Física do ensino fundamental · Grades 1–9

61A velocidade da luz; as distâncias no Universo

Durante sete anos este livro sussurrou que a luz é “praticamente instantânea” — o clarão antes do trovão, a batida vista dando o tiro de largada no cronômetro. Este capítulo cumpre a promessa mais antiga da família: a velocidade da luz não é infinita, seres humanos a mediram contra todas as probabilidades, e o número é tão vasto que vira, no mesmo fôlego, a régua e a máquina do tempo da astronomia.

61.1 A medida impossível

Exemplo 61.1 (Lanternas em dois morros)

Quatro séculos atrás, o grande pioneiro das experiências pôs dois observadores em morros distantes, à noite, cada um com uma lanterna de portinhola: descubra a sua ao ver a minha, e o atraso da ida e volta deveria entregar a velocidade da luz. O atraso que eles acharam eram só os reflexos humanos; entre os morros, a travessia verdadeira da luz levou uns poucos milionésimos de segundo. A experiência fracassou magnificamente — provando, ao menos, que a luz é mais rápida do que qualquer coisa que um topo de morro consiga cronometrar, e desafiando a astronomia a achar pistas de corrida mais longas.

Exemplo 61.2 (A lua que se atrasava)

A pista de corrida veio por cortesia de Júpiter. A grande lua mais interna dele se eclipsa na sombra de Júpiter num horário soberbamente regular — um relógio no céu. E no entanto um astrônomo paciente achou o relógio atrasado em muitos minutos nos meses em que a órbita da Terra nos tinha levado para o lado do Sol oposto a Júpiter, e adiantado de novo quando passávamos perto. O salto dele: a lua é pontual — é a luz dela que está atrasada, precisando de um tempo a mais para atravessar a largura a mais da órbita da Terra. Do atraso e do tamanho da órbita saiu a primeira estimativa da velocidade da luz — de tirar o fôlego de tão perto da verdade, para o século dezessete.

A lua que se atrasava: a notícia do eclipse em Júpiter chega à Terra do lado distante muitos minutos fora do horário — o atraso é a luz, apanhada no trajeto.

Proposição 61.3 (A velocidade da luz)

No vácuo — e no ar, com excelente aproximação — a luz viaja a

c = 300\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s} = 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m}/\mathrm{s},

trezentos mil quilômetros por segundo: sete voltas e meia na Terra entre duas batidas do coração. Toda cor da mistura viaja com esse mesmo $c$ no vácuo; nada que carregue matéria ou notícia jamais foi cronometrado mais rápido. Mais tarde, a engenhosidade presa à Terra confirmou os astrônomos — um feixe picotado por uma roda dentada girando, correndo oito quilômetros até um espelho e voltando pelo vão do dente seguinte — e os instrumentos modernos poliram $c$ até uma certeza tão completa que o próprio metro hoje é definido a partir dele.

Exemplo 61.4 (Tempos de viagem na vizinhança)

Com $t = d/c$ , o Sistema Solar ganha um horário. A Lua, $384\,000\,\mathrm{km}$ : $384000 \div 300000 \approx 1.3\,\mathrm{s}$ — as conversas de rádio Terra–Lua carregam essa pausa constrangedora. O Sol, $150$ milhões de km: $150000000 \div 300000 = 500\,\mathrm{s}$ — oito minutos e vinte: a luz do Sol é sempre uma notícia de oito minutos de idade. Marte, num valor típico de $2 \times 10^{8}$ km: cerca de onze minutos — os pilotos dos jipes robôs mandam o plano do dia e esperam; joystick nenhum consegue dirigir através de uma ida e volta de vinte minutos.

Uma galáxia espiral: a luz das estrelas dela atravessa milhões de anos de espaço vazio antes de chegar a qualquer telescópio.

61.2 O ano-luz

Definição 61.5 (Ano-luz)

Um ano-luz é uma distância: o trecho que a luz percorre em um ano — cerca de $9.5 \times 10^{12}$ km, quase dez milhões de milhões de quilômetros. O nome engana os apressados (ele é tão pouco um tempo quanto uma “passada” é um pé); os astrônomos o usam porque os quilômetros desabam diante da escala verdadeira do céu.

