,\mathrm{V}$ contra $2.4\,\mathrm{V}$ . A parcela maior vai para a lâmpada que se opõe mais à marcha: quem trabalha mais duro fica com a queda maior. O que exatamente quer dizer “se opõe mais”, e como medir isso, é o assunto inteiro do próximo capítulo — as leis deste capítulo são o palco dele.

57.3 Calcular antes de medir

Método 57.6 (Resolver um circuito com as quatro leis)

Dado um circuito com algumas leituras conhecidas:

desenhe o esquema e marque cada $I$ e cada $U$ conhecidos;
escreva as leis aplicáveis como equações — somas de nó para as correntes, somas de volta para as tensões, igualdade para o $I$ em série e para o $U$ em paralelo;
resolva para as incógnitas (as equações do seu curso de álgebra, ganhando o salário delas);
confira o bom senso: lâmpada nenhuma recebendo mais do que a pilha oferece, corrente de ramo nenhuma passando da corrente da estrada principal.

Exemplo 57.7 (Resolvido: o circuito misto)

Uma pilha de $6\,\mathrm{V}$ alimenta a lâmpada A em série com um par em paralelo (B e C). Medidos: $I_{\text{pilha}} = 0.5\,\mathrm{A}$ , $I_B = 0.3\,\mathrm{A}$ , $U_A = 2.5\,\mathrm{V}$ . Calcule o resto. Lei dos nós: $I_C = 0.5 - 0.3 = 0.2\,\mathrm{A}$ . Lei da corrente em série: a lâmpada A carrega os $0.5\,\mathrm{A}$ inteiros. Lei da tensão na volta: o par recebe $U_{\text{par}} = 6 - 2.5 = 3.5\,\mathrm{V}$ ; lei da tensão em paralelo: $U_B = U_C = 3.5\,\mathrm{V}$ . Todas as leituras de aparelho do circuito, agora conhecidas — quatro leis, uma linha de álgebra cada.

Exemplo 57.8 (As leis como detectores de mentira)

Um relatório de laboratório afirma: pilha de $4.5\,\mathrm{V}$ ; duas lâmpadas em série com $2.1\,\mathrm{V}$ e $2.9\,\mathrm{V}$ . A lei da volta soma as parcelas: $5.0\,\mathrm{V}$ gastos de uma bolsa de $4.5\,\mathrm{V}$ — impossível; alguém leu um mostrador errado. Outro relatório: no nó entram $0.40\,\mathrm{A}$ e pelos ramos saem $0.25\,\mathrm{A}$ e $0.20\,\mathrm{A}$ — a bifurcação “cria” $0.05\,\mathrm{A}$ : rejeitado. Antes das leis, leituras erradas pareciam tão boas quanto as certas; agora a constituição audita cada página.

Observação 57.9 (Pilhas debaixo das mesmas leis)

A regra do uma-atrás-da-outra é a lei da tensão em série vestindo a roupa mais velha dela: pilhas em série somam as tensões ( $1.5 + 1.5 + 1.5 = 4.5\,\mathrm{V}$ — o segredo da bateria chata), e uma pilha invertida subtrai, com o empurrão dela gasto em brigar com as outras. As leis governam igualmente quem dá e quem gasta; só o sinal da contribuição difere.

57.4 Exercícios

Exercício 57.1 ★

Enuncie as quatro leis — duas para a corrente, duas para a tensão — cada uma em uma linha.

Solução

Solução de Exercício 57.1.

Lei da corrente em série: uma volta, uma intensidade em todo lugar. Lei dos nós: as correntes que entram são iguais às que saem. Lei da tensão em série: a tensão da pilha é igual à soma das parcelas dos aparelhos ao longo da volta. Lei da tensão em paralelo: ramos estendidos entre os mesmos nós repartem uma única e mesma tensão.

Exercício 57.2 ★

Um nó recebe $0.8\,\mathrm{A}$ e manda $0.55\,\mathrm{A}$ por um ramo. O outro ramo carrega quanto?

Solução

Solução de Exercício 57.2.

$0.8 - 0.55 = 0.25\,\mathrm{A}$ .

Exercício 57.3 ★

Uma bateria de $9\,\mathrm{V}$ alimenta três lâmpadas em série; duas delas ficam com $2.5\,\mathrm{V}$ e $3.8\,\mathrm{V}$ . A parcela da terceira?

