50تنظيم المعطيات

حل المسألة 50.1.

1. التعدادات: $120 > 90$، فتفوز المدرسة أ. والتواترات: $\frac{120}{400} = 0.30 = 30\,\%$ مقابل $\frac{90}{250} = 0.36 = 36\,\%$: فتفوز المدرسة ب. والجائزة يجب أن تتبع التواتر — فالمدرسة ب تعيد تدوير حصة أكبر مما تستعمل؛ والمدرسة أ لا تشرب إلا عصيرًا أكثر.

2. المعلّمون: $\frac{18}{30} = 0.60 = 60\,\%$. والتلاميذ: $\frac{210}{600} = 0.35 = 35\,\%$. ومعًا: $\frac{18 + 210}{630} = \frac{228}{630} \approx 0.36 = 36\,\%$. والتلاميذ أكثر عددًا عشرين مرة، فيُجذب التواتر المشترك كله تقريبًا إلى جهتهم — فالمجموعة الكبيرة تحمل الوزن الكبير.

3. يجب أن يبلغ مجموع التواترات $100\,\%$ (التعريف 50.1)، لكن $45 + 30 + 20 + 10 = 105$: فقطاع واحد على الأقلّ خطأ.

4. التعداد الموافق للتواتر $0.15$: $0.15 \times 40 = 6$. والتعدادات إلى الآن: $14 + 10 + 6 = 30$، إذن التعداد الأخير $40 - 30 = 10$، وتواتره $\frac{10}{40} = 0.25$. (والتحقّق: $0.35 + 0.25 + 0.15 + 0.25 = 1$.)

5. الزوايا: $0.40 \times 360 = 144^\circ$، و $0.35 \times 360 = 126^\circ$، و $0.25 \times 360 = 90^\circ$؛ و $144 + 126 + 90 = 360^\circ$: فتنغلق الدائرة.

6. $\frac{2.4}{10} = 0.24 = 24\,\%$ من بطاقات الاقتراع عادت.

7. كانت أدلّة الهاتف وسجلّات السيارات تُدرج أُسَرًا ثرية في معظمها، وكان تصويتها يختلف عن تصويت البلد؛ وكانت الأجوبة $2.4$ مليون تعدادًا عملاقًا مسحوبًا من السكان الخطأ. وكما في السؤال 1: فالمهمّ ليس كم تعدّ، بل من تعدّ — فالتواتر المحسوب على عيّنة مشوّهة يصف العيّنة لا البلد.

8. التأييد الحقيقي: $0.7 \times 1\,000 + 0.3 \times 9\,000 = 700 + 2\,700 = 3\,400$ مؤيّدًا من $10\,000$: أي $34\,\%$. والاستطلاع: $0.7 \times 500 + 0.3 \times 500 = 350 + 150 = 500$ من $1\,000$: أي $50\,\%$ — أي أعلى بستّ عشرة نقطة، لأن الأثرياء نصف العيّنة وعُشر المدينة.

9. الأجوبة: $0.4 \times 200 = 80$ من غير الراضين و $0.1 \times 800 = 80$ من الراضين، إذن $160$ جوابًا منها $80$ من غير الراضين: فعدم الرضا المقيس $\frac{80}{160} = 50\,\%$. وعدم الرضا الحقيقي: $\frac{200}{1\,000} = 20\,\%$. ولم يكذب أحد — فغير الراضين يجيبون أكثر لا غير، والاستطلاع يسمعهم أعلى.

10. النسب الحقيقية: عُشر أثرياء، إذن $100$ مقابلة ثرية و $900$ متواضعة: $0.7 \times 100 + 0.3 \times 900 = 70 + 270 = 340$ من $1\,000$: فيتوقّع الاستطلاع المُصلَح $34\,\%$ — وهي حقيقة السؤال 8. فخمسون ألف مقابلة حسنة الاختيار تغلب مليونين سيّئَي الاختيار.

11. المستشفى أ: الخفيفة $\frac{90}{100} = 90\,\%$؛ والخطيرة $\frac{280}{400} = 70\,\%$؛ وإجمالًا $\frac{90 + 280}{500} = \frac{370}{500} = 74\,\%$.

12. المستشفى ب: الخفيفة $\frac{340}{400} = 85\,\%$؛ والخطيرة $\frac{65}{100} = 65\,\%$؛ وإجمالًا $\frac{340 + 65}{500} = \frac{405}{500} = 81\,\%$. فالمستشفى أ يفوز في الحالات الخفيفة ($90 > 85$) وفي الحالات الخطيرة ($70 > 65$).

13. وإجمالًا، يبيّن ب $81\,\%$ مقابل $74\,\%$ للمستشفى أ: فالمستشفى الذي يخسر في كل فئة يفوز في المجموع. (ولهذا الانقلاب اِسم: مفارقة سيمبسون.)

14. الخلطتان متعاكستان: فمرضى أ خطيرون في معظمهم ($400$ من $500$)، ومرضى ب خفيفون في معظمهم ($400$ من $500$). والحالات الخطيرة تُشفى أقلّ أينما عولجت، فيُجرّ رقم أ الإجمالي إلى الأسفل بسبب الحالات الصعبة التي يقبلها — فالإجمالي مزيج موزون، والأوزان تختلف بين المستشفيين. والمريض الخطير يجب أن يختار المستشفى أ: فالنسبة $70\,\%$ تغلب $65\,\%$ في السطر الوحيد الذي يعنيه.

15. فمثلًا: «مقارنتك تخلط المرضى الخفيفين والخطيرين، والمستشفيان يعالجان خلطتين متعاكستين — فبالتقسيم حسب الخطورة، يشفي المستشفى أ حصة أعلى من النوعين معًا. والأرقام الإجمالية لا تُقارن إلا حين تكون المجموعات وراءها متشابهة؛ وإلا فالأوزان، لا الجودة، هي التي تقرّر الفائز.»