Física do ensino fundamental · Grades 1–9

31Máquinas simples: alavancas, roldanas, planos inclinados

Sem motor, sem eletricidade — e mesmo assim, com algumas vigas, cordas e rampas, os construtores antigos levantaram pedras que juntas de bois inteiras não conseguiam arrastar. A caixa de ferramentas deles guardava as máquinas simples: invenções sem motor nenhum, que transformam um puxão fraco e confortável num puxão possante. Você já é dono da primeira; conheça a família.

31.1 A família das poupadoras de esforço

Definição 31.1 (Máquina simples)

Uma máquina simples é um dispositivo sem motor que muda uma força para nos servir: tornando-a mais forte, ou mudando a direção dela, ou as duas coisas. As clássicas: a alavanca, que você conhece da gangorra e do pé de cabra, a roldana e o plano inclinado — a humilde rampa.

Exemplo 31.2 (A alavanca, revisitada)

A regra da alavanca você já tem: moedas vezes marcas — a sua força pequena longe do ponto de apoio vence uma carga grande perto dele. Repare agora em outra coisa: a sua ponta do pé de cabra desce um caminho longo, enquanto o pedregulho sobe só um pouquinho. Guarde essa observação no bolso; ela está prestes a virar uma lei.

31.2 Roldanas

Definição 31.3 (Roldana)

Uma roldana é uma roda com um sulco para a corda. Uma roldana fixa fica pendurada numa viga e muda apenas a direção do puxão: puxe para baixo e a carga sobe. Uma roldana móvel viaja na corda, com a carga pendurada nela: a carga fica então pendurada em dois trechos de corda, e cada trecho carrega só metade do peso.

Duas roldanas, dois presentes. A roldana fixa vira o seu puxão de lado; a roldana móvel deixa dois trechos de corda dividirem a carga, de modo que a sua mão segura só a metade.

A roldana do poço: a corda corre no sulco, e um puxão para baixo vira uma subida.

Exemplo 31.4 (Roldanas em ação)

A bandeira sobe pelo mastro enquanto as suas mãos puxam confortavelmente para baixo: uma roldana fixa lá no alto — direção mudada, esforço igual, mas puxar para baixo deixa o seu próprio peso ajudar. A talha do construtor emenda várias roldanas de modo que a carga fique pendurada em quatro ou seis trechos: cada trecho carrega um quarto ou um sexto do peso, e um único trabalhador levanta um piano. Repare no trabalhador, porém: metro após metro de corda corre pelas mãos dele, enquanto o piano sobe devagarinho.

31.3 O plano inclinado

Definição 31.5 (Plano inclinado)

Um plano inclinado — uma rampa — é uma ladeira para levantar cargas sem erguê-las direto para cima. Quanto mais suave a ladeira, menor o empurrão necessário para mover a carga por ela: rolar um barril por uma rampa longa e suave é fácil; por uma rampa curta e íngreme, brutal; direto para cima, impossível.

Método 31.6 (Sinta com a balança de elástico)

A sua balança de elástico do ano passado consegue provar a diferença:

ponha um carrinho de brinquedo numa tábua e prenda o elástico nele;
apoie a tábua como uma rampa suave sobre uma pilha baixa de livros; arraste o carrinho devagar pelo elástico e anote o esticão;
apoie a mesma tábua bem mais inclinada, sobre o assento de uma cadeira, e arraste de novo.

O arrasto na rampa íngreme estica muito mais o elástico: ladeira mais inclinada, esforço maior. As ladeiras suaves são mesmo suaves — o seu instrumento confirma.

Mesmo caixote, mesma altura a ganhar: a rampa longa e suave pede um empurrão pequeno num caminho longo; a rampa íngreme, um empurrão grande num caminho curto.

Exemplo 31.7 (Rampas na paisagem)

As rampas para cadeira de rodas correm longas e suaves ao lado de escadas curtas — suavidade de propósito. As estradas de montanha ziguezagueiam: em vez de atacar o cume direto para cima, elas enrolam um plano inclinado longo e suave para lá e para cá pela encosta. E o parafuso é uma rampa disfarçada — uma ladeira enrolada em torno de uma haste, de modo que cada volta fácil da chave de fenda enfia o parafuso um pouquinho mais fundo.

31.4 A regra de ouro

Proposição 31.8 (A regra de ouro das máquinas)

Nenhuma máquina simples dá alguma coisa de graça: tudo o que ela poupa em força, ela cobra de volta em distância. Metade da força — o dobro de corda puxada, ou o dobro de caminho percorrido; um décimo da força — dez vezes o caminho. Máquina após máquina, a troca é exata: o conforto é comprado com metros.

Exemplo 31.9 (Conferindo a regra)

A roldana móvel: a sua mão puxa com metade da força e, para levantar a carga $1\,\mathrm{m}$ , você recolhe $2\,\mathrm{m}$ de corda — os dois trechos precisam encurtar um metro. O pé de cabra: a sua ponta percorre um arco comprido, o pedregulho mal se mexe. A rampa: o caixote chega à mesma altura, mas você o empurrou pela ladeira inteira. Toda economia paga, com precisão.

Observação 31.10 (Por que a regra não pode ser burlada)

Escondida sob a regra de ouro está a nossa velha amiga do capítulo da energia: levantar uma carga até uma altura custa uma porção fixa de energia, e nenhum arranjo de cordas e tábuas muda o preço. As máquinas só deixam você pagar em moedas menores — em maior número. Uma força pequena por um caminho longo entrega a mesma energia que uma força grande por um caminho curto. As máquinas eternas fracassaram exatamente por isso: a conta é sempre a conta.

