الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

61التناسب والسرعة والمتوسطات

يلتقي التناسب (الفصل 49) الآن العالمَ الفيزيائي: السرعة والصبيب وتحويلات الوحدات — وهي مقادير خوارج قسمة مقدارين آخرين. وينتهي الفصل بالمتوسطات المرجّحة، حيث يمنع التفكير التناسبي خطأً كلاسيكيًّا.

61.1 السرعة المتوسطة

تعريف 61.1 (السرعة المتوسطة)

السرعة المتوسطة لرحلة هي خارج القسمة

v = \frac{d}{t} \qquad \left(\text{المسافة مقسومة على المدّة}\right),

بالكيلومتر في الساعة (كم/سا)، أو المتر في الثانية (م/ث)، … و الصيغة تنقلب: $d = v \times t$ و $t = \frac{d}{v}$ .

مثال 61.2

يقطع قطار $270$ كم في $1$ سا و $30$ دق. وأولًا حوّل الزمن: $1$ سا و $30$ دق $= 1.5$ سا. ثم

v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.

والمسافة بسرعة $90$ كم/سا خلال $2$ سا و $20$ دق $= \frac73$ سا: $d = 90 \times \frac73 = 210$ كم. والزمن اللازم لقطع $35$ كم بسرعة $14$ كم/سا: $t = \frac{35}{14} = 2.5$ سا $= 2$ سا و $30$ دق.

ملاحظة 61.3 (الدقائق ليست أعدادًا عشرية)

المدّة $1$ سا و $30$ دق هي $1.5$ سا، لكن $1$ سا و $20$ دق ليست $1.2$ سا: بل هي $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ سا. فحوّل دائمًا الدقائق إلى كسر من الساعة ( $60$ دق $= 1$ سا) قبل القسمة.

بسرعة ثابتة، تكون المسافة متناسبة مع الزمن: أي مستقيم يمرّ بالمبدأ، وميله هو السرعة.

طريقة 61.4 (تحويل السرعات)

لتحويل كم/سا إلى م/ث: $1$ كم $= 1000$ م و $1$ سا $= 3600$ ث، إذن

v \text{ كم/سا} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ م/ث} = \frac{v}{3.6} \text{ م/ث}.

ولتحويل م/ث إلى كم/سا، اِضرب في $3.6$ .

مثال 61.5

$90$ كم/سا $= \frac{90}{3.6} = 25$ م/ث. والعدّاء الذي يجري $100$ م في $10$ ث يتحرّك بسرعة $10$ م/ث $= 36$ كم/سا.

61.2 مقادير خوارج القسمة

مثال 61.6 (الصبيب والكتلة الحجمية وثمن الكيلوغرام)

للسرعة أبناء عمّ كثيرون، تُعالَج كلها بالطريقة نفسها:

حنفية تملأ $48$ لترًا في $4$ دق: فالصبيب $\frac{48}{4} = 12$ لتر/دق، ومنه فملء حوض سعته $150$ لترًا يستغرق $\frac{150}{12} = 12.5$ دق؛
و $0.6$ كغ من الجبن ثمنها $9$ يورو: فالثمن $\frac{9}{0.6} = 15$ يورو للكيلوغرام؛
وسيارة تستهلك $6.3$ لترًا لكل $90$ كم: فالاستهلاك $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ لترات لكل $100$ كم.

حدّد خارج القسمة، وتقوم الصيغة الثلاثية بالباقي ( $q = \frac ab$ ، و $a = qb$ ، و $b = \frac aq$ ).

61.3 المتوسطات المرجّحة

تعريف 61.7 (المتوسط المرجّح)

حين تأتي القيم $v_1, v_2, \dots$ مع تعدادات (أو أوزان) $n_1, n_2, \dots$ ، يكون متوسطها المرجّح هو

\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :

أي مجموع القيم، مقسومًا على مجموع الأوزان.

مثال 61.8

اِمتحان أجرته مجموعتان: المجموعة 1 فيها $12$ تلميذًا ومتوسطها $11$ ؛ والمجموعة 2 فيها $18$ تلميذًا ومتوسطها $14$ . ومتوسط القسم كله:

\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18} = \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .

وليس $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$ : فالمجموعة الأكبر تجذب المتوسط نحو متوسطها — والأوزان مهمّة.

