Física do ensino fundamental · Grades 1–9

63A gravitação

Uma maçã solta o galho e cai. A Lua, acima do mesmo pomar, não cai. Por milhares de anos esses pareceram dois fatos sem relação — até que uma intuição genial os juntou: a Lua está caindo, sem parar, em volta da Terra, segurada exatamente pelo puxão que reclama a maçã. Uma lei só para o pomar e para o céu — a equação mais ousada já escrita até aquele dia, e o seu último ano deste livro se abre com ela.

63.1 A atração universal

Definição 63.1 (Gravitação)

A gravitação é a atração mútua entre todas as massas: toda porção de matéria do universo puxa todas as outras. É a força sem toque que você encontrou como “o puxão da Terra” anos atrás — revelada agora como universal: a Terra puxa a maçã, a maçã puxa a Terra, a Lua puxa os mares, o Sol puxa os planetas, e dois livros numa prateleira se puxam, fraquinho, para sempre.

Proposição 63.2 (A lei da gravitação universal)

Dois corpos de massas $m_A$ e $m_B$ (em $\mathrm{kg}$ ), com os centros a uma distância $d$ um do outro (em $\mathrm{m}$ ), se atraem com forças iguais e opostas ao longo da linha que os une, de intensidade

F = G \times \frac{m_A \times m_B}{d^2},

com $F$ em newtons ( $\mathrm{N}$ ) — a unidade de força cuja história completa começa no próximo capítulo — e $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , a constante gravitacional, o mesmo número em todo lugar do universo. A força cresce com cada massa e morre com o quadrado da distância: ao dobro da distância, quatro vezes mais fraca; a dez vezes a distância, cem vezes mais fraca.

A gravitação universal: duas massas, dois puxões iguais e opostos ao longo da linha que as une — a maçã puxa a Terra exatamente com a mesma força com que a Terra puxa a maçã.

Exemplo 63.3 (Lendo a lei)

Cada traço da fórmula fala. As massas se multiplicam: dobre qualquer uma das parceiras, e a força dobra. A distância aparece ao quadrado no denominador: a gravidade é um sussurro que desvanece depressa — a diluição pelo inverso do quadrado que você vai reencontrar com a luz e com o som, pois ela é a geometria de qualquer coisa que se espalhe pelo espaço. E o tamanho minúsculo de $G$ — onze zeros depois do ponto decimal — proclama a gravitação a fracota entre as forças da natureza: ela governa o cosmos apenas porque as massas lá em cima são monstruosas e nada a cancela.

Exemplo 63.4 (Por que as prateleiras não se atracam)

Dois livros de $1\,\mathrm{kg}$ , com os centros a $0.1\,\mathrm{m}$ um do outro:

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{1 \times 1}{0.1^2} = 6.67 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}

— uns poucos bilionésimos de newton, o peso do cisco de poeira de um cisco de poeira. Agora a Terra e a maçã: troque um livro por $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ de planeta e a distância pelo raio de $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ dele, e a mesma lei entrega o puxão familiar de uma tarde de pomar. Universal quer dizer universal — só as massas decidem quem percebe.

63.2 A Lua que cai

Exemplo 63.5 (O canhão na montanha)

A experiência de pensamento da própria intuição. Dispare uma bala de canhão na horizontal do alto de um pico: ela faz um arco e cai. Dispare mais rápido: ela cai mais longe — com o puxão da Terra entortando o caminho dela o tempo todo. Agora imagine dispará-la tão rápido que, enquanto ela cai, a superfície redonda da Terra se encurve para longe embaixo dela no mesmo ritmo: a bala cai sem parar e nunca pousa — ela dá voltas no planeta. Essa queda perpétua tem um nome familiar: uma órbita. Nada segura um corpo em órbita “lá em cima”; ele está caindo com estilo.

O canhão da montanha: cada tiro mais rápido cai mais longe em volta da Terra que se encurva — até que a queda e a curvatura se igualam, e a bala entra em órbita.

Proposição 63.6 (O que a gravitação comanda)

Uma lei, o céu inteiro: a Lua é a bala de canhão eterna da Terra, caindo em volta de nós uma vez por mês; os planetas caem do mesmo jeito em volta do Sol — os mais próximos mais depressa, como o inverso do quadrado exige; os cometas mergulham vindos do escuro em longos laços de queda; e todo satélite artificial — olhos do tempo, balizas de navegação, a estação tripulada dando uma volta a cada noventa minutos — viaja na matemática do canhão da montanha. Nada nos céus está suspenso. Tudo cai, e erra o alvo.

