Física do ensino fundamental · Grades 1–9

58A resistência e a lei de Ohm

Uma pergunta persegue a história elétrica inteira: alguns componentes deixam a marcha disparar, outros a estrangulam até virar um fiapo — as lâmpadas dividem tensões de forma desigual, os fios finos esquentam, os grossos ficam frios. A própria oposição agora ganha um nome, uma unidade e — coroando quatro anos de circuitos — a lei mais útil deste livro: três letras que amarram o empurrão, a marcha e a oposição numa linha só de álgebra.

58.1 A resistência

Definição 58.1 (Resistência)

A resistência $R$ de um componente mede com que força ele se opõe à corrente elétrica: a uma dada tensão, quanto maior a resistência, mais fraca a marcha que ele deixa passar. A unidade dela é o ohm (símbolo $\Omega$ , o ômega grego maiúsculo), em homenagem ao físico e professor de escola que achou a lei deste capítulo com fios caseiros e uma paciência heroica.

Definição 58.2 (Resistor)

Um resistor é um componente fabricado para ter uma resistência escolhida e estável — um obstáculo calibrado, vendido desde frações de ohm até milhões deles. Os circuitos usam resistores para fixar correntes de propósito: domando a marcha que queimaria uma peça delicada, diminuindo o brilho, dividindo, ajustando. As faixas coloridas deles soletram o valor de cada um; o símbolo deles é um retângulo simples.

Exemplo 58.3 (Resistências em volta de você)

Um metro de fio grosso de cobre: centésimos de ohm — a estrada plana. Uma lâmpada de lanterna acesa: alguns ohms. Um motorzinho elétrico: uns poucos ohms. A resistência da chaleira: cerca de $25\,\Omega$ . Pele humana seca, de mão a mão: dezenas de milhares de ohms — molhada, catastroficamente menos: a velha regra das mãos úmidas é uma afirmação sobre resistência. Um interruptor aberto: resistência além de qualquer medida — o obstáculo infinito.

58.2 A experiência

Método 58.4 (Medir o retrato $U$ – $I$ de um componente)

Um resistor, uma fonte ajustável (ou uma fila crescente de pilhas), os dois aparelhos:

ligue a fonte, o amperímetro e o resistor em série; prenda o voltímetro atravessado no resistor;
ajuste a menor tensão; anote o par ( $U$ , $I$ );
aumente a tensão passo a passo — uma pilha, duas, três — anotando um par a cada vez;
marque os pontos, $I$ na horizontal, $U$ na vertical, e olhe.

Exemplo 58.5 (A confissão de um resistor)

A tabela de uma sessão, para um resistor:

$U$ ( $\mathrm{V}$ )	$1.5$	$3.0$	$4.5$	$6.0$
$I$ ( $\mathrm{A}$ )	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.40$

Dobre o empurrão, dobra a marcha; triplique, triplica: $U$ e $I$ são proporcionais, e toda razão $U/I$ devolve o mesmo número: $15$ . Essa razão constante não é acaso — é a resistência do resistor, $R = 15\,\Omega$ , se mostrando em cada linha.

Proposição 58.6 (A lei de Ohm)

Para um resistor a temperatura estável, a tensão atravessada nele e a corrente que passa por ele são proporcionais, e a constante de proporcionalidade é a resistência dele:

U = R \times I ,

com $U$ em volts, $I$ em ampères e $R$ em ohms. Rearranjada a gosto: $I = U/R$ (a corrente que um empurrão impele através de um obstáculo) e $R = U/I$ (o obstáculo, desmascarado por um par honesto de leituras).

O retrato U–I do resistor: pontos medidos sobre uma reta que passa pela origem — a proporcionalidade desenhada. Quanto mais inclinada a reta, maior a resistência. — O retrato $U$ – $I$ do resistor: pontos medidos sobre uma reta que passa pela origem — a proporcionalidade desenhada. Quanto mais inclinada a reta, maior a resistência.

Exemplo 58.7 (A lei calcula tudo)

Uma vez conhecido $R$ , a lei responde em todas as direções. A resistência da chaleira, $25\,\Omega$ nos $230\,\mathrm{V}$ da tomada: $I = U/R = 230 \div 25 = 9.2\,\mathrm{A}$ — o aparelho de dez ampères explicado. Um resistor precisa limitar a corrente de uma lâmpada delicada a $0.02\,\mathrm{A}$ a partir de $4.5\,\mathrm{V}$ : $R = U/I = 4.5 \div 0.02 = 225\,\Omega$ — escolha o próximo valor padrão. Por $60\,\Omega$ passam $0.05\,\mathrm{A}$ : a tensão atravessada nele é $U = 60 \times 0.05 = 3\,\mathrm{V}$ . Uma lei, três receitas, a oficina inteira.

