Física do ensino fundamental · Grades 1–9

52Gráficos do movimento e velocidade média

Dois anos atrás, velocidade queria dizer “quilômetros percorridos em uma hora”, contados nos dedos. Agora, armada de letras e gráficos, a ideia ganha dentes: uma fórmula que calcula em três direções, um retrato que mostra a viagem inteira num relance — e uma armadilha famosa sobre médias, que pega adultos todos os dias.

52.1 A fórmula

Definição 52.1 (Velocidade, por fórmula)

Para uma viagem (ou um trecho dela) percorrida a um ritmo constante, a velocidade $v$ é a distância $d$ dividida pelo tempo de percurso $t$ :

v = \frac{d}{t}.

Com $d$ em quilômetros e $t$ em horas, $v$ fala em quilômetros por hora ( $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ); com metros e segundos, em metros por segundo ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) — a predileta dos cientistas. Como a da densidade, esta fórmula calcula nas três direções: $v = d/t$ , $d = v \times t$ , $t = d/v$ .

Exemplo 52.2 (As receitas em ação)

Um trem percorre $240\,\mathrm{km}$ em $2$ horas: $v = 240 \div 2 = 120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Que distância nesse ritmo em $5$ horas? $d = 120 \times 5 = 600\,\mathrm{km}$ . Quanto tempo para $300\,\mathrm{km}$ ? $t = 300 \div 120 = 2.5$ horas — duas horas e trinta minutos (cuidado com o rebelde: $0.5$ hora são $30$ minutos, nunca “ $50$ ”).

Exemplo 52.3 (Duas unidades, uma velocidade)

Um velocista corre $100\,\mathrm{m}$ em $10\,\mathrm{s}$ : $v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Quanto é isso nas unidades de estrada? Em uma hora — $3600$ segundos — o velocista percorreria $10 \times 3600 = 36\,000\,\mathrm{m} = 36\,\mathrm{km}$ : então $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . A taxa geral de câmbio: cada $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vale $3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — porque uma hora guarda $3600$ segundos e um quilômetro guarda apenas $1000$ metros. Os $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ do som, em unidades de estrada: mais de $1200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

52.2 A viagem como retrato

Proposição 52.4 (As leis do gráfico)

Coloque num gráfico a distância percorrida contra o tempo, e o movimento escreve a autobiografia dele:

o movimento uniforme desenha uma reta — distâncias iguais em tempos iguais, passo após passo;
quanto mais inclinada a reta, mais rápido o movimento: a inclinação é a velocidade tornada visível;
um trecho horizontal é uma parada: o tempo passa, a distância fica onde está.

As curvas contam mudanças: curvando para cima, acelerando; ficando menos inclinada, freando.

A manhã de um entregador contada por uma linha: pedalada firme, uma parada de quinze minutos e depois um ritmo mais suave. O gráfico é a autobiografia da viagem.

Método 52.5 (Ler um gráfico distância–tempo)

confira primeiro os eixos e as unidades deles — minutos ou horas, metros ou quilômetros;
divida a linha nos pontos em que ela dobra, em trechos; classifique cada um: reto e inclinado, reto e suave, horizontal;
para qualquer trecho reto, leia a subida e o avanço dele — distância ganha, tempo gasto — e divida: é a velocidade do trecho;
para a história inteira, leia a distância total no instante final — e lembre que os trechos horizontais fazem parte do tempo total.

Exemplo 52.6 (O entregador, decifrado)

Aplique o método à figura. Primeiro trecho: $10\,\mathrm{km}$ em $20$ minutos — um terço de hora — então $v = 10 \div \tfrac{1}{3} = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Segundo: horizontal do minuto $20$ ao $35$ — uma parada de entrega. Terceiro: $10\,\mathrm{km}$ em $25$ minutos, um pouquinho abaixo de $24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Total: $20\,\mathrm{km}$ em uma hora — o que nos entrega de bandeja a próxima ideia do capítulo.

52.3 Velocidade média — e a armadilha famosa dela

Definição 52.7 (Velocidade média)

A velocidade média de uma viagem inteira é a distância total dividida pelo tempo total — paradas incluídas:

v_{\text{média}} = \frac{d_{\text{total}}}{t_{\text{total}}}.