31.5 Exercícios

Exercício 31.1 ★

Diga as três máquinas simples clássicas e um lugar do dia a dia em que cada uma aparece.

Solução

Solução de Exercício 31.1.

A alavanca (pé de cabra, gangorra, tesoura), a roldana (mastro de bandeira, poço, guindaste), o plano inclinado (rampa de cadeira de rodas, estrada de montanha, rampa de carga).

Exercício 31.2 ★

O que uma roldana fixa muda no seu puxão? E o que uma roldana móvel muda?

Solução

Solução de Exercício 31.2.

A roldana fixa muda só a direção do puxão (puxe para baixo, a carga sobe). A roldana móvel muda o tamanho dele: a carga fica pendurada em dois trechos, e por isso a mão segura só metade do peso.

Exercício 31.3 ★

Por que puxar uma bandeira para baixo para fazê-la subir é mais confortável do que erguer o mesmo peso direto para cima, mesmo que o esforço tenha o mesmo tamanho?

Solução

Solução de Exercício 31.3.

Puxar para baixo recruta o seu próprio peso: você pode se inclinar ou até se pendurar na corda, deixando o puxão da Terra ajudar os seus músculos. Erguendo para cima, os seus braços lutam sozinhos.

Exercício 31.4 ★

Com uma roldana móvel, a carga fica pendurada em dois trechos. Que parte do peso a sua mão segura? Para levantar a carga $3\,\mathrm{m}$ , quanta corda você precisa puxar?

Solução

Solução de Exercício 31.4.

Metade do peso. Para levantar a carga $3\,\mathrm{m}$ , os dois trechos precisam encurtar $3\,\mathrm{m}$ : a sua mão puxa $2 \times 3 = 6\,\mathrm{m}$ de corda.

Exercício 31.5 ★

No Método 31.6, qual rampa estica mais o elástico? O que paga pelo esticão menor da rampa suave?

Solução

Solução de Exercício 31.5.

A rampa íngreme estica mais. O esforço menor da rampa suave é pago em distância: a mesma altura é ganha por um caminho bem mais comprido — é a troca da regra de ouro.

Exercício 31.6 ★

Por que as estradas de montanha ziguezagueiam em vez de subir direto pela encosta? Qual máquina simples é a estrada inteira?

Solução

Solução de Exercício 31.6.

Direto pela encosta, o puxão necessário derrotaria qualquer motor ou junta de mulas; os ziguezagues enrolam um plano inclinado longo e suave pela montanha — esforço pequeno, caminho longo. A estrada inteira é uma rampa esticada.

Exercício 31.7 ★

Enuncie a regra de ouro das máquinas. Uma máquina deixa você puxar com um décimo da força — o que ela cobra de você?

Solução

Solução de Exercício 31.7.

Nenhuma máquina dá alguma coisa de graça: a força poupada é devolvida em distância, exatamente. Um décimo da força custa dez vezes o caminho (ou a corda).

Exercício 31.8 ★

Como um parafuso é um plano inclinado disfarçado? O que faz o papel do caminho longo e suave?

Solução

Solução de Exercício 31.8.

A rosca dele é uma ladeira longa e suave enrolada em torno da haste. As muitas voltas fáceis da chave de fenda são o caminho longo; o mergulho minúsculo do parafuso a cada volta é a pequena altura ganha.

Exercício 31.9 ★★

Uma talha pendura um piano em quatro trechos. Que fração do peso do piano a mão do trabalhador puxa? Para levantar o piano $2\,\mathrm{m}$ , quantos metros de corda passam pelas mãos dele?

Solução

Solução de Exercício 31.9.

Um quarto do peso. Cada um dos quatro trechos precisa encurtar $2\,\mathrm{m}$ : $4 \times 2 = 8\,\mathrm{m}$ de corda passam pelas mãos do trabalhador.

Exercício 31.10 ★★

Uma rampa de carga tem $6\,\mathrm{m}$ de comprimento e sobe $1\,\mathrm{m}$ ; empurrar um caixote por ela exige um empurrão modesto. Os carregadores impacientes montam uma rampa nova de apenas $3\,\mathrm{m}$ até a mesma plataforma. Usando a regra de ouro, compare o empurrão novo com o antigo — e explique por que “metade do caminho” não foi vantagem nenhuma.

Solução

Solução de Exercício 31.10.

A rampa nova sobe o mesmo $1\,\mathrm{m}$ em metade do caminho, então ela é duas vezes mais íngreme, e o empurrão praticamente dobra. A regra de ouro cobrou na hora: caminho pela metade, força em dobro — a subida do caixote custa o mesmo dos dois jeitos, e os carregadores só trocaram muitas moedas confortáveis por poucas moedas pesadas.

Exercício 31.11 ★★

Um anúncio oferece um conjunto de roldanas “tão esperto que você puxa um metro de corda com metade da força — e a carga sobe um metro inteiro”. Ponha a promessa em julgamento diante da regra de ouro e da conta de energia da Observação 31.10: algum arranjo de rodas e cordas conseguiria cumpri-la?

Solução

Solução de Exercício 31.11.

Nenhum arranjo consegue cumpri-la. Levantar a carga um metro custa uma porção fixa de energia; pagando com metade da força, o vendedor precisa puxar dois metros de corda — meia força ao longo de um metro só entrega metade da conta. O anúncio promete um levantamento pago pela metade do preço: exatamente o almoço grátis que a regra de ouro, e as máquinas eternas fracassadas, proíbem.

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