الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · الصفوف 1–9

49التناسب

اِلتقت السنة السادسة جداول التناسب (الفصل 44)؛ ويحوّل هذا الفصل التناسب أداةً كاملة النموّ: قاعدة الضرب المتقاطع لإيجاد قيمة رابعة، والنسب المئوية، وسلالم الخرائط والمجسّمات المصغّرة. وأما السرعة، وهي أشهر التناسبات جميعًا، فتُدرس في الفصل 61.

49.1 التعرّف على الجداول وإكمالها

تعريف 49.1 (جدول التناسب)

جدول من سطرين هو جدول تناسب حين تكون أعداد السطر الثاني هي أعداد الأول مضروبةً في عدد ثابت واحد، وهو المعامل. وبعبارة مكافئة: كل خوارج قسمة الأعمدة $\frac{\text{الأسفل}}{\text{الأعلى}}$ متساوية.

مثال 49.2

الأعلى	$4$	$10$	$14$
الأسفل	$6$	$15$	$21$

خوارج القسمة: $\frac64 = 1.5$ ، و $\frac{15}{10} = 1.5$ ، و $\frac{21}{14} = 1.5$ : إذن متناسب، ومعامله $1.5$ .

مبرهنة 49.3 (قاعدة الضرب المتقاطع)

في جدول تناسب عموداه $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ و $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ ، يتساوى الجداءان المتقاطعان:

a \times d = b \times c .

ومنه يمكن حساب القيمة الرابعة من الثلاث الأخرى: $d = \dfrac{b \times c}{a}$ .

برهان. ليكن $k$ المعامل: $b = ka$ و $d = kc$ . إذن

a \times d = a \times kc = k \times ac, \qquad b \times c = ka \times c = k \times ac :

فكلا الجداءين المتقاطعين يساوي $k \times ac$ . وبقسمة $ad = bc$ على $a$ نحصل على صيغة $d$ . ∎

مثال 49.4 (الرابع المتناسب)

إذا كانت $7$ كتب متطابقة كتلتها $2.8$ كغ، فكم تبلغ كتلة $12$ كتابًا مثلها؟ الجدول وقاعدة الضرب المتقاطع:

الكتب	$7$	$12$
كغ	$2.8$	$m$

7 \times m = 2.8 \times 12 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2.8 \times 12}{7} = \frac{33.6}{7} = 4.8 \text{ كغ}.

والتحقّق بالوحدة: كتاب واحد كتلته $0.4$ كغ، واثنا عشر كتلتها $4.8$ كغ.

49.2 النسب المئوية

طريقة 49.5 (تطبيق النسب المئوية وإيجادها)

تطبيق $t\,\%$ : اِضرب في $\frac{t}{100}$ (و $12\,\%$ من $350$ هي $0.12 \times 350 = 42$ )؛
وإيجاد النسبة المئوية التي يمثّلها جزء: اِحسب $\frac{\text{الجزء}}{\text{الكلّ}}$ وأعِد كتابتها على المقام $100$ (فالعدد $21$ من $60$ : $\frac{21}{60} = \frac{35}{100} = 35\,\%$ )؛
واِسأل دائمًا: نسبة مئوية من ماذا؟ فالكلّ المرجعي مهمّ.

مثال 49.6

في مدرسة، $180$ من التلاميذ $400$ بنات. والنسبة المئوية:

\frac{180}{400} = \frac{180 \div 4}{400 \div 4} = \frac{45}{100} = 45\,\% .

وفي الاتجاه الآخر: كم يبلغ الأولاد $55\,\%$ ؟ $0.55 \times 400 = 220$ . والتحقّق: $180 + 220 = 400$ .

49.3 السلالم

تعريف 49.7 (السلّم)

على خريطة أو مجسّم مصغّر ذي سلّم $\frac{1}{n}$ (يُكتب $1 : n$ )، تكون المسافات على الخريطة متناسبة مع المسافات الحقيقية، بمعامل $\frac1n$ :

\text{المسافة على الخريطة} = \frac{1}{n} \times \text{المسافة الحقيقية},

وكلتاهما مقيستان بالوحدة نفسها.

مثال 49.8

على خريطة $1 : 50\,000$ ، تبعد مدينتان $7$ سم إحداهما عن الأخرى. والمسافة الحقيقية:

7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ سم} = 3\,500 \text{ م} = 3.5 \text{ كم}.

