Física do ensino fundamental · Grades 1–9

44Densidade: por que as coisas flutuam

No seu primeiro ano, uma moedinha afundou enquanto um tronco enorme flutuava, e prometemos que o “porquê” era um tesouro deste curso. Você o conquistou. A chave foi forjada ao longo de dois capítulos — a massa para o material, o volume para o espaço — e hoje as duas giram juntas na fechadura.

44.1 A massa de um centímetro cúbico

Exemplo 44.1 (Enfim uma comparação justa)

Comparar um tronco inteiro com uma moeda inteira nunca foi justo: tamanhos diferentes, formatos diferentes. A disputa justa toma volumes iguais: um centímetro cúbico de cada concorrente. Um $\mathrm{cm}^{3}$ de água tem massa de $1\,\mathrm{g}$ . Um $\mathrm{cm}^{3}$ de carvalho: cerca de $0.6\,\mathrm{g}$ . De pedra: cerca de $2.5\,\mathrm{g}$ . De ferro: $7.9\,\mathrm{g}$ . Espaços iguais, materiais loucamente desiguais — esse é o número que o jogo da flutuação estava esperando.

Definição 44.2 (Densidade)

A densidade de uma substância é a massa de um centímetro cúbico dela, em gramas. A densidade da água é de $1\,\mathrm{g}$ por $\mathrm{cm}^{3}$ ; a do carvalho, cerca de $0.6$ ; a do ferro, $7.9$ . Para encontrar uma densidade, não é preciso nenhum instrumento novo: meça a massa e o volume de uma amostra e depois divida — reparta os gramas igualmente entre os centímetros cúbicos, e a resposta é a cota de cada centímetro.

A disputa justa: o mesmo espaço para todos, e cada substância mostra a massa que é a assinatura dela.

Proposição 44.3 (A densidade é uma assinatura)

A densidade de uma substância pura é a mesma para qualquer pedaço dela, grande ou pequeno: uma lasca de carvalho e uma viga inteira carregam ambas cerca de $0.6\,\mathrm{g}$ em cada centímetro cúbico. Por isso a densidade identifica substâncias, como fazem os pontos de fusão: meça a massa e o volume de um objeto misterioso, divida e compare com a tabela — muitas vezes a substância confessa na hora.

Método 44.4 (Medir uma densidade)

Para um seixo — ou uma coroa:

meça a massa dele com a balança: digamos $75\,\mathrm{g}$ ;
meça o volume dele pela subida da água: digamos $30\,\mathrm{cm}^{3}$ ;
divida os gramas pelos centímetros cúbicos: $75 \div 30 = 2.5$ — cada centímetro cúbico carrega $2.5\,\mathrm{g}$ ;
consulte a tabela: densidade $2.5$ — o nosso seixo é pedra comum.

44.2 A regra da flutuação

Proposição 44.5 (Por que as coisas flutuam)

Um objeto flutua na água se a densidade dele for menor que a da água — menor que $1\,\mathrm{g}$ por centímetro cúbico — e afunda se a densidade dele for maior. A água, por assim dizer, compara o intruso consigo mesma, espaço por espaço: quem é mais leve que eu por espaço passeia em cima; quem é mais pesado por espaço desce. A mesma regra governa qualquer líquido, cada um com a própria densidade como juiz.

O gelo é só um pouquinho menos denso que a água — então um iceberg flutua fundo, escondendo a maior parte do volume dele abaixo da linha da água.

Exemplo 44.6 (Seis anos de enigmas, resolvidos)

O tronco ( $0.6$ ): flutua, por maior que seja — cada centímetro cúbico dele oferece menos que a água. A moeda (bronze, perto de $9$ ): afunda, por menor que seja. O patinho de plástico, a rolha, o lápis: abaixo de $1$ , todos flutuadores. O gelo, com $0.9$ — o sólido inchado da própria água — flutua no próprio líquido por um fio, e é por isso que os lagos usam tampa e os icebergs navegam. E o barquinho de massinha? Modelado como tigela, o pacote barco mais ar guarda muito ar por espaço: a densidade do pacote cai abaixo de $1$ , e lá no porto o mesmo truque lança navios de aço de dez mil toneladas.

