Física do ensino fundamental · Grades 1–9

38Massa e volume

Quanta limonada cabe na garrafa, e qual é o peso do engradado de garrafas? Duas perguntas diferentes — espaço e material — que a conversa do dia a dia embaralha alegremente numa palavra só, “grande”. A ciência desembaraça: volume para o espaço que uma coisa ocupa, massa para o material que ela contém. Medir a segunda você já faz de olhos fechados; hoje aprendemos a medir a primeira — até para um seixo sem formato nenhum que uma régua pudesse amar.

38.1 Volume: o espaço que uma coisa ocupa

Definição 38.1 (Volume)

O volume de uma coisa é a quantidade de espaço que ela ocupa. Sólidos, líquidos e gases têm volume: o tijolo ocupa o espaço dele, a limonada ocupa o interior da garrafa, o ar ocupa o resto. O volume é medido em centímetros cúbicos ( $\mathrm{cm}^{3}$ ) — o espaço de um cubinho de um centímetro de aresta — e em litros ( $\mathrm{L}$ ).

Proposição 38.2 (O litro em cubinhos)

As duas famílias de unidades de volume são uma só família:

1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm}^{3}, \qquad 1\,\mathrm{mL} = 1\,\mathrm{cm}^{3}.

Um litro é exatamente o espaço dentro de um cubo de dez centímetros de aresta: $10 \times 10 \times 10 = 1000$ cubinhos.

Um litro, desempacotado: mil cubinhos de um centímetro empilhados dez por dez por dez.

Exemplo 38.3 (Volumes para saber de cor)

Uma colher de chá leva cerca de $5\,\mathrm{mL}$ ; um copo de beber, cerca de $25\,\mathrm{cL}$ , um quarto de litro; a caixa de leite, $1\,\mathrm{L}$ ; uma banheira, uns $150\,\mathrm{L}$ ; um cubinho de açúcar ocupa cerca de $3\,\mathrm{cm}^{3}$ ; um dado, cerca de $4\,\mathrm{cm}^{3}$ . Âncoras como essas tornam possível o passo do julgamento em toda medida.

38.2 Medir líquidos

Método 38.4 (Ler uma proveta)

A jarra do laboratório é a proveta: alta, estreita, com graduação fina.

ponha a proveta sobre uma mesa plana — nunca faça a leitura com ela na mão;
descubra o valor da graduação, como em toda escala;
ponha o olho na mesma altura da superfície do líquido: a superfície não é plana, e sim levemente curva — um menisco — que sobe um pouquinho pelas paredes de vidro;
faça a leitura no fundo da curva, olhando bem de frente.

Olho alto ou baixo demais, e a curva mente para você em um ou dois passinhos — o erro da vista de lado no disfarce predileto dele.

O menisco: os líquidos sobem um pouquinho pelo vidro. A leitura honesta é no fundo da curva, com o olho na altura dela.

O menisco de perto: leia o meio achatado da curva, com o olho na altura dele.

38.3 Medir sólidos — até os disformes

Um sólido em formato de tijolo se rende à régua: comprimento vezes largura vezes altura dá o volume dele em $\mathrm{cm}^{3}$ , como o seu curso de matemática mostrou. Mas e um seixo, uma chave, uma ameixa? Régua nenhuma serve para um pedaço disforme. A resposta tem dois mil anos, e saiu de uma banheira.

Proposição 38.5 (Deslocamento)

Um sólido mergulhado completamente na água empurra para o lado — desloca — exatamente o próprio volume de água. A subida do nível da água mede o intruso: disforme ou liso, a água se molda a cada reentrância e a cada saliência.

Método 38.6 (Volume pela subida da água)

despeje água numa proveta — o bastante para cobrir o objeto — e leia o volume: digamos $120\,\mathrm{mL}$ ;
amarre uma linha no objeto e desça-o com cuidado até ele ficar todo debaixo d’água, sem respingo e sem encostar nas paredes;
leia de novo: digamos $145\,\mathrm{mL}$ ;
subtraia: $145 - 120 = 25$ — o volume do objeto é $25\,\mathrm{cm}^{3}$ (mililitros de subida, centímetros cúbicos de pedra: a mesma coisa).