وبالعكس، مسار مشي طوله $12$ كم يقيس على الخريطة $12$ كم $= 1\,200\,000$ سم، إذن $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ سم.

السلّم تناسب: فمسافات الخريطة مقابل المسافات الحقيقية تصطفّ على مستقيم يمرّ بالمبدأ (وهنا 1 سم 4 كم؛ والخطوط المتقطّعة تقرأ 7 سم 28 كم). — السلّم تناسب: فمسافات الخريطة مقابل المسافات الحقيقية تصطفّ على مستقيم يمرّ بالمبدأ (وهنا $1$ سم $\leftrightarrow$ $4$ كم؛ والخطوط المتقطّعة تقرأ $7$ سم $\leftrightarrow$ $28$ كم).

ملاحظة 49.9

المنحنيات أسرع اِختبار للتناسب (الفصل 44): فالنقط الواقعة على مستقيم يمرّ بالمبدأ تعني مقادير متناسبة؛ والمستقيم الذي لا يمرّ بالمبدأ (مثل أجرة سيارة أجرة فيها مبلغ ثابت) يعني عدم التناسب، وإن كان مستقيمًا. والدوال التآلفية، في الفصل 67، ستدقّق هذا.

49.4 تمارين

تمرين 49.1 ★

أيّ الجداول جداول تناسب؟ أعطِ المعامل حين يوجد.

	$3$	$7$	$11$
	$7.5$	$17.5$	$27.5$

	$2$	$5$	$9$
	$6$	$15$	$28$

حل

حل التمرين 49.1.

الجدول الأول: خوارج القسمة $\frac{7.5}{3} = 2.5$ ، و $\frac{17.5}{7} = 2.5$ ، و $\frac{27.5}{11} = 2.5$ : إذن متناسب، ومعامله $2.5$ .

الجدول الثاني: $\frac62 = 3$ و $\frac{15}{5} = 3$ ، لكن $\frac{28}{9} \approx 3.1$ : إذن غير متناسب.

تمرين 49.2 ★

أكمل مستعملًا قاعدة الضرب المتقاطع، مع كتابة الحساب: $5$ كغ من البطاطا ثمنها $6$ يورو؛ فكم ثمن $8$ كغ؟

حل

حل التمرين 49.2.

بقاعدة الضرب المتقاطع: $5 \times p = 6 \times 8$ ، إذن $p = \frac{48}{5} = 9.60$ يورو.

تمرين 49.3 ★

طابعة تطبع $36$ صفحة في $3$ دقائق. وبالوتيرة نفسها، كم صفحة في $5$ دقائق؟ وكم من الوقت من أجل $96$ صفحة؟

حل

حل التمرين 49.3.

الوتيرة: $36 \div 3 = 12$ صفحة في الدقيقة. وفي $5$ دقائق: $60$ صفحة. ومن أجل $96$ صفحة: $96 \div 12 = 8$ دقائق.

تمرين 49.4 ★

اِحسب: $30\,\%$ من $250$ ؛ و $15\,\%$ من $60$ ؛ و $t\,\%$ بحيث تكون $t\,\%$ من $80$ هي $20$ .

حل

حل التمرين 49.4.

$30\,\%$ من $250$ : $0.3 \times 250 = 75$ . و $15\,\%$ من $60$ : $0.15 \times 60 = 9$ . و $t\,\%$ من $80$ هي $20$ : $\frac{20}{80} = \frac{25}{100}$ ، إذن $t = 25$ .

تمرين 49.5 ★

من بين $25$ تسديدة، سجّلت لاعبة كرة سلة $18$ . فما نسبة نجاحها المئوية؟ (أعِد كتابة الكسر على المقام $100$ .)

حل

حل التمرين 49.5.

$\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100} = 72\,\%$ .

تمرين 49.6 ★

على خريطة $1 : 25\,000$ ، يقيس مسار $9$ سم. فما طوله الحقيقي بالكيلومتر؟ وبحيرة طولها $2$ كم: فكم يبلغ طولها على الخريطة؟

حل

حل التمرين 49.6.

المسار: $9 \times 25\,000 = 225\,000$ سم $= 2.25$ كم. والبحيرة: $2$ كم $= 200\,000$ سم على الأرض، إذن $200\,000 \div 25\,000 = 8$ سم على الخريطة.

تمرين 49.7 ★

سيارة مصغّرة مبنية بسلّم $1 : 43$ . والسيارة الحقيقية طولها $4.3$ م. فكم يبلغ طول المصغّرة، بالسنتيمتر؟

حل

حل التمرين 49.7.

$4.3$ م $= 430$ سم، و $430 \div 43 = 10$ سم.

تمرين 49.8 ★★

وصفة تستعمل $240$ غ من الشوكولاتة من أجل $8$ حصص. وعند أمينة $300$ غ من الشوكولاتة. فلكم حصة تكفي (عدد صحيح من الحصص)؟

حل

حل التمرين 49.8.

الشوكولاتة لكل حصة: $240 \div 8 = 30$ غ. ومع $300$ غ: $300 \div 30 = 10$ حصص بالضبط.

تمرين 49.9 ★★

ينخفض ثمن سترة من $80$ إلى $60$ يورو.

فما التخفيض باليورو؟ وبالنسبة المئوية من الثمن الأصلي؟
ثم يعود الثمن فيرتفع من $60$ إلى $80$ يورو. اِشرح لماذا لا يكون هذا الارتفاع $25\,\%$ — واِحسب النسبة المئوية الصحيحة للزيادة.

حل

حل التمرين 49.9.

1. التخفيض: $20$ يورو، أي $\frac{20}{80} = 25\,\%$ من الثمن الأصلي.

2. الارتفاع البالغ $20$ يورو يُقارن الآن بالمرجع الجديد $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . فالنسبة المئوية تُنسب دائمًا إلى كلّ؛ وقد تغيّر الكلّ، فتغيّرت النسبة أيضًا.

تمرين 49.10 ★★

سطرا جدول متناسبان:

	$4$	$x$	$10$
	$y$	$10.5$	$17.5$

جِد المعامل، ثم $x$ و $y$ .

حل

حل التمرين 49.10.

المعامل من العمود الكامل: $\frac{17.5}{10} = 1.75$ . ثم $y = 4 \times 1.75 = 7$ و $x = \frac{10.5}{1.75} = 6$ .

تمرين 49.11 ★★★

آلة نسخ تصغّر الوثائق إلى $80\,\%$ من حجمها. وتُنسخ قطعة طولها $10$ سم، ثم تُنسخ النسخة من جديد بالضبط نفسه.

فكم يبلغ طول القطعة بعد نسخة واحدة؟ وبعد نسختين؟
ولماذا لا يكون الجواب بعد نسختين $60\,\%$ من الأصل؟ وأيّ نسبة مئوية واحدة توافق نسختين؟

حل

حل التمرين 49.11.

1. بعد نسخة واحدة: $10 \times 0.8 = 8$ سم. وبعد نسختين: $8 \times 0.8 = 6.4$ سم.

2. التصغير الثاني ينطبق على النسخة المصغَّرة أصلًا، لا على الأصل: فالمعاملان يتضاربان، $0.8 \times 0.8 = 0.64$ ، إذن نسختان تصغّران إلى $64\,\%$ من الأصل — لا $60\,\%$ .

49.5 مسألة: قياس الأرض بعصا

مسألة 49.1

مسألة نهاية الأسبوع — الظلال تناسب، وكيف حسب إراتوستينس محيط الأرض سنة 240 قبل الميلاد

قبل اِثنين وعشرين قرنًا، دون منظار ولا قمر اِصطناعي ولا آلة حاسبة، قاس أمين مكتبة الإسكندرية الأرض — بعصا وبئر وقافلة جِمال ورياضيات هذا الفصل. وتعيد هذه المسألة تتبّع خطواته: أولًا تناسب الظلال، ثم الحساب المشهور نفسه، وأخيرًا كيف يبدو جوابه على السلّم البشري.

الجزء الأول — ظلّ عصا. الشمس بعيدة جدًّا حتى إن أشعتها تبلغنا متوازية بعضها مع بعض. وفي لحظة معطاة، تكون كل الأشياء العمودية وظلالها متناسبة إذن.

عند الظهر، تلقي عصا عمودية طولها $1$ م ظلًّا طوله $0.4$ م، ويقيس ظلّ شجرة $3.2$ م. فكم يبلغ طول الشجرة (المبرهنة 49.3)؟
وفي اللحظة نفسها، يلقي برج ظلًّا طوله $26$ م: فكم يبلغ اِرتفاع البرج؟ وكم يبلغ طول ظلّ طفل طوله $1.5$ م؟
اِشرح في جملة واحدة لماذا لا تصحّ هذه الحسابات كلها إلا في اللحظة نفسها من النهار.
تقول الأسطورة إن طاليس قاس الهرم الأكبر باِنتظار اللحظة التي يكون فيها ظلّه هو نفسه بطول قامته بالضبط. فما معامل التناسب في تلك اللحظة، وكم يبلغ اِرتفاع الهرم إذا كان طرف ظلّه يبعد $147$ م عن نقطة الأرض الواقعة تحت قمّته مباشرةً؟
لخّص الجزء الأول: في لحظة معطاة، أيّ مقدار يكون هو نفسه للعصا والشجرة والبرج والهرم (التعريف 49.1)؟

الجزء الثاني — حساب إراتوستينس. عرف إراتوستينس واقعتين. ففي مدينة أسوان، عند الظهر في اِنقلاب الصيف، كانت الشمس فوق الرؤوس تمامًا: فيبلغ ضوءها قاع أعمق الآبار، ولا تلقي العصيّ العمودية ظلًّا. وفي الإسكندرية، على بُعد $800$ كم شمالًا تمامًا، في اللحظة نفسها، كانت عصا عمودية تلقي ظلًّا، وتصنع أشعة الشمس زاوية $7.2^\circ$ مع العمودي.

اِشرح لماذا يبرهن هذان الرصدان معًا على أن أرض أسوان وأرض الإسكندرية ليستا متوازيتين — أي إن سطح الأرض منحنٍ. (فماذا كانت الأشعة المتوازية تفعل بعصوين على أرض مسطّحة؟)
على رسم للأرض المدوّرة بأشعة شمس متوازية، تظهر الزاوية $7.2^\circ$ التي في الإسكندرية من جديد في مركز الأرض، زاويةً بين اِتجاهَي المدينتين. اُرسم الرسم واِقتنع بذلك (والتبرير النظيف يستعمل أزواج الزوايا المتساوية في الفصل 51).
وأيّ كسر من الدورة الكاملة هي $7.2^\circ$ ؟
القوس من أسوان إلى الإسكندرية ( $800$ كم) يوافق $7.2^\circ$ ؛ والمحيط كله يوافق $360^\circ$ . أقِم التناسب واِحسب محيط الأرض.
اِستنتج قطر الأرض، مستعملًا $\pi \approx 3.14$ (القضية 43.3) والتقريب إلى أقرب مئة كيلومتر. (والقيمة الحديثة هي $12\,742$ كم — فكم كان قريبًا رجل بعصا سنة 240 قبل الميلاد؟)

الجزء الثالث — الأرض على السلّم البشري.

كرة أرضية مبنية بسلّم $1 : 40\,000\,000$ . وباستعمال المحيط الموجود في السؤال 9، بيّن أن محيط الكرة هو $1$ م بالضبط. فما قطرها، إلى أقرب سنتيمتر؟
يرتفع مون بلان نحو $4.8$ كم. حوّل $4.8$ كم إلى سنتيمترات، واقسم على $40\,000\,000$ ، وعبّر عن اِرتفاع الجبل على الكرة بالميليمتر. فماذا يقول الجواب عن مقدار «تضرّس» الأرض حقًّا؟
يقطع ماشٍ $40$ كم في اليوم. فبهذه الوتيرة، كم يومًا يلزم لمحيط إراتوستينس كله — وكم سنة يساوي ذلك تقريبًا؟
الجوّ الصالح للتنفّس مركّز تقريبًا في أول $10$ كم فوق الأرض. فأيّ نسبة مئوية من نصف قطر الأرض (نحو $6\,370$ كم) هي تلك (الطريقة 49.5)؟ قرّب إلى أقرب عُشر من النسبة.
يقدّر المؤرّخون أن القيمة التي أعلنها إراتوستينس، محوّلةً إلى الوحدات الحديثة، ربما كانت نحو $42\,000$ كم. وبأخذ $40\,000$ كم قيمةً حقيقية، اِحسب نسبة خطئه المئوية. واختم بجملة واحدة عن العصيّ والآبار والتناسب.

حل

حل المسألة 49.1.

1. الارتفاعات والظلال متناسبة، إذن بقاعدة الضرب المتقاطع (المبرهنة 49.3)، مع عمود العصا $(1,\ 0.4)$ وعمود الشجرة $(h,\ 3.2)$ : $0.4 \times h = 1 \times 3.2$ ، ومنه $h = \frac{3.2}{0.4} = 8$ م.

2. البرج: $\frac{26}{0.4} = 65$ م. وظلّ الطفل: $1.5 \times 0.4 = 0.6$ م (فالظلّ $=$ الارتفاع $\times$ معامل اللحظة $0.4$ ).

3. كلما تحرّكت الشمس في السماء تغيّر المعامل الذي يربط الارتفاعات بالظلال؛ ولا تشترك في المعامل نفسه إلا القياسات المأخوذة في اللحظة نفسها.

4. في تلك اللحظة يكون المعامل $1$ : فكل اِرتفاع يساوي ظلّه. ومنه يكون اِرتفاع قمّة الهرم $147$ م — وهو اِرتفاع الهرم الأكبر (ويكفي طرف ظلّه مقيسًا من النقطة الواقعة تحت القمّة).

5. خارج قسمة العمود $\frac{\text{الظلّ}}{\text{الارتفاع}}$ — وهو معامل تناسب اللحظة — مشترك بين كل شيء عمودي: وذلك بالضبط ما يجعل جدول الارتفاعات والظلال جدول تناسب (التعريف 49.1).

6. تصل أشعة الشمس متوازية. وعلى أرض مسطّحة، كان شعاعان متوازيان يصطدمان بعصوين عموديتين بالزاوية نفسها: فتلقيان ظلّين متناسبين — إما لا ظلّ لكلتيهما، وإما ظلّ لكلتيهما. أما عصا بلا ظلّ (أسوان) وعصا بظلّ (الإسكندرية)، في اللحظة نفسها، فأمر مستحيل على أرض مسطّحة: فلا بدّ أن يشير العموديان في اِتجاهين مختلفين — أي إن السطح ينحني.

7. على الرسم، يشير عمودي أسوان مباشرةً إلى الشمس؛ وعمودي الإسكندرية مائل بالزاوية بين اِتجاهَي المدينتين، مرئيةً من المركز. وبما أن الأشعة متوازية، يكون ذلك الميل بالضبط $7.2^\circ$ المقيسة بين الشعاع والعصا في الإسكندرية.

8. $\frac{7.2}{360} = \frac{72}{3600} = \frac{1}{50}$ : أي جزء من خمسين من الدورة الكاملة.

9. أطوال الأقواس متناسبة مع الزوايا: فإذا كانت $7.2^\circ$ — وهي جزء من خمسين من الدورة — توافق $800$ كم، فالدورة كلها توافق

50 \times 800 = 40\,000 \text{ كم}.

10. القطر $= \frac{\text{المحيط}}{\pi} \approx \frac{40\,000}{3.14} \approx 12\,700$ كم — مقابل $12\,742$ كم الحديثة: أي صحيح إلى ما دون واحد بالمئة بكثير، بعصا.

11. $40\,000$ كم $= 4\,000\,000\,000$ سم، و $4\,000\,000\,000 \div 40\,000\,000 = 100$ سم $= 1$ م من المحيط. والقطر: $100 \div 3.14 \approx 32$ سم — أي كرة مكتب أنيقة.

12. $4.8$ كم $= 480\,000$ سم، و $480\,000 \div 40\,000\,000 = 0.012$ سم $= 0.12$ مم. فأعلى جبال الألب عُشر ميليمتر على كرة محيطها متر: أي ذرّة غبار. وعلى هذا السلّم تكون الأرض أملس من معظم الكرات المصقولة.

13. $40\,000 \div 40 = 1\,000$ يوم، و $1\,000 \div 365 \approx 2.7$ : أي نحو ثلاث سنوات من المشي.

14. $\frac{10}{6\,370} \approx 0.0016$ ، أي نحو $0.2\,\%$ (وبدقّة أكبر $0.16\,\%$ ): فالجوّ قشرة رقيقة كالهمس على الكوكب.

15. الخطأ: $42\,000 - 40\,000 = 2\,000$ كم، و $\frac{2\,000}{40\,000} = \frac{5}{100} = 5\,\%$ . وفي جملة واحدة: بعصا وبئر وطريق مقيسة وتناسب واحد، قاس إراتوستينس كوكبًا بدقّة في حدود بضعة بالمئة — فالرياضيات تسافر بعيدًا بقليل جدًّا.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد