51المثلثات والزوايا

مسألة 51.1

مسألة نهاية الأسبوع — زوايا أيّ مضلع: $(n-2) \times 180^\circ$ في الداخل، ودائمًا $360^\circ$ من الدوران في الخارج، ولماذا لا تبلّط الأرض إلا ثلاثة أشكال منتظمة

قطع التمرين 51.11 رباعيًا إلى مثلثين فوجد $360^\circ$. وتدفع هذه المسألة الفكرة إلى المضلعات ذات أيّ عدد من الأضلاع، ثم تكتشف برهانًا ثانيًا مختلفًا تمامًا — عن طريق المشي حول الشكل وجمع الدورات — وتنتهي على أرض حمّامك: فمن بين كل المضلعات المنتظمة، ثلاثة بالضبط تبلّط المستوي دون فراغ ولا تراكب، وقد اِختار النحل مضلعه.

الجزء الأول — الزوايا في الداخل.

1. من رأس واحد لسداسي (ستة أضلاع)، اُرسم كل الأقطار الخارجة من ذلك الرأس. فإلى كم مثلثًا يُقطع السداسي، وما مجموع كل زواياه الداخلية (المبرهنة 51.3)؟
2. عمّم: من رأس واحد لمضلع ذي $n$ ضلعًا، كم مثلثًا تنتج مروحة الأقطار؟ اِستنتج صيغة مجموع الزوايا الداخلية، وتحقّق منها من أجل $n = 3$ و $4$ و $5$ و $6$.
3. اِحسب مجموع الزوايا الداخلية لعشاري ($10$ أضلاع) ولاثني عشري ($12$ ضلعًا).
4. في المضلع المنتظم تتساوى كل الزوايا الداخلية. اِحسب الزاوية الداخلية للمثلث المتساوي الأضلاع، وللمربع، وللخماسي المنتظم، وللسداسي وللمثمّن.
5. اِشرح، دون أيّ صيغة، لماذا ينمو مجموع الزوايا بمقدار $180^\circ$ بالضبط كلما كسب المضلع رأسًا واحدًا.

الجزء الثاني — المشي حول المربّع السكني. اِمشِ على حدّ مربّع سكني مضلّع، إلى الأمام دائمًا. وعند كل ركن تدور بزاوية ما — وهي الزاوية الخارجية لذلك الركن؛ ويستمرّ الدوران حتى تعود إلى نقطة اِنطلاقك، مواجهًا اِتجاه اِنطلاقك.

6. عند ركن زاويته الداخلية $\widehat A$، بكم تدور؟ (فالزاويتان الداخلية والخارجية متكاملتان.) اِحسب الدورات الثلاث لمثلث زواياه $40^\circ$ و $60^\circ$ و $80^\circ$.
7. اِجمع الدورات الثلاث في السؤال 6. فأيّ واقعة عن الدورة الكاملة تلاحظ؟
8. اِشرح لماذا تبلغ دورات مشية كاملة حول أيّ مضلع — ثلاثة أضلاع أو ثلاثين — دائمًا $360^\circ$ بالضبط. (فماذا فعل أنفك، بكل الدورات مجتمعة، حين تعود؟)
9. اِستنتج صيغة الزوايا الداخلية مرة ثانية: عند كل ركن من الأركان $n$، الداخلية $+$ الدورة $= 180^\circ$؛ فاِجمع على كل الأركان واِستعمل السؤال 8.
10. في المضلع المنتظم، تتساوى كل الدورات، فتكون كل زاوية خارجية $\frac{360^\circ}{n}$. اِستعمل هذا لتجيب في الحال: أيّ مضلع منتظم زواياه الداخلية $150^\circ$؟ ولماذا لا يوجد مضلع منتظم زواياه الداخلية $155^\circ$؟

الجزء الثالث — تبليط الأرض. حول كل نقطة من أرض مبلّطة، يجب أن يبلغ مجموع أركان البلاطات الملتقية $360^\circ$ بالضبط — بلا فراغ ولا تراكب (المسألة 40.1).

11. من أجل كل من المثلث المتساوي الأضلاع والمربع والسداسي المنتظم: كم نسخة تلتقي عند نقطة ركن من التبليط؟ وتحقّق من $360^\circ$ في كل مرة.
12. بيّن أن الخماسيات المنتظمة لا تستطيع تبليط الأرض: فما مجموع ثلاثة أركان، وما مجموع أربعة؟
13. بيّن أنه لا يمكن لأيّ مضلع منتظم بأكثر من ستة أضلاع أن يبلّط: فلا بدّ أن تلتقي ثلاث بلاطات على الأقلّ عند كل ركن (فكل زاوية أصغر من $180^\circ$)، وماذا يحدث لثلاثة أركان قياس كل منها $135^\circ$ أو أكثر؟ واِستنتج القائمة الكاملة للمبلِّطات المنتظمة.
14. كثيرًا ما تخلط أرضيات الحمّامات مثمّنات منتظمة بمربعات صغيرة. تحقّق من أن هذا الركن يعمل: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$. وخلطة كلاسيكية أخرى تجمع مربعًا وسداسيًّا منتظمًا واِثني عشريًّا منتظمًا عند كل ركن: تحقّق منها أيضًا (وزاوية الاثني عشري الداخلية تنتج من طريقة السؤال 10).
15. اِختيار النحل: خلايا قرص العسل سداسيات منتظمة. تحقّق من أركانها ($3$ زوايا)، واِشرح في جملة واحدة — بمساعدة اِكتشاف ديدو (المسألة 43.1) — لماذا يكون السداسي، من بين البلاطات المنتظمة الثلاث الممكنة، أرخصها في الشمع مقابل العسل الذي يحمله.