Ela é o único ritmo constante que teria percorrido a mesma estrada no mesmo tempo total — os $20\,\mathrm{km}$ do entregador em uma hora: média de $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , embora as rodas nunca tenham girado nem uma vez nessa velocidade.

Proposição 52.8 (A armadilha)

A velocidade média de uma viagem não é, em geral, o ponto médio entre as velocidades dela. Os trechos lentos comem mais tempo que os rápidos, e por isso pesam mais na média. Só a receita completa — distância total sobre tempo total — é confiável; tirar a média dos próprios números de velocidade é o passo errado mais sedutor do capítulo.

Exemplo 52.9 (A armadilha, acionada)

Um ciclista pedala $60\,\mathrm{km}$ na ida a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e os mesmos $60\,\mathrm{km}$ na volta a $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . “Média: $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ”? Confira com honestidade. Ida: $t = 60 \div 30 = 2$ horas. Volta: $t = 60 \div 20 = 3$ horas. Viagem inteira: $120\,\mathrm{km}$ em $5$ horas — $v_{\text{média}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . A metade lenta reivindicou três das cinco horas e puxou a média para baixo do ponto médio. Quanto mais rápido você vai numa metade, menos tempo essa metade sequer existe.

Observação 52.10 (O que o velocímetro sabe)

A velocidade média descreve uma viagem inteira; o ponteiro do velocímetro responde a outra pergunta — quão rápido agora. No gráfico, o “agora” mora na inclinação da linha num único ponto — fácil de ver num trecho reto, sutil onde a linha faz curva. Tornar precisa a “inclinação num ponto” é uma das maiores invenções da matemática, e ela espera por você no fim do ensino médio. Até lá: os trechos retos ganham números, as curvas ganham histórias.

52.4 Exercícios

Exercício 52.1 ★

Escreva a fórmula da velocidade e as duas unidades do dia a dia dela. Qual receita encontra uma distância? E um tempo?

Solução

Solução de Exercício 52.1.

$v = d/t$ ; unidades $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Distância: $d = v \times t$ ; tempo: $t = d/v$ .

Exercício 52.2 ★

Uma balsa percorre $45\,\mathrm{km}$ em $3$ horas; uma lebre corre $100\,\mathrm{m}$ em $8\,\mathrm{s}$ . Calcule as duas velocidades, cada uma na unidade natural dela.

Solução

Solução de Exercício 52.2.

Balsa: $45 \div 3 = 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Lebre: $100 \div 8 = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercício 52.3 ★

Converta, com a taxa de câmbio: $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ para $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Solução

Solução de Exercício 52.3.

$5 \times 3.6 = 18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $72 \div 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercício 52.4 ★

Enuncie as três leis do gráfico. O que uma curva que vai ficando menos inclinada aos poucos conta?

Solução

Solução de Exercício 52.4.

Reta: movimento uniforme; mais inclinada: mais rápido; horizontal: parado. Uma curva que vai ficando menos inclinada aos poucos conta que o movimento está freando.

Exercício 52.5 ★

No gráfico do entregador: entre quais minutos o ritmo é o mais suave (mas não nulo)? Como dá para saber sem calcular?

Solução

Solução de Exercício 52.5.

Do minuto $35$ ao $60$ — o terceiro trecho: é o menos inclinado entre os trechos que sobem, o que se lê direto da inclinação mais suave dele.

Exercício 52.6 ★

O gráfico de um caminhante mostra uma reta passando pelos pontos ( $30$ min, $2\,\mathrm{km}$ ) e ( $60$ min, $4\,\mathrm{km}$ ). Uniforme ou variado? Qual a velocidade em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Solução

Solução de Exercício 52.6.

Uniforme — uma única reta. Ela ganha $2\,\mathrm{km}$ a cada meia hora: $v = 4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exercício 52.7 ★

Defina velocidade média. Uma trilha: $12\,\mathrm{km}$ em $4$ horas, incluindo um piquenique de uma hora. Qual é a velocidade média — e a velocidade média enquanto se caminhava?