O método da subida: a água sobe exatamente o volume do seixo — 145 - 120 = 25\, cm3 de seixo. — O método da subida: a água sobe exatamente o volume do seixo — $145 - 120 = 25\,\mathrm{cm}^{3}$ de seixo.

Exemplo 38.7 (A coroa na banheira)

A velha história: um rei desconfiou que o ourives dele tinha misturado prata ao ouro da coroa real e pediu ao cientista Arquimedes que descobrisse a verdade sem danificar a coroa. Ao entrar numa banheira cheia, Arquimedes viu a água transbordar pela borda — e percebeu num relâmpago que o transbordamento media o volume do próprio corpo dele, saliências e tudo. A lenda diz que ele saiu correndo pelas ruas gritando “Eureca!” — achei! Como o volume da coroa desmascarou a fraude ainda precisa de mais uma ideia, dois capítulos adiante; a banheira lhe deu o volume de qualquer coisa.

38.4 Massa e volume são respostas diferentes

Exemplo 38.8 (Mesmo volume, massas diferentes)

Encha dois copos iguais de $25\,\mathrm{cL}$ , um com água e outro com mel, e pese os dois (descontando os copos): o copo de mel guarda nitidamente mais gramas no mesmíssimo espaço. Mesmo volume, massas diferentes. E um litro de ar pesa pouco mais que um grama, no mesmo espaço em que um litro de água pesa um quilograma inteiro. Espaço e material são mesmo dois contadores diferentes — segure firme essa ideia: ela vira uma lei, com nome e tudo, no último capítulo deste ano.

Observação 38.9 (Pesar o que não fica em pé sozinho)

Como pesar farinha sem pesar a tigela dela? As balanças modernas têm um botão para isso: ponha a tigela vazia no prato, aperte — o mostrador volta a zero — e depois despeje: a balança agora informa só a farinha. A manobra se chama tara. Sem o botão, pese duas vezes e subtraia: tigela-com-farinha menos tigela vazia. De um jeito ou de outro, é de novo a regra do começo justo: partir de um zero honesto.

38.5 Exercícios

Exercício 38.1 ★

Que pergunta o volume responde, e que pergunta a massa responde? Dê as duas principais unidades de cada um.

Solução

Solução de Exercício 38.1.

Volume: quanto espaço uma coisa ocupa — $\mathrm{cm}^{3}$ e litros. Massa: quanto material ela contém — gramas e quilogramas.

Exercício 38.2 ★

Converta: $2\,\mathrm{L}$ para $\mathrm{cm}^{3}$ ; $350\,\mathrm{mL}$ para $\mathrm{cm}^{3}$ ; $1500\,\mathrm{cm}^{3}$ para litros; meio litro para mililitros.

Solução

Solução de Exercício 38.2.

$2000\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $350\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $1.5\,\mathrm{L}$ ; $500\,\mathrm{mL}$ .

Exercício 38.3 ★

Por que uma proveta precisa ser lida na altura do olho, sobre a mesa e no fundo do menisco? Diga o erro que cada regra evita.

Solução

Solução de Exercício 38.3.

Sobre a mesa: uma proveta inclinada inclina a superfície. Na altura do olho: um olho alto ou baixo desloca a marca aparente (o erro da vista de lado). No fundo do menisco: o líquido sobe pelas paredes, e só o fundo da curva está no volume verdadeiro.

Exercício 38.4 ★

Uma proveta marca $200\,\mathrm{mL}$ ; com uma ameixa mergulhada, ela marca $265\,\mathrm{mL}$ . Qual é o volume da ameixa, em $\mathrm{cm}^{3}$ ?

Solução

Solução de Exercício 38.4.

$265 - 200 = 65$ : o volume da ameixa é $65\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Exercício 38.5 ★

Por que o método da subida funciona até para um seixo disforme, se régua nenhuma conseguiria medi-lo? Qual proposição responde?

Solução

Solução de Exercício 38.5.

A água se molda a cada reentrância e a cada saliência, então a água empurrada para o lado é exatamente igual ao volume do seixo — a proposição do deslocamento. A régua precisa de arestas retas; a água não precisa de nenhuma.

Exercício 38.6 ★

Uma borracha em formato de tijolinho mede $5\,\mathrm{cm}$ por $2\,\mathrm{cm}$ por $1\,\mathrm{cm}$ . Qual é o volume dela? Plano de conferência: como você confirmaria isso com o método da subida?

