الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9
31الكسور أعدادًا
الكسر ليس مجرد صورة لفطيرة: بل هو عدد حقيقي، له مكان على مستقيم الأعداد — وقد يكون المكان نفسه الذي يقع فيه عدد عشري. يصل هذا الفصل بين العالمين. (أما قواعد حساب الكسور كاملةً فتأتي في الفصل 39 وما بعده.)
31.1 الكسور على المستقيم من جديد
مثال 31.1(الوضع والقراءة)
على مستقيم مقطوع أخماسًا، يقع 57 على بُعد 7 خطوات من 0: بعد 1 (وهو 55)، عند 1+52. فكل كسر يعيش في مكان ما على المستقيم؛ والبسط الأكبر (عند تساوي المقام) يعني موضعًا أبعد نحو اليمين.
قضية 31.2(نقطة واحدة، وأسماء كثيرة)
قطع كل جزء إلى جزأين (أو ثلاثة …) لا يحرّك النقطة:
21=42=63=105,32=64=3020.
فضرب البسطوالمقام (أو قسمتهما) على العدد نفسه يعطي اسمًا آخر للكسر نفسه.
برهان.نقبله في هذا المستوى.∎
ثلاثة أشرطة، وثلاثة أسماء، ومقدار واحد: 21=42=105.
31.2 الكسور والأعداد العشرية
قضية 31.3(كسور لها أسماء عشرية)
كسور الأعشار والأجزاء من مئة والأجزاء من ألف هي أعداد عشرية:
103=0.3,10027=0.27.
وبعض الكسور الأخرى له أسماء عشرية أيضًا، تُوجد بالانتقال إلى الأعشار أو الأجزاء من مئة:
والبسط نفسه: الأجزاء الأكبر تفوز، فالمقامالأصغر يفوز: 53>83 (فالأخماس أكبر من الأثمان)؛
والمعالم: قارن كلًّا منهما بالعدد 21 أو بالعدد 1: 83<21<95، إذن 83<95.
مثال 31.6
أيّهما أكل بيتزا أكثر: علي وقد أكل 85 أم بثينة وقد أكلت 45؟ كسر بثينة أكبر من 1 (فخمسة أرباع أكثر من بيتزا كاملة واحدة)، وكسر علي أصغر من 1: فبثينة أكلت أكثر — بل أكثر من بيتزا كاملة.
31.4 تمارين
تمرين 31.1★
اُرسم مستقيم أعداد مقطوعًا أخماسًا من 0 إلى 2، وضع عليه: 52؛ 55؛ 58؛ 510.
حل
حل التمرين 31.1.
52: خطوتان من 0؛ و 55: على 1؛ و 58: ثلاث خطوات بعد 1؛ و 510: على 2.
ربع تلاميذ صفّ من 28 يعزفون آلة، ونصفهم يمارسون رياضة. فكم تلميذًا في كل مجموعة؟ وأي المجموعتين أكبر؟
حل
حل التمرين 31.8.
الآلة: 41 من 28=7. والرياضة: 21 من 28=14. فمجموعة الرياضة أكبر.
تمرين 31.9★
اِربط كل كسر بمدة: 41 سا، و 21 سا، و 43 سا، و 601 سا — والمدد هي 30 د، و 45 د، و 1 د، و 15 د.
حل
حل التمرين 31.9.
41 سا =15 د؛ و 21 سا =30 د؛ و 43 سا =45 د؛ و 601 سا =1 د.
تمرين 31.10★★
شرب عمر 53 من قنينته سعة50 سل؛ وشربت آية 21 من قنينتها سعة60 سل. فأيّهما شرب أكثر؟ (احسب المقدارين بالسنتيلتر — فمقارنة الكسور المجرّدة لا تكفي هنا، وقل لماذا.)
حل
حل التمرين 31.10.
عمر: 53 من 50=30 سل. وآية: 21 من 60=30 سل. فقد شربا المقدار نفسه! والكسور المجرّدة (53>21) تقارن حصصًا من قنينتين مختلفتين — ولا يمكن أن تُقارن إلا المقادير الفعلية.
تمرين 31.11★★
أعطِ كسرًا يقع تمامًا بين 21 و 1؛ ثم كسرًا يقع تمامًا بين 21 و 43. (وقد تساعد الأسماء العشرية.)
حل
حل التمرين 31.11.
بين 21 و 1: مثلًا 43 (أي 0.75). وبين 21=0.5 و 43=0.75: مثلًا 0.6=53.