Solução

Solução de Exercício 57.3.

$9 - 2.5 - 3.8 = 2.7\,\mathrm{V}$ .

Exercício 57.4 ★

Duas lâmpadas em paralelo numa bateria de $12\,\mathrm{V}$ : a tensão de cada lâmpada? Que fato do dia a dia sobre as tomadas de casa é a mesma lei?

Solução

Solução de Exercício 57.4.

$12\,\mathrm{V}$ cada uma — a lei da tensão em paralelo. A mesma lei põe os mesmos $230\,\mathrm{V}$ em cada tomada da fiação em paralelo da casa.

Exercício 57.5 ★

No circuito misto resolvido, qual medida a mais teria sido redundante, e por quê? (Escolha qualquer uma e justifique por uma lei.)

Solução

Solução de Exercício 57.5.

Por exemplo $I_C$ : uma vez conhecidas $I_{\text{pilha}}$ e $I_B$ , a lei dos nós fixa $I_C = 0.2\,\mathrm{A}$ — qualquer aparelho mandado até lá só poderia confirmar (o mesmo vale para $U_C$ , fixado pela lei da tensão em paralelo assim que $U_B$ é conhecida).

Exercício 57.6 ★

Duas lâmpadas diferentes em série carregam a mesma corrente mas dividem a tensão em $1.8$ contra $2.7\,\mathrm{V}$ . Qual lâmpada se opõe mais à marcha? Que capítulo por vir mede essa oposição?

Solução

Solução de Exercício 57.6.

A lâmpada de $2.7\,\mathrm{V}$ : com correntes iguais, a parcela maior de tensão marca quem se opõe mais. O próximo capítulo mede essa oposição — a resistência.

Exercício 57.7 ★

Auditoria: pilha de $6\,\mathrm{V}$ ; lâmpadas em série medidas em $2.2\,\mathrm{V}$ , $1.9\,\mathrm{V}$ , $1.4\,\mathrm{V}$ . As contas fecham dentro da honestidade de um aparelho?

Solução

Solução de Exercício 57.7.

$2.2 + 1.9 + 1.4 = 5.5\,\mathrm{V}$ contra uma bolsa de $6\,\mathrm{V}$ : meio volt perdido — além da dispersão honesta de um aparelho para leituras assim; um mostrador foi lido errado (ou uma parcela ficou sem medir).

Exercício 57.8 ★

Auditoria: estrada principal $0.9\,\mathrm{A}$ ; três ramos com $0.4\,\mathrm{A}$ , $0.3\,\mathrm{A}$ , $0.3\,\mathrm{A}$ . Veredito?

Solução

Solução de Exercício 57.8.

$0.4 + 0.3 + 0.3 = 1.0\,\mathrm{A}$ saindo contra $0.9\,\mathrm{A}$ chegando: a bifurcação “cria” $0.1\,\mathrm{A}$ — condenada pela lei dos nós.

Exercício 57.9 ★★

Uma bateria de $4.5\,\mathrm{V}$ , a lâmpada D em série com um interruptor — então, em paralelo com a lâmpada D, um voltímetro mostra $4.5\,\mathrm{V}$ atravessados no interruptor aberto e $0\,\mathrm{V}$ atravessados em D. Mostre que as duas leituras obedecem à lei da tensão na volta.

Solução

Solução de Exercício 57.9.

O gasto da volta precisa somar os $4.5\,\mathrm{V}$ da bateria: interruptor aberto $4.5\,\mathrm{V}$ $+$ lâmpada parada $0\,\mathrm{V}$ $= 4.5$ — fechado. (Depois do clique as parcelas trocam: interruptor perto de zero, lâmpada perto de $4.5\,\mathrm{V}$ — fechado de novo.)

Exercício 57.10 ★★

Três pilhas iguais uma atrás da outra acendem uma lâmpada; uma quarta, invertida, entra na fila. Tensão total antes e depois, pela lei da série com sinais? O que a lâmpada faz?

Solução

Solução de Exercício 57.10.

Antes: $3 \times 1.5 = 4.5\,\mathrm{V}$ . Depois: $4.5 - 1.5 = 3.0\,\mathrm{V}$ — a pilha invertida subtrai. A lâmpada enfraquece do brilho de $4.5\,\mathrm{V}$ para um de $3\,\mathrm{V}$ .

Exercício 57.11 ★★

Um circuito de dois ramos: o ramo um carrega as lâmpadas E e F em série; o ramo dois carrega a lâmpada G sozinha. Bateria de $6\,\mathrm{V}$ ; $U_E = 2.2\,\mathrm{V}$ . Calcule $U_F$ e $U_G$ , citando uma lei para cada passo.

Solução

Solução de Exercício 57.11.

O ramo um se estende sobre a bateria: $U_E + U_F = 6\,\mathrm{V}$ (lei da tensão em série ao longo do ramo), então $U_F = 6 - 2.2 = 3.8\,\mathrm{V}$ . O ramo dois se estende entre os mesmos nós: $U_G = 6\,\mathrm{V}$ (lei da tensão em paralelo).

Exercício 57.12 ★★★

A auditoria completa: uma bateria de $6\,\mathrm{V}$ ; a lâmpada P em série com um nó; os ramos Q e R se reencontram e voltam. Medidos: $I_P = 0.6\,\mathrm{A}$ , $I_Q = 0.45\,\mathrm{A}$ , $U_Q = 2.3\,\mathrm{V}$ . Calcule todas as correntes e tensões restantes do circuito ( $I_R$ , $U_P$ , $U_R$ ), enunciando a lei por trás de cada linha — e então invente uma “medida” a mais que um estudante desatento poderia relatar e que a sua solução pronta condenaria na hora.

Solução

Solução de Exercício 57.12.

$I_R = 0.6 - 0.45 = 0.15\,\mathrm{A}$ (lei dos nós). $U_R = U_Q = 2.3\,\mathrm{V}$ (lei da tensão em paralelo). $U_P = 6 - 2.3 = 3.7\,\mathrm{V}$ (lei da tensão em série). Um extra condenável: “ $I_R = 0.2\,\mathrm{A}$ ” — as contas do nó mostrariam $0.45 + 0.2 = 0.65 \neq 0.6$ ; ou “ $U_R = 2.6\,\mathrm{V}$ ” — ramos em paralelo não têm licença para discordar.

57.5 Problema: As caixas misteriosas lacradas

Problema 57.1

Problema de fim de semana — o desafio das caixas lacradas do clube de eletrônica; quatro leis contra quatro mistérios; a grande auditoria

O clube lacra circuitos simples dentro de caixas, deixando de fora apenas os bornes para os aparelhos. As equipes precisam deduzir o interior — constituição na mão. A pilha de bancada é de $6\,\mathrm{V}$ o tempo todo.

Parte I — Caixa A: dois terminais, duas lâmpadas. A etiqueta admite: duas lâmpadas iguais e nada mais, em série ou em paralelo.

Ligada à pilha, a caixa A puxa $0.2\,\mathrm{A}$ ; sabe-se que uma única lâmpada dessas sozinha em $6\,\mathrm{V}$ puxa cerca de $0.4\,\mathrm{A}$ . Série ou paralelo? Argumente com uma lei da corrente.
Preveja o que a caixa puxaria no outro arranjo.
Que tensão cada lâmpada interna recebe no arranjo real, por qual lei da tensão?
Em qual arranjo as lâmpadas escondidas brilhariam no brilho nominal cheio — e por que visivelmente não brilham, pelo olho mágico da caixa?

Parte II — Caixa B: o quebra-cabeça de três lâmpadas. A caixa B admite: uma lâmpada (X) em série com um par em paralelo (Y, Z — não necessariamente iguais).

A equipe mede $I_{\text{pilha}} = 0.5\,\mathrm{A}$ e, no borne de teste da própria Y, $I_Y = 0.35\,\mathrm{A}$ . Ache $I_Z$ e $I_X$ , citando leis.
Um voltímetro atravessado em X: $2.8\,\mathrm{V}$ . Ache a tensão do par em paralelo — e cada uma de $U_Y$ e $U_Z$ .
Y e Z carregam correntes diferentes com a mesma tensão. O que isso revela sobre as duas lâmpadas, na linguagem do Exemplo 57.5?
A equipe desenrosca Y por uma portinhola. Preveja o sentido da mudança da nova $I_{\text{pilha}}$ (sobe, cai ou fica), raciocinando com estradas e a oposição delas.

Parte III — Caixa C: a trapaça.

O construtor da caixa C relata: “pilha de $6\,\mathrm{V}$ ; duas lâmpadas em série lá dentro com $2.5\,\mathrm{V}$ e $4.1\,\mathrm{V}$ ; nó interno recebendo $0.3\,\mathrm{A}$ e mandando $0.2\,\mathrm{A}$ mais $0.15\,\mathrm{A}$ .” Condene o relatório duas vezes, uma lei por condenação.
Uma das duas leituras de tensão relatadas se revela depois honesta. Se for a de $2.5\,\mathrm{V}$ , quanto a parceira dela precisa valer de verdade?
O construtor confessa que os números do nó foram “arredondados com generosidade”. Se as duas leituras dos ramos, $0.2\,\mathrm{A}$ e $0.15\,\mathrm{A}$ , forem honestas, quanto a estrada principal precisa carregar de verdade?
Por que as quatro leis fazem da trapaça de caixa lacrada um jogo perdido? Uma frase.

Parte IV — A constituição.

Escreva a carta do clube: as quatro leis em quatro linhas, cada uma com a imagem do dia a dia que a carrega (estradas, pedágios, cachoeiras, bifurcações).

Solução

Solução de Problema 57.1.

1. Série. Em série as duas lâmpadas se opõem à marcha uma depois da outra: a corrente da volta cai bem abaixo dos $0.4\,\mathrm{A}$ de uma lâmpada sozinha — os $0.2\,\mathrm{A}$ medidos batem. (O paralelo somaria dois ramos inteiros.) 2. Paralelo: dois ramos de cerca de $0.4\,\mathrm{A}$ cada um — uns $0.8\,\mathrm{A}$ tirados da pilha. 3. A lei da tensão em série divide os $6\,\mathrm{V}$ entre duas lâmpadas iguais: cerca de $3\,\mathrm{V}$ cada uma. 4. Paralelo — cada lâmpada se estenderia sobre os $6\,\mathrm{V}$ inteiros. Pelo olho mágico, o par em série brilha fraco: cada uma está subalimentada com metade do empurrão de sempre. 5. $I_Z = 0.5 - 0.35 = 0.15\,\mathrm{A}$ (lei dos nós); $I_X = 0.5\,\mathrm{A}$ — X fica na estrada ainda não dividida (lei da corrente em série). 6. $U_{\text{par}} = 6 - 2.8 = 3.2\,\mathrm{V}$ (lei da volta); $U_Y = U_Z = 3.2\,\mathrm{V}$ (lei do paralelo). 7. Mesmo empurrão, marchas diferentes: as lâmpadas se opõem desigualmente à corrente — Z, carregando menos com a mesma tensão, é quem se opõe mais (a estrada mais difícil). 8. Cai: perder o ramo de Y tira uma estrada; a estrada restante, a de Z, se opõe mais do que o par se opunha junto, e então a pilha impele menos corrente no total. 9. Condenação um, lei da volta: $2.5 + 4.1 = 6.6\,\mathrm{V}$ gastos de uma bolsa de $6\,\mathrm{V}$ . Condenação dois, lei dos nós: entram $0.3\,\mathrm{A}$ , saem $0.2 + 0.15 = 0.35\,\mathrm{A}$ . 10. $6 - 2.5 = 3.5\,\mathrm{V}$ . 11. $0.2 + 0.15 = 0.35\,\mathrm{A}$ . 12. Porque as quatro leis determinam demais todo circuito honesto: cada leitura precisa concordar com as somas das outras, de modo que um número inventado tem de mentir para pelo menos uma lei — e é condenado só pela aritmética. 13. Por exemplo: “Uma estrada, uma marcha — a lei da corrente em série. Em toda bifurcação as marchas se equilibram, o que entra é o que sai — a lei dos nós. Ao longo de qualquer volta, a cachoeira da pilha é gasta até a última gota pelos trabalhadores — a lei da tensão em série. E ramos pendurados entre os mesmos dois nós bebem da mesma altura — a lei da tensão em paralelo.”