الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

22ضرب الأعداد الأكبر

في السنة الماضية ضربنا في رقم واحد (الفصل 16)؛ وهذا الفصل يضرب في أعداد من رقمين — ويشرح «السطر المزاح» الغامض في طريقة الأعمدة، وما هو إلا تفكيك إلى عشرات وآحاد.

22.1 الضرب في العشرات

قضية 22.1 (الضرب في 10 و20 و300 …)

الضرب في $10$ يُلحق صفرًا، وفي $100$ صفرين. وللضرب في $20$ ، اِضرب في $2$ ثم في $10$ :

36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 .

وكذلك $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

22.2 طريقة الأعمدة برقمين

مثال 22.2 (لماذا السطر المزاح؟)

لحساب $23 \times 12$ ، فكّك $12$ إلى $10 + 2$ :

23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 .

وطريقة الأعمدة تكتب هذين الجداءين بالضبط، أحدهما تحت الآخر — والثاني مزاح إلى اليسار لأنه عدد من العشرات:

\begin{array}{r} 2\,3 \\ \times\ 1\,2 \\ \hline 4\,6 \\ 2\,3\,\cdot \\ \hline 2\,7\,6 \end{array}

(والنقطة تعلّم مرتبة الآحاد في السطر المزاح، وكثيرًا ما تُترك فارغة).

صورة المستطيل للجداء 23 × 12: أربعة جداءات سهلة، 200 + 40 + 30 + 6 = 276. وطريقة الأعمدة تجمعها في سطرين: 46 (سطر «× 2») و 230 (سطر «× 10»). — صورة المستطيل للجداء $23 \times 12$ : أربعة جداءات سهلة، $200 + 40 + 30 + 6 = 276$ . وطريقة الأعمدة تجمعها في سطرين: $46$ (سطر « $\times 2$ ») و $230$ (سطر « $\times 10$ »).

طريقة 22.3 (الضرب بالأعمدة في عدد من رقمين)

لحساب $457 \times 36$ :

السطر الأول: $457 \times 6 = 2\,742$ ؛
والسطر الثاني: $457 \times 3$ عشرات $= 1\,371$ عشرة — اُكتب $1\,371$ مزاحًا مرتبة واحدة إلى اليسار؛
ثم اِجمع السطرين: $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ؛
وقدِّر للتحقّق: $457 \times 36 \approx 500 \times 36 = 18\,000$ ؟ والأفضل: $450 \times 36$ نحو $16\,000$ — فالنتيجة معقولة.

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ \times\ \ \,3\,6 \\ \hline 2\,7\,4\,2 \\ 1\,3\,7\,1\,\cdot \\ \hline 1\,6\,4\,5\,2 \end{array}

مثال 22.4 (حيل ذهنية)

فكّك بالطريقة الودودة: $18 \times 11 = 18 \times 10 + 18 = 198$ .
اِستعمل قريبًا من المئة: $25 \times 99 = 25 \times 100 - 25 = 2\,475$ .
ضاعِف ونصِّف: $16 \times 35 = 8 \times 70 = 560$ (فتنصيف أحد العاملين وتضعيف الآخر يحفظ الجداء).

22.3 الضرب في المسائل

مثال 22.5

تطلب مدرسة $28$ علبة فيها $145$ ورقة لكل علبة.

العملية: $145 \times 28$ .
التقدير: $150 \times 30 = 4\,500$ ، وهو أكثر قليلًا في العاملين معًا.
الأعمدة: $145 \times 8 = 1\,160$ ؛ و $145 \times 2$ عشرة $= 2\,900$ ؛ والمجموع $4\,060$ .
والجملة: تستلم المدرسة $4\,060$ ورقة.

22.4 تمارين

تمرين 22.1 ★

احسب ذهنيًّا: $47 \times 10$ ؛ $23 \times 100$ ؛ $36 \times 20$ ؛ $15 \times 300$ ؛ $42 \times 50$ .

حل

حل التمرين 22.1.

$470$ ؛ $2\,300$ ؛ $720$ ؛ $4\,500$ ؛ $2\,100$ .

تمرين 22.2 ★

احسب $34 \times 21$ بالتفكيك كما في المثال 22.2 ( $34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$ )، ثم تحقّق بالأعمدة.

حل

حل التمرين 22.2.

$34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$ ؛ والأعمدة تعطي السطرين نفسيهما: $34$ و $680$ .

تمرين 22.3 ★

احسب بالأعمدة: $63 \times 24$ ؛ $85 \times 47$ ؛ $126 \times 53$ .

حل

حل التمرين 22.3.

$63 \times 24 = 1\,512$ ؛ $85 \times 47 = 3\,995$ ؛ $126 \times 53 = 6\,678$ .

تمرين 22.4 ★

احسب بالأعمدة، مع تقدير أولًا: $208 \times 34$ ؛ $517 \times 62$ .

حل

حل التمرين 22.4.

$208 \times 34$ : التقدير $200 \times 34 = 6\,800$ ؛ وبالضبط $7\,072$ .

$517 \times 62$ : التقدير $500 \times 60 = 30\,000$ ؛ وبالضبط $32\,054$ .

تمرين 22.5 ★

احسب بحيلة من المثال 22.4: $45 \times 11$ ؛ $32 \times 99$ ؛ $24 \times 45$ (ضاعِف ونصِّف — مرتين إن شئت).

حل

حل التمرين 22.5.

$45 \times 11 = 450 + 45 = 495$ .

$32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$ .

$24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (أو مرة أخرى: $6 \times 180 = 1\,080$ ).

تمرين 22.6 ★

في سينما $26$ صفًّا من $18$ مقعدًا. فكم مقعدًا فيها كلها؟

حل

حل التمرين 22.6.

$26 \times 18 = 468$ مقعدًا.

تمرين 22.7 ★

تحمل شاحنة $32$ منصّة فيها $48$ صندوقًا لكل منصّة. فكم صندوقًا؟ أعطِ تقديرًا أولًا، ثم الجواب الدقيق.

حل

حل التمرين 22.7.

التقدير: $30 \times 50 = 1\,500$ . وبالضبط: $32 \times 48 = 1\,536$ صندوقًا.

تمرين 22.8 ★

جِد الخطأ: تحسب سلمى $57 \times 23$ هكذا: $57 \times 3 = 171$ و $57 \times 2 = 114$ ، ثم تجمع $171 + 114 = 285$ . والجواب الصحيح هو $1\,311$ . فماذا نسيت؟

حل

حل التمرين 22.8.

نسيت أن الرقم $2$ في $23$ يعدّ عشرات: فالسطر الثاني يجب أن يكون $57 \times 20 = 1\,140$ ، لا $114$ . والمجموع الصحيح: $171 + 1\,140 = 1\,311$ .

تمرين 22.9 ★★

يغرس بستانيّ $14$ صفًّا من $35$ زهرة تُوليب و $12$ صفًّا من $28$ نرجسة. فكم زهرة في المجموع؟ (جداءان، ثم مجموع.)

حل

حل التمرين 22.9.

التوليب: $14 \times 35 = 490$ . والنرجس: $12 \times 28 = 336$ . والمجموع: $490 + 336 = 826$ زهرة.

تمرين 22.10 ★★

في كل يوم، يستعمل مخبز $67$ كغ من الدقيق. فكم يقارب ذلك من الدقيق في شهر من $30$ يومًا — قدِّر بأعداد مقرَّبة، ثم احسب بالضبط.

حل

حل التمرين 22.10.

التقدير: $70 \times 30 = 2\,100$ كغ. وبالضبط: $67 \times 30 = 2\,010$ كغ.

تمرين 22.11 ★★

اِشرح، بصورة مستطيل كصورة هذا الفصل، لماذا يمكن حساب $15 \times 12$ على صورة $15 \times 10 + 15 \times 2$ . ثم اِبتكر تفكيكًا آخر للجداء $15 \times 12$ ينجح أيضًا.

حل

حل التمرين 22.11.

مستطيل $15 \times 12$ من المربعات الواحدية يمكن قطعه بخط عمودي إلى جزء $15 \times 10$ وجزء $15 \times 2$ : وعدّ كل جزء يعطي $150 + 30 = 180$ . وقطع آخر ينجح كذلك، فمثلًا $15 = 10 + 5$ : $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60 = 180$ . فأي طريقة لقطع المستطيل تترك عدد المربعات الكلي كما هو.