Física do ensino fundamental · Grades 1–9

46Volume, massa, densidade

No ano passado você desmascarou um ourives fraudulento dividindo gramas por centímetros cúbicos. Neste ano, o seu curso de matemática entregou a você um poder novo: letras que representam números. A densidade é o lugar perfeito para gastá-lo — uma fórmula curtinha que empacota três receitas, um kit de detetive e a regra inteira da flutuação em cinco símbolos.

46.1 A fórmula

Definição 46.1 (Densidade, por fórmula)

A densidade $\rho$ (a letra grega rô) de uma substância é a massa dela por unidade de volume: para uma amostra de massa $m$ e volume $V$ ,

\rho = \frac{m}{V}.

Com $m$ em gramas e $V$ em centímetros cúbicos, $\rho$ sai em gramas por centímetro cúbico ( $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ) — a “massa de um centímetro cúbico” do ano passado, agora de uniforme. A densidade da água: $\rho = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . E, como um litro são $1000$ centímetros cúbicos, o mesmo número serve também como quilogramas por litro: a água tem $1.0\,\mathrm{kg}$ por litro.

Exemplo 46.2 (Lendo as letras)

Uma fórmula é uma frase em taquigrafia. $\rho = m/V$ se lê: “para encontrar a densidade, divida a massa da amostra pelo volume dela”. As letras são lugares vazios — para este seixo, $m$ vira $75\,\mathrm{g}$ e $V$ vira $30\,\mathrm{cm}^{3}$ :

\rho = \frac{m}{V} = \frac{75}{30} = 2.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.

A mesma divisão do ano passado — mas a fórmula guarda a receita para todos os seixos que ainda vierem.

Proposição 46.3 (Três receitas numa fórmula)

Como a densidade amarra a massa e o volume em proporção, uma única fórmula atende a três necessidades:

encontrar uma densidade: $\rho = m/V$ — divida a massa pelo volume;
encontrar uma massa: $m = \rho \times V$ — cada centímetro cúbico carrega $\rho$ gramas, e há $V$ deles;
encontrar um volume: $V = m/\rho$ — reparta a massa em porções de $\rho$ gramas; o número de porções é o número de centímetros cúbicos.

Exemplo 46.4 (As receitas em ação)

Massa a partir do volume: quanto pesam $250\,\mathrm{cm}^{3}$ de ferro ( $\rho = 7.9$ )? $m = 7.9 \times 250 = 1975\,\mathrm{g}$ — quase dois quilogramas no volume de uma caneca de café. Volume a partir da massa: que espaço ocupam $540\,\mathrm{g}$ de carvalho ( $\rho = 0.6$ )? $V = 540 \div 0.6 = 900\,\mathrm{cm}^{3}$ . Parceiro do bom senso: as respostas do ferro devem ser pesadas-e-pequenas, as da madeira leves-e-grandes — a tabela de densidades é a melhor amiga do passo do julgamento.

A tabela de densidades como uma silhueta de cidade: do 0.2 leve como pena da cortiça ao 19.3 monumental do ouro. O 1.0 da água é a fronteira da flutuação. — A tabela de densidades como uma silhueta de cidade: do $0.2$ leve como pena da cortiça ao $19.3$ monumental do ouro. O $1.0$ da água é a fronteira da flutuação.

46.2 Medir densidades

Método 46.5 (Densidade de um líquido)

Os líquidos não ficam sozinhos no prato de uma balança — então empreste o truque da tara:

ponha uma proveta vazia na balança e tare para zero;
despeje um volume conveniente — digamos $V = 80\,\mathrm{cm}^{3}$ do líquido misterioso, lendo o menisco direito;
a balança agora mostra só a massa do líquido: digamos $m = 68\,\mathrm{g}$ ;
divida: $\rho = 68 \div 80 = 0.85\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — mais leve que a água: provavelmente um óleo.

