63الكسور والقوى

حل المسألة 63.1.

1. $\frac14 = 0.25$ (يتوقف)؛ و $\frac13 = 0.333\ldots$ (الدورة $3$)؛ و $\frac56 = 0.8333\ldots$ (الدورة $3$ بعد الرقم $8$)؛ و $\frac{3}{11} = 0.272727\ldots$ (الدورة $27$).

2. في كل خطوة من القسمة على $b$، يكون الباقي إحدى القيم $b$ التالية: $0, 1, \dots, b - 1$ (المبرهنة 37.7). فإن ظهر الباقي $0$، توقّفت القسمة. وإلا، فبعد $b$ خطوة على الأكثر لا بدّ أن يظهر باقٍ ما مرة ثانية — فالخطوات أكثر من البواقي الممكنة — ومن تلك اللحظة تكرّر القسمة بالضبط سلسلة الأرقام التي أنتجتها بعد الظهور الأول: فتدور الكتابة العشرية إلى الأبد. توقّف أو تكرار: ولا سلوك ثالث.

3. $\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$: فالدورة $142857$ طولها $6$. وقد وعد السؤال 2 بتكرار في $7$ خطوات على الأكثر — وهنا تظهر البواقي $1, 3, 2, 6, 4, 5$ كلها قبل عودة $1$: أي أطول ترنيمة ممكنة لقسمة على $7$.

4. يتوقف $\frac ab$ بالضبط حين يكون لكسر ما $\frac{a \times k}{b \times k}$ مقام $10$ أو $100$ أو $1000, \dots$ — أي حين يمكن ضرب المقام حتى يبلغ قوة للعشرة، مثل $4 \times 25 = 100$ أو $8 \times 125 = 1\,000$. ومن أجل $3$ و $6$ هذا ميؤوس منه: فقوة العشرة مجموع أرقامها $1$، وكل مضاعف للعدد $3$ مجموع أرقامه مضاعف للعدد $3$ — إذن لا مضاعف للعدد $3$ (ومنه ولا للعدد $6$) يكون $10$ أو $100$ أو $1\,000, \dots$ ومن أجل $11$: قسمة $10$ أو $100$ أو $1\,000$ أو $10\,000$ على $11$ تترك دائمًا باقيًا ($10$ أو $1$ أو $10$ أو $1, \dots$)، ولا تعطي $0$ أبدًا. فالمقامات التي تبلغ قوة للعشرة تتوقف؛ وكل ما عداها يتكرّر.

5. $\frac{9}{40}$: بما أن $40 \times 25 = 1\,000$، يتوقف: $\frac{225}{1000} = 0.225$. و $\frac{33}{50}$: بما أن $50 \times 2 = 100$، يتوقف: $\frac{66}{100} = 0.66$. و $\frac{5}{12}$: العدد $12$ مضاعف للعدد $3$، فيتكرّر ($0.41666\ldots$).

6. $10x = 7.777\ldots$، إذن $10x - x = 7$ (فالذيلان يتلاشيان تمامًا)، و $9x = 7$ و $x = \frac79$. والتحقّق بالقسمة: $7 \div 9 = 0.777\ldots$

7. الدورة من رقمين، إذن أزِح بالعدد $100$: $100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72$، ومنه $99x = 72$ و $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$.

8. $1000x = 583.333\ldots$ و $100x = 58.333\ldots$؛ وبالطرح، $900x = 525$، إذن $x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12}$ (بالقسمة على $75$). وفعلًا $\frac{7}{12} = 0.58333\ldots$

9. $10x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$، إذن $9x = 9$ و $x = 1$. فليس «تحت $1$ بقليل»: بل $0.999\ldots$ هو العدد $1$، مكتوبًا في زيّ ثانٍ. فأيّ عدد أصغر تمامًا من $1$ يترك فجوة، وقد بيّن المسألة 38.1 أن الفجوة تحوي دائمًا أعدادًا أخرى — بينما لا شيء يسع بين $0.999\ldots$ و $1$. فالتسعات التي لا تنتهي هي باقي الشوكولاتة في المسألة 39.1 متقلّصًا تحت كل مقدار موجب: فلا يبقى شيء.

10. $2.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 + \frac{5}{11} = \frac{27}{11}$. و $0.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ (بالقسمة على $3$).

11. بالقاموس: $0.037037\ldots = \frac{37}{999}$. وبما أن $999 = 27 \times 37$، يُختزل هذا إلى $\frac{1}{27}$: فالكسر $\frac{1}{27}$ يرنّم «$037$». والتحقّق بالقسمة: $1 \div 27 = 0.037037\ldots$

12. $0.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times 0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99} = \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$ (بالقسمة على $9$).

13. دورات الأصفار تنمو بلا نهاية، إذن لا دورة ثابتة تتكرّر إلى الأبد: فهو ليس عددًا عشريًّا دوريًّا (ولا يتوقف أبدًا). وحسب الجزء الأول، كل كسر يتوقف أو يتكرّر — إذن هذا العدد ليس كسرًا البتة: فهو أصمّ، مبنيّ عمدًا. وأما نجم الصمم الأكبر، $\sqrt2$، فيُفضح في الفصل 65.

14. $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx (1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9$: أي عدد أعلى قليلًا من $10^9$، ومنه فله $10$ أرقام. (وبالضبط: $2^{30} = 1\,073\,741\,824$.)

15. $0.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}$، وهو أصلًا في أبسط صورة (فالعدد $9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101$ لا يشترك في أيّ عامل مع $2026 = 2 \times 1013$). والقاموس المكتمل: الكسور هي بالضبط الأعداد العشرية التي تتوقف أو تتكرّر — فالمقامات صديقة العشرات تتوقف، وكل ما عداها يرنّم دورة؛ وبالعكس كل ترنيمة، حتى سنة تخرّجك، كسر متنكّر.