A letra da densidade: os líquidos se empilham com o mais denso embaixo, e o gelo com 0.9 passeia com só um décimo de si mesmo acima da água. — A letra da densidade: os líquidos se empilham com o mais denso embaixo, e o gelo com $0.9$ passeia com só um décimo de si mesmo acima da água.

Exemplo 44.7 (A torre de líquidos)

Despeje mel, depois água tingida com tinta e depois óleo, com cuidado, pela parede de um copo alto: três camadas, o mel ( $1.4$ ) no fundo, o óleo ( $0.9$ ) em cima, recusando-se a misturar as suas patentes. Solte convidados lá dentro: uma uva ( $1.05$ ) afunda pelo óleo, afunda pela água e descansa sobre o mel — mais densa que dois andares, mais leve que o terceiro. A torre é a regra da flutuação encenada como teatro.

Observação 44.8 (Lendo o iceberg)

O $0.9$ do gelo contra o $1.0$ da água faz mais do que fazer o iceberg flutuar: ele define a linha da água. Nove décimos do volume de um iceberg viajam abaixo da superfície — a famosa massa escondida que afundou navios orgulhosos. Explicar exatamente por que a fração submersa acompanha a razão das densidades é uma bela lei do próprio cientista da banheira antiga, provada com honestidade no volume do ensino médio; a tabela de densidades já sussurra a resposta.

44.3 A coroa, enfim

Exemplo 44.9 (Arquimedes encerra o caso)

Agora termine a história começada dois capítulos atrás. A massa da coroa: fácil, a balança dá. O volume dela: impossível para uma obra-prima cheia de saliências — até a lição da banheira dar o método da subida. Massa dividida pelo volume: a densidade da coroa — e densidade é assinatura. O ouro puro assina $19.3$ ; a prata assina $10.5$ ; uma mistura secreta assina algo entre os dois. A lenda conta que a coroa do ourives confessou uma densidade bem abaixo da do ouro, e a fraude foi exposta sem um arranhão na coroa. O problema de fim de semana entrega a você os números dele.

44.4 Exercícios

Exercício 44.1 ★

O que é a densidade de uma substância? Dê a da água e enuncie a regra da flutuação.

Solução

Solução de Exercício 44.1.

A massa de um centímetro cúbico da substância, em gramas; a da água é $1\,\mathrm{g}$ por $\mathrm{cm}^{3}$ . A regra: menos denso que a água flutua, mais denso afunda.

Exercício 44.2 ★

Preveja se flutua ou afunda na água: carvalho ( $0.6$ ); pedra ( $2.5$ ); cortiça ( $0.2$ ); ferro ( $7.9$ ); gelo ( $0.9$ ).

Solução

Solução de Exercício 44.2.

O carvalho flutua; a pedra afunda; a cortiça flutua; o ferro afunda; o gelo flutua — por um fio.

Exercício 44.3 ★

Um bloco tem massa de $120\,\mathrm{g}$ e volume de $80\,\mathrm{cm}^{3}$ . Encontre a densidade dele. Flutua ou afunda?

Solução

Solução de Exercício 44.3.

$120 \div 80 = 1.5$ : densidade $1.5$ — mais denso que a água, ele afunda.

Exercício 44.4 ★

Um pedaço misterioso: massa $158\,\mathrm{g}$ , subida na proveta $20\,\mathrm{cm}^{3}$ . Qual é a densidade dele — e, pelos números do capítulo, qual é a substância provável?

Solução

Solução de Exercício 44.4.

$158 \div 20 = 7.9$ : a assinatura do ferro.

Exercício 44.5 ★

Por que a densidade de uma lasca de carvalho é a mesma de uma viga inteira de carvalho? Para que serve essa propriedade?

Solução

Solução de Exercício 44.5.

A densidade pertence à substância, e não ao pedaço: cada centímetro cúbico de carvalho carrega a mesma cota de gramas, seja lasca ou viga. É isso que faz da densidade uma carteira de identidade para substâncias desconhecidas.

Exercício 44.6 ★

Na torre de líquidos, por que o mel fica no fundo e o óleo em cima? Onde uma uva de densidade $1.05$ vai parar?

Solução

Solução de Exercício 44.6.

Os líquidos se empilham por densidade, com o mais denso no fundo: mel $1.4$ abaixo da água $1.0$ , abaixo do óleo $0.9$ . A uva ( $1.05$ ) afunda pelo óleo e pela água e descansa no piso de mel — mais densa que os dois andares de cima, menos densa que o mel.

Exercício 44.7 ★

O gelo flutua na água — por que isso é estranho para um sólido, e qual proposição antiga sobre a água congelando explica o $0.9$ ?

Solução

Solução de Exercício 44.7.

A maioria dos sólidos é mais densa que o próprio líquido e afunda nele. O gelo flutua porque a água incha ao congelar — o mesmo material num décimo a mais de espaço dá densidade $0.9 < 1$ .

Exercício 44.8 ★

O tronco enorme e a moedinha do seu primeiro ano: dê a resposta final e completa, com os números do capítulo.

Solução

Solução de Exercício 44.8.

A madeira assina cerca de $0.6$ : cada centímetro cúbico do tronco oferece menos que $1\,\mathrm{g}$ de água, então o tronco flutua por maior que seja. O bronze assina perto de $9$ : cada centímetro cúbico da moeda oferece mais que a água, então ela afunda por menor que seja. O tamanho nunca importou; a massa por espaço sempre importou.

Exercício 44.9 ★★

Um litro de certo líquido tem massa de $800\,\mathrm{g}$ . Qual é a densidade dele em gramas por centímetro cúbico? Um cubo de gelo ( $0.9$ ) vai flutuar ou afundar nele?

Solução

Solução de Exercício 44.9.

$1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm}^{3}$ , então $800 \div 1000 = 0.8$ grama por centímetro cúbico. O gelo, com $0.9$ , é mais denso que esse líquido: o cubo de gelo afunda nele.

Exercício 44.10 ★★

O aço assina $7.9$ e, mesmo assim, os navios de aço flutuam. Resolva o paradoxo com a ideia do pacote do Exemplo 44.6 — o que pertence ao pacote do navio além do aço, e qual precisa ser a densidade geral dele? Quando um navio com um rombo deixa de satisfazer a regra?

Solução

Solução de Exercício 44.10.

O pacote que flutua é o casco inteiro: a casca de aço mais o enorme volume de ar que ela encerra. Na média de todo esse espaço, a densidade do pacote cai abaixo de $1$ , e a regra manda flutuar. Um rombo deixa a água substituir o ar: a densidade do pacote sobe na direção da do próprio aço, passa de $1$ — e a regra, impassível, manda afundar.

Exercício 44.11 ★★

A água do mar é um pouco mais densa que a água doce — cerca de $1.03$ . Explique por que os nadadores flutuam nitidamente melhor no mar e preveja o que acontece com a linha d’água de um navio quando ele sai do mar salgado e entra num rio de água doce.

Solução

Solução de Exercício 44.11.

O juiz mudou: contra o $1.03$ da água do mar, o corpo de um nadador, perto de $1$ , fica confortavelmente do lado de quem flutua, e por isso o mar carrega você mais alto. Entrando na água doce ( $1.0$ ), o navio perde essa margem e afunda mais: a linha d’água sobe pelo casco.

Exercício 44.12 ★★★

Uma esfera oca de metal flutua exatamente com metade submersa. Deduza a densidade do pacote esfera inteira (casca de metal mais o ar de dentro). Depois argumente para que lado ela se move se a água for vazando para dentro, e em que momento ela começa a afundar — a regra e o pacote, trabalhando juntos.

Solução

Solução de Exercício 44.12.

Com metade submersa, a esfera fica exatamente tão fundo na água quanto deve ficar um pacote com metade da densidade da água: a casca mais o ar dão na média cerca de $0.5$ grama por centímetro cúbico — o ar escondido fazendo quase todo o trabalho de aliviar. Conforme a água vaza para dentro, ela substitui o ar, a densidade média do pacote sobe e a esfera afunda cada vez mais; no instante em que a média passa do $1.0$ da água, a regra da flutuação troca de lado e a esfera vai ao fundo.

44.5 Problema: A coroa do rei

Problema 44.1

Problema de fim de semana — o caso da coroa do rei, reaberto com os seus instrumentos; o julgamento do ourives, resolvido por uma divisão

Reabra o caso de fraude mais famoso da Antiguidade com números modernos. Assinaturas: ouro $19.3$ , prata $10.5$ (gramas por centímetro cúbico).

Parte I — As provas. O rei entregou ao ourives $1930\,\mathrm{g}$ de ouro puro. A coroa pronta, na balança: $1930\,\mathrm{g}$ exatamente.

A massa bate perfeitamente. Por que isso sozinho não prova nada sobre a fraude? (O que o ourives poderia ter feito e ainda assim bater a massa?)
Que volume $1930\,\mathrm{g}$ de ouro puro deveriam ocupar? (Reparta os gramas: quantos centímetros cúbicos a $19.3\,\mathrm{g}$ cada um?)
Arquimedes mergulha a coroa num recipiente cheio até a borda e recolhe o transbordamento: $130\,\mathrm{cm}^{3}$ . Qual é o volume verdadeiro da coroa?
Compare os dois volumes. O que essa comparação já grita?

Parte II — A assinatura.

Calcule a densidade da coroa a partir da massa e do volume medido dela (uma casa decimal basta).
Ponha as três assinaturas lado a lado: ouro, coroa, prata. Onde a coroa cai?
Explique ao rei, em uma frase, por que a coroa não pode ser de ouro puro.
O ourives protesta: “Talvez a balança tenha errado!” Conceda a ele um erro generoso de $30\,\mathrm{g}$ para mais ou para menos. Alguma massa entre $1900\,\mathrm{g}$ e $1960\,\mathrm{g}$ salva uma coroa de ouro puro de volume $130\,\mathrm{cm}^{3}$ ? (Confira a faixa de densidades.)

Parte III — Quanto foi roubado? Suponha que o ourives tenha guardado um pouco de ouro e o substituído, grama por grama, por prata.

Por que trocar ouro por prata, grama por grama, mantém a massa certa mas incha o volume?
Teste um palpite: uma coroa de $965\,\mathrm{g}$ de ouro $+$ $965\,\mathrm{g}$ de prata. Qual é o volume da parte de ouro? E o da parte de prata? (Uma casa decimal.)
Some o volume da coroa palpitada e julgue o palpite diante dos $130\,\mathrm{cm}^{3}$ medidos: prata demais ou prata de menos?
O tribunal precisa de uma frase de veredito: diga o que ficou provado sem dúvida (ouro puro ou não), qual foi o método e por que a coroa nunca precisou ser danificada — o verdadeiro triunfo de Arquimedes.

Solução

Solução de Problema 44.1.

1. Nada: trocar ouro por uma massa igual de prata deixa a balança feliz — a massa sozinha não enxerga a substituição. 2. $1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ . 3. $130\,\mathrm{cm}^{3}$ — o transbordamento é o volume da coroa, por deslocamento. 4. A coroa ocupa $30\,\mathrm{cm}^{3}$ a mais de espaço do que ouro puro da massa dela deveria ocupar: alguma coisa mais volumosa que o ouro se esconde lá dentro. 5. $1930 \div 130 \approx 14.8$ . 6. Ouro $19.3$ — coroa $14.8$ — prata $10.5$ : a coroa cai entre as duas assinaturas. 7. “Majestade, cada centímetro cúbico de ouro puro carrega $19.3\,\mathrm{g}$ ; a sua coroa carrega apenas uns $15$ — de ouro puro ela não é.” 8. A faixa dá densidades de $1900 \div 130 \approx 14.6$ até $1960 \div 130 \approx 15.1$ — nem perto de $19.3$ : nenhum erro plausível de balança salva o ourives. 9. A prata é menos densa: cada grama de ouro roubado foi devolvido como um grama de prata que precisa de mais espaço — a troca grama por grama preserva a massa e infla o volume. 10. Parte de ouro: $965 \div 19.3 = 50.0\,\mathrm{cm}^{3}$ ; parte de prata: $965 \div 10.5 \approx 91.9\,\mathrm{cm}^{3}$ . 11. Total $\approx 142\,\mathrm{cm}^{3}$ — mais que os $130$ medidos: o palpite meio a meio usou prata demais; o roubo verdadeiro foi menor (o volume medido fica entre $100$ e $142$ ). 12. “Provado: a coroa não é de ouro puro. Método: a massa dela repartida pelo volume medido com água dá uma densidade muito abaixo da assinatura imutável do ouro. E a coroa nunca precisou nem de um arranhão: a água leu o segredo dela por fora — esse é o triunfo.”

Termos definidos neste capítulo

Densidade

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