Observação 58.8 (A muleta do triângulo)

Alguns estudantes rabiscam $U$ em cima de $R$ e $I$ num triangulozinho, tapando a letra procurada para ler a receita. Inofensivo como muleta — mas a sua álgebra agora rearranja $U = R I$ honestamente numa linha, e o jeito honesto viaja para toda fórmula que você vier a encontrar, com triângulo ou sem. Apoie-se na muleta se precisar neste ano; planeje andar.

58.3 O que a resistência explica

Exemplo 58.9 (Velhos mistérios numa nota fiscal só)

A divisão desigual da tensão do capítulo das leis: lâmpadas em série repartem um mesmo $I$ , então, por $U = R I$ , o maior $R$ fica com o maior $U$ — a queda maior de quem trabalha mais duro, agora calculável. O ramo estrangulado do capítulo do paralelo: o fio longo e fino acrescentou resistência, e $I = U/R$ encolheu a parcela desse ramo. O curto-circuito: um desvio de $R$ quase zero, e então $I = U/R$ explode — o estouro da boiada sempre foi uma divisão por quase zero. Quatro anos de sabedoria qualitativa sobre circuitos, na nota fiscal de uma lei só.

Exemplo 58.10 (Fios, por metro)

A resistência de um fio cresce com o comprimento dele e encolhe com a espessura — um fio longo e fino é uma estradinha estreita de montanha, um curto e grosso é uma autoestrada. Daí os cabos gordos do eletricista para os aparelhos famintos, a liga resistiva de propósito longa e fina da resistência de aquecimento — e o motivo de a mesma lei que acende uma lâmpada aquecer uma torradeira: a resistência é onde a marcha gasta o empurrão dela, e empurrão gasto, como o capítulo da energia vai confirmar no ano que vem, vira calor.

Observação 58.11 (Onde termina a jurisdição da lei)

A lei de Ohm é uma lei dos resistores, não um direito universal. Meça o retrato de uma lâmpada de filamento e os pontos se afastam da reta: o filamento esquenta conforme a corrente cresce, e metal quente resiste mais — $R$ se recusa a ficar parado. Diodos, motores e pele viva também entortam os retratos deles, cada um do seu jeito. A reta pela origem é a assinatura do resistor, não a da matéria — sempre peça o retrato de um componente antes de confiar a lei a ele.

58.4 Exercícios

Exercício 58.1 ★

O que a resistência mede? Dê a unidade e o símbolo dela, e escreva a lei de Ohm com os três rearranjos.

Solução

Solução de Exercício 58.1.

Com que força um componente se opõe à corrente; unidade, o ohm; símbolo, $\Omega$ . $U = R I$ ; $I = U/R$ ; $R = U/I$ .

Exercício 58.2 ★

Complete cada par para um resistor de $30\,\Omega$ : $U = 6\,\mathrm{V}$ , $I = {?}$ ; $I = 0.5\,\mathrm{A}$ , $U = {?}$ .

Solução

Solução de Exercício 58.2.

$I = 6 \div 30 = 0.2\,\mathrm{A}$ ; $U = 30 \times 0.5 = 15\,\mathrm{V}$ .

Exercício 58.3 ★

Um componente mostra $U = 4.5\,\mathrm{V}$ com $I = 0.09\,\mathrm{A}$ . A resistência dele?

Solução

Solução de Exercício 58.3.

$R = 4.5 \div 0.09 = 50\,\Omega$ .

Exercício 58.4 ★

Na experiência do retrato, que forma os pontos de um resistor de verdade desenham, e o que uma reta mais inclinada quer dizer?

Solução

Solução de Exercício 58.4.

Uma reta que passa pela origem — a proporcionalidade. Uma reta mais inclinada quer dizer mais volts necessários por ampère: resistência maior.

Exercício 58.5 ★

A partir da tabela do capítulo, confira $R$ pela segunda e pela quarta coluna. Por que achar o mesmo número nas duas vezes é justamente a questão toda?

Solução

Solução de Exercício 58.5.

$3.0 \div 0.20 = 15$ ; $6.0 \div 0.40 = 15$ . A igualdade da razão de uma coluna para a outra é a lei: um único $R$ constante servindo a cada leitura é o que faz de “a resistência” uma propriedade do componente.

Exercício 58.6 ★

A resistência de uma chaleira é de $25\,\Omega$ ; a de uma segunda chaleira, $35\,\Omega$ . Na mesma tomada, qual delas puxa a corrente mais forte — e quanto cada uma puxa (uma casa decimal)?

Solução

Solução de Exercício 58.6.

A resistência menor bebe mais: $230 \div 25 = 9.2\,\mathrm{A}$ contra $230 \div 35 \approx 6.6\,\mathrm{A}$ .