Solução

Solução de Exercício 38.6.

$5 \times 2 \times 1 = 10\,\mathrm{cm}^{3}$ . Conferência: mergulhe-a numa proveta — a leitura deve subir exatamente $10\,\mathrm{mL}$ .

Exercício 38.7 ★

Para pesar arroz: tigela vazia $280\,\mathrm{g}$ ; tigela com arroz $745\,\mathrm{g}$ . Quanto arroz há? Qual botão faz o mesmo serviço num passo só?

Solução

Solução de Exercício 38.7.

$745 - 280 = 465\,\mathrm{g}$ de arroz. O botão de tara: zere a balança com a tigela vazia em cima e depois despeje.

Exercício 38.8 ★

Qual tem o maior volume, um quilograma de penas ou um quilograma de ferro? Qual tem a maior massa? (Responda os dois com cuidado.)

Solução

Solução de Exercício 38.8.

As massas são iguais — um quilograma cada. As penas ocupam muito mais espaço: volume bem maior para a mesma quantidade de material.

Exercício 38.9 ★★

O método da subida falha para uma rolha: ela flutua. Proponha uma solução que ainda use a proveta — e diga o que precisa ser subtraído se a sua solução usar um objeto ajudante.

Solução

Solução de Exercício 38.9.

Afunde a rolha de propósito: empurre-a para baixo com um espeto fino (leia a subida com apenas a rolha submersa), ou amarre-a a um peso — meça primeiro a subida só do peso, depois a do conjunto, e subtraia a parte do peso.

Exercício 38.10 ★★

Uma caixa de suco diz conter $1\,\mathrm{L}$ . Despejada, ela enche três vezes um copo de $250\,\mathrm{mL}$ e o quarto copo só até a marca de $200\,\mathrm{mL}$ . A declaração era honesta? Por quanto?

Solução

Solução de Exercício 38.10.

Despejado: $3 \times 250 + 200 = 950\,\mathrm{mL}$ . A declaração errou por $50\,\mathrm{mL}$ — faltou um vigésimo de litro.

Exercício 38.11 ★★

Um colar é mergulhado numa proveta que marcava $80.0\,\mathrm{mL}$ ; ela sobe para $83.5\,\mathrm{mL}$ . O joalheiro afirma que o colar contém $5\,\mathrm{cm}^{3}$ de ouro. A afirmação pode ser verdadeira? O que, exatamente, a água mediu?

Solução

Solução de Exercício 38.11.

A subida é $83.5 - 80.0 = 3.5\,\mathrm{mL}$ : o volume inteiro do colar é $3.5\,\mathrm{cm}^{3}$ . A água mede o volume total, metal, fecho e tudo — então uma afirmação de $5\,\mathrm{cm}^{3}$ de ouro não pode ser verdadeira: não há nem $5\,\mathrm{cm}^{3}$ de colar.

Exercício 38.12 ★★★

Projete uma conferência estilo banheira da própria Proposição 38.5, usando um objeto em formato de tijolo cujo volume a régua já conhece. Descreva os passos, preveja as duas leituras da proveta para um bloco de $4 \times 3 \times 2$ centímetros mergulhado em $150\,\mathrm{mL}$ e diga que resultado provaria que a proposição está errada.

Solução

Solução de Exercício 38.12.

A régua promete $4 \times 3 \times 2 = 24\,\mathrm{cm}^{3}$ . Mergulhe o bloco (com linha, sem respingo, todo submerso, sem encostar nas paredes) em $150\,\mathrm{mL}$ : a previsão é uma subida de $150\,\mathrm{mL}$ para $174\,\mathrm{mL}$ . Se a água subisse qualquer coisa diferente de $24\,\mathrm{mL}$ — fora de um ou dois passinhos honestos da proveta — a proposição do deslocamento estaria refutada. (Isso nunca aconteceu.)

38.6 Problema: Dia de engarrafamento no pomar

Problema 38.1

Problema de fim de semana — dia de prensa no pomar; litros virando garrafas, engradados subindo na balança; o seixo na jarra

O pomar prensa as maçãs hoje, e cada ajudante ganha um serviço de medição.

Parte I — Suco por litro. A prensa encheu um barril de $20\,\mathrm{L}$ .