Exemplo 63.7 (As marés: a Lua puxa de volta)

A mutualidade tem uma assinatura escrita na água. O puxão da Lua sobre a Terra é mais forte no oceano voltado para ela e mais fraco no lado oposto — e assim os mares se amontoam suavemente na direção da Lua e no sentido contrário ao mesmo tempo, e, conforme a Terra gira embaixo dos montes de água, as costas veem a água subir e descer: as marés, duas vezes na maioria dos dias. O Sol põe a mão dele — alinhada na lua nova e na lua cheia, dando as grandes marés de sizígia. Os pescadores leem a Lua há milênios; a lei a lê de volta.

Observação 63.8 (O que a lei não diz)

A grande equação calcula a força com uma exatidão primorosa e não explica coisa nenhuma sobre como dois corpos se agarram através do nada vazio — o próprio autor dela chamou a pergunta de aberta e a deixou, magnificamente, sem resposta. Respostas mais profundas existem — os anos de universidade deste curso chegam à moderna, na qual a massa encurva a própria geometria que habita —, mas todo físico honesto desde então repetiu a lição que você pode levar desta página: uma lei pode ser perfeitamente útil, perfeitamente testada e mesmo assim guardar o segredo final dela.

A queda livre, vivida todo dia: a estação espacial e tudo o que há dentro dela caem juntos em volta da Terra, e por isso nada faz pressão sobre nada — câmeras, canetas, maçãs e água flutuam.

63.3 Exercícios

Exercício 63.1 ★

Enuncie a lei da gravitação universal — fórmula, unidades e as duas características (massas, distância) em palavras.

Solução

Solução de Exercício 63.1.

$F = G \, m_A m_B / d^2$ , com as massas em quilogramas, $d$ em metros entre os centros, $F$ em newtons e $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ . Em palavras: o puxão cresce com cada massa e morre com o quadrado da distância — e age igualmente sobre os dois parceiros, em sentidos opostos.

Exercício 63.2 ★

A Terra puxa a maçã com $1\,\mathrm{N}$ . Com que força a maçã puxa a Terra? Por que só um dos dois acelera visivelmente?

Solução

Solução de Exercício 63.2.

Com exatamente $1\,\mathrm{N}$ — os puxões da lei vêm sempre em pares iguais e opostos. A maçã acelera visivelmente porque a massa dela é minúscula; o mesmo $1\,\mathrm{N}$ aplicado a $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ de planeta o mexe de um jeito imensurável de tão pequeno.

Exercício 63.3 ★

Dois satélites orbitam a distâncias $d$ e $2d$ do centro da Terra. Compare as forças gravitacionais sobre eles (massas iguais). E a $10 d$ ?

Solução

Solução de Exercício 63.3.

A $2d$ : um quarto da força que há em $d$ — o quadrado de dois. A $10d$ : um centésimo.

Exercício 63.4 ★

Calcule a atração entre dois dançarinos de $80\,\mathrm{kg}$ a $0.5\,\mathrm{m}$ um do outro — e comente sobre romance contra gravitação.

Solução

Solução de Exercício 63.4.

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 80 \times 80 \div 0.25 = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ — menos de dois milionésimos de newton: seja lá o que aproxime dois dançarinos, não é a gravitação.

Exercício 63.5 ★

Na história do canhão da montanha, que dois ritmos se igualam exatamente para o tiro em órbita? O que é uma órbita, em três palavras?

Solução

Solução de Exercício 63.5.

O ritmo com que a bala cai e o ritmo com que a superfície redonda da Terra se encurva para longe embaixo dela. Uma órbita: cair e errar.

Exercício 63.6 ★

“Os astronautas flutuam porque não existe gravidade lá em cima.” Derrube essa frase com a bala de canhão: o que a estação e a tripulação estão as duas fazendo?

Solução

Solução de Exercício 63.6.

Na altitude da estação, a gravidade mantém quase a força inteira que tem na superfície — é ela que segura a estação no círculo dela. A estação e a tripulação estão as duas caindo, juntas, em volta da Terra: companheiros de queda não fazem pressão em nada, e flutuar é a sensação da queda livre compartilhada.

Exercício 63.7 ★

Por que a gravitação, a fracota da natureza, governa mesmo assim o cosmos? Dois motivos, tirados do capítulo.

Solução

Solução de Exercício 63.7.

Porque os céus lidam com massas monstruosas — planetas e estrelas multiplicam o débil $G$ até forças poderosas — e porque a gravitação nunca é cancelada: ela só atrai, e assim cada massa a mais aprofunda o puxão.

Exercício 63.8 ★

De onde vêm as marés, e por que duas vezes na maioria dos dias? Quando as maiores acontecem?

Solução

Solução de Exercício 63.8.

O puxão da Lua amontoa os mares tanto na direção dela (a água mais próxima, puxada com mais força) como no sentido oposto (a água mais distante, puxada com menos); a Terra girando leva cada costa por baixo dos dois montes todo dia — duas marés. As maiores acontecem na lua nova e na lua cheia, quando a mão do Sol se alinha com a da Lua: as marés de sizígia.

Exercício 63.9 ★★

A Lua ( $7.3 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ ) orbita a $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ da Terra ( $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ). Calcule a atração entre elas, em notação científica do começo ao fim — e admire quantos algarismos a potência de dez da resposta carrega.

Solução

Solução de Exercício 63.9.

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times (7.3 \times 10^{22} \times 5.97 \times 10^{24}) \div (3.8 \times 10^{8})^2 \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ — um $2$ seguido de vinte zeros de newtons segurando a Lua no contrato de aluguel dela.

Exercício 63.10 ★★

Na superfície da Lua, o seu peso encolheu para um sexto (lembre dos astronautas aos pulos). Usando os dois botões da lei — a massa menor da Lua, o raio menor dela — explique como um sexto pode sair de um corpo oitenta vezes mais leve que a Terra.

Solução

Solução de Exercício 63.10.

Dois botões giram um contra o outro: a massa da Lua, umas oitenta vezes menor, corta o puxão em oitenta; mas o raio dela, quase quatro vezes menor, aumenta o puxão na superfície por quatro ao quadrado — umas catorze vezes. Oitenta para baixo, catorze para cima: sobra perto de um sexto.

Exercício 63.11 ★★

Mercúrio dá uma volta no Sol em $88$ dias, Netuno em $165$ anos. Leia esse padrão a partir do inverso do quadrado: o que o desvanecimento da gravidade com a distância faz com a garra do Sol e, portanto, com o ritmo da família de fora?

Solução

Solução de Exercício 63.11.

O inverso do quadrado afina a garra do Sol com a distância, e uma garra mais fraca só consegue segurar uma queda em volta mais lenta: os planetas de fora ficam presos com folga e passeiam, os de dentro são agarrados com força e disparam — a corrida de Mercúrio e a caminhada de 164 anos de Netuno são a mesma lei lida a duas distâncias.

Exercício 63.12 ★★★

Um satélite geoestacionário fica pendurado aparentemente imóvel sobre um ponto do equador — as antenas parabólicas nunca se mexem. Concilie a aparência com a Proposição 63.6: qual precisa ser o período orbital dele, para que lado ele precisa dar voltas e por que “ficar pendurado” aqui quer dizer “cair em passo perfeito com a Terra que gira”?

Solução

Solução de Exercício 63.12.

O período dele precisa ser exatamente um dia, dando voltas para leste — o sentido do próprio giro da Terra. Aí o satélite e a antena giram em passo perfeito: a parabólica “pendurada” está olhando uma bala de canhão que cai em volta do planeta precisamente no ritmo com que o planeta gira embaixo dela — imóvel só aos olhos de quem observa girando junto.

63.4 Problema: A herança da bala de canhão

Problema 63.1

Problema de fim de semana — do pomar à órbita; a maçã, o canhão e a Lua auditados com uma lei só; o painel de lançamento de satélites

Uma noite no plantão de divulgação da agência espacial: uma lei, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , massa da Terra $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , raio da Terra $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ .

Parte I — A auditoria da maçã.

Calcule o puxão da Terra sobre uma maçã de $0.1\,\mathrm{kg}$ na superfície (centros separados por um raio terrestre).
A maçã puxa a Terra de volta com que força? Diga a palavra da lei para essa contabilidade de mão dupla.
Levante a maçã até o dobro do raio da Terra contado a partir do centro. O que acontece com o puxão?
Uma visitante pergunta por que a fórmula usa a distância até o centro da Terra e não até o chão. Ofereça a resposta curta e honesta (o planeta inteiro puxa, e os puxões espalhados dele somam como se viessem do centro — um teorema que o próprio grande autor levou anos para provar).

Parte II — O painel de lançamento.

O satélite de hoje tem $2000\,\mathrm{kg}$ . O peso dele na superfície, pela lei? (Ou pelo atalho que o próximo capítulo batiza: cerca de $9.8\,\mathrm{N}$ por quilograma.)
Na órbita de trabalho dele, a $1.28 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ do centro — dois raios terrestres —, que fração do peso na superfície a gravidade ainda exerce sobre ele?
“Então ainda existe gravidade de verdade lá em cima?” Confirme com o número — e explique o que o satélite está fazendo com esse puxão em vez de cair.
O comentário do lançamento diz que “a velocidade orbital precisa casar com a queda”. Reconte a história do canhão da montanha em duas frases para o folheto dos visitantes.

Parte III — O livro-caixa da Lua.

Com a Lua a $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , a quantos raios terrestres ela viaja? (Uma casa decimal.)
Pelo inverso do quadrado, a gravidade lá desvaneceu para aproximadamente que fração da força na superfície? (Eleve a sua resposta anterior ao quadrado.)
A grande intuição, recontada: a maçã do pomar cai cerca de cinco metros no primeiro segundo dela; a Lua, a cada segundo, “cai” na direção da Terra mal um milímetro — e no entanto nunca chega. Ligue os dois fatos por meio das suas respostas 9 e 10: por que a queda da Lua é milhares de vezes mais suave, e por que ela é infinita?
Encerre a noite de divulgação: uma lei, três artistas — maçã, satélite, Lua. Escreva a frase de encerramento do painel unindo os três.

Solução

Solução de Problema 63.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times (0.1 \times 5.97 \times 10^{24}) \div (6.4 \times 10^{6})^2 \approx 0.97\,\mathrm{N}$ — chame de um newton: o puxão do pomar, calculado a partir da constante do universo. 2. $0.97\,\mathrm{N}$ também — mutualidade: os puxões da lei só vêm em pares iguais e opostos. 3. Dobrar a distância entre os centros divide o puxão por quatro: cerca de $0.24\,\mathrm{N}$ . 4. Cada migalha do planeta puxa a maçã — montanhas próximas, núcleo profundo, antípodas distantes — e a soma de todos esses puxões dá exatamente o mesmo que se a massa inteira estivesse no centro: um teorema, e não uma suposição, e o autor dele adiou a publicação por anos até conseguir prová-lo. 5. Cerca de $2000 \times 9.8 \approx 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}$ — vinte mil newtons (a lei com $d$ igual a um raio terrestre dá o mesmo). 6. A dois raios, o inverso do quadrado deixa um quarto: cerca de $4900\,\mathrm{N}$ para os $19\,600\,\mathrm{N}$ de peso dele na superfície. 7. Sim — um quarto da gravidade cheia não é vazio nenhum sem peso. O satélite gasta esse puxão encurvando o caminho dele: ele cai em volta da Terra, errando o alvo para sempre, exatamente como o canhão da montanha ensinou. 8. “Disparada rápido o bastante, a descida de uma bala de canhão em queda casa com a curva da Terra, e ela dá voltas para sempre — caindo sem pousar. Todo satélite é aquela bala de canhão, lançada de lado depressa o bastante para continuar errando o chão.” 9. $3.8 \times 10^{8} \div 6.4 \times 10^{6} \approx 59.4$ raios terrestres. 10. Cerca de $1 \div 59.4^2 \approx 1/3500$ da força na superfície. 11. Suave porque a gravidade a sessenta raios está diluída por três mil e quinhentas vezes — a descida de cinco metros no primeiro segundo encolhe para cerca de um milímetro. Infinita porque esse milímetro de queda casa exatamente com o milímetro pelo qual a superfície da Terra se encurva para longe embaixo do deslize lateral da Lua: a queda nunca ganha terreno. 12. Por exemplo: “A maçã, o satélite e a Lua obedecem a uma frase só: toda massa cai na direção de todas as outras, por $G m_A m_B / d^2$ — a maçã pousa, o satélite e a Lua continuam errando, e a diferença é apenas a velocidade de lado.”

Termos definidos neste capítulo

Gravitação

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