الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

15الجمع والطرح

الجمع ضمٌّ، والطرح أخذٌ أو بحث عمّا ينقص. يدرّب هذا الفصل على طريقتَي العمود — بما فيهما من احتفاظ واستلاف مشهورين — وعلى الحيل الذهنية التي تغني عن الأعمدة في كثير من الأحيان.

15.1 الجمع بالأعمدة

طريقة 15.1 (الجمع في أعمدة)

اُكتب العددين أحدهما تحت الآخر، الآحاد تحت الآحاد، والعشرات تحت العشرات (والمحاذاة من اليمين)؛
اِجمع الآحاد؛ فإن تجاوز المجموع $9$ ، اُكتب رقم آحاده واحتفظ بالعشرة للعمود التالي (رقم $1$ صغير)؛
وواصل مع العشرات، ثم المئات، …، مضيفًا المحتفظ به في كل مرة.

مثال 15.2

احسب $457 + 368$ :

\begin{array}{r} {\scriptstyle 1}\ \ {\scriptstyle 1}\ \ \phantom{0} \\[-3pt] 4\,5\,7 \\ +\ 3\,6\,8 \\ \hline 8\,2\,5 \end{array}

الآحاد: $7 + 8 = 15$ : اُكتب $5$ واحتفظ برقم $1$ . والعشرات: $5 + 6 + 1 = 12$ : اُكتب $2$ واحتفظ برقم $1$ . والمئات: $4 + 3 + 1 = 8$ . والنتيجة: $825$ .

مثال 15.3 (الجمع الذهني)

اِبحث عن الأعداد الودودة قبل أن تلجأ إلى الأعمدة:

اِصنع عشرة: $47 + 8 = 47 + 3 + 5 = 50 + 5 = 55$ ؛
اقفز بالأجزاء: $256 + 130 = 256 + 100 + 30 = 386$ ؛
أعد الترتيب: $17 + 59 + 3 = (17 + 3) + 59 = 79$ .

الجمع الذهني قفزات على مستقيم الأعداد: 256 + 130 في قفزتين، المئات أولًا ثم العشرات. — الجمع الذهني قفزات على مستقيم الأعداد: $256 + 130$ في قفزتين، المئات أولًا ثم العشرات.

15.2 الطرح بالأعمدة

طريقة 15.4 (الطرح في أعمدة)

اُكتب العدد الأكبر في الأعلى، محاذيًا من اليمين؛
واطرح عمودًا عمودًا، بدءًا من الآحاد؛
فإن كان الرقم الأعلى أصغر من أن يكفي، فاستلف: خذ واحدًا من المرتبة التالية في السطر الأعلى (فيساوي عشرة في العمود الحالي)؛
تحقّق: النتيجة زائد المطروح يجب أن تعيد العدد الأعلى.

مثال 15.5

احسب $603 - 147$ :

\begin{array}{r} 6\,0\,3 \\ -\ 1\,4\,7 \\ \hline 4\,5\,6 \end{array}

الآحاد: $3 - 7$ غير ممكن؛ فاستلف عبر المراتب: فيصير $603$ هو $5$ مئات و $9$ عشرات و $13$ واحدًا. ثم $13 - 7 = 6$ ؛ والعشرات $9 - 4 = 5$ ؛ والمئات $5 - 1 = 4$ . والنتيجة: $456$ . والتحقّق: $456 + 147 = 603$ .

استلاف 603 - 147 بالصورة: مئة واحدة تُفكّ إلى عشر عشرات، وواحدة من تلك العشرات إلى عشرة آحاد. المقدار نفسه في ثوب جديد — فيصير 6\, \,0\, \,3 هو 5\, \,9\, \,13، ويصبح الطرح ممكنًا في كل عمود. — استلاف $603 - 147$ بالصورة: مئة واحدة تُفكّ إلى عشر عشرات، وواحدة من تلك العشرات إلى عشرة آحاد. المقدار نفسه في ثوب جديد — فيصير $6\,\vert\,0\,\vert\,3$ هو $5\,\vert\,9\,\vert\,13$ ، ويصبح الطرح ممكنًا في كل عمود.

مثال 15.6 (الطرح بحثًا عن الجزء الناقص)

«عند ليلى $35$ كرة، وعند عمر $52$ : بكم يزيد عمر؟» هو الطرح $52 - 35$ . وذهنيًّا، عُدّ إلى الأمام من $35$ : من $35 \to 40$ مقداره $5$ ، ثم من $40 \to 52$ مقداره $12$ ؛ وفي المجموع $5 + 12 = 17$ . والعدّ إلى الأمام أسهل من الاستلاف في الغالب.

حساب 52 - 35 بالعدّ إلى الأمام: إلى 40 الودود أولًا، ثم إلى 52. والجواب هو مجموع القفزتين: 5 + 12 = 17. — حساب $52 - 35$ بالعدّ إلى الأمام: إلى $40$ الودود أولًا، ثم إلى $52$ . والجواب هو مجموع القفزتين: $5 + 12 = 17$ .

15.3 رتبة القدر

طريقة 15.7 (التقدير قبل الحساب)

قبل أي حساب بالأعمدة، قرِّب الأعداد إلى أعداد ودودة واحسب تقديرًا. وبعد الحساب، قارن: فنتيجة بعيدة عن التقدير تنبّه إلى خطأ.

مثال 15.8

في $487 + 312$ : التقدير هو $500 + 300 = 800$ . ونتيجة الأعمدة، $799$ ، قريبة منه: فهي معقولة. ولو وجدت $1\,099$ (بسبب محاذاة خاطئة)، لكان التقدير قد نبّهك.

15.4 تمارين

تمرين 15.1 ★

احسب بالأعمدة: $346 + 253$ ؛ $478 + 265$ ؛ $1\,536 + 2\,876$ .

حل

حل التمرين 15.1.

$346 + 253 = 599$ ؛ $478 + 265 = 743$ ؛ $1\,536 + 2\,876 = 4\,412$ .

تمرين 15.2 ★

احسب بالأعمدة، ثم تحقّق بعملية جمع: $587 - 234$ ؛ $805 - 348$ ؛ $1\,000 - 463$ .

حل

حل التمرين 15.2.

$587 - 234 = 353$ (التحقّق: $353 + 234 = 587$ ).

$805 - 348 = 457$ (التحقّق: $457 + 348 = 805$ ).

$1\,000 - 463 = 537$ (التحقّق: $537 + 463 = 1\,000$ ).

تمرين 15.3 ★

احسب ذهنيًّا بصنع العشرات: $38 + 7$ ؛ $56 + 9$ ؛ $45 + 28$ (أضف $30$ ، ثم اطرح $2$ ).

حل

حل التمرين 15.3.

$38 + 7 = 38 + 2 + 5 = 45$ ؛ $56 + 9 = 56 + 4 + 5 = 65$ ؛ $45 + 28 = 45 + 30 - 2 = 73$ .

تمرين 15.4 ★

احسب ذهنيًّا بالقفزات: $340 + 220$ ؛ $675 + 210$ ؛ $512 - 300$ ؛ $840 - 220$ .

حل

حل التمرين 15.4.

$340 + 220 = 560$ ؛ $675 + 210 = 885$ ؛ $512 - 300 = 212$ ؛ $840 - 220 = 620$ .

تمرين 15.5 ★

احسب $63 - 47$ بالعدّ إلى الأمام (كما في المثال 15.6)، ثم تحقّق بالأعمدة.

حل

حل التمرين 15.5.

من $47$ إلى $50$ : $3$ ؛ ومن $50$ إلى $63$ : $13$ ؛ والمجموع $3 + 13 = 16$ . والأعمدة تؤكد: $63 - 47 = 16$ .

تمرين 15.6 ★

قدِّر أولًا (بالتقريب إلى المئات)، ثم احسب بالضبط: $492 + 218$ ؛ $913 - 388$ .

حل

حل التمرين 15.6.

$492 + 218$ : التقدير $500 + 200 = 700$ ؛ وبالضبط $710$ .

$913 - 388$ : التقدير $900 - 400 = 500$ ؛ وبالضبط $525$ .

تمرين 15.7 ★

في مدرسة $348$ فتاة و $296$ فتى. فكم تلميذًا فيها كلها؟ اُكتب العملية، واحسب، وأجب بجملة كاملة.

حل

حل التمرين 15.7.

$348 + 296 = 644$ . في المدرسة $644$ تلميذًا.

تمرين 15.8 ★

في كتاب $224$ صفحة، قرأت نورة منها $178$ . فكم صفحة بقيت لها لتقرأها؟

حل

حل التمرين 15.8.

$224 - 178 = 46$ . بقيت لنورة $46$ صفحة لتقرأها.

تمرين 15.9 ★

أكمل الفراغات (اعمل عمودًا عمودًا):

\begin{array}{r} 3\,?\,7 \\ +\ ?\,2\,? \\ \hline 8\,6\,2 \end{array}

فهل هناك طريقة واحدة فقط لملء الفراغات الثلاثة؟ اِشرح.

حل

حل التمرين 15.9.

الآحاد: $7 + \text{؟} = 2$ غير ممكن، إذن $7 + 5 = 12$ : ففراغ الآحاد هو $5$ ، مع احتفاظ برقم $1$ . والعشرات: $\text{؟} + 2 + 1 = 6$ : ففراغ العشرات هو $3$ (بلا احتفاظ). والمئات: $3 + \text{؟} = 8$ : ففراغ المئات هو $5$ . إذن $337 + 525 = 862$ ، ولكل فراغ رقم واحد ممكن — فليس هناك إلا طريقة واحدة.

تمرين 15.10 ★★

باع مخبز $145$ كرواسانًا صباحًا و $89$ بعد الظهر؛ وبقي $17$ كرواسانًا لم يُبع عند الإغلاق. فكم كرواسانًا خُبز في ذلك اليوم؟ (خطوتان.)

حل

حل التمرين 15.10.

المبيع: $145 + 89 = 234$ كرواسانًا. والمخبوز: المبيع زائد غير المبيع، $234 + 17 = 251$ كرواسانًا.

تمرين 15.11 ★★

يقول طارق: «لحساب $500 - 199$ ، أحسب $500 - 200$ ثم أضيف $1$ ». أهو محقّ؟ احسب بالطريقتين، واشرح حيلته.

حل

حل التمرين 15.11.

هو محقّ: $500 - 200 = 300$ ، وبإضافة $1$ نجد $301$ ؛ وبالأعمدة، $500 - 199 = 301$ أيضًا. فطرح $200$ يزيل واحدًا أكثر مما ينبغي، فيجب ردّه — وطرح جار ودود ثم التصحيح أسرع من الاستلاف في الغالب.