Exemplo 46.6 (Densidade de um sólido, do começo ao fim)

Uma medalha afirma ser de prata ( $\rho = 10.5$ ). Balança: $m = 84\,\mathrm{g}$ . Proveta: a água sobe de $60.0\,\mathrm{cm}^{3}$ para $68.0\,\mathrm{cm}^{3}$ , então $V = 8.0\,\mathrm{cm}^{3}$ . Aí $\rho = 84 \div 8.0 = 10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — a assinatura bate: bem pode ser prata. (Um metal mais barato vestido de banho de prata teria se traído aqui — a não ser que fosse escolhido com astúcia, como o problema de fim de semana vai mostrar.)

Observação 46.7 (Unidades nas fórmulas)

Uma fórmula só é honesta se as unidades dela combinarem. Com $m$ em gramas e $V$ em $\mathrm{cm}^{3}$ , $\rho$ fala em $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ; alimente-a com quilogramas e litros e ela responde em $\mathrm{kg}/\mathrm{L}$ — felizmente, o mesmo número para qualquer substância. Mas misture gramas com litros e a fórmula, sem reclamar, entrega uma bobagem. Regra dos profissionais: antes de calcular, passe as unidades em revista; depois de calcular, escreva-as na resposta.

46.3 Pensar por densidade

Exemplo 46.8 (Ligas e intermediários)

Misture duas substâncias e a densidade da mistura cai entre as assinaturas delas — mais perto do ingrediente mais generoso. O bronze (cobre $9.0$ com um pouco de estanho) assina perto de $8.8$ ; a mistura de ouro com prata da coroa assinou entre $10.5$ e $19.3$ ; a água do mar, sal dissolvido em água, sobe para cerca de $1.03$ . Estar no meio já é uma pista: uma leitura de $12$ numa barra de “ouro puro” é uma confissão de companhia.

Exemplo 46.9 (A densidade decide o mundo da flutuação)

A regra da flutuação, agora de uniforme: um objeto flutua num líquido quando $\rho_{\text{objeto}} < \rho_{\text{líquido}}$ . Carvalho ( $0.6$ ) na água ( $1.0$ ): flutua. Gelo ( $0.9$ ) no óleo ( $0.85$ ): afunda — consulte a tabela, e não os seus instintos. Um nadador ( $\approx 1.0$ ) nos famosos lagos ultrassalgados ( $\approx 1.2$ ): flutua como uma rolha, com o jornal na mão. Uma desigualdade, o porto inteiro.

Observação 46.10 (Olhe a multidão, não o pacote)

$\rho = m/V$ descreve substâncias; os navios e os coletes salva-vidas inflados são pacotes — substância mais ar preso — e é o $m/V$ geral do pacote que enfrenta a regra da flutuação. A fórmula dá conta dos dois, desde que você a alimente com o $m$ e o $V$ certos: a densidade do próprio aço para a substância, a massa do casco inteiro sobre o volume do casco inteiro para o pacote. Quase todos os “paradoxos” da flutuação são só as duas contabilidades confundidas.

46.4 Exercícios

Exercício 46.1 ★

Escreva a fórmula da densidade, diga o nome de cada letra e dê a unidade que acompanha gramas e centímetros cúbicos.

Solução

Solução de Exercício 46.1.

$\rho = m/V$ : $\rho$ é a densidade, $m$ é a massa da amostra e $V$ é o volume dela. Com gramas e centímetros cúbicos, $\rho$ sai em $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ .

Exercício 46.2 ★

Calcule a densidade: $m = 270\,\mathrm{g}$ , $V = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ . Qual metal do gráfico é esse?

Solução

Solução de Exercício 46.2.

$\rho = 270 \div 100 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : alumínio.

Exercício 46.3 ★

Use a receita certa: a massa de $40\,\mathrm{cm}^{3}$ de cobre ( $\rho = 9.0$ ); o volume de $1930\,\mathrm{g}$ de ouro ( $\rho = 19.3$ ).