Quantos centímetros cúbicos são $20\,\mathrm{L}$ ?
O suco é engarrafado em garrafas de $75\,\mathrm{cL}$ . Quantas garrafas cheias o barril dá?
Quanto suco sobra depois da última garrafa cheia, em centilitros?
A sobra é despejada em copos de $25\,\mathrm{cL}$ . Quantos copos ela enche?

Parte II — Engradados na balança.

Uma garrafa vazia tem massa de $450\,\mathrm{g}$ . Usando a Parte I, qual é a massa do suco de uma garrafa cheia, se um litro de suco tem massa de cerca de $1\,\mathrm{kg}$ ? (Trabalhe em gramas.)
Então quanto pesa uma garrafa cheia, ao todo?
Um engradado de madeira pesa $2\,\mathrm{kg}$ vazio e carrega seis garrafas cheias. Qual é a massa total de um engradado carregado?
A perua pode levar $200\,\mathrm{kg}$ de engradados. Quantos engradados carregados ela pode levar? (Só engradados inteiros.)

Parte III — O seixo na jarra. O pequeno Tom deixa cair um seixo numa jarra cheia de $1\,\mathrm{L}$ de suco, e o suco transborda sobre a mesa.

O suco transbordado, recolhido, mede $40\,\mathrm{mL}$ . O que o derramamento mediu a respeito do seixo, e por qual proposição?
Depois que o seixo é pescado de volta, quanto suco resta na jarra?
Tom protesta: “O seixo é pequeno — olha, ele se esconde no meu punho!” A irmã dele responde com uma proveta: ela põe o seixo em $100\,\mathrm{mL}$ de água. Qual leitura prova que o derramamento disse a verdade?
Contabilidade extra: o seixo pesa $104\,\mathrm{g}$ na balança de cozinha. Sem nenhuma ideia nova, você já consegue dizer se o material do seixo é mais pesado ou mais leve que o material do suco para o mesmo espaço ocupado? Compare $104\,\mathrm{g}$ de seixo em $40\,\mathrm{cm}^{3}$ com a massa de suco que encheria esses mesmos $40\,\mathrm{cm}^{3}$ — e guarde a sua conclusão quentinha para o capítulo da densidade.

Solução

Solução de Problema 38.1.

1. $20 \times 1000 = 20\,000\,\mathrm{cm}^{3}$ . 2. $20\,\mathrm{L} = 2000\,\mathrm{cL}$ ; $2000 \div 75 = 26$ garrafas cheias (com sobra). 3. $26 \times 75 = 1950\,\mathrm{cL}$ , então sobram $2000 - 1950 = 50\,\mathrm{cL}$ . 4. $50 \div 25 = 2$ copos, exatamente. 5. $75\,\mathrm{cL} = 0.75\,\mathrm{L}$ , e um litro pesa cerca de $1000\,\mathrm{g}$ : o suco tem cerca de $750\,\mathrm{g}$ . 6. $750 + 450 = 1200\,\mathrm{g}$ — $1.2\,\mathrm{kg}$ . 7. $6 \times 1.2 = 7.2\,\mathrm{kg}$ de garrafas mais $2\,\mathrm{kg}$ de engradado: $9.2\,\mathrm{kg}$ . 8. $200 \div 9.2$ : $21$ engradados dariam $193.2\,\mathrm{kg}$ , e $22$ dariam $202.4\,\mathrm{kg}$ — demais. A perua leva $21$ engradados. 9. O suco derramado é o suco que o seixo deslocou: o volume do seixo é $40\,\mathrm{cm}^{3}$ , pela proposição do deslocamento. 10. $1000 - 40 = 960\,\mathrm{mL}$ de suco restam. 11. A proveta deve subir de $100\,\mathrm{mL}$ para $140\,\mathrm{mL}$ — uma subida de $40\,\mathrm{mL}$ , batendo com o derramamento. Punhos não medem nada; a água diz a verdade. 12. Esses $40\,\mathrm{cm}^{3}$ , cheios de suco, guardariam cerca de $40\,\mathrm{g}$ de suco — o seixo enfia $104\,\mathrm{g}$ no mesmo espaço: o material do seixo é mais pesado que o material do suco para o mesmo espaço, mais que o dobro. O capítulo da densidade vai dar a essa comparação o nome e o número próprios dela.

Termos definidos neste capítulo

Volume

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