Solução

Solução de Exercício 52.7.

Distância total sobre tempo total, paradas incluídas. Trilha inteira: $12 \div 4 = 3\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Só caminhando: $12 \div 3 = 4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exercício 52.8 ★★

Por que um trecho lento é “mais pesado” numa média do que um trecho rápido de mesmo comprimento? Responda com tempo, e não com fórmulas.

Solução

Solução de Exercício 52.8.

Em distâncias iguais, o trecho lento simplesmente dura mais — uma parte maior do relógio da viagem é vivida no ritmo lento, e por isso o ritmo lento fala com uma parcela maior da voz da viagem.

Exercício 52.9 ★★

Reencene a armadilha: $30\,\mathrm{km}$ de ida a $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e $30\,\mathrm{km}$ de volta a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Ponto médio previsto, média honesta — e qual metade da viagem foi dona da maior parte do relógio?

Solução

Solução de Exercício 52.9.

Palpite do ponto médio: $22.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Honestamente: ida $30 \div 15 = 2$ horas, volta $30 \div 30 = 1$ hora; total $60\,\mathrm{km}$ em $3$ horas: $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . A metade lenta foi dona de duas das três horas.

Exercício 52.10 ★★

Esboce (ou descreva com precisão) o gráfico desta viagem: $40\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ uniformes por meia hora; parado por um quarto de hora; $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ uniformes por um quarto de hora. Depois calcule a velocidade média da viagem.

Solução

Solução de Exercício 52.10.

Gráfico: reta até ( $30\,\mathrm{min}$ , $20\,\mathrm{km}$ ); horizontal até $45$ min; reta e mais inclinada até ( $60\,\mathrm{min}$ , $35\,\mathrm{km}$ ). Média: $35\,\mathrm{km}$ em uma hora — $35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exercício 52.11 ★★

A contagem da tempestade, aprimorada: o trovão chega $6\,\mathrm{s}$ depois do clarão. Com o som a $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , use $d = v \times t$ para a distância da tempestade — e confira a velha regra do “dividir por três para dar quilômetros” contra a sua fórmula.

Solução

Solução de Exercício 52.11.

$d = 340 \times 6 = 2040\,\mathrm{m}$ — cerca de $2\,\mathrm{km}$ . A velha regra: $6 \div 3 = 2$ quilômetros — concordando, porque $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ querem dizer quase exatamente um quilômetro a cada três segundos.

Exercício 52.12 ★★★

Um clássico que vale cada minuto: um motorista percorre a primeira metade da distância de uma viagem a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e quer uma média geral de $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Mostre — com a receita da distância total sobre o tempo total, numa viagem de $60\,\mathrm{km}$ — que a segunda metade teria de ser percorrida em tempo zero: o desejo é impossível, e não apenas difícil.

Solução

Solução de Exercício 52.12.

Primeira metade: $30\,\mathrm{km}$ a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ custam exatamente $1$ hora. Uma média geral de $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ em $60\,\mathrm{km}$ permite um total de exatamente $1$ hora — já gasta até o último segundo. Os $30\,\mathrm{km}$ restantes teriam de levar $0$ hora: velocidade nenhuma, por mais heroica, alcança a média; o orçamento acabou.

52.5 Problema: A sexta-feira do entregador

Problema 52.1

Problema de fim de semana — uma entregadora de bicicleta, uma sexta-feira na cidade; o gráfico do despachante, a armadilha na planilha de bônus

O despachante registra a sexta-feira da entregadora Lena num gráfico distância–tempo e calcula o pagamento dela a partir dele. Você audita a planilha.

Parte I — A manhã, pelo gráfico. O gráfico mostra: uma subida reta de ( $0$ min, $0\,\mathrm{km}$ ) até ( $30$ min, $9\,\mathrm{km}$ ); horizontal até $45$ min; reta dali até ( $75$ min, $15\,\mathrm{km}$ ); horizontal até $90$ min.

Conte a história da manhã em palavras: trechos, paradas e o que as paradas presumivelmente foram.
Qual a velocidade no primeiro trecho, em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Qual a velocidade no segundo trecho de pedalada?
Qual a velocidade média de Lena ao longo dos $90$ minutos inteiros da manhã, paradas incluídas?

Parte II — A tarde, pela fórmula.

Perna um da tarde: $12\,\mathrm{km}$ a $24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ constantes. Quanto tempo levou, em minutos?
Perna dois: uma entrega na parte alta da cidade, $20\,\mathrm{minutos}$ a $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Quantos quilômetros?
Perna três: a pedalada longa até o depósito, $10\,\mathrm{km}$ , feita em $25$ minutos. Qual a velocidade constante em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Total da tarde: some as distâncias e os tempos (só as pernas, sem pausas): que velocidade média as rodas mantiveram enquanto rodavam?

Parte III — A armadilha da planilha de bônus. A regra do bônus: “velocidade média acima de $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ numa volta completa ganha o bônus de pedalada rápida”.

A sexta-feira inteira de Lena: $37\,\mathrm{km}$ em $3$ horas (todas as paradas incluídas). Ela ganha o bônus?
O colega dela, Max, reivindica o bônus: “Pedalei metade da minha volta a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e metade a $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — isso dá média de $22.5$ !” O despachante confere: as duas metades tinham $12\,\mathrm{km}$ . Calcule a média verdadeira de Max e decida sobre o bônus dele.
Explique a Max, na linguagem do tempo, onde os $22.5$ dele deram errado.
Lena propõe uma regra de bônus mais justa para entregadores — uma que não castigue as paradas de entrega. Sugira uma (o gráfico sabe como) e diga qual velocidade ela mede.

Parte IV — A lição do despachante.

Revisão da sexta-feira: escreva as três frases do despachante — o que um trecho reto, um trecho horizontal e um trecho mais inclinado significam no gráfico — e o único aviso sobre tirar média de velocidades.

Solução

Solução de Problema 52.1.

1. Uma pedalada firme ( $30$ min), uma parada de $15$ minutos (entrega), uma pedalada mais suave ( $30$ min) e uma segunda parada de $15$ minutos — duas corridas, duas entregas. 2. $9\,\mathrm{km}$ em meia hora: $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 3. $15 - 9 = 6\,\mathrm{km}$ em meia hora: $12\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 4. $15\,\mathrm{km}$ em $1.5$ hora: $10\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 5. $t = 12 \div 24 = 0.5$ hora: $30$ minutos. 6. $20$ minutos são um terço de hora: $d = 18 \times \tfrac{1}{3} = 6\,\mathrm{km}$ . 7. $25$ minutos são $\tfrac{25}{60}$ de hora; $v = 10 \div \tfrac{25}{60} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 8. Distâncias: $12 + 6 + 10 = 28\,\mathrm{km}$ ; tempos: $30 + 20 + 25 = 75$ minutos $= 1.25$ hora; média rodando: $28 \div 1.25 = 22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 9. $37 \div 3 \approx 12.3\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — bem abaixo de $20$ : sem bônus (as paradas dela são trabalho honesto, mas a regra as conta). 10. Max: metade rápida $12 \div 30 = 0.4$ h; metade lenta $12 \div 15 = 0.8$ h; total $24\,\mathrm{km}$ em $1.2$ h: exatamente $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — e não acima de $20$ : sem bônus. 11. O $22.5$ dele tirou a média dos dois números, como se cada ritmo fosse dono de metade do relógio. Na verdade a metade lenta foi dona de $0.8$ das $1.2$ horas dele — dois terços da voz da viagem — e puxou a média verdadeira para $20$ . 12. Por exemplo: pagar o bônus pela velocidade média rodando — a distância total dividida só pelo tempo de pedalada, com os trechos horizontais do gráfico excluídos. Ela mede o ritmo que as rodas realmente mantêm, premiando pedalar rápido em vez de pular entregas. 13. “Um trecho reto é um ritmo constante; um trecho horizontal é uma parada com o relógio correndo; um trecho mais inclinado é um ritmo mais rápido — a inclinação é a velocidade. E nunca tire a média de números de velocidade: tire a média da viagem — distância total sobre tempo total — ou as horas lentas farão da planilha uma piada.”

Termos definidos neste capítulo

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