مثال 61.9 (السرعة المتوسطة على مرحلتين)

يقطع دراج $30$ كم بسرعة $30$ كم/سا، ثم $30$ كم بسرعة $15$ كم/سا. و السرعة المتوسطة على الرحلة كلها ليست $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ كم/سا. فاِحسب بالتعريف:

الزمنان: $\frac{30}{30} = 1$ سا، ثم $\frac{30}{15} = 2$ سا؛ والمجموع $3$ سا؛
والمسافة الكلية $60$ كم، إذن $v = \frac{60}{3} = 20$ كم/سا.

فالمرحلة البطيئة تدوم أطول، ومنه فوزنها أكبر — فمتوسط السرعات يجب أن يُرجَّح بالزمن.

61.4 تمارين

تمرين 61.1 ★

اِحسب السرعة المتوسطة: $150$ كم في $2$ سا؛ و $27$ كم في $45$ دق؛ و $100$ م في $12.5$ ث.

حل

حل التمرين 61.1.

$\frac{150}{2} = 75$ كم/سا. و $45$ دق $= 0.75$ سا: $\frac{27}{0.75} = 36$ كم/سا. و $\frac{100}{12.5} = 8$ م/ث.

تمرين 61.2 ★

اِحسب المسافة: $2$ سا بسرعة $85$ كم/سا؛ و $40$ دق بسرعة $90$ كم/سا. واِحسب الزمن: $315$ كم بسرعة $90$ كم/سا (بالساعة والدقيقة).

حل

حل التمرين 61.2.

$2 \times 85 = 170$ كم. و $40$ دق $= \frac23$ سا: $90 \times \frac23 = 60$ كم. و $\frac{315}{90} = 3.5$ سا $= 3$ سا و $30$ دق.

تمرين 61.3 ★

حوّل: $72$ كم/سا إلى م/ث؛ و $5$ م/ث إلى كم/سا؛ و $108$ كم/سا إلى م/ث.

حل

حل التمرين 61.3.

$72 \div 3.6 = 20$ م/ث. و $5 \times 3.6 = 18$ كم/سا. و $108 \div 3.6 = 30$ م/ث.

تمرين 61.4 ★

حنفية تعطي $15$ لتر/دق. فكم من الوقت لملء خزّان سعته $600$ لتر؟ وكم لترًا في $2$ سا و $30$ ؟

حل

حل التمرين 61.4.

$600 \div 15 = 40$ دق. و $2$ سا و $30 = 150$ دق: $15 \times 150 = 2250$ لترًا.

تمرين 61.5 ★

أيّهما صفقة أفضل: $1.2$ كغ من التفاح بمبلغ $3.30$ يورو، أم $0.8$ كغ بمبلغ $2.16$ يورو؟ قارن الأثمان للكيلوغرام.

حل

حل التمرين 61.5.

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ يورو للكغ مقابل $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ يورو للكغ: فالعرض الثاني صفقة أفضل (قليلًا).

تمرين 61.6 ★

قسم فيه $25$ تلميذًا متوسطه $12.4$ في اِختبار؛ وقسم آخر فيه $35$ تلميذًا متوسطه $10$ . اِحسب متوسط القسمين معًا.

حل

حل التمرين 61.6.

\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60} = \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .

تمرين 61.7 ★

ينتقل الصوت بسرعة نحو $340$ م/ث. وترى ومضة برق وتسمع الرعد بعدها بمدّة $6$ ثوانٍ. فكم بَعُد موضع سقوط البرق (إلى أقرب $100$ م)؟

حل

حل التمرين 61.7.

$d = 340 \times 6 = 2040$ م $\approx 2$ كم.

تمرين 61.8 ★★

متجوّل يمشي $2$ سا بسرعة $5$ كم/سا، ويستريح $30$ دق، ثم يمشي $1$ سا و $30$ بسرعة $4$ كم/سا. اِحسب المسافة الكلية والسرعة المتوسطة بما فيها الاستراحة (المسافة الكلية على الزمن الكلي المنقضي).

حل

حل التمرين 61.8.

المسافتان: $2 \times 5 = 10$ كم، ثم $1.5 \times 4 = 6$ كم: والمجموع $16$ كم. والزمن المنقضي: $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ سا. والسرعة المتوسطة: $\frac{16}{4} = 4$ كم/سا.