Exercício 58.7 ★

Explique com $U = R I$ por que, de duas lâmpadas em série que repartem uma corrente, a de maior resistência fica com a maior tensão.

Solução

Solução de Exercício 58.7.

Lâmpadas em série repartem um mesmo $I$ ; a tensão de cada lâmpada é $U = R I$ com o mesmo $I$ — então o maior $R$ multiplica até o maior $U$ : quem se opõe mais fica com a parcela maior.

Exercício 58.8 ★

Traduza para a linguagem da resistência: o estouro da boiada do curto-circuito; o bloqueio total do interruptor aberto.

Solução

Solução de Exercício 58.8.

Curto-circuito: $R$ perto de zero, e então $I = U/R$ explode — o estouro da boiada sempre foi uma divisão por quase nada. Interruptor aberto: $R$ além de qualquer medida, e então $I = U/R$ desaba para zero — o bloqueio total.

Exercício 58.9 ★★

Uma lampadinha indicadora delicada tolera $20\,\mathrm{mA}$ . Que resistor em série a protege numa bateria de $9\,\mathrm{V}$ , se a própria lâmpada fica com uns $2\,\mathrm{V}$ da parcela? (A parcela do resistor primeiro, depois $R$ .)

Solução

Solução de Exercício 58.9.

O resistor precisa ficar com $9 - 2 = 7\,\mathrm{V}$ a $0.02\,\mathrm{A}$ : $R = 7 \div 0.02 = 350\,\Omega$ .

Exercício 58.10 ★★

O retrato de uma lâmpada de filamento, medido: ( $1\,\mathrm{V}$ , $0.25\,\mathrm{A}$ ), ( $4\,\mathrm{V}$ , $0.5\,\mathrm{A}$ ). Mostre que nenhum $R$ único serve para os dois pontos, e conte a história física por trás da entortada.

Solução

Solução de Exercício 58.10.

Primeiro ponto: $R = 1 \div 0.25 = 4\,\Omega$ ; segundo: $4 \div 0.5 = 8\,\Omega$ — valor único nenhum serve. A história: a corrente crescente aquece o filamento, e metal quente resiste mais; o retrato entorta porque o componente muda enquanto trabalha.

Exercício 58.11 ★★

Dois resistores em série, $10\,\Omega$ e $20\,\Omega$ , em $6\,\mathrm{V}$ . Usando as leis da série mais a lei de Ohm em cada um: ache a corrente da volta e a tensão de cada resistor. (Dica: uma corrente $I$ satisfaz $6 = 10 I + 20 I$ .)

Solução

Solução de Exercício 58.11.

Uma volta, um $I$ : as duas quedas somam o empurrão da bateria, $6 = 10 I + 20 I = 30 I$ , então $I = 0.2\,\mathrm{A}$ . Daí $U_{10} = 10 \times 0.2 = 2\,\mathrm{V}$ e $U_{20} = 20 \times 0.2 = 4\,\mathrm{V}$ — somando $6\,\mathrm{V}$ , como a lei da volta exige.

Exercício 58.12 ★★★

Os mesmos dois resistores, agora em paralelo em $6\,\mathrm{V}$ . Ache a corrente de cada ramo, o total da bateria e então — o fecho elegante — a resistência única $R$ que puxaria esse mesmo total de $6\,\mathrm{V}$ . Compare-a com os dois resistores e explique, na linguagem das estradas, por que a dupla resiste menos do que qualquer um dos membros sozinho.

Solução

Solução de Exercício 58.12.

Cada ramo se estende sobre $6\,\mathrm{V}$ : $I_{10} = 6 \div 10 = 0.6\,\mathrm{A}$ , $I_{20} = 6 \div 20 = 0.3\,\mathrm{A}$ ; total $0.9\,\mathrm{A}$ . A substituta: $R = 6 \div 0.9 \approx 6.7\,\Omega$ — menos do que qualquer um dos membros. Na linguagem das estradas: duas estradas entre as mesmas cidades carregam mais tráfego do que qualquer uma sozinha; toda estrada paralela a mais facilita a passagem, então a oposição da dupla cai abaixo da do membro mais fraco.

58.5 Problema: A bancada do controle de qualidade

Problema 58.1

Problema de fim de semana — dia de inspeção na fábrica de resistores; retratos, tolerâncias e um componente que não é resistor nenhum

A bancada de qualidade da fábrica testa a produção do dia — e um impostor. Os aparelhos ficam com você.

Parte I — Calibrando a bancada.

Esboce (ou descreva) o circuito de teste: fonte, amperímetro, o componente sob teste, voltímetro — quem fica em série, quem fica atravessado?
A amostra um, em $4.5\,\mathrm{V}$ , deixa passar $0.15\,\mathrm{A}$ . A resistência dela?
A etiqueta afirma $33\,\Omega$ , com tolerância de cinco por cento. Calcule a faixa aceitável e dê o veredito sobre a amostra um. (Cinco por cento de $33$ primeiro.)
Amostra dois, etiquetada $150\,\Omega$ : preveja a corrente dela em $4.5\,\mathrm{V}$ , para a bancada saber o que esperar (uma casa decimal, em $\mathrm{mA}$ ).

Parte II — Retratos completos.

A tabela da amostra três: $(1.5, 0.05)$ , $(3.0, 0.10)$ , $(4.5, 0.15)$ , $(6.0, 0.20)$ — volts, ampères. Ajuste $R$ , citando a característica dos números que permite um valor único.
A tabela da amostra quatro: $(1.5, 0.30)$ , $(3.0, 0.45)$ , $(4.5, 0.54)$ , $(6.0, 0.60)$ . Mostre o impostor: nenhum $R$ único, e o sentido da deriva.
A amostra quatro é, na verdade, uma lampadinha de filamento da linha de produção vizinha. Conte a história da entortada dela — e por que o teste da reta da bancada é justamente um detector de resistores.
O regulamento da bancada diz: “todo retrato precisa ser tirado a temperatura estável”. Que cláusula da lei de Ohm a regra está protegendo?

Parte III — Departamento de aplicações.

Um pedido pede um resistor que limite a corrente a $30\,\mathrm{mA}$ numa fonte de $12\,\mathrm{V}$ (a parcela da própria carga é desprezível). Calcule o valor a cotar.
Um cliente reclama que a resistência de aquecimento de $25\,\Omega$ dele “só” puxa $9.2\,\mathrm{A}$ enquanto o fusível permite $10$ . Calcule que tensão de alimentação a reclamação dele implica, e tranquilize-o com a aritmética.
O laboratório de protótipos pede o fio de ligação de cobre mais grosso e mais curto da fábrica, “com o mais perto de zero ohm possível”. Para que papel de circuito esse fio nasceu — e perto de que vilão do dia a dia a resistência quase nula dele o coloca, se for mal usado?
Encerre o registro da inspeção: três frases — a lei, o retrato dela e a única condição sob a qual um componente pode assiná-la.

Solução

Solução de Problema 58.1.

1. Fonte, amperímetro e componente numa volta em série — o pedágio dentro da estrada; o voltímetro atravessado no componente — o topógrafo de lado. 2. $R = 4.5 \div 0.15 = 30\,\Omega$ . 3. Cinco por cento de $33$ dão cerca de $1.65$ : aceitável de $31.35$ a $34.65\,\Omega$ . Os $30\,\Omega$ da amostra um caem fora: rejeitada. 4. $I = 4.5 \div 150 = 0.03\,\mathrm{A} = 30.0\,\mathrm{mA}$ . 5. Toda coluna devolve $R = U/I = 30\,\Omega$ ( $1.5 \div 0.05$ , $3.0 \div 0.10$ , …): razão constante, retrato em reta — um valor serve para tudo: $30\,\Omega$ . 6. As razões dão $5$ , $6.7$ , $8.3$ , $10\,\Omega$ : subindo a cada passo — resistência crescendo conforme a corrente cresce; nenhum $R$ único existe. 7. Conforme a corrente cresce, o filamento esquenta em direção ao brilho, e metal quente resiste mais — o retrato entorta para cima. O teste da reta da bancada admite portanto exatamente os componentes cujo $R$ fica parado: ele é, por construção, um detector de resistores. 8. A cláusula da temperatura estável: a lei de Ohm promete proporcionalidade a temperatura estável — esquente um componente no meio do retrato e até um resistor honesto deriva. 9. $R = 12 \div 0.03 = 400\,\Omega$ . 10. $U = R I = 25 \times 9.2 = 230\,\mathrm{V}$ — exatamente a tomada: a resistência puxa precisamente o que a lei de Ohm lhe destina, e a margem do fusível funciona como foi projetada. Nada é “só”; tudo é aritmética. 11. O fio nasceu para ser um fio de ligação — a estrada plana, que não gasta empurrão. Mal usado, atravessado numa fonte, os ohms quase nulos dele fazem o curto-circuito perfeito: o vilão sempre foi apenas um fio muito bom no lugar errado. 12. Por exemplo: “A lei: $U = R I$ , empurrão igual a oposição vezes marcha. O retrato dela: uma reta pela origem, mais inclinada para quem se opõe mais. E só um componente a temperatura estável pode assiná-la — o calor reescreve a resistência, e retratos tirados com febre não provam nada.”

Termos definidos neste capítulo

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