37الأعداد الصحيحة

مسألة 37.1

مسألة نهاية الأسبوع — جمع $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ في عشر ثوانٍ، والأعداد المثلثية

قصة مشهورة: أراد معلّم أن يشغل صفّه، فطلب من تلاميذه أن يجمعوا كل الأعداد من $1$ إلى $100$. فكتب صبي $5\,050$ على لوحه في الحال تقريبًا — وهو كارل فريدريش غاوس، في التاسعة من عمره، وسيصير من أعظم الرياضيين على الإطلاق. ولم يكن سرّه إلا الحساب الذكي (المثال 37.6): تجميع الحدود بحيث تكون كل مجموعة سهلة. وتعيد هذه المسألة اكتشاف حيلته، وتجعلها تنجح في كل حال، وتُظهر كم تتكرر هذه المجاميع في الحياة اليومية.

الجزء الأول — أزواج غاوس.

1. احسب $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ بتجميع الحدود بذكاء.
2. وفي $1 + 2 + 3 + \dots + 10$: زوِّج الحدّ الأول مع الأخير ($1 + 10$)، والثاني مع ما قبل الأخير ($2 + 9$)، وهكذا. فكم يساوي كل زوج؟ وكم عدد الأزواج؟ ثم أتمّ الحساب.
3. والطريقة نفسها في $1 + 2 + \dots + 20$: كم يساوي كل زوج، وكم عدد الأزواج، وما المجموع؟
4. والآن مجموع المعلّم، $1 + 2 + \dots + 100$: اِشرح لماذا تتساوى الأزواج $1 + 100$ و $2 + 99$ و $3 + 98, \dots$ كلها، ولماذا عددها $50$ بالضبط، وآخرها $50 + 51$.
5. اُكتب جواب غاوس ضربًا واحدًا، ثم احسبه.

الجزء الثاني — حيلة لا تخيب أبدًا.

6. جرّب التزويج على $1 + 2 + \dots + 9$: هذه المرة يبقى عدد واحد بلا شريك. فأيّه؟ زوِّج حوله ثم احسب المجموع.

7. وإليك صورة من الحيلة تنجح سواء أكان عدد الحدود زوجيًّا أم فرديًّا: اُكتب المجموع مرتين، مرة بالترتيب ومرة بالعكس، سطرًا تحت سطر،

   $$\begin{array}{ccccccc} 1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\ 9 & + & 8 & + & \dots & + & 1 \end{array}$$

   ثم اجمع عمودًا عمودًا. فكم يساوي كل عمود؟ وكم عدد الأعمدة؟ واِشرح لماذا يكون مجموع السطرين $9 \times 10 = 90$، واستنتج أن $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — وهو الجواب نفسه في السؤال 6.

8. اِستعمل حيلة السطرين لحساب $1 + 2 + \dots + 50$، ثم $1 + 2 + \dots + 200$.
9. احسب مجموع المئة عدد الزوجي الأولى، $2 + 4 + 6 + \dots + 200$. (قارن كل حدّ بحدّ من مجموع غاوس: فلا حاجة إلى تزويج جديد.)
10. احسب $101 + 102 + \dots + 200$، مستعملًا مجموعين تعرفهما وعملية طرح.

الجزء الثالث — الأعداد المثلثية في كل مكان. والمجاميع $1$ و $3$ و $6$ و $10$ و $15, \dots$ الناتجة عن $1 + 2 + \dots + n$ تسمّى أعدادًا مثلثية، لأنها تعدّ أشياء مرصوصة في مثلث.

11. يلتقي ثمانية أصدقاء، ويصافح كل واحد كل واحد من الآخرين مرة واحدة بالضبط. اِشرح لماذا يكون عدد المصافحات $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$، ثم احسبه.
12. وتبني بقّالة هرمًا مثلثيًّا من العلب: $12$ علبة في الصف السفلي، و $11$ في الذي فوقه، وهكذا حتى علبة واحدة في القمة. فكم علبة تحتاج؟ (اِستعمل حيلة السؤال 7.)
13. اُرسم المجموع $1 + 2 + 3 + 4$ سلّمًا من المربعات: مربع واحد في العمود الأول، ومربعان في الثاني، وثلاثة في الثالث، وأربعة في الرابع. وبيّن على رسمك أن سلّمين اثنين كهذا، أحدهما مقلوب رأسًا على عقب، ينطبقان تمامًا في مستطيل من $4$ صفوف فيها $5$ مربعات — واِشرح لماذا يكون هذا هو حيلة السطرين في السؤال 7، مرسومةً بدل أن تكون مكتوبة.
14. وتدقّ ساعة $1$ مرة عند الواحدة، و $2$ مرتين عند الثانية، …، و $12$ مرة عند الثانية عشرة. فكم دقّة في الساعات الاثنتي عشرة؟ وكم في اليوم كله؟
15. وأخيرة لغاوس: $5\,050$ ثانية — أهي أكثر أم أقلّ من ساعة ونصف؟ حوّلها إلى ساعات ودقائق وثوانٍ، مستعملًا القسمة الإقليدية (المبرهنة 37.7) مرتين.