تمرين 61.9 ★★

علامات بمعاملات: حصلت تلميذة على $15$ (بمعامل $3$ )، و $9$ (بمعامل $2$ )، و $12$ (بمعامل $1$ ). اِحسب المتوسط المرجّح. وأيّ متوسط بسيط (غير مرجّح) كانت ستحصل عليه، ولماذا يختلفان؟

حل

حل التمرين 61.9.

المرجّح: $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1} = \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$ . وغير المرجّح: $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$ . وهما يختلفان لأن المعاملات تعطي العلامة $15$ ثلاثة أمثال وزن العلامة $12$ .

تمرين 61.10 ★★

تسير سيارة $120$ كم بسرعة $80$ كم/سا ثم $120$ كم بسرعة $120$ كم/سا.

اِحسب مدّة كل مرحلة، ثم السرعة المتوسطة على الرحلة كلها.
واِشرح لماذا يكون الجواب أصغر من $100$ كم/سا، وهي منتصف السرعتين.

حل

حل التمرين 61.10.

1. الزمنان: $\frac{120}{80} = 1.5$ سا و $\frac{120}{120} = 1$ سا. والسرعة المتوسطة: $\frac{240}{2.5} = 96$ كم/سا.

2. تقضي السيارة زمنًا أطول بسرعة $80$ كم/سا ( $1.5$ سا) منه بسرعة $120$ كم/سا ( $1$ سا): فالسرعة البطيئة أثقل وزنًا في المتوسط المرجّح بالزمن، فتجذبه تحت المنتصف $100$ .

تمرين 61.11 ★★★

تبعد قريتان $18$ كم إحداهما عن الأخرى. تغادر آية الأولى عند $10{:}00$ ماشيةً بسرعة $5$ كم/سا نحو الثانية؛ ويغادر بدر الثانية في الوقت نفسه ماشيًا بسرعة $4$ كم/سا نحو الأولى. ففي أيّ ساعة يلتقيان، وعلى أيّ بُعد من قرية آية؟ (فهما معًا يقلّصان الفجوة بسرعة $5 + 4$ كم/سا.)

حل

حل التمرين 61.11.

الفجوة $18$ كم تُقلَّص بسرعة $5 + 4 = 9$ كم/سا: فيلتقيان بعد $\frac{18}{9} = 2$ سا، عند $12{:}00$ . وتكون آية قد مشت حينئذٍ $2 \times 5 = 10$ كم: فيلتقيان على بُعد $10$ كم من قرية آية (و $8$ كم من قرية بدر — والتحقّق: $10 + 8 = 18$ ).

61.5 مسألة: المتوسط التوافقي، أو لماذا تفسد رحلة العودة المتوسط

مسألة 61.1

مسألة نهاية الأسبوع — السرعة المتوسطة على مسافتين متساويتين هي $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ ، وهي لا تتجاوز أبدًا منتصف السرعتين

اِنتهى كل من المثال 61.9 و التمرين 61.10 بالمفاجأة نفسها: اِذهب بسرعة، وعُد بسرعة أخرى، فتقع السرعة المتوسطة تحت منتصف السرعتين. وتجد هذه المسألة الصيغة المضبوطة وراء المفاجأة — وهي نوع جديد من المتوسطات، هو المتوسط التوافقي — وتبرهن على أن المفاجأة مبرهنة، وتدفعها إلى حدّها المنطقي: أي لحاق لا تستطيعه أيّ سرعة في العالم.

الجزء الأول — صيغة رحلة الذهاب والعودة. رحلة تقطع مسافة $d$ بسرعة $v_1$ ، ثم المسافة $d$ نفسها بسرعة $v_2$ (وكلها أعداد موجبة).

عبّر عن المدّتين، ثم عن المدّة الكلية، بكسور تتضمّن $d$ و $v_1$ و $v_2$ .
السرعة المتوسطة للرحلة كلها هي $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ — وهو كسر ذو طابقين (المثال 55.8). بسّطه وبَرهِن على أن

$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$
تحقّق من الصيغة بمقابلتها بالحسابين المذكورين أعلاه: $v_1 = 30$ و $v_2 = 15$ كم/سا (المثال 61.9)، و $v_1 = 80$ و $v_2 = 120$ كم/سا (التمرين 61.10).
وقد اِختفت المسافة $d$ من الصيغة. فماذا يعني ذلك، عمليًّا، بالنسبة إلى الدراج؟
والآن اِفترض أن الرحلة تقضي بدل ذلك الزمن $T$ نفسه بكل سرعة. بيّن أن السرعة المتوسطة تصير حينئذٍ $\frac{v_1 + v_2}{2}$ ، أي المنتصف البسيط. وبلغة التعريف 61.7: بأيّ مقدار يجب أن يُرجَّح متوسط السرعات دائمًا، وما الذي يتغيّر بين السيناريوهين؟