Solução

Solução de Exercício 46.3.

$m = 9.0 \times 40 = 360\,\mathrm{g}$ de cobre. $V = 1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ de ouro — o próprio número do caso da coroa.

Exercício 46.4 ★

No Método 46.5, por que a proveta é tarada primeiro? Quais duas leituras alimentam então a fórmula?

Solução

Solução de Exercício 46.4.

A tara remove a massa da própria proveta, para que a balança informe só o líquido — é a regra do zero honesto. A fórmula é então alimentada com a massa $m$ da balança e a leitura $V$ do menisco.

Exercício 46.5 ★

Um líquido: $V = 50\,\mathrm{cm}^{3}$ , $m = 70\,\mathrm{g}$ . Qual é a densidade dele? Um cubo de gelo ( $0.9$ ) flutua ou afunda nele?

Solução

Solução de Exercício 46.5.

$\rho = 70 \div 50 = 1.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — parecido com mel. O gelo, com $0.9$ , é bem menos denso: ele flutua bem alto nesse líquido.

Exercício 46.6 ★

Por que a densidade da água é o mesmo número em $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ e em quilogramas por litro? Qual aviso a Observação 46.7 prega sobre misturar gramas com litros?

Solução

Solução de Exercício 46.6.

As duas unidades mudam de escala juntas: um litro são $1000$ $\mathrm{cm}^{3}$ e um quilograma são $1000$ gramas, então os dois milhares se cancelam — um número serve para os dois casos. Misturar gramas com litros pula esse cancelamento e entrega um número mil vezes errado.

Exercício 46.7 ★

Uma pulseira marcada como “ouro puro” tem $m = 58\,\mathrm{g}$ e $V = 5.0\,\mathrm{cm}^{3}$ . Calcule a densidade dela e dê o seu veredito, com a tabela como testemunha.

Solução

Solução de Exercício 46.7.

$\rho = 58 \div 5.0 = 11.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — perto do $11.3$ do chumbo, nem perto do $19.3$ do ouro. Veredito: não é ouro puro; provavelmente um impostor de coração de chumbo em roupa de ouro.

Exercício 46.8 ★★

Um metro cúbico é um cubo de $100 \times 100 \times 100$ centímetros. Quantos $\mathrm{cm}^{3}$ são — e qual é a massa de um metro cúbico de água, em quilogramas? (A resposta explica por que camas d’água preocupam os síndicos.)

Solução

Solução de Exercício 46.8.

$100 \times 100 \times 100 = 1000000$ $\mathrm{cm}^{3}$ — um milhão. A $1\,\mathrm{g}$ cada, isso dá $1\,000\,000\,\mathrm{g}$ $=$ $1000\,\mathrm{kg}$ : uma tonelada inteira por metro cúbico de água — e é por isso que uma cama d’água grande é móvel de térreo.

Exercício 46.9 ★★

Um troféu “de prata”: $m = 420\,\mathrm{g}$ , subida da água de $200\,\mathrm{cm}^{3}$ para $260\,\mathrm{cm}^{3}$ . Qual é a densidade? Entre quais duas substâncias da tabela ela cai — e o que esse estar-no-meio sussurra?

Solução

Solução de Exercício 46.9.

$V = 260 - 200 = 60\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $\rho = 420 \div 60 = 7.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — entre o alumínio ( $2.7$ ) e o ferro ( $7.9$ ), logo abaixo do ferro. O estar-no-meio sussurra: uma mistura ou um impostor banhado, com certeza não a prata de $10.5$ .

Exercício 46.10 ★★

Uma garrafa vazia pesa $380\,\mathrm{g}$ ; cheia até a marca de $75\,\mathrm{cL}$ com um líquido misterioso, ela pesa $1010\,\mathrm{g}$ . Encontre a densidade do líquido em $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ e proponha a identidade dele.

Solução

Solução de Exercício 46.10.

Massa do líquido: $1010 - 380 = 630\,\mathrm{g}$ ; volume: $75\,\mathrm{cL} = 750\,\mathrm{cm}^{3}$ ; então $\rho = 630 \div 750 = 0.84\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — um óleo.

Exercício 46.11 ★★

Uma boia oca de alumínio tem volume total de $4000\,\mathrm{cm}^{3}$ e massa total de $1200\,\mathrm{g}$ . Calcule a densidade do pacote e preveja se ela flutua ou afunda — e depois explique, com a Observação 46.10, por que o $2.7$ do próprio alumínio era o número errado a consultar.

Solução

Solução de Exercício 46.11.

Densidade do pacote: $1200 \div 4000 = 0.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — bem abaixo do $1.0$ da água: a boia flutua bem alto. O $2.7$ do alumínio descreve só a casca de metal; o pacote é quase todo ar fechado dentro, e é o pacote — massa total sobre volume total — que enfrenta a regra da flutuação.

Exercício 46.12 ★★★

Projete um protocolo completo para decidir se uma corrente é de cobre puro: liste cada medida, a receita aplicada, o número esperado para a pureza e dois motivos honestos pelos quais o seu veredito ainda poderia estar errado (pense em elos ocos e em misturas astutas cuja densidade caia perto da do cobre). Qual teste extra apertaria o caso?

Solução

Solução de Exercício 46.12.

Protocolo: pese a corrente ( $m$ ); meça o volume dela pelo método da subida, toda submersa, sem bolhas ( $V$ ); calcule $\rho = m/V$ ; a pureza espera cerca de $9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . Dúvidas honestas: elos ocos prendem ar e incham o $V$ , forjando uma densidade baixa; e uma mistura astuta (ou um núcleo banhado) pode cair perto de $9.0$ sem conter nem um pouco de cobre puro. Teste que aperta o caso: repetir a medida de volume depois de inundar os elos (sacudindo as bolhas para fora) e acrescentar uma assinatura independente — por exemplo o ímã (um núcleo de aço se trai na hora) ou, numa oficina, um comportamento de fusão medido.

46.5 Problema: O detetive do ferro-velho

Problema 46.1

Problema de fim de semana — uma tarde com a detetive de metais do ferro-velho; quatro lotes misteriosos, um lingote impostor; os limites do teste de densidade

O ferro-velho compra metal pelo que ele é, e não pelo que parece, e a detetive do pátio trabalha com uma balança, um recipiente graduado grande e a tabela de densidades. Você é o aprendiz. (Trecho da tabela: alumínio $2.7$ ; ferro $7.9$ ; cobre $9.0$ ; chumbo $11.3$ ; ouro $19.3$ ; tungstênio $19.3$ .)

Parte I — Quatro lotes.

Lote A, um lingote cinzento: $m = 5400\,\mathrm{g}$ , deslocamento $V = 2000\,\mathrm{cm}^{3}$ . Densidade e identidade?
Lote B, um rolo de fio: $m = 1800\,\mathrm{g}$ , $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ . Densidade e identidade?
Lote C, uma chapa opaca e pesada: $m = 4520\,\mathrm{g}$ , $V = 400\,\mathrm{cm}^{3}$ . Densidade e identidade — e por que o lote C precisa ser manuseado com luvas e respeito?
Lote D, um saco de sucata clara e misturada: $m = 8100\,\mathrm{g}$ , $V = 1500\,\mathrm{cm}^{3}$ . Mostre que a densidade do lote D cai entre dois metais da tabela e diga o que o saco provavelmente contém.

Parte II — Preços e previsões. O pátio paga por massa, mas planeja o transporte por volume.

Um comprador quer $540\,\mathrm{g}$ de alumínio cortados do lote A. Que volume de lingote é isso?
O rolo de cobre do lote B vai ser derretido em cubos de $25\,\mathrm{cm}^{3}$ cada um. Qual é a massa de um cubo, e quantos cubos cheios o rolo rende?
Um engradado pode carregar no máximo $20\,\mathrm{kg}$ . Quantos desses cubos de cobre ele pode legalmente levar?
O poço do caminhão comporta mais $3000\,\mathrm{cm}^{3}$ de sucata de ferro. Que massa extra, em quilogramas, a detetive está autorizada a carregar?

Parte III — O impostor. Um vendedor chega com um lingote reluzente de “ouro”: $m = 3860\,\mathrm{g}$ , deslocamento $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Calcule a densidade do lingote. Ela bate com a assinatura do ouro?
A detetive, impassível, consulta a última linha da tabela e suspira. Qual metal mais barato tem exatamente a densidade do ouro — e o que isso ensina sobre os limites do teste de densidade?
Qual dos dois instrumentos do pátio foi derrotado aqui: a balança, o recipiente, os dois ou nenhum? Diga com precisão o que o teste de densidade de fato estabeleceu com honestidade sobre o lingote.
Sugira mais um teste físico, de anos anteriores deste curso, capaz de distinguir o ouro do sósia dele sem danificar o lingote. (Os pontos de fusão dos dois diferem enormemente — o ouro perto de $1064\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , o sósia bem acima de qualquer forno daqui — mas ferro-velho nenhum derrete um possível tesouro: encontre uma evidência mais gentil, talvez o veredito do ímã sobre núcleos de ferro, ou o som de uma barra golpeada, e defenda a sua escolha com honestidade.)

Parte IV — O ofício da detetive.

Escreva o credo de três linhas da detetive: o que a densidade consegue provar, o que ela só consegue sugerir e o que ela nunca consegue fazer sozinha.

Solução

Solução de Problema 46.1.

1. $5400 \div 2000 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : alumínio. 2. $1800 \div 200 = 9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : cobre. 3. $4520 \div 400 = 11.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : chumbo — denso, mole e venenoso se manuseado sem cuidado: luvas. 4. $8100 \div 1500 = 5.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — entre o alumínio ( $2.7$ ) e o ferro ( $7.9$ ): um saco misturado dos dois, mais ou menos meio a meio em volume. 5. $V = 540 \div 2.7 = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ . 6. Um cubo: $m = 9.0 \times 25 = 225\,\mathrm{g}$ . Os $1800\,\mathrm{g}$ do rolo rendem $1800 \div 225 = 8$ cubos cheios. 7. $20\,\mathrm{kg} = 20\,000\,\mathrm{g}$ ; $20000 \div 225 = 88.9$ : $88$ cubos. 8. $m = 7.9 \times 3000 = 23\,700\,\mathrm{g} \approx 23.7\,\mathrm{kg}$ . 9. $3860 \div 200 = 19.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — um casamento perfeito com o ouro. 10. O tungstênio — densidade $19.3$ , a mesma assinatura até a casa decimal. O teste de densidade identifica candidatos; ele não consegue distinguir substâncias que por acaso dividem uma assinatura. 11. Nenhum dos instrumentos falhou: a massa e o volume estão certos, e a divisão também. O teste estabeleceu com honestidade que o lingote é ou ouro ou algo com a densidade exata do ouro — ele estreitou os suspeitos a dois. 12. Escolhas defensáveis: o som e o tato de uma barra golpeada (o tungstênio é muito mais duro — uma lima ou um teste de dureza num canto escondido separa os dois depressa), ou uma medida aceita de como a barra conduz calor ou corrente (o ouro está entre os melhores condutores, e o tungstênio fica bem atrás) — mais gentis que qualquer forno e decisivas junto com a densidade. 13. Por exemplo: “A densidade consegue provar que uma substância não é o que diz ser. Ela só consegue sugerir o que a substância é — as assinaturas estreitam os suspeitos. E sozinha ela nunca consegue condenar: identidade quer duas testemunhas independentes.”

Termos definidos neste capítulo

Densidade, por fórmula

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