Exemplo 61.6 (A vizinhança em anos-luz)

A estrela mais próxima depois do Sol: cerca de $4$ anos-luz — a luz desta noite partiu de lá quando você estava nos primeiros capítulos de física. As estrelas brilhantes do céu de inverno: dezenas a centenas de anos-luz. A Via Láctea, a nossa cidade de estrelas: uns $100000$ anos-luz de ponta a ponta. A grande galáxia vizinha mais próxima: uns $2.5$ milhões de anos-luz — a manchinha fraca dela, visível a olho nu já acostumado ao escuro, é a luz mais antiga que um ser humano consegue ver sem ajuda.

Proposição 61.7 (Os telescópios são máquinas do tempo)

Como a notícia da luz viaja a $c$ e o universo é vasto, olhar longe é olhar para trás. A estrela a $4$ anos-luz se mostra como era $4$ anos atrás; a galáxia vizinha, como era quando os nossos antepassados lascavam as primeiras ferramentas de pedra. A suspeita do observador de estrelas do quinto ano é agora um teorema de aritmética: todo telescópio apontado para fora está apontado para o passado, e a astronomia é a história lida à luz das estrelas.

Método 61.8 (Converter distância e olhar-para-trás)

distância em anos-luz $\to$ olhar-para-trás em anos: o mesmo número — é esse todo o gênio da unidade;
distância em quilômetros $\to$ tempo de luz: divida por $300\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e depois dome os segundos em minutos, horas ou anos;
anos-luz $\to$ quilômetros (raramente vale a pena): multiplique por $9.5 \times 10^{12}$ — e lembre por que os astrônomos raramente fazem isso.

Observação 61.9 (O que “agora” quer dizer lá fora)

A estrela a quatro anos-luz ainda está brilhando neste exato momento? Quase com certeza — as estrelas vivem muito —, mas resposta nenhuma mais rápida do que a própria luz pode chegar até nós: a notícia mais fresca possível está sempre quatro anos velha. Para o céu profundo, a pergunta amolece e vira estranheza: algumas das manchinhas mais fracas dos grandes telescópios são galáxias cuja luz partiu antes de a Terra existir. A física vai afiar o que “agora a distância” pode sequer significar nos anos de universidade; para este ano, leve a versão honesta: o céu não é uma cena — é um arquivo.

61.3 Exercícios

Exercício 61.1 ★

Dê $c$ em $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (em potências de dez). O que fracassou nos dois morros, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 61.1.

$c = 300\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s} = 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ . As lanternas nos morros mediram apenas os reflexos humanos: a luz atravessou de um morro ao outro em milionésimos de segundo, muito abaixo da cronometragem de qualquer mão.

Exercício 61.2 ★

Reconte o argumento da lua atrasada em três frases: o que era pontual, o que estava atrasado e o que o atraso mediu.

Solução

Solução de Exercício 61.2.

A lua de Júpiter se eclipsava num horário pontual — um relógio no céu. A notícia de cada eclipse chegava atrasada sempre que a Terra estava longe de Júpiter, e adiantada quando perto. O atraso mediu o tempo de viagem da luz pela largura da órbita da Terra — e assim a velocidade da luz.

Exercício 61.3 ★

Calcule o tempo de viagem da luz: Lua ( $384\,000\,\mathrm{km}$ ); Sol ( $150$ milhões de km). Por que a luz do Sol é “notícia velha”?

Solução

Solução de Exercício 61.3.

Lua: $384000 \div 300000 \approx 1.3\,\mathrm{s}$ . Sol: $150000000 \div 300000 = 500\,\mathrm{s}$ — oito minutos e vinte. A luz do Sol sempre mostra o Sol como ele era oito minutos atrás: notícia velha por construção.

Exercício 61.4 ★

Um ano-luz — tempo ou distância? Defina-o e dê o tamanho dele em quilômetros (em potências de dez).

Solução

Solução de Exercício 61.4.

Uma distância: o trecho que a luz percorre em um ano — cerca de $9.5 \times 10^{12}$ km.

Exercício 61.5 ★

A estrela mais próxima fica a uns $4$ anos-luz. Qual é o olhar-para-trás desta noite — e o que você estava fazendo quando a luz dela partiu?

Solução

Solução de Exercício 61.5.

Quatro anos. As respostas variam — quatro anos atrás você estava vários anos escolares atrás neste mesmo livro.

Exercício 61.6 ★

Por que ninguém consegue pilotar de joystick um jipe robô em Marte a partir da Terra? Use os números do exemplo do horário.

Solução

Solução de Exercício 61.6.

Com uns onze minutos de ida, uma correção de direção responde a uma imagem de pelo menos vinte e dois minutos de idade — o jipe estaria dentro da fenda antes de o tranco do joystick chegar. Daí os planos, e não os joysticks.

Exercício 61.7 ★

Ordene por olhar-para-trás: a Lua; o Sol; a estrela mais próxima; a galáxia vizinha — com o valor aproximado de cada uma.

Solução

Solução de Exercício 61.7.

Lua: cerca de $1.3\,\mathrm{s}$ . Sol: oito minutos. Estrela mais próxima: quatro anos. Galáxia vizinha: dois milhões e meio de anos.

Exercício 61.8 ★

“O metro hoje é definido a partir de $c$ .” O que isso diz sobre em qual dos dois — régua ou luz — os físicos confiam mais fundo?

Solução

Solução de Exercício 61.8.

Na luz. A velocidade $c$ se mostrou mais estável do que qualquer barra de metal ou régua nacional — então a régua é hoje derivada da luz, e não a luz medida pela régua.

Exercício 61.9 ★★

Medição por radar: um pulso de rádio (viajando a $c$ ) quicado na Lua volta em cerca de $2.6\,\mathrm{s}$ . Recupere a distância da Lua a partir dessa ida e volta — e diga o nome da velha regra do sonar que vale aqui também.

Solução

Solução de Exercício 61.9.

Ida e volta: $300000 \times 2.6 = 780000$ km; a Lua está na metade — $390\,000\,\mathrm{km}$ . A regra do sonar vale inteira: todo eco paga a ida e a volta, divida por dois antes de acreditar.

Exercício 61.10 ★★

Ordene pela profundidade do arquivo: a luz de uma lâmpada no seu quarto ( $3\,\mathrm{m}$ ); o Sol; uma estrela a $100$ anos-luz; a galáxia vizinha. Para a lâmpada, estime o olhar-para-trás em bilionésimos de segundo ( $3 \div (3 \times 10^{8})$ — dome o número em palavras).

Solução

Solução de Exercício 61.10.

Lâmpada: $3 \div (3 \times 10^{8}) = 10^{-8}$ s — um centésimo de um milionésimo de segundo: até o quarto é um arquivo, raso demais para se notar. Depois o Sol (oito minutos), a estrela (um século), a galáxia (dois milhões e meio de anos) — quanto mais fundo você olha, mais velha a página.

Exercício 61.11 ★★

Uma reportagem diz que “astrônomos assistiram a uma estrela explodir na terça passada, a $8000$ anos-luz daqui”. Reescreva a frase com tempos verbais honestos: quando a explosão aconteceu, e o que aconteceu na terça passada?

Solução

Solução de Exercício 61.11.

“Na terça passada, a luz da explosão de uma estrela chegou até nós — a explosão em si aconteceu uns $8000$ anos atrás, e a notícia dela vem viajando desde então.”

Exercício 61.12 ★★★

O atraso da lua atrasada chega ao máximo de uns $1000$ segundos — o tempo que a luz leva para atravessar a largura inteira da órbita da Terra, uns $3 \times 10^{8}$ km. Faça você mesmo a divisão do século dezessete e compare com o $c$ moderno: quão honesta foi a primeira resposta do céu?

Solução

Solução de Exercício 61.12.

$3 \times 10^{8}\ \text{km} \div 1000\ \text{s} = 3 \times 10^{5}$ $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — o valor moderno em cheio (a estimativa histórica, com números mais grosseiros para a órbita, caiu dentro de cerca de um quarto disso: para o século dezessete, uma primeira resposta espantosa).

61.4 Problema: O centro de controle

Problema 61.1

Problema de fim de semana — um plantão no centro de controle do espaço profundo; conversas com atraso de luz, da Lua às estrelas; o manual de operações

Hoje à noite você dirige a mesa de comunicações: toda mensagem viaja a $c = 300\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , e o atraso da luz manda em cada decisão.

Parte I — Operações próximas.

A base lunar ( $384\,000\,\mathrm{km}$ ) pede confirmação de uma entrega de suprimentos. Quanto tempo depois do seu “confirmado” a base o ouve, e qual é o momento mais cedo em que você pode ouvir a resposta deles?
Um satélite em órbita alta, a $36\,000\,\mathrm{km}$ , retransmite um sinal de televisão. Calcule o atraso de ida — e diga por que as ligações intercontinentais por satélites desses carregam uma hesitação quase perceptível (ida e volta, subindo e descendo).
O observatório solar informa uma grande erupção “enquanto ela acontece”. Corrija a frase do operador: quando a erupção de fato irrompeu?
O protocolo pede que todos os relógios levem o atraso em conta. Qual ligação perto da Terra — Lua ou satélite alto — precisa da folga maior, e por qual fator, mais ou menos?

Parte II — A janela de Marte. Marte está hoje à noite a $1.8 \times 10^{8}$ km.

Calcule o atraso de ida em segundos e depois em minutos.
O jipe robô encontra uma fenda inesperada e as câmeras dele a mostram se aproximando em passo de caminhada. Explique, com o número da ida e volta, por que um resgate de joystick é sem esperança — e o que o jipe precisa então levar a bordo.
O envio do plano da noite leva $3\,\mathrm{min}$ de transmissão mais o atraso. Quando o envio precisa começar para ser recebido por inteiro pelo jipe às 21:00 do horário do controle?
Daqui a seis meses, Marte estará a $3.8 \times 10^{8}$ km. O que acontece com o atraso, e o que isso ensina sobre “a” distância até um planeta?

Parte III — A mesa do longe.

Uma sonda interestelar chegou a um dia-luz inteiro de distância da Terra. Expresse essa distância em quilômetros (em potências de dez; um dia tem $86400$ segundos) e diga o tempo de uma conversa de ida e volta com a sonda.
Os sonhadores da mesa do fundo rascunham uma “mensagem para a estrela mais próxima”. Rascunhe em vez disso o cronograma: enviada hoje à noite, qual é o momento mais cedo em que uma resposta chega?
O painel do arquivo mostra a imagem profunda desta noite da galáxia vizinha, a $2.5$ milhões de anos-luz. Acrescente o tempo verbal honesto da legenda — que era do passado da Terra esse instantâneo transmite de volta, se houvesse alguém lá para olhar?
Registro de fim de plantão: escreva as três regras da mesa — uma sobre o instantâneo (que nada é), uma sobre joysticks e atraso, uma sobre telescópios e o arquivo.

Solução

Solução de Problema 61.1.

1. Cerca de $1.3\,\mathrm{s}$ depois de você falar; a resposta mais cedo volta depois da ida e volta, uns $2.6\,\mathrm{s}$ . 2. $36000 \div 300000 = 0.12\,\mathrm{s}$ de ida; uma pergunta com resposta sobe e desce duas vezes — quase meio segundo de hesitação, bem no limiar do ouvido. 3. “A erupção irrompeu oito minutos e vinte antes de as nossas telas acenderem — nós a assistimos como ela era.” 4. A ligação com a Lua: $1.3\,\mathrm{s}$ contra $0.12\,\mathrm{s}$ — mais ou menos dez vezes a folga. 5. $1.8 \times 10^{8} \div (3 \times 10^{5}) = 600$ s: dez minutos de ida. 6. A ida e volta são vinte minutos: a imagem do resgate tem dez minutos de idade e o comando do resgate chega dez minutos atrasado — a fenda vence por dezenove minutos. O jipe precisa levar os próprios reflexos: parada automática diante de perigo, a bordo. 7. O último pedaço precisa chegar às 21:00; ele sai da Terra às $21{:}00 - 10$ min $= 20{:}50$ ; a transmissão começou três minutos antes: comece às 20:47. 8. O atraso dobra para uns vinte e um minutos de ida: os planetas não têm “a” distância — os dois mundos orbitam, e toda conversa é agendada contra um alvo em movimento. 9. $300000 \times 86400 \approx 2.6 \times 10^{10}$ km — vinte e seis mil milhões de quilômetros; uma pergunta com resposta leva dois dias inteiros. 10. A luz chega à estrela em cerca de quatro anos; a resposta mais cedo pousa uns oito anos depois da transmissão desta noite. 11. “Esta luz partiu da galáxia dela dois milhões e meio de anos atrás: o instantâneo transmite a Terra das primeiras ferramentas de pedra — a página mais profunda do arquivo acessível a olho nu.” 12. Por exemplo: “Nada é instantâneo — todo sinal, o nosso incluído, viaja no máximo a $c$ . Os joysticks perdem para o atraso além da Lua: as máquinas distantes precisam pensar por si mesmas. E todo telescópio é um leitor de arquivo — quanto mais longe o objeto, mais velha a notícia, sem edição mais fresca possível.”

Termos definidos neste capítulo

Ano-luz

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