68مبرهنة طاليس

مسألة 68.1

مسألة نهاية الأسبوع — طاليس في العمل: تقسيم أيّ قطعة إلى أجزاء متساوية، وقياس الشمس بعلبة أحذية، وشبه منحرف تلتقي فيه المتوسطات الشهيرة الثلاثة

مبرهنة طاليس هي رياضيات الأشعّة: أشعّة الشمس، وأشعّة الضوء عبر ثقب، وحزم الأشعّة من رأس. وتستعملها هذه المسألة على ثلاثة وجوه — أداةَ إنشاء (لتقسيم قطعة أيًّا كان طولها، حتى $\sqrt2$، إلى أجزاء متساوية تمامًا)، وآلةَ قياس (قطر الشمس، بعلبة أحذية وقطعة نقود)، وعدسةً مكبّرة على شبه المنحرف في التمرين 68.9، حيث تظهر المتوسطات الحسابي والهندسي والتوافقي في هذه السلسلة كلّها في شكل واحد.

الجزء الأول — التقسيم بمسطرة غير مدرّجة.

1. اُرسم قطعة $[AB]$ طولها $7$ سم. ولتقسيمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية بالفرجار والمسطرة غير المدرّجة: اُرسم نصف مستقيم أيًّا كان من $A$ (لا يمرّ بالنقطة $B$)؛ واِنقل عليه ثلاثة أطوال متساوية بالفرجار، فتحصل على النقط $P_1$ و $P_2$ و $P_3$؛ وصِل $P_3$ بالنقطة $B$؛ واُرسم الموازيَين للمستقيم $(P_3 B)$ المارّين بالنقطتين $P_1$ و $P_2$. أنجِز الإنشاء وعلّم أين يقطع الموازيان القطعة $[AB]$.
2. وبرّر باِستعمال المبرهنة 68.1 أنّ النقطتين المعلَّمتين تقطعان $[AB]$ عند ثلثيها بالضبط.
3. وكيّف الطريقة لتقسيم قطعة إلى $5$ أجزاء متساوية، ثم لإنشاء $\frac35$ من قطعة معطاة.
4. وأنشِئ النقطة $M$ من $[AB]$ حيث $\frac{AM}{MB} = \frac23$ (أي $M$ عند $\frac25$ من الطريق اِنطلاقًا من $A$). فكم خطوة متساوية على نصف المستقيم، وأيّ نقطة تُوصَل بالنقطة $B$؟
5. ولماذا يكون هذا الإنشاء أفضل من القياس بمسطرة مدرّجة؟ اُنظر في قطعة طولها $\sqrt2$ (قطر مربّع واحدي، وهو أصمّ حسب المسألة 65.1): فماذا يعطي القياس، وماذا تعطي مبرهنة طاليس؟

الجزء الثاني — آلة التصوير ذات الثقب. اِثقب بدبّوس أحد أوجه علبة مغلقة: فتظهر على الوجه المقابل صورة مقلوبة للعالم. فنقطة من الجسم، والثقب، ونقطة الصورة على اِستقامة واحدة — إذ يسير الضوء مستقيمًا — فيقع الجسم (اِرتفاعه $H$، وعلى بعد $D$ أمام الثقب) وصورته (اِرتفاعها $h$، على الجدار الخلفي على عمق $d$ خلف الثقب) في وضعية الفراشة عند طاليس.

6. اِستنتج صيغة الثقب $h = H \times \frac dD$ من طاليس في الفراشة حول الثقب.
7. وشجرة اِرتفاعها $12$ م تقف على بعد $30$ م من علبة أحذية عمقها $20$ سم. فما اِرتفاع صورتها، وفي أيّ اِتّجاه؟
8. ووجّه العلبة نحو الشمس: على بعد $d = 1$ م خلف الثقب، تكون صورة الشمس قرصًا قطره نحو $9$ مم. وبمعرفة بعد الشمس $D = 1.5 \times 10^{11}$ م، اِحسب قطرها بالترميز العلمي (وترميز المسألة 63.1 في العمل). وقارن بالقيمة الحقيقية، $1.39 \times 10^9$ م.
9. والقمر: قطره $3.5 \times 10^6$ م، وبعده $3.8 \times 10^8$ م. اِحسب النسبة $\frac{\text{القطر}}{\text{البعد}}$ للقمر وللشمس. فأيّ مصادفة سعيدة يكشفها العددان — وأيّ حدث مذهل يجعلانه ممكنًا؟
10. وفي جملة أو جملتين: لماذا تكون صورة الثقب مقلوبة، ولماذا يجعل توسيع الثقب الصورة أسطع لكن أكثر ضبابية؟

الجزء الثالث — شبه المنحرف ذو المتوسطات الثلاثة. و $ABCD$ هو شبه المنحرف في التمرين 68.9: $(AB) \parallel (CD)$، و $AB = 4$، و $CD = 6$، ويتقاطع القطران في $O$ حيث $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} = \frac23$.

11. تمرين على الفراشة: يتقاطع مستقيمان في $O$ مع $(MN) \parallel (PQ)$ في وضعية فراشة؛ و $OM = 3$، و $OP = 7.5$، و $MN = 4$، و $OQ = 6$. اِحسب $PQ$ و $ON$.
12. وفسّر كيف تحوي مبرهنة طاليس، مطبَّقةً بالنسبة $\frac12$، مبرهنة المنتصفات في المبرهنة 59.1 حالةً خاصّة منها.
13. واُرسم الموازي للقاعدتين المارّ بالنقطة $O$؛ فيلتقي $[AD]$ في $E$. وبالعمل في المثلث $ACD$ (ولاحظ أنّ $\frac{AO}{AC} = \frac25$)، اِحسب $EO$.

14. وبالحساب المرآتي في المثلث $BDC$، تكون القطعة $OF$ (حيث $F$ على $[BC]$) بالطول نفسه. اِستنتج أنّ

    $$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$$

    أي أنّ الموازي المارّ بتقاطع القطرين يقيس المتوسط التوافقي للقاعدتين — متوسط الذهاب والإياب في المسألة 61.1، عائدًا في هندسة خالصة.

15. والختام الكبير: اِحسب المتوسطات الكلاسيكية الثلاثة للقاعدتين $4$ و $6$ — الحسابي $\frac{4+6}{2}$، والهندسي $\sqrt{4 \times 6}$، والتوافقي $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — ورتّبها. ولكلٍّ منها موضع في شبه المنحرف: فالمتوسط الحسابي هو الخط المتوسّط الواصل بين منتصفَي الساقين (المسألة 53.1)، والمتوسط التوافقي هو قطعتك $EF$، والمتوسط الهندسي هو الموازي الذي يقطع شبه المنحرف إلى شبهَي منحرف متشابهين (تحقّق من قيمته بالآلة الحاسبة؛ والبرهان تحدٍّ إضافي جميل). وأين بُرهن على المتباينة بين الثلاثة في هذا الكتاب (المسألة 60.1، والمسألة 61.1)؟