الجزء الثاني — التوافقي مقابل الحسابي. من أجل عددين موجبين $v_1$ و $v_2$ ، ضع

H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \quad\text{(وهو \emph{متوسطهما التوافقي})،} \qquad A = \frac{v_1 + v_2}{2} \quad\text{(وهو \emph{متوسطهما الحسابي}).}

اِحسب $H$ و $A$ من أجل الزوجين $(30, 15)$ و $(80, 120)$ . فأيّ المتوسطين يفوز في كل مرة؟
ضع $A - H$ على المقام المشترك $2(v_1 + v_2)$ ، واُنشر البسط بالمتطابقات الشهيرة (المسألة 57.1)، وبَرهِن على أن

$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$
اِستنتج المبرهنة الكامنة وراء كل المفاجآت: من أجل السرعات الموجبة، $H \leq A$ دائمًا، مع التساوي بالضبط حين $v_1 = v_2$ . ولماذا يحسم مربع في البسط الأمر؟
بَرهِن على المتطابقة الأنيقة $H \times A = v_1 \times v_2$ : فالمتوسطان يعودان بالضرب إلى الجداء الأصلي.
تقطع سيارة $60$ كم بسرعة $40$ كم/سا و $60$ كم بسرعة $60$ كم/سا. توقّع السرعة المتوسطة بالصيغة، ثم أكّدها بالطريق الطويل، بالأزمنة والمسافة الكلية.

الجزء الثالث — اللحاق المستحيل.

تدخل دراجة سباقًا طوله $30$ كم آملةً أن يكون متوسطها $30$ كم/سا. فكم من الوقت يمكن أن يستغرق السباق على الأكثر؟ وهي تقطع أول $15$ كم بسرعة $15$ كم/سا: فكم يبقى من ميزانية الوقت ذاك؟
بيّن أن المتوسط المرجوّ صار مستحيلًا حرفيًّا: اِحسب سرعتها المتوسطة إن قطعت النصف الثاني بسرعة $90$ كم/سا، واِشرح لماذا تبقى دون $30$ كم/سا حتى بسرعة هائلة كيفما كانت.
ثم تخفض هدفها إلى $20$ كم/سا. فأيّ سرعة على مسافة $15$ كم الثانية تحقّقه؟ تحقّق من جوابك بصيغة المتوسط التوافقي.
حنفية باردة وحدها تملأ حوضًا في $20$ دق؛ وحنفية ساخنة وحدها تملؤه في $30$ دق. فأيّ كسر من الحوض تملؤه الحنفيتان معًا في الدقيقة، وكم من الوقت تستغرقان؟ وقارن جوابك بالمقدار $H(20, 30)$ — فماذا تلاحظ؟
تطير طائرة المسار نفسه ذهابًا وإيابًا: $900$ كم/سا مع الريح، و $700$ كم/سا ضدّها. اِحسب السرعة المتوسطة للرحلة كلها، واِشرح في جملة واحدة لماذا تُطيل الريح، مهما هبّت، رحلة الذهاب والعودة دائمًا.

حل

حل المسألة 61.1.

1. حسب التعريف 61.1، $t_1 = \frac{d}{v_1}$ و $t_2 = \frac{d}{v_2}$ ؛ وتدوم الرحلة كلها $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ من أجل مسافة $2d$ .

2. عمّل $d$ في المقام واِختزله حتى يزول:

\bar v = \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)} = \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .

والمقام المشترك في الداخل: $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$ ، و القسمة تعني الضرب في المقلوب (المبرهنة 55.6):

\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .

3. $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15} = \dfrac{900}{45} = 20$ كم/سا، كما في المثال 61.9؛ و $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200} = 96$ كم/سا، كما وُجد في التمرين 61.10.

4. المتوسط يتوقف على السرعتين وحدهما، لا على $d$ : فرحلة ذهاب وعودة طولها $1$ كم ورحلة طولها $100$ كم بالسرعتين نفسيهما لهما السرعة المتوسطة نفسها بالضبط. (ولهذا أمكن التحقّق من الصيغة على رحلات بأطوال مختلفة.)

5. في الزمن $T$ بكل سرعة، تكون المسافتان $v_1 T$ و $v_2 T$ ، إذن

\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T} = \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T} = \frac{v_1 + v_2}{2} .

ومتوسط السرعات يُرجَّح دائمًا بالزمن (التعريف 61.7). فبأزمنة متساوية تحمل السرعتان وزنين متساويين: أي المنتصف البسيط. وبمسافات متساوية تشغل السرعة الأبطأ زمنًا أطول، ومنه وزنًا أكبر — فينزلق المتوسط نحوها.

6. من أجل $(30, 15)$ : $H = 20$ و $A = 22.5$ . ومن أجل $(80, 120)$ : $H = 96$ و $A = 100$ . فالمتوسط الحسابي يفوز في المرتين.

7. على المقام المشترك $2(v_1 + v_2)$ :

A - H = \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,

وينتشر البسط بمتطابقات المسألة 57.1:

(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2 = (v_1 - v_2)^2 .

8. المربع ليس سالبًا أبدًا، والمقدار $2(v_1 + v_2)$ موجب: إذن $A - H \geq 0$ ، أي $H \leq A$ ، من أجل كل زوج من السرعات الموجبة. والتساوي يستلزم $(v_1 - v_2)^2 = 0$ ، أي $v_1 = v_2$ : فما إن تختلف السرعتان حتى يهبط متوسط رحلة الذهاب والعودة تحت المنتصف تمامًا — فالمفاجأة مبرهنة.

9. بالضرب:

H \times A = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2} = v_1 v_2 ,

بعد تلاشي العامل $2$ والعامل $v_1 + v_2$ .

10. بالصيغة: $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60} {40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ كم/سا. وبالطريق الطويل: $\frac{60}{40} = 1.5$ سا و $\frac{60}{60} = 1$ سا، إذن $120$ كم في $2.5$ سا: $\frac{120}{2.5} = 48$ كم/سا. وهما متوافقان.

11. متوسط $30$ كم/سا على $30$ كم يعني زمنًا كليًّا لا يتجاوز $\frac{30}{30} = 1$ سا. وأول $15$ كم بسرعة $15$ كم/سا تستغرق أصلًا $\frac{15}{15} = 1$ سا: فتُنفَق ميزانية الوقت كلها، ونصف المسار ما زال باقيًا.

12. بسرعة $90$ كم/سا يستغرق النصف الثاني $\frac{15}{90} = \frac16$ سا، إذن يستغرق السباق $\frac76$ سا و

\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7 \text{ كم/سا} < 30 .

ومهما كانت سرعة النصف الثاني، تكون مدّتها عددًا موجبًا، إذن يتجاوز الزمن الكلي $1$ سا ويبقى المتوسط تحت $30$ كم/سا تمامًا. (وبالصيغة: $\frac{2 \times 15 \times v_2}{15 + v_2} = 30$ كانت ستفرض $30 v_2 = 450 + 30 v_2$ ، أي $0 = 450$ — فلا سرعة $v_2$ تصلح.)

13. متوسط $20$ كم/سا يسمح بمدّة $\frac{30}{20} = 1.5$ سا؛ وبعد الساعة الأولى تبقى $15$ كم من أجل $0.5$ سا: فتحتاج $\frac{15}{0.5} = 30$ كم/سا. والتحقّق: $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45} = 20$ كم/سا.

14. في الدقيقة، تملأ الحنفيتان $\frac{1}{20}$ و $\frac{1}{30}$ من الحوض؛ ومعًا

\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}

من الحوض في الدقيقة: فيمتلئ الحوض في $12$ دق. و $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$ : فالحنفيتان معًا تستغرقان بالضبط نصف المتوسط التوافقي لزمنيهما المنفردين — فالصبيبات تُجمع، فنعود إلى أرض المتوسط التوافقي.

15. المسافة نفسها في الاتجاهين، إذن

\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700} = \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ كم/سا},

وهي دون $800$ كم/سا في الهواء الساكن. وفي جملة واحدة: تقضي الطائرة زمنًا أطول في الطيران ضدّ الريح منه معها، إذن تأخذ المرحلة البطيئة الوزن الأكبر في المتوسط المرجّح بالزمن — ومنه فالريح لا تستطيع إلا أن تُطيل رحلة الذهاب والعودة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد